전개도

1. 개요

전개도는 다면체를 평면에 펼쳐 놓은 그림이다. 전개도는 다면체의 모양과 연결 방식을 나타내며, 다면체를 만들거나 분석하는 데 사용된다. 전개도는 여러 가지가 존재할 수 있으며, 알렉산드로프의 유일성 정리에 따라 특정 조건이 충족되면 접을 수 있는 다면체가 유일하게 결정된다. 셰퍼드의 추측(뒤러의 추측)은 모든 볼록 다면체가 전개도를 갖는지에 대한 문제로, 아직 해결되지 않았다. 전개도는 작도법을 통해 그릴 수 있으며, 건축, 판금, 최단 경로 문제 등 다양한 분야에서 활용된다. 또한, 4차원 다포체의 전개도와 같은 고차원 전개도도 존재하며, 정육면체의 경우 11가지 종류의 전개도가 존재한다.

2. 전개도의 기본 원리

전개도는 3차원 입체의 표면을 잘라 2차원 평면에 펼쳐놓은 그림이다. 전개도에서는 잘린 모서리와 연결된 모서리를 구분하는 것이 중요하다.

2.1. 존재성과 유일성

주어진 다면체는 어떤 모서리를 연결하고 어떤 모서리를 분리하는지에 따라 여러 다른 전개도를 가질 수 있다. 볼록 다면체의 전개도를 만들기 위해 잘라낸 모서리는 다면체의 신장 트리를 형성해야 한다. 하지만, 일부 신장 트리를 잘라내면 전개할 때 다면체가 자체적으로 겹쳐 전개도를 형성하지 못할 수 있다. 반대로, 주어진 전개도는 모서리가 접히는 각도와 어떤 모서리를 함께 접착할 것인지에 따라 둘 이상의 다른 볼록 다면체로 접힐 수 있다.

전개도와 각 꼭짓점이 양의 각 결손을 가지고 이러한 결손의 합이 정확히 4π가 되도록 모서리를 함께 접착하기 위한 패턴이 주어지면, 이 전개도에서 접을 수 있는 다면체가 정확히 하나 존재한다. 이것이 알렉산드로프의 유일성 정리이다. 그러나 이 방법으로 형성된 다면체는 전개도의 일부로 지정된 면과 다른 면을 가질 수 있다. 일부 전개도 다각형은 그 위에 접힘이 있을 수 있고, 일부 전개도 다각형 사이의 모서리는 접히지 않은 상태로 유지될 수 있다.

2.2. 셰퍼드의 추측 (뒤러의 추측)

G. C. 셰퍼드는 1975년에 모든 볼록 다면체가 적어도 하나의 전개도를 가지는지에 대한 질문을 제기했다. 이 질문은 뒤러의 추측 또는 뒤러의 펼침 문제로도 알려져 있으며, 아직 해결되지 않은 수학 난제이다. 전개도를 갖지 않는 비볼록 다면체가 존재하며, 모든 볼록 다면체의 면을 세분화하여 세분화된 면의 집합이 전개도를 갖도록 할 수 있다. 2014년 모하마드 고미는 모든 볼록 다면체가 아핀 변환 후에 전개도를 허용한다는 것을 보였다. 2019년 바르비노크와 고미는 뒤러의 추측의 일반화가 유사 모서리에 대해 실패한다는 것을 보였다.

2.3. 블루밍(Blooming)

모든 볼록 다면체의 전개도가 각 면을 동작 전체에서 평평하게 유지하면서 평평한 상태에서 접힌 상태로의 연속적이고 자기 교차하지 않는 운동인 블루밍을 갖는지 묻는 것은 또 다른 미해결 문제이다.

3. 전개도 작도법

전개도는 평행선법, 방사선법, 삼각형법 등 다양한 작도법을 사용하여 그릴 수 있다.

3.1. 한국의 기능올림픽

한국의 기능올림픽에서는 전개도 작도 능력을 평가하는 부문이 있을 정도로 전개도 작도는 중요한 기술로 여겨진다. 평행선법, 방사선법, 삼각형법의 3가지 작도법으로 전개도를 작도할 수 있다.

4. 최단 경로 문제

다면체 표면의 두 점 사이의 최단 경로는 경로가 접하는 면의 부분에 적합한 전개도에서 직선에 해당한다. 전개도는 직선이 완전히 내부에 있도록 해야 하며, 최단 경로를 찾기 위해 여러 전개도를 고려해야 할 수 있다. 예를 들어, 정육면체의 경우, 두 점이 인접한 면에 있다면, 최단 경로의 한 후보는 공통 모서리를 가로지르는 경로이다. 이러한 종류의 최단 경로는 두 면이 인접한 전개도를 사용하여 찾는다. 최단 경로의 다른 후보는 두 면 모두에 인접한 세 번째 면의 표면을 통과하며 (두 개가 있다), 각 범주에서 최단 경로를 찾기 위해 해당 전개도를 사용할 수 있다.

거미와 파리 문제는 직육면체의 두 점 사이의 최단 경로를 찾는 수학 오락 퍼즐이다.

5. 다양한 분야에서의 활용

전개도는 건축, 판금 분야에서 활용된다.

5.1. 건축

건축 분야에서 실내 전개도는 각 실의 내부 상황, 마감 방법, 개구부, 설비 기구의 위치 등을 표현하는 데 사용된다.

5.2. 판금 (기계)

판금 분야에서는 정육면체와 같은 입체를 제작할 때 전개도가 사용된다. 굽힘 시 발생하는 소재의 늘어남과 줄어듦을 보정한 전개도를 사용한다.

6. 고차원 전개도

4차원 다포체인 4-다포체의 전개도는 다면체 세포들로 구성되며, 이 세포들은 면으로 연결되고 모두 동일한 3차원 공간을 차지한다. 이는 다면체의 전개도의 다각형 면들이 변으로 연결되고 모두 동일한 평면을 차지하는 것과 유사하다. 4차원 초입방체인 테서랙트의 전개도는 살바도르 달리의 그림, 십자가에 못 박힘 (코르푸스 하이퍼쿠버스)(1954)에 두드러지게 사용되었다. 동일한 테서랙트 전개도는 로버트 A. 하인라인의 단편 소설 "—그리고 그는 구부러진 집을 지었다—"의 줄거리의 핵심이다.

$n$차원 초입방체의 조합적으로 구별되는 전개도의 개수는 이러한 전개도를 초입방체의 면 쌍이 전개도를 형성하기 위해 서로 접착되는 패턴을 설명하는 $2n$개의 노드에 대한 트리로 표현함으로써 찾을 수 있으며, 이와 함께 접힌 초입방체에서 서로 마주보는 면 쌍을 설명하는 트리의 보완 그래프에 대한 완전 매칭을 갖는다. 이러한 표현을 사용하여 2, 3, 4, ... 차원의 초입방체의 서로 다른 전개도의 개수는 다음과 같다.

: 1, 11, 261, 9694, 502110, 33064966, 2642657228, ...

7. 정육면체의 전개도

정육면체의 전개도는 11가지가 있는 것으로 알려져 있다.