절대 볼록 집합

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 절대 볼록 폐포 (절대 볼록 덮개)
4. 일반화
5. 관련 개념 (또는 응용)
6. 같이 보기
참조

1. 개요

절대 볼록 집합은 실수 또는 복소수 벡터 공간에서 볼록 집합이면서 균형 집합인 집합을 의미한다. 집합 A의 절대 볼록 폐포는 A를 포함하는 모든 절대 볼록 집합의 교집합으로 정의되며, 주어진 집합의 균형 폐포의 볼록 덮개와 같다. 또한, 절대 볼록 집합은 p-볼록 집합, p-세미노름과 같은 개념으로 일반화될 수 있으며, 위상 벡터 공간의 유계 집합과 관련이 있다.

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절대 볼록 집합
절대 볼록 집합
정의
유형	수학적 개념
분야	함수 해석학 볼록 해석학
성질
관련 개념	볼록 집합 균형 집합 절대 볼록 껍질 국소 볼록 공간
영어 명칭
영어	Absolutely convex set
일본어	絶対凸集合 (Zettai totsu shūgō)

2. 정의

실수 또는 복소수 벡터 공간에서, 어떤 집합이 볼록 집합이면서 동시에 균형 집합이면 이 집합을 절대 볼록 집합이라고 정의한다. 집합 $C$ 가 절대 볼록 집합이라는 것은 $C$ 에 속하는 임의의 두 점 $x_1, \, x_2$ 와 $|\lambda_1| + |\lambda_2| \leq 1$ 을 만족하는 임의의 스칼라 $\lambda_1, \, \lambda_2$ 에 대해 $\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2$ 가 $C$ 에 속한다는 것을 의미한다.

벡터 공간의 부분집합 ''A''에 대해서 ''A''를 포함하는 모든 절대 볼록 집합의 교집합을 '''절대 볼록 폐포'''라고 정의한다.

실수 또는 복소수 벡터 공간 $X$ 의 부분 집합 $S$ 가 볼록 집합이고 균형 집합이면, $S$ 는 ''원판'', ''원판 집합'', ''절대 볼록'', ''볼록 균형 집합''이라고 불린다.

집합 $S$ 의 ''원판 덮개''(절대 볼록 덮개, 볼록 균형 덮개)는 $S$ 를 포함하는 가장 작은 원판으로 정의된다. $S$ 의 원판 덮개는 $\operatorname{disk} S$ 또는 $\operatorname{cobal} S$ 로 표기하며, $S$ 의 균형 덮개의 볼록 덮개이다. 즉, $\operatorname{cobal} S = \operatorname{co} (\operatorname{bal} S)$ 이다.

3. 성질

임의 개수의 절대 볼록 집합들의 교집합은 다시 절대 볼록 집합이다. 그러나 절대 볼록 집합들의 합집합은 더 이상 절대 볼록 집합일 필요는 없다.

만약 $D$ 가 $X$ 의 디스크라면, $D$ 가 $X$ 에서 흡수적인 것은 $\operatorname{span} D = X$ 일 때와 동치이다.

만약 $S$ 가 벡터 공간 $X$ 에서 흡수 디스크라면, $E + E \subseteq S$ 를 만족하는 흡수 디스크 $E$ 가 $X$ 에 존재한다.

만약 $D$ 가 디스크이고 $r$ 과 $s$ 가 스칼라라면, $s D = |s| D$ 이고 $(r D) \cap (s D) = (\min_{} \$

3. 1. 절대 볼록 폐포 (절대 볼록 덮개)

주어진 집합을 포함하는 가장 작은 절대 볼록 집합을 절대 볼록 폐포라고 한다. 집합 ''A''의 절대 볼록 폐포는 다음과 같이 표현할 수 있다.:

\mbox{absconv} A = \left\{\sum_{i=1}^n\lambda_i x_i : n \in \N, \, x_i \in A, \, \sum_{i=1}^n|\lambda_i| \leq 1 \right\}

.

절대 볼록 폐포는 주어진 집합의 균형 폐포의 볼록 덮개와 같지만, 볼록 폐포의 균형 폐포와는 다를 수 있다. 예를 들어,

X

를 실수 벡터 공간

\R^2

로 하고

S := \{(-1, 1), (1, 1)\}

로 하면,

\operatorname{bal} (\operatorname{co} S)

는 볼록하지 않은

\operatorname{cobal} S

의 진부분집합이다. 이는 볼록 집합의 균형 폐포가 반드시 볼록 집합이 아닐 수 있음을 보여준다.

\operatorname{cobal} S

는 꼭짓점이

(-1, 1), (1, 1), (-1, -1),

및

(1, -1)

인 닫힌 채워진 정사각형과 같다. 반면,

\operatorname{co} (S)

는

S

의 두 점 사이의 수평 닫힌 선분과 같으므로,

\operatorname{bal} (\operatorname{co} S)

는 두 개의 닫힌 채워진 이등변 삼각형의 합집합인 닫힌 "모래시계 모양"의 부분집합이 된다. 이 비볼록 "모래시계"

\operatorname{bal} (\operatorname{co} S)

는 정사각형

\operatorname{cobal} S

의 진부분집합이다.

4. 일반화

고정된 실수 $0 < p \leq 1$ 에 대해, p-볼록 집합은 $c, d \in C$ 이고 $r, s \geq 0$ 이 $r^p + s^p = 1$ 을 만족하는 스칼라일 때마다 $r c + s d \in C$ 를 만족하는 벡터 공간 $X$ 의 임의의 부분집합 $C$ 이다. $c, d \in C$ 이고 $r, s$ 가 $|r|^p + |s|^p \leq 1$ 을 만족하는 스칼라일 때마다 $r c + s d \in C$ 일 경우 절대 p-볼록 집합 또는 p-디스크라고 불린다.

p-세미노름은 다음 조건을 만족하는 음이 아닌 함수 $q : X \to \R$ 이다.

준가법성/삼각 부등식: 모든 $x, y \in X$ 에 대해 $q(x + y) \leq q(x) + q(y)$ .
차수 $p$ 의 절대 동차성: 모든 $x \in X$ 와 모든 스칼라 $s$ 에 대해 $q(s x) =|s|^p q(x)$ .

이는

1

-세미노름인 경우에만 맵이 세미노름인 경우(

p := 1

사용)이므로 세미노름의 정의를 일반화한다. 세미노름이 아닌

p

-세미노름이 존재한다. 예를 들어,

0 < p < 1

일 때마다 Lp 공간

L_p(\R)

을 정의하는 데 사용되는 맵

q(f) = \int_{\R} |f(t)|^p d t

는

p

-세미노름이지만 세미노름은 아니다.

0 < p \leq 1

이 주어지면, 위상 벡터 공간은 원점의 유계

p

-볼록 근방이 있는 경우에만 p-세미노름 가능하다.

5. 관련 개념 (또는 응용)

6. 같이 보기

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