일반화 힘

1. 개요

일반화 힘은 n개의 입자계에서 i번째 입자에 작용하는 힘 F_i와 일반화 좌표 q_σ에 대한 가상 변위의 관계를 통해 정의되는 물리량이다. 일반화 힘 Q_σ는 Σ_i=1ⁿ F_i · ∂r_i/∂q_σ로 정의되며, 가상 일의 원리를 사용하여 유도된다. 가상 변위를 통해 일반화 힘을 속도와 연관시켜 표현할 수도 있으며, 드 알랑베르의 원리에서도 활용된다. 일반화 힘의 차원은 일반화 좌표에 따라 힘 또는 돌림힘의 차원을 가질 수 있다.

2. 정의

n개의 입자 중, i번째 입자에 외부에서 작용한 힘을 F_i라 하면, 일반화 좌표 {q₁, q₂, …, q_σ}에 대한 일반화 힘 Q_σ은 다음과 같이 정의된다.

:Q_σ = Σ_i=1ⁿ F_i · ∂r_i/∂q_σ

일반화 힘은 가해진 힘의 가상 일 δW 계산을 통해 얻을 수 있다. 입자 P_i, i = 1, ..., n에 작용하는 힘 F_i의 가상 일은 다음과 같다.

:δW = Σ_i=1ⁿ F_i · δr_i

여기서 δr_i는 입자 P_i의 가상 변위이다. 각 입자의 위치 벡터, r_i를 일반 좌표 q_j, j = 1, ..., m의 함수라고 하면, 가상 변위 δr_i는 다음과 같이 주어진다.

:δr_i = Σ_j=1^m (∂r_i / ∂q_j) δq_j, i=1,…, n,

여기서 δq_j는 일반 좌표 q_j의 가상 변위이다. 입자계의 가상 일은 δq_j의 계수를 모아 다음 형식으로 쓸 수 있다.

: δW = Q₁δq₁ + … + Q_mδq_m,

여기서 Q_j = Σ_i=1ⁿ F_i · (∂r_i / ∂q_j), j=1,…, m,는 일반 좌표 q_j, j = 1, ..., m에 관련된 일반화 힘이라고 한다.

3. 유도

일반화 힘의 표현은 외부 힘에 대한 가상 일을 통해 얻는다. n개의 입자로 이루어진 계를 생각해보자. 이 때, 가상 일 δW는 외부 힘 F_i 와 가상 변위 δr_i의 스칼라곱으로 나타난다.
:δW = Σ_i=1ⁿ F_i · δr_i
여기서 δr_i는 다음과 같이 일반화 좌표에 대한 가상 변위 δq_σ를 써서 표현할 수 있다.
:δr_i = Σ_σ (∂r_i / ∂q_σ)δq_σ
이를 첫 번째 식에 대입하면, 가상 일을 일반화 좌표에 대한 가상 변위로 표현할 수 있는데,
:δW = Σ_σ(Σ_i=1ⁿ F_i · (∂r_i / ∂q_σ))δq_σ
여기서, 괄호안의 부분 Q_σ
:Q_σ = Σ_i F_i · (∂r_i / ∂q_σ)
를 일반화 힘이라 정의하고, 이에 대한 가상 일은
:δW = Σ_σQ_σδq_σ
이 되어 식이 원래 형태에서 변하지 않음을 알 수 있다.

여기서, q_σ에 거리를 넣으면 Q_σ의 차원은 힘의 차원이 되고, q_σ에 각을 넣으면 Q_σ의 차원은 돌림힘의 차원이 됨을 알 수 있다.

3.1. 속도 공식화

가상 일의 원리를 적용할 때, 시스템의 속도에서 가상 변위를 얻는 것이 종종 편리하다. n개의 입자 시스템의 경우, 각 입자 P_i의 속도를 V_i라고 하면, 가상 변위 δr_i는 다음과 같은 형태로 표현될 수 있다.

:δr_i = Σ_j=1^m (∂V_i / ∂q̇_j) δq_j, i=1,..., n.

이는 일반화 힘, Q_j 또한 다음과 같이 결정될 수 있음을 의미한다.

:Q_j = Σ_i=1ⁿ F_i · (∂V_i / ∂q̇_j), j=1,..., m.

4. 드 알랑베르의 원리

드 알랑베르는 입자에 작용하는 힘과 관성력의 평형 상태로 입자의 역학을 공식화했는데, 이를 드 알랑베르의 원리라고 한다. 질량 $m\_i$인 입자 $P\_i$의 관성력은 다음과 같다.

$$\backslash mathbf\; F\_i^*=-m\_i\backslash mathbf\; A\_i,\backslash quad\; i=1,\backslash ldots,\; n,$$

여기서 $\backslash mathbf\; A\_i$는 입자의 가속도이다.

입자계의 배치가 일반화 좌표 $q\_j$ ($j=1,\backslash ldots,m$)에 의존하는 경우, 일반화 관성력은 다음과 같이 주어진다.

$$Q^*\_j\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; \backslash mathbf\; F^*\_\{i\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\; \{\backslash partial\; \backslash mathbf\; V\_i\}\; \{\backslash partial\; \backslash dot\; q\_j\},\backslash quad\; j=1,\backslash ldots,\; m.$$

드 알랑베르 원리의 가상 일의 형태는 다음과 같다.

$$\backslash delta\; W\; =\; (Q\_1\; +\; Q^*\_1)\backslash delta\; q\_1\; +\; \backslash dots\; +\; (Q\_m\; +\; Q^*\_m)\backslash delta\; q\_m.$$