직사각형

3. 성질

• 네 각의 크기가 모두 직각이다.
• 마주보는 두 변(대변)의 길이가 같다.
• 마주보는 두 변(대변)이 평행하다.
• 두 대각선의 길이가 같다.
• 각 대각선이 서로 합동인 직각삼각형으로 양분한다.
• 각 대각선이 내각이 분할되는 비율이 일정하다.
• 각 대각선을 지름으로 하는 원에 내접한다.

• * 적어도 하나의 직각을 가진 평행사변형
• * 길이가 같은 대각선을 가진 평행사변형
• * 삼각형 ''ABD''와 ''DCA''가 합동인 평행사변형 ''ABCD''
• * 등각 사각형
• * 네 개의 직각을 가진 사각형
• * 두 대각선의 길이가 같고 서로 이등분하는 사각형^[7]
• * 연속된 변이 ''a'', ''b'', ''c'', ''d''이고 면적이 $\backslash tfrac\{1\}\{4\}(a+c)(b+d)$인 볼록 사각형.^[8]
• * 연속된 변이 ''a'', ''b'', ''c'', ''d''이고 면적이 $\backslash tfrac\{1\}\{2\}\; \backslash sqrt\{(a^2+c^2)(b^2+d^2)\}$인 볼록 사각형.^[8]

• 직사각형의 변의 중점을 차례로 연결하여 형성된 도형은 마름모이며, 그 역도 성립한다.

4. 공식

직사각형의 가로를 $l$, 세로를 $w$라고 할 때 넓이, 둘레, 대각선은 다음과 같다.

• 넓이 $A\; =\; lw\backslash ,$
• 둘레 $P\; =\; 2l\; +\; 2w\; =\; 2(l\; +\; w)\backslash ,$
• 각 대각선의 길이는 $d=\backslash sqrt\{l^2\; +\; w^2\}$ (피타고라스 정리 참조)
• $l\; =\; w\backslash ,$일 때, 직사각형은 정사각형이다.^[1]

5. 정리

등주 부등식에 따르면, 주어진 둘레를 가진 모든 직사각형 중에서, 정사각형이 가장 넓은 넓이를 가진다.

수직 대각선을 가진 모든 사각형의 변의 중점은 직사각형을 이룬다.

평행사변형이 대각선의 길이가 같다면, 그것은 직사각형이다.

사이클릭 사각형에 대한 일본 정리^[12]는 사이클릭 사각형의 꼭짓점 셋을 골라 결정되는 네 개의 삼각형의 내심은 직사각형을 이룬다고 말한다.

영국 국기 정리는 직사각형의 동일 평면상에 있는 모든 점 ''P''에 대해, 꼭짓점을 ''A'', ''B'', ''C'', ''D''로 표시하면 다음과 같다:^[13]

:(AP)^2 + (CP)^2 = (BP)^2 + (DP)^2.

평면상의 모든 볼록 집합 ''C''에 대해, 우리는 ''C''에 직사각형 ''r''을 내접시킬 수 있으며, ''r''의 닮음 변환 복사본 ''R''이 ''C'' 주위에 외접하고, 양의 닮음비는 최대 2이며 0.5 × 넓이(''R'') ≤ 넓이(''C'') ≤ 2 × 넓이(''r'')이다.^[14]

변 $a$와 $b$를 가지는 고유한 직사각형이 존재하며, 여기서 $a$는 $b$보다 작으며, 중심을 지나는 선을 따라 두 번 접혀 겹치는 부분의 넓이가 최소화되고 각 넓이는 다른 모양, 즉 삼각형과 오각형을 생성한다. 고유한 변 길이의 비율은 $\backslash displaystyle\; \backslash frac\; \{a\}\; \{b\}=0.815023701...$이다.^[15]

6. 기타

직사각형은 직선형 다각형으로, 변이 직각으로 만납니다.^[16] 평면 상의 직사각형은 위치(이동 및 회전), 모양(종횡비), 크기(면적) 등 5개의 독립적인 자유도로 정의할 수 있습니다.

• 대변의 길이가 같다.
• 두 대각선의 길이가 같다.
• 두 개의 반사 대칭선과 2차 회전 대칭(180°를 통해)을 갖는다.

• U+25AC ▬ 검은색 직사각형
• U+25AD ▭ 흰색 직사각형
• U+25AE ▮ 검은색 세로 직사각형
• U+25AF ▯ 흰색 세로 직사각형

7. 응용

직사각형은 많은 주기적인 테셀레이션 패턴에 사용되며, 예를 들어 다음과 같은 벽돌쌓기에 사용된다.

정사각형, 직사각형 또는 삼각형으로 타일링된 직사각형을 각각 "제곱", "직사각형", "삼각형"이라고 한다. 타일링된 직사각형은 타일이 닮음이고 유한하며, 두 타일의 크기가 같지 않으면 ''완전''하다고 한다.^[20][17] 이러한 타일 두 개가 같은 크기이면, 타일링은 ''불완전''하다. 완전(또는 불완전) 삼각형 직사각형에서 삼각형은 직각삼각형이어야 한다. 모든 알려진 완전 직사각형, 완전 제곱 및 관련 도형의 데이터베이스는 [http://www.squaring.net/ squaring.net]에서 찾을 수 있다. 직사각형을 완벽하게 타일링하는 데 필요한 최소 정사각형 수는 9^[18]이며, 정사각형을 완벽하게 타일링하는 데 필요한 최소 수는 21개로, 1978년 컴퓨터 검색을 통해 발견되었다.^[19]

직사각형은 유한 개의 같지 않은 정사각형으로 타일링할 수 있을 때 그리고 그때만 공약성이 있는 변을 갖는다.^[20][21] 타일이 같지 않은 이등변 직각삼각형인 경우에도 마찬가지이다.

가장 많은 관심을 받은 다른 타일로 직사각형을 타일링하는 것은 합동 비직사각형 폴리오미노로, 모든 회전과 반사를 허용한다. 합동 폴리아볼로로 타일링하는 경우도 있다.

참조

_[1] 웹사이트 A Miscellany of Extracts from a Dictionary of Mathematics http://www.cimt.plym[...] Oxford University Press 1999-07
_[2] 웹사이트 Definition of Oblong http://www.mathsisfu[...] 2011-11-13
_[3] 웹사이트 Oblong – Geometry – Math Dictionary http://www.icoachmat[...] Icoachmath.com 2011-11-13
_[4] 논문 Uniform polyhedra The Royal Society
_[5] 서적 The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition Information Age Publishing
_[6] 서적 Methods for Euclidean Geometry https://books.google[...] MAA 2010-08-19
_[7] 서적 Exploring Advanced Euclidean Geometry with GeoGebra MAA
_[8] 논문 Five Proofs of an Area Characterization of Rectangles http://forumgeom.fau[...]
_[9] 웹사이트 An Extended Classification of Quadrilaterals http://mysite.mweb.c[...]
_[10] 간행물 Generalizing Van Aubel Using Duality 2000-10
_[11] 웹사이트 Rectangle https://www.mathsisf[...]
_[12] 웹사이트 Cyclic Quadrilateral Incentre-Rectangle http://math.kennesaw[...]
_[13] 논문 An Unexpected Maximum in a Family of Rectangles http://web.mst.edu/~[...]
_[14] 논문 Approximation of convex bodies by rectangles
_[15] OEIS Decimal expansion of the real root of the quintic equation $\backslash \; x^5\; +\; 3x^4\; +\; 4x^3\; +\; x\; -1\; =\; 0$
_[16] 웹사이트 Stars: A Second Look https://web.archive.[...] 2011-11-13
_[17] 논문 On the Dissection of Rectangles into Right-Angled Isosceles Triangles 2000-11
_[18] OEIS Number of nonsquare simple perfect squared rectangles of order n up to symmetry
_[19] 웹사이트 Squared Squares; Perfect Simples, Perfect Compounds and Imperfect Simples http://www.squaring.[...]
_[20] 논문 The dissection of rectangles into squares http://projecteuclid[...]
_[21] 논문 Ũber die Zerlegung von Rechtecken in lauter verschiedene Quadrate
_[22] 문서 新明解国語辞典では長方形を「広義では正方形を含み、狭義では除外する」とされる。