카르노 정리 (내접원, 외접원)
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1. 개요
카르노 정리는 임의의 삼각형 ABC에서 외접원의 중심 D와 세 변 사이의 부호가 있는 거리의 합이 외접원의 반지름 R과 내접원의 반지름 r의 합과 같다는 정리이다. 이 정리는 일본의 정리 증명에 사용되며, 심슨 정리의 일반적인 경우로도 사용된다.
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일본인의 정리는 원에 내접하는 다각형의 한 꼭짓점에서 그은 현으로 나누어지는 모든 삼각형의 내접원의 반지름의 합이 꼭짓점 선택에 관계없이 항상 같다는 와산에서 비롯된 기하학적 정리이다.
| 카르노 정리 (내접원, 외접원) | |
|---|---|
| 카르노 정리 (내접원, 외접원) | |
| 유형 | 기하학 정리 |
| 관련 인물 | 라자르 카르노 |
| 설명 | 임의의 삼각형에서 외심으로부터 각 변까지의 거리의 합을 설명하는 정리이다. 이 거리는 외접원의 반지름 R과 내접원의 반지름 r의 합과 같다. 즉, d_a + d_b + d_c = R + r 이다. |
| 공식 명칭 | |
| 한국어 | 카르노 정리 |
| 영어 | Carnot's theorem |
| 관련 기하학 요소 | |
| 외심 | 삼각형의 외접원의 중심 |
| 내접원 | 삼각형의 내부에 접하는 원 |
| 외접원 반지름 | R |
| 내접원 반지름 | r |
| 변까지의 거리 | 삼각형 외심에서 각 변까지의 수직 거리 (da, db, dc) |
| 공식 | |
| 공식 | d_a + d_b + d_c = R + r |
| 변수 설명 | d_a, d_b, d_c는 각각 외심에서 삼각형의 각 변까지의 거리, R은 외접원의 반지름, r은 내접원의 반지름 |
2. 정리
임의의 삼각형 ''ABC''에서 외접원의 중심 ''D''와 세 변 사이의 부호가 있는 거리의 합은 외접원의 반지름 ''R''과 내접원의 반지름 ''r''의 합과 같다.
카르노 정리는 미카미 요시오, 하야시 쓰루이치에 의해 소개되었다고 전해지는, 일본의 정리의 증명에 사용된다.
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즉, 위 수식이 성립한다. 단, 삼각형의 각 변에 대한 수선 ''DX'' (''X'' = ''F'', ''G'', ''H'')가 해당 삼각형의 바깥으로 완전히 나가는 경우에 한해 부호가 있는 거리의 부호를 음수로 한다.
3. 응용
3. 1. 일본의 정리 증명
카르노 정리는 미카미 요시오, 하야시 쓰루이치에 의해 소개되었다고 전해지는, 일본의 정리의 증명에 사용된다.
3. 2. 다른 기하학 정리와의 관계
기하학에서 "카르노 정리"라고 불리는 정리로는, 심슨 정리의 일반적인 경우로서, 임의의 삼각형의 외접원 위의 점에서, 해당 삼각형의 각 변에 같은 방향으로 같은 각을 이루는 직선을 그었을 때 3변과의 교점이 한 직선 위에 있다는 것을 주장하는 정리가 있다.
4. 한국에서의 교육과정 및 중요성
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