일반화 힘

3. 유도

일반화 힘의 표현은 외부 힘에 대한 가상 일을 통해 얻는다. n개의 입자로 이루어진 계를 생각해보자. 이 때, 가상 일 δW는 외부 힘 '''F'''_i 와 가상 변위 δ'''r'''_i의 스칼라곱으로 나타난다.^[3]

:δW = Σ_i=1ⁿ '''F'''_i · δ'''r'''_i

여기서 δ'''r'''_i는 다음과 같이 일반화 좌표에 대한 가상 변위 δq_σ를 써서 표현할 수 있다.

:δ'''r'''_i = Σ_σ (∂'''r'''_i / ∂q_σ)δq_σ

이를 첫 번째 식에 대입하면, 가상 일을 일반화 좌표에 대한 가상 변위로 표현할 수 있는데,

:δW = Σ_σ(Σ_i=1ⁿ '''F'''_i · (∂'''r'''_i / ∂q_σ))δq_σ

여기서, 괄호안의 부분 Q_σ

:Q_σ = Σ_i '''F'''_i · (∂'''r'''_i / ∂q_σ)

를 일반화 힘이라 정의하고, 이에 대한 가상 일은

:δW = Σ_σQ_σδq_σ

이 되어 식이 원래 형태에서 변하지 않음을 알 수 있다.

여기서, q_σ에 거리를 넣으면 Q_σ의 차원은 힘의 차원이 되고, q_σ에 각을 넣으면 Q_σ의 차원은 돌림힘의 차원이 됨을 알 수 있다.

3. 1. 속도 공식화

4. 드 알랑베르의 원리

드 알랑베르는 입자에 작용하는 힘과 관성력의 평형 상태로 입자의 역학을 공식화했는데, 이를 드 알랑베르의 원리라고 한다. 질량 $m\_i$인 입자 $P\_i$의 관성력은 다음과 같다.

$$\backslash mathbf\; F\_i^*=-m\_i\backslash mathbf\; A\_i,\backslash quad\; i=1,\backslash ldots,\; n,$$

여기서 $\backslash mathbf\; A\_i$는 입자의 가속도이다.

입자계의 배치가 일반화 좌표 $q\_j$ ($j=1,\backslash ldots,m$)에 의존하는 경우, 일반화 관성력은 다음과 같이 주어진다.

$$Q^*\_j\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; \backslash mathbf\; F^*\_\{i\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\; \{\backslash partial\; \backslash mathbf\; V\_i\}\; \{\backslash partial\; \backslash dot\; q\_j\},\backslash quad\; j=1,\backslash ldots,\; m.$$

드 알랑베르 원리의 가상 일의 형태는 다음과 같다.

$$\backslash delta\; W\; =\; (Q\_1\; +\; Q^*\_1)\backslash delta\; q\_1\; +\; \backslash dots\; +\; (Q\_m\; +\; Q^*\_m)\backslash delta\; q\_m.$$

참조

_[1] 서적 Advanced Dynamics for Engineers CBS College Publishing
_[2] 서적 Dynamics, Theory and Applications https://www.amazon.c[...] McGraw-Hill
_[3] 서적 Advanced Dynamics for Engineers https://archive.org/[...] CBS College Publishing