가속도

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1. 개요
2. 정의 및 성질
3. 가속도 운동
4. 접선 가속도와 구심 가속도
- 4.1. 접선 가속도
- 4.2. 구심 가속도
5. 좌표계
6. 상대성 이론
- 6.1. 특수 상대성 이론
- 6.2. 일반 상대성 이론
참조

1. 개요

가속도는 단위 시간당 속도 변화량을 나타내는 물리량으로, 속도와 마찬가지로 벡터이다. 평균 가속도와 순간 가속도로 구분되며, 순간 가속도는 속도를 시간으로 미분한 값으로 정의된다. 가속도는 힘과 질량의 곱으로 나타낼 수 있으며, 가속도의 단위 시간당 변화율은 가가속도 또는 약도라고 불린다. 가속도는 평면 운동에서 극좌표로 표현될 수 있으며, 감속도는 음의 가속도를 의미하고, 원심력에 의한 가속도를 원심 가속도라고 한다. 물체에 가해지는 힘과 가속도는 등가 관계에 있으며, 가속 운동, 등가속도 운동, 감속 운동 등 다양한 운동 형태를 보인다. 곡선 경로를 따라 움직이는 물체의 가속도는 접선 가속도와 구심 가속도로 분해될 수 있으며, 좌표계에 따라 각 축에 대응하는 성분으로 나타낼 수 있다. 특수 상대성 이론에서는 빛의 속도에 가까워질수록 가속도가 달라지며, 일반 상대성 이론에서는 중력과 가속도를 구분하기 어렵다는 등가 원리가 적용된다.

2. 정의 및 성질

가속도는 단위 시간 동안 속도의 변화량을 나타내는 물리량이다. 벡터로서 평행사변형의 법칙에 따라 합성 및 분해가 가능한데, 힘이나 속도의 경우와 마찬가지로 '''법선 가속도'''와 '''접선 가속도'''로 분해되는 경우가 많다. 법선 가속도는 방향을 바꾸고, 접선 가속도는 속력을 바꾼다.^[1]

평면 운동을 극좌표(r, θ)로 나타낼 경우, 동경 방향 및 각 방향 성분은 각각 다음과 같다.

: $a_r=\frac{d^2 r}{dt^2} - r\!\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2$

: $a_\theta=\frac{1}{r}\frac{d}{dt}\!\left(r^2\frac{d\theta}{dt}\right)$

2. 1. 평균 가속도

속도와 마찬가지로 가속도는 시간 간격

\Delta t = t_2 -t_1

동안 속도가 변한 정도

\Delta \mathbf{v} = \mathbf{v}_2 - \mathbf{v}_1

의 비로 정의할 수 있다. 이렇게 정의한 가속도를 '''평균가속도'''

\mathbf{a}_{\textrm{av}}

라 한다.

:

\mathbf{a}_{\textrm{av}} = \frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t}

일정 시간 동안 물체의 평균 가속도는 속도 변화량

\Delta \mathbf{v}

을 그 시간 간격

\Delta t

로 나눈 값이다. 수식으로 나타내면 다음과 같다.

:

\bar{\mathbf{a}} = \frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t}.

2. 2. 순간 가속도

시간 간격을 0으로 극한을 취하여 얻어지는 가속도이다. 미적분학의 관점에서 순간 가속도는 시간에 대한 속도 벡터의 도함수이다.

:

\mathbf{a} = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t} =  \frac{d \mathbf{v}}{d t}

가속도는 속도의 변화율이다. 궤적상의 임의의 지점에서 가속도의 크기는 그 지점에서 속도의 크기와 방향의 변화율로 주어지며, 시간 에서의 실제 가속도는 시간 간격 의 극한에서 로 구한다.

아래에서 위로: 가속도 함수 , 가속도의 적분은 속도 함수 , 속도의 적분은 변위 함수 이다.

가속도는 시간에 대한 속도의 도함수이며, 속도는 시간에 대한 위치의 도함수이므로, 가속도는 시간에 대한 위치의 이계도함수로 생각할 수 있다.

:

\mathbf{a} = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d^2\mathbf{x}}{dt^2}.

미적분학의 기본 정리에 의해, 가속도 함수 의 적분이 속도 함수 이며, 가속도 대 시간 ( 대 ) 그래프의 곡선 아래 면적이 속도 변화량에 해당함을 알 수 있다.

:

\mathbf{\Delta v} =  \int \mathbf{a} \, dt.

마찬가지로, 가속도 함수의 도함수인 급가속도 함수 의 적분을 사용하여 특정 시간의 가속도 변화량을 구할 수 있다.

:

\mathbf{\Delta a} =  \int \mathbf{j} \, dt.

미소 시간 Δt를

:

{\Delta } = t' - t

로 정의하면, 속도 차 Δv의 정의는

:

{\Delta v} = \boldsymbol{v}(t') - \boldsymbol{v}(t)

이므로, 이것을 Δt로 나눈 후 Δt → 0으로 하면, 가속도 a는

:

\boldsymbol{a} =\lim_{\Delta t \to 0}{\Delta\boldsymbol{v} \over \Delta t}\equiv \frac{d\boldsymbol{v}}{dt}

로 정의된다.

2. 3. 단위

SI 단위에서 가속도의 단위는 m/s²이다. 이는 초당 미터로 표시되는 속도가 매 초마다 가속도 값만큼 변화한다는 것을 의미한다.

지진의 흔들림 가속도는 갈(Gal) 단위를 사용하며(100 Gal = 1 m/s²), 표준중력을 기준으로 한 G (1.0 G = 9.806 65m/s²) 단위를 사용하기도 한다.

2. 4. 기타 형식

원운동하는 물체—예를 들어 지구를 공전하는 인공위성—는 속도가 일정하더라도 운동 방향이 변하기 때문에 가속도를 갖는다. 이 경우 물체는 구심(중심 방향) 가속도를 받는다고 한다.

일반적으로 '''감속도'''라고 하는 것은, 음(진행 방향과 반대)의 가속도를 말한다. 또한, 진행 방향을 바꾸는(굽는) 것은, 진행 방향과 다른 방향으로의 가속도를 받는다는 것을 의미한다.

원심력에 의한 가속도를 원심 가속도라고 한다.

물체에 가속도가 걸리는 것과 힘이 가해지는 것은 등가이다(운동의 제2법칙).

가속도의 단위 시간당 변화율은, 가가속도 또는 약도라고 불린다.

3. 가속도 운동

속도나 속력이 시간에 따라 변하는 운동을 가속도 운동이라고 한다. 속도나 속력이 증가하는 경우는 가속 운동, 감소하는 경우는 감속 운동이라고 한다.

가속 운동: 물체의 속도나 속력이 증가하는 운동이다. 속력이 일정하게 증가하는 운동은 등가속도 운동이라고 한다.^[10]
감속 운동: 물체의 속도나 속력이 감소하는 운동이다. 속력이 일정하게 감소하는 운동은 음(-)의 등가속도 운동으로 취급한다.^[1]

3. 1. 등속 운동

속도 혹은 속력이 일정한 운동이다. 등속 운동에서 변위(거리)는 시간에 비례한다.

3. 2. 등가속도 운동

가속도가 일정한 운동이다. 뉴턴역학에서 힘은 질량과 가속도의 곱이므로, 힘과 질량이 일정하다면 물체는 등가속도 운동을 한다. 지구 표면에서 물체는 일정한 중력가속도로 운동한다. 등가속도 운동에서 변위(거리)는 시간의 제곱에 비례한다.

등가속도 운동의 예로는 균일한 중력장에서 자유낙하하는 물체가 있다. 운동에 대한 저항이 없는 경우 낙하하는 물체의 가속도는 중력장의 세기(중력 가속도라고도 함)에만 의존한다.

등가속도 운동은 다음의 공식으로 표현 가능하다.^[10]

$t$ 는 경과 시간
$\mathbf{s}_0$ 는 원점으로부터의 초기 변위
$\mathbf{s}(t)$ 는 시간 $t$ 에서 원점으로부터의 변위
$\mathbf{v}_0$ 는 초기 속도
$\mathbf{v}(t)$ 는 시간 $t$ 에서의 속도
$\mathbf{a}$ 는 일정한 가속도

:

\begin{align}\mathbf{s}(t) &= \mathbf{s}_0 + \mathbf{v}_0 t + \tfrac{1}{2} \mathbf{a}t^2 = \mathbf{s}_0 + \tfrac{1}{2} \left(\mathbf{v}_0 + \mathbf{v}(t)\right) t \\\mathbf{v}(t) &= \mathbf{v}_0 + \mathbf{a} t \\{v^2}(t) &= {v_0}^2 + 2\mathbf{a \cdot}[\mathbf{s}(t)-\mathbf{s}_0],\end{align}

가속도가 일정할 때, 경과 시간 t 후의 속도 v(t)와 변위 x(t)는 t=0일 때의 속도를 v₀, 위치 좌표를 x₀라고 하면

:

\boldsymbol{v(t)}=v_0 +a_0t

:

\boldsymbol{x(t)}=x_0 +v_0t +\frac{1}{2}a_0t^2

으로 구할 수 있다.^[14]

또한, 위치 좌표를 x(0)=0이라고 하면, 위의 두 식을 변형하여 t를 소거한 다음 식을 얻을 수 있다.^[15]

:

\boldsymbol{v(t)^2}-\boldsymbol{v_0^2}=2a_0x(t)

3. 3. 가속 운동

어떤 물체의 속도 혹은 속력이 증가하는 운동을 의미한다. 이때 속도 혹은 속력이 일정하게 증가하는 운동을 등가속도 운동 또는 등가속 운동이라 한다.^[10]

모든 같은 시간 간격 동안 물체의 속도가 같은 양만큼 변하는 운동의 한 유형은 ''등가속도 운동'' 또는 ''등가속도 직선 운동''이다.

등가속도 운동의 자주 인용되는 예로는 균일한 중력장에서 자유낙하하는 물체가 있다. 운동에 대한 저항이 없는 경우 낙하하는 물체의 가속도는 중력장의 세기 표준 중력(g^영어, 중력 가속도라고도 함)에만 의존한다. 뉴턴의 제2법칙에 따르면 물체에 작용하는 힘은 다음과 같다.

등가속도 운동의 단순한 해석적 특성으로 인해 변위, 초기 및 시간 의존 속도, 가속도와 시간 간의 간단한 공식이 존재한다.^[14]

t는 경과 시간
s₀는 원점으로부터의 초기 변위
s(t)는 시간 t에서 원점으로부터의 변위
v₀는 초기 속도
v(t)는 시간 t에서의 속도
a는 일정한 가속도

특히, 이 운동은 일정한 속도를 가진 두 개의 직교 성분과 위의 방정식에 따른 다른 성분으로 분해될 수 있다. 갈릴레이가 보여주었듯이, 그 결과는 포물선 운동이 되는데, 이것은 예를 들어 지구 표면 근처 진공 상태에서 발사체의 궤적을 설명한다.^[11]

가속도가 일정(a(t)=a₀)일 때, 경과 시간 t 후의 속도 v(t)와 변위 x(t)는 t=0일 때의 속도를 v₀, 위치 좌표를 x₀라고 하면 다음과 같이 구할 수 있다.^[15]

또한, 위치 좌표를 x(0)=0이라고 하면, 위의 두 식을 변형하여 t를 소거한 다음 식을 얻을 수 있다.

3. 4. 감속 운동

어떤 물체의 속도 혹은 속력이 감소하는 운동이다. 속도나 속력이 일정하게 감소하는 운동은 등감속 운동이라고는 하지 않고, 음(-)의 등가속도 운동으로 취급한다.^[1]

4. 접선 가속도와 구심 가속도

곡선 경로를 따라 움직이는 물체의 가속도는 접선 가속도와 구심 가속도로 분해할 수 있다.^[7]

곡선 운동의 가속도 성분. 접선 성분 는 통과 속도의 변화로 인해 발생하며, 속도 벡터 방향(또는 반대 방향)으로 곡선을 따라 향한다. 수직 성분(원운동의 경우 구심 성분이라고도 함) 는 속도 벡터 방향의 변화로 인해 발생하며, 궤적에 수직이고 경로의 곡률 중심을 향한다.

속도와 가속도가 표시된 진동하는 단진자. 접선 가속도와 구심 가속도를 모두 경험한다.

곡선 경로를 따라 움직이는 입자의 속도는 시간의 함수로 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\mathbf{v}(t) = v(t) \frac{\mathbf{v}(t)}{v(t)} = v(t) \mathbf{u}_\mathrm{t}(t) ,

여기서 는 경로를 따라 이동하는 속도이고,

:

\mathbf{u}_\mathrm{t} = \frac{\mathbf{v}(t)}{v(t)} \, ,

는 주어진 시간에 운동 방향을 가리키는 경로에 대한 단위 접선 벡터이다. 의 변화하는 속도와 의 방향 변화를 모두 고려하면, 곡선 경로를 따라 움직이는 입자의 가속도는 두 시간 함수의 곱에 대한 미분의 연쇄 법칙^[7]을 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\begin{alignat}{3}\mathbf{a} & = \frac{d \mathbf{v}}{dt} \\& =  \frac{dv}{dt} \mathbf{u}_\mathrm{t} +v(t)\frac{d \mathbf{u}_\mathrm{t}}{dt} \\& = \frac{dv }{dt} \mathbf{u}_\mathrm{t} + \frac{v^2}{r}\mathbf{u}_\mathrm{n}\ ,\end{alignat}

여기서 은 입자 궤적에 대한 단위(내향) 법선 벡터(주법선)이고, 은 주어진 시간에 접촉원을 기반으로 한 순간 곡률 반지름이다. 이 식에서,

:

\mathbf{a}_\mathrm{t} = \frac{dv }{dt} \mathbf{u}_\mathrm{t}

:는 접선 가속도이고,

:

\mathbf{a}_\mathrm{c} = \frac{v^2}{r}\mathbf{u}_\mathrm{n}

:는 수직 또는 방사 가속도(원운동에서 구심 가속도)이다.

3차원 공간 곡선의 접선, 주법선, 종법선은 프레네-세르레 공식^[8]^[9]으로 설명할 수 있다.

가속도는 벡터이므로 평행사변형 법칙에 따라 합성 및 분해가 가능하다. 힘이나 속도와 마찬가지로, 가속도는 법선 가속도와 접선 가속도로 분해되는 경우가 많다. 법선 가속도는 방향을, 접선 가속도는 속력을 변화시킨다.

평면 운동을 극좌표(r, θ)로 나타낼 경우, 동경 방향 및 각 방향 성분은 각각 다음과 같다.

:

a_r=\frac{d^2 r}{dt^2} - r\!\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2

:

a_\theta=\frac{1}{r}\frac{d}{dt}\!\left(r^2\frac{d\theta}{dt}\right)

일반적으로 '''감속도'''는 음의 가속도, 즉 진행 방향과 반대 방향의 가속도를 의미한다. 진행 방향을 바꾸는 것은 진행 방향과 다른 방향으로 가속도를 받는다는 것을 의미한다. 원심력에 의한 가속도는 원심 가속도라고 한다.

물체에 가속도가 작용하는 것과 힘이 가해지는 것은 운동의 제2법칙에 따라 동등하다. 가속도의 단위 시간당 변화율은 가가속도 또는 약도라고 불린다.

4. 1. 접선 가속도

접선 가속도는 속도의 크기 변화를 나타내는 가속도 성분이다. 곡선 경로를 따라 움직이는 입자의 가속도는 속도 벡터의 시간에 대한 도함수로 표현되는데, 이 도함수는 미분의 연쇄 법칙에 의해 두 가지 성분으로 분리된다.^[7] 하나는 속력의 변화를 나타내는 접선 가속도이고, 다른 하나는 속도 벡터 방향의 변화를 나타내는 수직 가속도이다.

접선 가속도는 다음과 같이 표현된다.

:

\mathbf{a}_\mathrm{t} = \frac{dv }{dt} \mathbf{u}_\mathrm{t}

여기서 는 속력, 는 경로에 대한 단위 접선 벡터이다.

각가속도 와 반지름 의 곱으로도 표현 가능하다.:

a_t = r \alpha

일반적으로 '''감속도'''는 음의 가속도, 즉 진행 방향과 반대 방향의 가속도를 의미한다.

4. 2. 구심 가속도

구심 가속도는 속도의 방향 변화를 나타내는 가속도 성분이다. 원운동 및 구심력을 참조하면, 속도

v

와 반지름

r

을 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.^[7]

:

a_c = \frac {v^2} {r}\,.

또한, 각속도

\omega

와 반지름

r

을 사용하여 다음과 같이 표현할 수도 있다.

:

\mathbf {a_c}= -\omega^2  \mathbf {r}\,.

등속 원운동, 즉 원형 경로를 따라 일정한 ''속력''으로 움직이는 경우, 입자는 속도 벡터의 방향 변화로 인한 가속도를 경험하는 반면, 그 크기는 일정하게 유지된다. 곡선 위의 한 점의 위치를 시간에 대해 미분한 값, 즉 속도는 항상 곡선에 정확히 접하고, 이 점에서 반지름에 수직이다. 등속 운동에서는 접선 방향의 속도가 변하지 않으므로, 가속도는 반지름 방향, 즉 원의 중심을 향해야 한다. 이 가속도는 속도의 방향을 인접한 점에서 접선이 되도록 끊임없이 변화시켜 속도 벡터를 원을 따라 회전시킨다.

주어진 속도 $v$ 에 대해, 이 기하학적으로 발생하는 가속도(구심 가속도)의 크기는 원의 반지름 $r$ 에 반비례하며, 이 속도의 제곱으로 증가한다.
주어진 각속도 $\omega$ 에 대해, 구심 가속도는 반지름 $r$ 에 정비례한다. 이는 속도 $v$ 가 반지름 $r$ 에 의존하기 때문이다.

극좌표 성분으로 구심 가속도 벡터를 나타내면, 여기서

\mathbf{r}

은 크기가 이 거리와 같은 원의 중심에서 입자까지의 벡터이고, 중심을 향하는 가속도의 방향을 고려하면, 다음과 같다.

:

\mathbf {a_c}= -\frac{v^2}

\cdot \frac{\mathbf {r}}

\,.

회전에서 일반적으로 입자의 속도

v

는

r

거리에 있는 점에 대한 ''각속도''로 나타낼 수 있다.

:

\omega = \frac {v}{r}.

따라서

:

\mathbf {a_c}= -\omega^2  \mathbf {r}\,.

이 가속도와 입자의 질량은 이 입자를 이 등속 원운동 상태로 유지하기 위해 작용하는 알짜힘으로서, 원의 중심을 향하는 필요한 구심력을 결정한다. 소위 '원심력'은 원운동하는 물체의 기준계에서 경험하는 소위 겉보기힘으로, 물체의 선운동량(원운동의 원에 접하는 벡터) 때문에 나타난다.

비등속 원운동, 즉 곡선 경로를 따라 속도가 변하는 경우, 가속도는 곡선에 대한 0이 아닌 접선 성분을 가지며, 구심 가속도에 대한 반지름

r

을 결정하는 접촉원의 중심을 향하는 주법선에 국한되지 않는다.

5. 좌표계

다차원 직교 좌표계에서 가속도는 좌표계의 각 차원 축에 대응하는 성분으로 분해된다.^[12] x축과 y축이 있는 2차원계에서 대응하는 가속도 성분은 다음과 같이 정의된다.

: ''a_x'' = ''dv_x''/''dt'' = ''d''²''x''/''dt''²

: ''a_y'' = ''dv_y''/''dt'' = ''d''²''y''/''dt''²

2차원 가속도 벡터는 '''a''' = <''a_x'', ''a_y''>로 정의된다. 이 벡터의 크기는 거리 공식을 사용하여 다음과 같이 구한다.

: |'''a'''| = √(''a_x''² + ''a_y''²)

z축이 추가된 3차원계에서 대응하는 가속도 성분은 다음과 같이 정의된다.

: ''a_z'' = ''dv_z''/''dt'' = ''d''²''z''/''dt''²

3차원 가속도 벡터는 '''a''' = <''a_x'', ''a_y'', ''a_z''>로 정의되며, 그 크기는 다음과 같이 결정된다.

: |'''a'''| = √(''a_x''² + ''a_y''² + ''a_z''²)

6. 상대성 이론

특수 상대성 이론에서 속도가 빛의 속도에 가까워짐에 따라 가속도는 고전 역학 방정식을 따르지 않는다. 주어진 힘에 의해 생성되는 가속도는 감소하고, 빛의 속도에 가까워짐에 따라 무한히 작아진다. 질량을 가진 물체는 이 속도에 점근적으로 접근할 수 있지만 결코 도달할 수 없다.

알베르트 아인슈타인은 중력과 관성 가속도가 동일한 효과를 갖는다는 등가 원리를 제시했다. 물체의 운동 상태를 알지 못하는 한, 관측된 힘이 중력 때문인지 가속도 때문인지 구분할 수 없다. 그는 중력을 포함한 어떤 힘도 느끼지 않는 관찰자만이 자신이 가속되지 않고 있다고 결론 내릴 수 있다고 말했다.^[13]

6. 1. 특수 상대성 이론

특수 상대성 이론에서 속도가 빛의 속도에 가까워짐에 따라 가속도는 고전 역학 방정식을 따르지 않는다. 주어진 힘에 의해 생성되는 가속도는 감소하고, 빛의 속도에 가까워짐에 따라 무한히 작아진다. 질량을 가진 물체는 이 속도에 점근적으로 접근할 수 있지만 결코 도달할 수 없다.

6. 2. 일반 상대성 이론

물체의 운동 상태를 알지 못하는 한, 관측된 힘이 중력 때문인지 가속도 때문인지 구분할 수 없다. 중력과 관성 가속도는 동일한 효과를 갖는다. 알베르트 아인슈타인은 이것을 등가 원리라고 불렀으며, 중력을 포함한 어떤 힘도 느끼지 않는 관찰자만이 자신이 가속되지 않고 있다고 결론 내릴 수 있다고 말했다.^[13]

참조

_[1] 서적 Relativity and Common Sense https://archive.org/[...] Courier Dover Publications
_[2] 서적 Physics the Easy Way https://archive.org/[...] Barron's Educational Series
_[3] 서적 The Principles of Mechanics BiblioBazaar, LLC
_[4] 서적 Mechanics https://books.google[...] John Wiley & Sons
_[5] 서적 Physics, Volume One: Chapters 1-17, Volume 1 https://books.google[...] John Wiley & Sons
_[6] 서적 College Physics, Volume 10 https://books.google[...] Cengage
_[7] 웹사이트 Chain Rule http://mathworld.wol[...] Wolfram Research 2016-08-02
_[8] 서적 Mathematical Techniques for Engineers and Scientists https://books.google[...] SPIE Press
_[9] 서적 Applied Mathematics https://books.google[...] S. Chand & Co.
_[10] 서적 Physics for you: revised national curriculum edition for GCSE https://books.google[...] Nelson Thornes
_[11] 서적 Understanding physics https://books.google[...] Birkhäuser
_[12] 웹사이트 The Feynman Lectures on Physics Vol. I Ch. 9: Newton's Laws of Dynamics https://www.feynmanl[...] 2024-01-04
_[13] 서적 The Fabric of the Cosmos: Space, Time, and the Texture of Reality Vintage
_[14] 웹사이트 등가속도운동 https://kotobank.jp/[...]
_[15] 웹사이트 시간 t を含まない式 http://www.wakariyas[...]

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