라그랑주 역학

3. 라그랑주 함수 (라그랑지안)

라그랑주 함수(라그랑지안, Lagrangian^영어)는 물리적인 역학계의 동역학을 기술하는 데 사용되는 함수이다. 라그랑주 역학은 힘 대신 계의 에너지를 사용하여 운동을 기술한다.

라그랑지안 $L(q,\backslash dot\{q\},t)$은 일반적으로 운동 에너지와 위치 에너지의 차이로 정의된다.^[8]

:$L\; =\; T\; -\; V$

여기서 $q$는 일반화 좌표, $\backslash dot\{q\}$는 일반화 속도, $t$는 시간을 나타낸다.

일반화 좌표는 각 물체의 위치와 속도에 대해 독립적인 좌표이다. 이를 통해 시스템의 총 운동 에너지에서 위치 에너지를 뺀 라그랑지안의 일반 형태를 작성할 수 있다.

라그랑지안은 에너지의 단위를 가지지만, 관측 가능한 물리량은 아니다.^[61] 그 값 자체에는 물리적인 의미가 없으며, 동일한 계에 대해 여러 형태의 라그랑지안이 존재할 수 있다.

3. 1. 라그랑지안의 유일성

4. 라그랑주 역학과 뉴턴 역학의 비교

뉴턴 역학과 라그랑주 역학은 고전역학에서 운동을 기술하는 두 가지 주요 방식이다. 뉴턴 역학은 뉴턴의 운동 법칙, 특히 제2법칙 "알짜 힘은 질량 곱하기 가속도"를 기반으로 한다. 3차원 공간에서 질량 m을 가진 입자에 작용하는 힘 '''F'''와 가속도 '''a''' 사이의 관계는 다음과 같이 표현된다.

$$$$

\mathbf{F} = m \mathbf{a}



이 방정식은 세 개의 결합된 2계 상미분방정식 시스템으로, 시간 t에서 입자의 위치 벡터 '''r'''을 구하기 위해 풀어야 한다. 이때, 초기 조건에서 '''r'''과 '''v'''(속도)가 필요하다.

뉴턴의 법칙은 데카르트 좌표계에서 사용하기 쉽지만, 다른 좌표계에서는 운동 방정식이 복잡해질 수 있다. 곡선좌표계에서 텐서 지수 표기법을 사용한 뉴턴 법칙은 "라그랑주 형태"^[19][20]로 표현된다.

$$$$

F^a = m \left( \frac{\mathrm{d}^2 \xi^a}{\mathrm{d}t^2} + \Gamma^a{}_{bc} \frac{\mathrm{d}\xi^b}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}\xi^c}{\mathrm{d}t} \right) = g^{ak} \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial T}{\partial \dot{\xi}^k} - \frac{\partial T}{\partial \xi^k}\right), \quad

\dot{\xi}^a \equiv \frac{\mathrm{d} \xi^a }{\mathrm{d}t}



여기서 ''F''^''a''는 힘의 반변 성분, Γ^''a''_''bc''는 2종 크리스토펠 기호, T는 운동 에너지, ''g_bc''는 메트릭 텐서의 공변 성분이다.

이러한 표현은 복잡해 보이지만, 크리스토펠 기호에 대한 가속도 성분을 피할 수 있다는 장점이 있다. 만약 입자에 작용하는 합력이 없다면, 입자는 가속되지 않고 측지선을 따라 일정한 속도로 움직인다. 이는 일반 상대성 이론에서 자유 입자가 곡면 시공간에서 측지선을 따르는 것과 연결된다.^[21]

뉴턴 역학에서는 제약 힘 '''C'''와 비제약 힘 '''N'''의 합력 '''F'''를 알아야 한다.

$$$$

\mathbf{F} = \mathbf{C} + \mathbf{N}



제약 힘은 시간에 따라 달라질 수 있고, 제약 조건이 있는 경우 곡선 좌표는 독립적이지 않다.

달랑베르의 원리를 이용하면, 가상 변위 (δ'''r'''_''k'')를 일반화 좌표 (''q''_j)로 변환하여 제약 힘을 제거하고, 일반화 힘 (''Q''_j) 만을 사용하여 운동 방정식을 표현할 수 있다.

$$\backslash delta\; \backslash mathbf\{r\}\_k\; =\; \backslash sum\_\{j=1\}^n\; \backslash frac\; \{\backslash partial\; \backslash mathbf\{r\}\_k\}\; \{\backslash partial\; q\_j\}\; \backslash delta\; q\_j$$

$$Q\_j\; =\; \backslash sum\_\{k=1\}^N\; \backslash mathbf\; \{N\}\_k\; \backslash cdot\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{r\}\_k\}\{\backslash partial\; q\_j\}$$

이를 통해 얻어지는 '''라그랑주 방정식'''^[29][30] (또는 '''일반화된 운동 방정식'''^[31])은 다음과 같다.

$$Q\_j\; =\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\}\{\backslash mathrm\{d\}t\}\backslash frac\{\backslash partial\; T\}\{\backslash partial\; \backslash dot\{q\}\_j\}\; -\; \backslash frac\{\backslash partial\; T\}\{\backslash partial\; q\_j\}$$

이 방정식은 비제약력에 대한 뉴턴의 법칙과 동등하며, 제약력은 고려할 필요가 없다.

4. 1. 다루는 물리량

4. 2. 좌표계

4. 3. 철학적 관점

5. 라그랑주 역학의 중요성과 응용

라그랑주 역학은 단순한 실용적 응용을 넘어 물리학에 대한 깊이 있는 이해를 제공하며, 양자장론 등 현대 이론 물리학 발전에 큰 영향을 주었다. 최소 작용의 원리와 라그랑주 역학은 뇌터 정리와 밀접하게 관련되어, 물리적 보존량과 계의 연속적 대칭성 사이의 관계를 보여준다.^[9]

라그랑주 함수의 중요한 성질 중 하나는 보존되는 양을 쉽게 알 수 있다는 점이다. 좌표 ''q_i''에 대해 "정준적으로 공액인" ''일반화된 운동량''은 다음과 같이 정의된다.

:$p\_i\; =\backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\backslash dot\; q\_i\}.$

만약 라그랑지언 ''L''이 ''q_i''에 의존하지 않으면, 오일러-라그랑주 방정식에 의해

:$\backslash dot\{p\}\_i\; =\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\}\{\backslash mathrm\{d\}t\}\backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\backslash dot\; q\_i\}\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; q\_i\}\; =\; 0$

이 성립한다. 즉, 대응하는 일반화된 운동량은 상수이며 보존된다. 이는 뇌터 정리의 특수한 경우이며, 이러한 좌표를 "순환적" 또는 "무시 가능한" 좌표라고 한다.

예를 들어, 라그랑지언이 다음과 같다고 하자.

:$L(r,\backslash theta,\backslash dot\{s\},\backslash dot\{z\},\backslash dot\{r\},\backslash dot\{\backslash theta\},\backslash dot\{\backslash phi\},t),$

여기서 ''r''과 ''z''는 직선 거리, ''s''는 곡선 길이, ''θ''와 ''φ''는 각도이다. ''z'', ''s'', ''φ''는 라그랑지언에 나타나지 않지만, 그 속도는 나타난다. 이 경우, 운동량

:$p\_z\; =\backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\backslash dot\; z\},\backslash quad\; p\_s\; =\backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; \backslash dot\; s\},\backslash quad\; p\_\backslash phi\; =\backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; \backslash dot\; \backslash phi\},$

은 모두 보존된다. ''p''_''z''는 ''z'' 방향의 병진 운동량, ''p''_''s''는 곡선 ''s''를 따른 병진 운동량, ''p''_''φ''는 각도 ''φ''가 측정되는 평면에서의 각운동량이다. 계의 운동이 아무리 복잡하더라도 모든 좌표와 속도는 이러한 운동량이 보존되도록 변화한다.

5. 1. 다른 분야로의 확장

5. 2. 뇌터 정리와의 관계

5. 3. 상대성 이론과의 관계

6. 구속계

입자 ''k''에 제약 조건이 있는 경우, 위치 좌표는 제약 방정식으로 연결되어 있다. 따라서 가상변위의 좌표도 서로 연결되어 있다. 일반화 좌표는 독립적이므로, 일반화 좌표에서 가상 변위로 변환하여 ''δ'''''r'''_''k''의 복잡성을 피할 수 있다. 이들은 전미분과 같은 형태로 관련되어 있다.^[9]

$$\backslash delta\; \backslash mathbf\{r\}\_k\; =\; \backslash sum\_\{j=1\}^n\; \backslash frac\; \{\backslash partial\; \backslash mathbf\{r\}\_k\}\; \{\backslash partial\; q\_j\}\; \backslash delta\; q\_j.$$

이는 가상 변위이므로 시간 증분에 곱해지는 시간에 대한 편미분은 없다. 즉, 시간의 ''순간''에 제약 조건을 따라 이루어지는 변위이다.

해밀턴의 원리는 구속 방정식을 좌표의 1차 미분의 특정 형태, 즉 선형 결합으로 나타낼 수 있는 경우 비정홀로노믹 구속조건에 적용할 수 있다.^[39] 해밀턴의 원리는 좌표 *L*이 독립적이지 않더라도(여기서는 r_*k*) 여전히 유효하지만, 구속조건은 여전히 정홀로노믹(holonomic)이라고 가정한다.^[40] 항상 끝점은 모든 *k*에 대해 고정되어 있다. *δ*r*_*k*가 독립적이 아니기 때문에 단순히 *δ*r*_*k*의 계수를 0과 같다고 놓을 수는 없다. 대신, 구속 조건을 포함하기 위해 라그랑주 승수 방법을 사용할 수 있다. 각 구속 조건 방정식에 *i* = 1, 2, ..., *C*에 대해 라그랑주 승수 *λ*_*i*를 곱하고 결과를 원래 라그랑주 함수에 더하면 새로운 라그랑주 함수를 얻는다.

$$L\text{'}\; =\; L(\backslash mathbf\{r\}\_1,\backslash mathbf\{r\}\_2,\backslash ldots,\backslash dot\{\backslash mathbf\{r\}\}\_1,\backslash dot\{\backslash mathbf\{r\}\}\_2,\backslash ldots,t)\; +\; \backslash sum\_\{i=1\}^C\; \backslash lambda\_i(t)\; f\_i(\backslash mathbf\{r\}\_k,t).$$

라그랑주 승수는 시간 *t*의 임의 함수이지만 좌표 r_*k*의 함수는 아니므로, 승수는 위치 좌표와 동등한 입장에 있다. 이 새로운 라그랑주 함수를 변분하고 시간에 대해 적분하면 다음을 얻는다.

$$\backslash int\_\{t\_1\}^\{t\_2\}\; \backslash delta\; L\text{'}\; \backslash mathrm\{d\}t\; =\; \backslash int\_\{t\_1\}^\{t\_2\}\; \backslash sum\_\{k=1\}^N\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{r\}\_k\}\; -\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\}\{\backslash mathrm\{d\}t\}\backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; \backslash dot\{\backslash mathbf\{r\}\}\_k\}\; +\; \backslash sum\_\{i=1\}^C\; \backslash lambda\_i\; \backslash frac\{\backslash partial\; f\_i\; \}\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{r\}\_k\}\backslash right)\backslash cdot\backslash delta\; \backslash mathbf\{r\}\_k\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}t\; =\; 0.$$

도입된 승수는 r_*k*가 독립적이 아니더라도 *δ*r*_*k*의 계수가 0이 되도록 찾을 수 있다. 운동 방정식이 따른다. 앞의 분석에서 이 적분의 해를 얻는 것은 다음과 같은 명제와 동일하다.

$$\backslash frac\{\backslash partial\; L\text{'}\}\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{r\}\_k\}\; -\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\}\{\backslash mathrm\{d\}t\}\backslash frac\{\backslash partial\; L\text{'}\}\{\backslash partial\; \backslash dot\{\backslash mathbf\{r\}\}\_k\}\; =\; 0\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; \backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{r\}\_k\}\; -\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\}\{\backslash mathrm\{d\}t\}\backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; \backslash dot\{\backslash mathbf\{r\}\}\_k\}\; +\; \backslash sum\_\{i=1\}^C\; \backslash lambda\_i\; \backslash frac\{\backslash partial\; f\_i\; \}\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{r\}\_k\}\; =\; 0,$$

이는 '''제1종 라그랑주 방정식'''이다. 또한, 새로운 라그랑주 함수에 대한 *λ*_*i* 오일러-라그랑주 방정식은 구속 조건을 반환한다.

$$\backslash frac\{\backslash partial\; L\text{'}\}\{\backslash partial\; \backslash lambda\_i\}\; -\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\}\{\backslash mathrm\{d\}t\}\backslash frac\{\backslash partial\; L\text{'}\}\{\backslash partial\; \backslash dot\{\backslash lambda\}\_i\}\; =\; 0\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; f\_i(\backslash mathbf\{r\}\_k,t)\; =\; 0.$$
r_k 좌표만의 함수인 퍼텐셜 에너지 *V*의 기울기로 주어진 보존력의 경우, 라그랑주 함수를 대입하면 다음을 얻는다.

$$\backslash underbrace\{\; \backslash frac\{\backslash partial\; T\}\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{r\}\_k\}\; -\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\}\{\backslash mathrm\{d\}t\}\backslash frac\{\backslash partial\; T\}\{\backslash partial\; \backslash dot\{\backslash mathbf\{r\}\}\_k\}\; \}\_\{-\backslash mathbf\{F\}\_k\}\; +\; \backslash underbrace\{\; -\; \backslash frac\{\backslash partial\; V\}\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{r\}\_k\}\}\_\{\backslash mathbf\{N\}\_k\}\; +\; \backslash sum\_\{i=1\}^C\; \backslash lambda\_i\; \backslash frac\{\backslash partial\; f\_i\}\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{r\}\_k\}\; =\; 0,$$

그리고 운동 에너지의 도함수를 (결과적인 힘의) 음수로, 퍼텐셜의 도함수를 비구속력으로 식별하면, 구속력은 다음과 같다.

$$\backslash mathbf\{C\}\_k\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^C\; \backslash lambda\_i\; \backslash frac\{\backslash partial\; f\_i\}\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{r\}\_k\},$$

따라서 구속 조건 방정식과 라그랑주 승수를 이용하여 구속력을 명시적으로 나타낸다.

구속조건이 부과된 계에 라그랑주 형식을 사용할 때, 일반좌표를 적절히 선택함으로써 구속조건이 항상 만족되도록 할 수 있다. 위에서 언급한 진자의 예에서는 좌표 변수로 각도를 선택함으로써 길이가 일정하다는 구속조건이 항상 만족되도록 한다.

이 방법 외에도, 라그랑주 승수법을 사용하여 작용범함수(라그랑주 함수)에 구속조건을 포함시키는 방법이 있다.

일반화좌표에 대해, 구속조건

$\backslash varPhi(q,t)\; =0$

이 부과되어 있다고 가정하자. 이때, 작용은

$S\_\backslash text\{b\}[q,\backslash beta]\; =S[q]\; +\backslash int\_\{t\_\backslash text\{I\}\}^\{t\_\backslash text\{F\}\}\; \backslash beta(t)\backslash ,\; \backslash varPhi(q,t)\backslash ,\; dt$

에 의해 구속조건이 포함된다. 여기서 도입된 가 라그랑주의 미정승수이다. 구속조건은 모든 시간에 대해 성립하므로, 미정승수도 각 시간에 대해 도입되는 시간의 함수이다.

구속조건이 포함된 작용에 대해 최소 작용의 원리를 적용하면

$\backslash frac\{\backslash delta\; S\_\backslash text\{b\}[q,\backslash beta]\}\{\backslash delta\; q\_i(t)\}$

=\frac{\partial L}{\partial q_i} +\beta(t) \frac{\partial\varPhi}{\partial q_i}

• \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i} =0

7. 라그랑주 역학의 다양한 표현

라그랑주 역학은 여러 가지 방식으로 표현될 수 있다. 해밀턴 역학은 라그랑주 역학과 동등한 또 다른 고전 역학 형식이며, 르장드르 변환을 통해 서로 변환할 수 있다. 해밀토니안은 라그랑지안에 대한 르장드르 변환으로 얻어지며, 일반화된 좌표에 정준적으로 공액인 일반화된 운동량을 도입한다. 이는 변수의 수를 두 배로 늘리지만, 미분 방정식을 1계로 만든다.^[36] 해밀토니안은 양자 역학에서 널리 사용된다.^[36]

루스 역학은 라그랑주 역학과 해밀턴 역학을 혼합한 형태이지만, 순환 좌표에 대해 효율적임에도 불구하고 실제로는 자주 사용되지 않는다.

라그랑주 역학은 장의 이론에서도 적용할 수 있다. 고전적인 장 이론에서 물리적 계는 이산적인 입자들의 집합이 아닌 3차원 공간에 정의된 연속적인 장으로 나타낸다. 이 경우 라그랑지안 밀도는 위치 '''r'''과 시간 ''t''에서 장과 그 공간 및 시간 미분으로 정의된다. 라그랑지안은 3차원 공간에 걸쳐 라그랑지안 밀도를 부피적분하여 얻는다.^[39]

상대론적인 장의 이론에서는 라그랑주 형식을 사용하는 것이 일반적인데, 이는 상대론적 불변성 등의 대칭성이 더 잘 보이기 때문이다.^[63] 예를 들어, 전자기장의 역학 변수는 전자기 퍼텐셜이며, 자유 공간에서 전자기장이 물질과 상호 작용하는 계의 작용범함수는 물질 항, 전자기장 항, 상호 작용 항의 합으로 표현된다. 이로부터 맥스웰 방정식을 유도할 수 있다.

7. 1. 해밀턴 역학과의 관계

7. 2. 장의 이론에서의 라그랑지안

• \frac{1}{\sqrt{-g}} \partial_\mu \left( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}

• \frac{1}{\sqrt{-g}} \partial_\mu \left( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)} \sqrt{-g} \right) =0

8. 비보존력의 포함

라그랑주 역학은 소산력과 같은 비보존력을 포함하도록 확장될 수 있다. 일반화된 힘 $Q_j$가 다음과 같이 표현될 수 있다면,^[32]

$$Q\_j\; =\; -\; \backslash frac\; \{\backslash partial\; V\}\{\backslash partial\; q\_j\}\; -\; \backslash frac\; \{\backslash partial\; D\}\{\backslash partial\; \backslash dot\{q\}\_j\}$$

여기서 $V$는 위치와 속도에 의존하는 퍼텐셜 에너지 함수이고, $D$는 레일리 소산 함수(Rayleigh dissipation function)로 다음과 같이 정의된다.^[60]

$$D\; =\; \backslash frac\; \{1\}\{2\}\; \backslash sum\_\{j=1\}^m\; \backslash sum\_\{k=1\}^m\; C\_\{j\; k\}\; \backslash dot\{q\}\_j\; \backslash dot\{q\}\_k,$$

$C_{jk}$는 물리계의 감쇠 계수와 관련된 상수이다.

이 경우 라그랑주 방정식은 다음과 같이 수정된다.^[60]

$$\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\}\{\backslash mathrm\{d\}t\}\; \backslash left\; (\; \backslash frac\; \{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; \backslash dot\{q\}\_j\}\; \backslash right\; )\; -\; \backslash frac\; \{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; q\_j\}\; +\; \backslash frac\; \{\backslash partial\; D\}\{\backslash partial\; \backslash dot\{q\}\_j\}\; =\; 0.$$

레일리 소산 함수는 에너지 소산을 기술하는 데 사용된다.

9. 예제

9. 1. 자유 낙하

9. 2. 단진동 운동

참조

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