직사각형

1. 개요

직사각형은 네 개의 직각을 가지는 사각형으로, 평행사변형의 특수한 경우이자 사다리꼴의 특수한 경우로 정의된다. 직사각형은 마주보는 변의 길이가 같고 평행하며, 두 대각선의 길이가 같고 서로 이등분하며, 등각 다각형이자 등각적 도형이다. 직사각형의 넓이는 가로와 세로의 곱으로, 둘레는 가로와 세로 길이의 합의 두 배로 계산된다. 정사각형은 직사각형의 특수한 경우이며, 직사각형은 벽돌 쌓기와 같은 다양한 테셀레이션 패턴에 활용된다.

2. 정의 및 분류

볼록 사각형은 다음 중 하나에 해당할 경우에 직사각형이다.

* 적어도 하나의 직각을 가진 평행사변형
* 길이가 같은 대각선을 가진 평행사변형
* 삼각형 ABD와 DCA가 합동인 평행사변형 ABCD
* 등각 사각형
* 네 개의 직각을 가진 사각형
* 두 대각선의 길이가 같고 서로 이등분하는 사각형
* 연속된 변이 a, b, c, d이고 면적이 $\backslash tfrac\{1\}\{4\}(a+c)(b+d)$인 볼록 사각형
* 연속된 변이 a, b, c, d이고 면적이 $\backslash tfrac\{1\}\{2\}\; \backslash sqrt\{(a^2+c^2)(b^2+d^2)\}$인 볼록 사각형

2.1. 분류

직사각형은 인접한 각 쌍의 변이 수직인 평행사변형의 특수한 경우이다.

평행사변형은 마주보는 두 쌍의 변이 평행하고 길이가 같은 사다리꼴의 특수한 경우이다.

사다리꼴은 적어도 한 쌍의 평행한 마주보는 변을 가진 볼록 다각형의 사변형이다.

볼록 사변형은 다음과 같다.
* 단순 다각형: 경계는 자기 자신과 교차하지 않는다.
* 별 모양 다각형: 모든 내부는 어떤 변도 교차하지 않고 단일 지점에서 보인다.

드 빌리에(De Villiers)는 직사각형을 보다 일반적으로 각 쌍의 마주보는 변을 지나는 선대칭을 가진 모든 사각형으로 정의한다. 이 정의에는 직각 직사각형과 교차 직사각형이 모두 포함된다. 각 사각형은 한 쌍의 마주보는 변에 평행하고 거리가 같은 대칭축을 가지고 있으며, 다른 하나는 해당 변의 수직 이등분선이지만, 교차 직사각형의 경우 첫 번째 대칭축은 이등분하는 어떤 변에 대한 대칭 축이 아니다.

두 개의 대칭축을 가진 사각형(각각 한 쌍의 마주보는 변을 지남)은 한 쌍의 마주보는 변을 지나는 최소한 하나의 대칭축을 가진 더 큰 종류의 사각형에 속한다. 이러한 사각형은 이등변 사다리꼴과 교차 이등변 사다리꼴(이등변 사다리꼴과 동일한 꼭짓점 배열을 가진 교차 사각형)로 구성된다.

3. 성질

* 네 각의 크기가 모두 직각이다.
* 마주보는 두 변(대변)의 길이가 같다.
* 마주보는 두 변(대변)이 평행하다.
* 두 대각선의 길이가 같다.
* 각 대각선이 서로 합동인 직각삼각형으로 양분한다.
* 각 대각선이 내각이 분할되는 비율이 일정하다.
* 각 대각선을 지름으로 하는 원에 내접한다.
볼록 사각형은 다음 중 하나에 해당할 경우에 직사각형이다.
적어도 하나의 직각을 가진 평행사변형
길이가 같은 대각선을 가진 평행사변형
삼각형 ABD와 DCA가 합동인 평행사변형 ABCD
등각 사각형
네 개의 직각을 가진 사각형
두 대각선의 길이가 같고 서로 이등분하는 사각형
연속된 변이 a, b, c, d이고 면적이 $\backslash tfrac\{1\}\{4\}(a+c)(b+d)$인 볼록 사각형.
연속된 변이 a, b, c, d이고 면적이 $\backslash tfrac\{1\}\{2\}\; \backslash sqrt\{(a^2+c^2)(b^2+d^2)\}$인 볼록 사각형.
직사각형은 원내접다각형으로, 모든 꼭지각이 하나의 원 위에 놓인다.

등각 다각형으로, 모든 꼭짓점 각이 같다(각 90 도).

등각적 또는 정점 추이적으로, 모든 꼭짓점은 동일한 대칭 궤도 내에 있다.

2개의 선의 반사 대칭과 2차 회전 대칭 (180° 회전)을 갖는다.
직사각형의 쌍대 다각형은 마름모이다.

* 직사각형의 변의 중점을 차례로 연결하여 형성된 도형은 마름모이며, 그 역도 성립한다.
직사각형은 직선형 다각형으로, 변이 직각으로 만납니다.

평면 상의 직사각형은 5개의 독립적인 자유도로 정의할 수 있는데, 예를 들어 위치에 대한 3개 (두 개의 이동과 하나의 회전), 모양에 대한 1개 (종횡비), 그리고 전체 크기(면적)에 대한 1개로 구성된다.

서로 다른 직사각형 두 개가 서로에게 맞지 않을 경우, 비교 불가능하다고 한다.

4. 공식

직사각형의 가로를 $l$, 세로를 $w$라고 할 때 넓이, 둘레, 대각선은 다음과 같다.

* 넓이 $A\; =\; lw\backslash ,$
* 둘레 $P\; =\; 2l\; +\; 2w\; =\; 2(l\; +\; w)\backslash ,$
* 각 대각선의 길이는 $d=\backslash sqrt\{l^2\; +\; w^2\}$ (피타고라스 정리 참조)
* $l\; =\; w\backslash ,$일 때, 직사각형은 정사각형이다.

5. 정리

등주 부등식에 따르면, 주어진 둘레를 가진 모든 직사각형 중에서, 정사각형이 가장 넓은 넓이를 가진다.

수직 대각선을 가진 모든 사각형의 변의 중점은 직사각형을 이룬다.

평행사변형이 대각선의 길이가 같다면, 그것은 직사각형이다.

사이클릭 사각형에 대한 일본 정리는 사이클릭 사각형의 꼭짓점 셋을 골라 결정되는 네 개의 삼각형의 내심은 직사각형을 이룬다고 말한다.

영국 국기 정리는 직사각형의 동일 평면상에 있는 모든 점 P에 대해, 꼭짓점을 A, B, C, D로 표시하면 다음과 같다:

:(AP)^2 + (CP)^2 = (BP)^2 + (DP)^2.

평면상의 모든 볼록 집합 C에 대해, 우리는 C에 직사각형 r을 내접시킬 수 있으며, r의 닮음 변환 복사본 R이 C 주위에 외접하고, 양의 닮음비는 최대 2이며 0.5 × 넓이(R) ≤ 넓이(C) ≤ 2 × 넓이(r)이다.

변 $a$와 $b$를 가지는 고유한 직사각형이 존재하며, 여기서 $a$는 $b$보다 작으며, 중심을 지나는 선을 따라 두 번 접혀 겹치는 부분의 넓이가 최소화되고 각 넓이는 다른 모양, 즉 삼각형과 오각형을 생성한다. 고유한 변 길이의 비율은 $\backslash displaystyle\; \backslash frac\; \{a\}\; \{b\}=0.815023701...$이다.

6. 기타

직사각형은 직선형 다각형으로, 변이 직각으로 만납니다. 평면 상의 직사각형은 위치(이동 및 회전), 모양(종횡비), 크기(면적) 등 5개의 독립적인 자유도로 정의할 수 있습니다.

서로 다른 두 직사각형은 서로에게 맞지 않을 경우 비교 불가능하다고 합니다. 교차된 사변형은 (자기 교차) 비 자기 교차 사변형의 두 대변과 두 대각선으로 구성됩니다. 교차된 직사각형은 직사각형의 두 대변과 두 대각선으로 구성된 교차된 사변형으로, 직사각형과 동일한 꼭짓점 배열을 갖지만 기하학적 교차점은 꼭짓점으로 간주되지 않습니다.

교차된 사변형은 나비 넥타이 또는 나비에 비유되기도 하며, "각진 팔"이라고도 불립니다. 비틀린 3차원 직사각형 와이어 스페이스 프레임은 나비 넥타이 모양을 가질 수 있습니다. 교차된 직사각형의 내부는 시계 방향 또는 반시계 방향의 회전 방향에 따라 각 삼각형에서 ±1의 다각형 밀도를 가질 수 있습니다.

교차된 직사각형은 좌우 회전이 허용되는 경우 등각 다각형으로 간주될 수 있습니다. 모든 교차된 사변형과 마찬가지로 내각의 합은 720°입니다.

직사각형과 교차된 직사각형은 다음과 같은 공통 속성을 가진 사변형입니다.

* 대변의 길이가 같다.
* 두 대각선의 길이가 같다.
* 두 개의 반사 대칭선과 2차 회전 대칭(180°를 통해)을 갖는다.

구면 기하학에서 구면 사각형은 네 개의 모서리가 90°보다 큰 같은 각도에서 만나는 대원 호로 구성된 도형입니다. 타원 기하학에서 타원 사각형은 네 개의 모서리가 90°보다 큰 같은 각도에서 만나는 타원 호로 구성된 타원 평면의 도형입니다. 쌍곡 기하학에서 쌍곡 사각형은 네 개의 모서리가 90°보다 작은 같은 각도에서 만나는 쌍곡선 호로 구성된 쌍곡 평면의 도형입니다. 이들 도형에서 마주보는 호의 길이는 같습니다.

정사각형, 직사각형 또는 삼각형으로 타일링된 직사각형을 각각 "제곱", "직사각형", "삼각형"이라고 합니다. 타일링된 직사각형은 타일이 닮음이고 유한하며, 두 타일의 크기가 같지 않으면 완전하다고 합니다. 이러한 타일 두 개가 같은 크기이면, 타일링은 불완전합니다. 완전(또는 불완전) 삼각형 직사각형에서 삼각형은 직각삼각형이어야 합니다.

직사각형을 완벽하게 타일링하는 데 필요한 최소 정사각형 수는 9개이며, 정사각형을 완벽하게 타일링하는 데 필요한 최소 수는 21개입니다. 직사각형은 유한 개의 같지 않은 정사각형으로 타일링할 수 있을 때 그리고 그때만 공약성이 있는 변을 갖습니다.

다음은 직사각형을 나타내는 유니코드 코드 포인트입니다.

* U+25AC ▬ 검은색 직사각형
* U+25AD ▭ 흰색 직사각형
* U+25AE ▮ 검은색 세로 직사각형
* U+25AF ▯ 흰색 세로 직사각형

7. 응용

직사각형은 많은 주기적인 테셀레이션 패턴에 사용되며, 예를 들어 다음과 같은 벽돌쌓기에 사용된다.

정사각형, 직사각형 또는 삼각형으로 타일링된 직사각형을 각각 "제곱", "직사각형", "삼각형"이라고 한다. 타일링된 직사각형은 타일이 닮음이고 유한하며, 두 타일의 크기가 같지 않으면 완전하다고 한다. 이러한 타일 두 개가 같은 크기이면, 타일링은 불완전하다. 완전(또는 불완전) 삼각형 직사각형에서 삼각형은 직각삼각형이어야 한다. 모든 알려진 완전 직사각형, 완전 제곱 및 관련 도형의 데이터베이스는 [http://www.squaring.net/ squaring.net]에서 찾을 수 있다. 직사각형을 완벽하게 타일링하는 데 필요한 최소 정사각형 수는 9이며, 정사각형을 완벽하게 타일링하는 데 필요한 최소 수는 21개로, 1978년 컴퓨터 검색을 통해 발견되었다.

직사각형은 유한 개의 같지 않은 정사각형으로 타일링할 수 있을 때 그리고 그때만 공약성이 있는 변을 갖는다. 타일이 같지 않은 이등변 직각삼각형인 경우에도 마찬가지이다.

가장 많은 관심을 받은 다른 타일로 직사각형을 타일링하는 것은 합동 비직사각형 폴리오미노로, 모든 회전과 반사를 허용한다. 합동 폴리아볼로로 타일링하는 경우도 있다.