일본인의 정리
1. 개요
일본의 정리는 원에 내접하는 다각형에서 한 꼭짓점을 지나는 현으로 나누어지는 모든 삼각형의 내접원 반지름의 합이 어떤 꼭짓점에 대해서도 같고 일정하다는 기하학 정리이다. 이 정리는 사각형의 경우(마루야마 요시히로의 정리)를 증명하면 일반적인 경우도 쉽게 얻을 수 있으며, 카르노의 정리를 통해서도 증명 가능하다. 정리는 먼저 원내접 사각형을 삼각 분할했을 때 삼각형의 내접원의 합이 일정하다는 것을 증명함으로써 증명할 수 있으며, 사각형 규칙을 원내접 다각형의 일반적인 분할에 적용하고 대각선을 "뒤집는" 과정을 통해 내접원의 합이 보존됨을 보인다.
| 이름 | 일본인의 정리 |
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| 설명 | 어떤 방식으로든 순환 다각형을 삼각 분할할 때, 삼각형의 내접원의 반지름의 합은 일정함 |
이미지 준비중입니다.
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| 추가 설명 | 녹색 원의 반지름의 합 = 빨간색 원의 반지름의 합 |
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| 프랑스어 명칭 | Théorème japonais (테오렘 자포네) |
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일본 수학 -
산가지
산가지는 중국에서 기원한 2천 년 이상 된 계산 도구이자 막대 배열로 숫자를 나타내는 기수법으로, 사칙연산, 제곱근, 고차 방정식 해법 등에 활용되었으나 주판 발달로 쇠퇴, 일본에서 대수 기호로 발전, 현대에는 유니코드에 등록되어 재조명되고 있다. -
일본 수학 -
주판
주판은 기원전 2700년경 메소포타미아에서 처음 등장하여 여러 문명에서 사용된 수 계산 도구로, 현대에는 전자 계산기 사용 증가로 사용이 줄었으나 교육용 및 시각 장애인용으로 활용되고 있다. -
삼각형과 원에 대한 정리 -
오일러 삼각형 정리
오일러 삼각형 정리는 삼각형 외접원과 내접원의 반지름 및 외심과 내심 사이의 거리 사이의 관계를 나타내는 정리로, <math>d^2=R(R-2r)</math>의 공식으로 표현되며 <math>R\ge 2r</math>인 오일러 부등식을 유도한다. -
삼각형과 원에 대한 정리 -
카르노 정리 (내접원, 외접원)
카르노 정리는 삼각형 외심에서 세 변까지의 거리와 외접원 및 내접원의 반지름 사이의 관계를 나타내는 기하학 정리이거나, 외접원 위의 점에서 각 변과 같은 각을 이루는 직선들이 한 직선 위에 놓이는 것을 나타내는 정리이다. -
유클리드 평면기하학 -
피타고라스 정리
피타고라스 정리는 직각삼각형에서 직각변의 제곱의 합이 빗변의 제곱과 같다는 정리로, a² + b² = c²으로 표현되며, 한 변의 길이를 계산하는 데 사용되고, 여러 지역에서 알려졌으나 피타고라스 학파에 의해 체계화되었다고 전해진다. -
유클리드 평면기하학 -
스튜어트 정리
스튜어트 정리는 삼각형의 변과 체바 선분 사이의 관계를 나타내는 기하학 정리이며, 아폴로니우스 정리를 포함하고 코사인 법칙을 이용하여 증명한다.
2. 정리
원에 내접하는 임의의 다각형에서, 한 꼭짓점을 지나는 현으로 나누어지는 모든 삼각형의 내접원의 반지름의 합은, 어떤 꼭짓점에 대해서도 같고 일정하다.
이 정리는 먼저 특수한 경우, 즉 원내접 사각형을 어떻게 삼각 분할하든 삼각형의 내접원의 합이 일정하다는 것을 증명함으로써 증명할 수 있다. 사각형의 경우를 증명하면, 원내접 다각형 정리의 일반적인 경우는 바로 따름 정리로 얻어진다. 사각형 규칙은 원내접 다각형의 일반적인 분할의 사각형 구성 요소에 적용될 수 있으며, 규칙을 반복적으로 적용하면, 즉 하나의 대각선을 "뒤집으면" 주어진 분할로부터 가능한 모든 분할을 생성하며, 각 "뒤집기"는 내접원의 합을 보존한다.
사각형의 경우는 원내접 사각형에 대한 일본 정리의 간단한 확장으로 유도되며, 이는 사각형의 두 가지 가능한 삼각 분할에 해당하는 두 쌍의 내심으로 직사각형이 형성된다는 것을 보여준다. 이 정리의 단계는 기본적인 작도 유클리드 기하학 이상을 요구하지 않는다.
대각선과 평행하고 내심의 사각형의 모서리에 접하는 평행 사변형을 추가로 작도하면, 원내접 다각형 정리의 사각형 경우는 몇 단계로 증명될 수 있다. 두 쌍의 반지름 합의 같음은 작도된 평행 사변형이 마름모라는 조건과 동일하며, 이는 작도에서 쉽게 보일 수 있다.
Wilfred Reyes (2002)는 원내접 사각형에 대한 일본 정리와 원내접 다각형 정리의 사각형 경우를 테보 문제 III의 결과로 증명하였다.
정리의 증명은, 사각형의 경우 (마루야마 요시히로의 정리)가 제시되면 일반적인 경우도 쉽게 얻을 수 있다. 또는 카르노의 정리로부터도 증명할 수 있다.
3. 증명
이 정리는 먼저 특수한 경우, 즉 원내접 사각형에 대한 정리를 증명함으로써 일반적인 경우로 확장할 수 있다. 어떤 방법으로 원내접 사각형을 삼각 분할하든, 삼각형의 내접원의 반지름의 합은 일정하다.
사각형의 경우(마루야마 요시히로의 정리)가 증명되면, 일반적인 경우도 쉽게 유도할 수 있다. 카르노의 정리를 이용해서 증명할 수도 있다.
3.1. 사각형의 경우 (마루야마 요시히로의 정리)
원내접 사각형의 경우, 두 가지 가능한 삼각 분할에 해당하는 두 쌍의 내심으로 직사각형이 형성됨을 보일 수 있다. 이는 기본적인 작도 유클리드 기하학 이상을 요구하지 않는다.
대각선과 평행하고 내심의 사각형 모서리에 접하는 평행 사변형을 추가로 작도하면, 원내접 다각형 정리의 사각형 경우는 몇 단계로 증명될 수 있다. 두 쌍의 반지름 합이 같다는 것은 작도된 평행사변형이 마름모라는 조건과 동일하며, 이는 작도에서 쉽게 확인할 수 있다.
테보 문제 III의 결과로 원내접 사각형에 대한 일본 정리와 원내접 다각형 정리의 사각형 경우를 증명하는 방법은 Wilfred Reyes (2002)에 의해 제시되었다.
3.2. 일반적인 경우
이 정리는 먼저 특수한 경우, 즉 원내접 사각형을 어떻게 삼각 분할하든, 삼각형의 내접원의 합은 일정하다는 것을 증명함으로써 증명할 수 있다.
사각형 경우를 증명한 후, 원내접 다각형 정리의 일반적인 경우는 바로 유도되는 따름 정리이다. 사각형 규칙은 원내접 다각형의 일반적인 분할의 사각형 구성 요소에 적용될 수 있으며, 규칙을 반복적으로 적용하면, 즉 하나의 대각선을 "뒤집으면" 주어진 분할로부터 가능한 모든 분할을 생성하며, 각 "뒤집기"는 내접원의 합을 보존한다.
사각형의 경우는 원내접 사각형에 대한 일본 정리의 간단한 확장으로 유도될 수 있는데, 이는 사각형의 두 가지 가능한 삼각 분할에 해당하는 두 쌍의 내심으로 직사각형이 형성된다는 것을 보여준다. 이 정리의 단계는 기본적인 작도 유클리드 기하학 이상을 요구하지 않는다.
대각선과 평행하고 내심의 사각형의 모서리에 접하는 평행 사변형을 추가로 작도하면, 원내접 다각형 정리의 사각형 경우는 몇 단계로 증명될 수 있다. 두 쌍의 반지름 합의 같음은 작도된 평행 사변형이 마름모라는 조건과 동일하며, 이는 작도에서 쉽게 보일 수 있다.
사각형 경우의 또 다른 증명은 Wilfred Reyes (2002)에 의해 제공된다. 이 증명에서, 원내접 사각형에 대한 일본 정리와 원내접 다각형 정리의 사각형 경우는 테보 문제 III의 결과로 증명된다.
카르노의 정리를 이용하여 증명할 수도 있다.