균형 집합

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1. 개요

균형 집합은 실수체 또는 복소수체의 벡터 공간에서 정의되는 부분 집합으로, 스칼라 곱에 대해 특정 조건을 만족한다. 균형 집합은 스칼라의 절댓값이 1 이하일 때 스칼라 곱의 결과가 집합 내에 포함되는 집합으로 정의되며, 균형 폐포와 균형 핵과 같은 개념을 갖는다. 균형 집합은 합집합, 교집합, 폐포 등의 연산에 닫혀 있으며, 위상 벡터 공간에서 0의 근방을 이루는 데 중요한 역할을 한다. 또한, 균형 함수와 같은 관련 개념과 세미노름, 노름 등과 연관되어 있으며, 콤팩트 집합과 같은 집합의 균형 껍질도 동일한 성질을 유지한다.

균형 집합

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 균형 폐포와 균형핵
3. 성질
4. 예시
5. 관련 개념

2. 정의

$K \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C} \}$ 가 실수체 또는 복소수체라고 하자. $K$ -벡터 공간 $V$ 의 부분 집합 $B \subseteq V$ 가 다음 조건을 만족시키면, 균형 집합이라고 한다.

* 임의의 스칼라 $a \in K$ 에 대하여, $|a| \le 1$ 이면 $aB \subseteq B$ 이다.

여기서
: $aB = \{ ab \colon b \in B \}$
이다.

즉, 어떤 집합이 균형 집합이려면, 그 집합의 각 원소에 대해 크기가 1 이하인 스칼라를 곱한 결과가 다시 그 집합에 포함되어야 한다.

$X$ 의 부분 집합 $S$ 는 다음 조건들을 모두 만족하면 균형 집합이다.

1. 모든 $s \in S$ 와 $|a| \leq 1$ 을 만족하는 모든 스칼라 $a$ 에 대해 $a s \in S$
2. $|a| \leq 1$ 을 만족하는 모든 스칼라 $a$ 에 대해 $a S \subseteq S$
3. $B_{\leq 1} S \subseteq S$ (여기서 $B_{\leq 1} := \{a \in \mathbb{K} : |a| \leq 1\}$ )
4. $S = B_{\leq 1} S$
5. 모든 $s \in S$ 에 대해, $S \cap \mathbb{K} s = B_{\leq 1} (S \cap \mathbb{K} s)$
6. $\operatorname{span} S$ 의 모든 1차원 벡터 부분 공간 $Y$ 에 대해, $S \cap Y$ 는 균형 집합
7. 모든 $s \in S$ 에 대해, $S \cap \mathbb{K} s = B_r s$ 또는 $S \cap \mathbb{K} s = B_{\leq r} s$ 가 되도록 하는 $0 \leq r \leq \infty$ 가 존재
8. $S$ 는 $\operatorname{span} S$ 의 균형 부분 집합

$S$ 가 볼록 집합이라면, 추가로 다음 조건이 만족되어야 한다.

9. $|a| = 1$ 을 만족하는 모든 스칼라 $a$ 에 대해 $a S \subseteq S$

$\mathbb{K} = \R$ 이라면, 추가로 다음 조건이 만족되어야 한다.

10. $S$ 는 대칭 집합 (즉, $- S = S$ )이고 $[0, 1) S \subseteq S$

* 노름 벡터 공간 내의 단위구는 균형 집합이다.
* 실수 또는 복소수 벡터 공간의 임의의 부분 공간은 균형 집합이다.
* 일차원 벡터 공간으로서 복소수 체 C를 생각하면, 그 공간 내의 균형 집합은 C 자체, 공집합, 그리고 0을 중심으로 하는 열린 원판과 닫힌 원판이다. 반면, 이차원 유클리드 공간에서는 (0,0)을 중점으로 하는 임의의 선분 등 더 많은 균형 집합이 존재한다.
* p를 선형 공간 X의 반노름으로 할 때, 임의의 상수 c > 0에 대해 집합 {x ∈ X | p(x) ≤ c}는 균형 집합이다.

2.1. 균형 폐포와 균형핵

$K$ -벡터 공간 $V$ 의 임의의 부분 집합 $S\subseteq V$ 가 주어졌을 때, $S$ 를 포함하는 가장 작은 균형 집합이 존재하며, 이를 $S$ 의 균형 폐포(balanced hull^영어)라고 한다. 이는 $S$ 를 포함하는 모든 균형 집합의 교집합으로 만들 수 있다. 더 구체적으로, $S$ 의 균형 폐포는 다음과 같다.
: $\bigcup_{a\in K}^{|a|\le1}aS$

마찬가지로, $K$ -벡터 공간 $V$ 의 임의의 부분 집합 $S\subseteq V$ 가 주어졌을 때, $S$ 에 포함되는 가장 큰 균형 집합이 존재하며, 이를 $S$ 의 균형핵(balanced core^영어)이라고 한다. 이는 $S$ 에 포함되는 모든 균형 집합의 합집합이며, 또한 다음과 같다.
: $\begin{cases}\varnothing&0\not\in S\\\bigcap_{a\in K}^{|a|\ge1}aS&0\in S\end{cases}$

집합 $X$ 의 부분 집합 $S$ 의 균형 폐포는 $\operatorname{bal} S$ 로 표기하며, 다음 방법 중 하나로 정의된다.
# $S$ 를 포함하는 $X$ 의 균형 부분 집합 중 가장 작은 집합 ( $\,\subseteq\,$ 에 관하여).
# $S$ 를 포함하는 모든 균형 집합의 교집합.
# $\operatorname{bal} S = \bigcup_{|a| \leq 1} (a S)$ .
# $\operatorname{bal} S = B_{\leq 1} S$ .

집합 $X$ 의 부분 집합 $S$ 의 균형핵(Balanced core)은 $\operatorname{balcore} S$ 로 표시하며, 다음 방법 중 하나로 정의된다.
# $S$ 의 균형 부분 집합 중 가장 큰 것 ( $\,\subseteq\,$ 에 대하여).
# $S$ 의 모든 균형 부분 집합의 합집합.
# $0 \not\in S$ 이면 $\operatorname{balcore} S = \varnothing$ 이고, $0 \in S$ 이면 $\operatorname{balcore} S = \bigcap_{|a| \geq 1} (a S)$ .

3. 성질

* 균형 집합들의 합집합과 교집합은 균형 집합이다.
* 균형 집합의 폐포는 균형 집합이다.
* 균형 집합의 내부와 $\{0\}$ 의 합집합은 균형 집합이다.
* 균형 집합의 선형 변환에 대한 상·원상은 균형 집합이다.

어떤 집합이 볼록하고 균형이면 그 집합은 절대 볼록 집합이다.

$K$ -위상 벡터 공간에서, 0의 모든 근방은 균형 근방을 포함하며, 0의 모든 볼록 근방은 균형 볼록 근방을 포함한다. 즉, 임의의 $K$ -위상 벡터 공간의 영벡터는 균형 집합들로 구성된 국소 기저를 가지며, 임의의 $K$ -국소 볼록 공간의 영벡터는 균형 볼록 집합들로 구성된 국소 기저를 갖는다.

집합 $T$ 가 균형 집합인 것은 $\operatorname{bal} T$ 의 균형 껍질 또는 $\operatorname{balcore} T$ 의 균형 핵과 같을 때, 즉 세 집합이 모두 같을 때뿐이다: $T = \operatorname{bal} T = \operatorname{balcore} T.$

균형 집합족의 데카르트 곱은 해당 곱 공간 내에서 균형 집합이며, 이는 (동일한 체 $\mathbb{K}$ 에 대한) 해당 벡터 공간들로 구성된다.

* 콤팩트 집합 (각각 완전 유계, 유계)의 균형 껍질은 동일한 속성을 갖는다.
* 균형 집합의 볼록 껍질은 볼록하고 균형 잡힌 집합이다 (즉, 절대 볼록 집합이다).
* 균형 집합의 임의의 합집합은 균형 집합이며, 균형 집합의 임의의 교집합도 마찬가지이다.
* 균형 집합의 스칼라 배수와 (유한) 민코프스키 합은 다시 균형 집합이다.
* 선형 사상 하에서 균형 집합의 상과 역상은 다시 균형 집합이다. 구체적으로, $L : X \to Y$ 가 선형 사상이고 $B \subseteq X$ 및 $C \subseteq Y$ 가 균형 집합인 경우, $L(B)$ 와 $L^{-1}(C)$ 는 균형 집합이다.

모든 위상 벡터 공간에서 균형 집합의 폐포는 균형 집합이다. 원점 $\{0\}$ 과 균형 집합의 위상 내부의 합집합은 균형 집합이다. 따라서 원점의 균형 근방의 위상 내부는 균형 집합이다.

위상 벡터 공간 $X$ 의 원점의 모든 근방(각각 볼록 근방)은 원점의 균형(각각 볼록하고 균형 잡힌) 열린 근방을 포함한다.

# 균형 집합의 성질

자세한 내용은 위상 벡터 공간의 성질을 참고.

균형 집합의 성질

균형 집합은 원점을 포함하는 경우에만 비어 있지 않다.
정의에 따르면, 집합은 절대 볼록 집합인 경우에만 볼록 집합이고 균형 집합이다.
모든 균형 집합은 (0에서) 별 모양 집합이며 대칭 집합이다.
$B$ 가 $X$ 의 균형 부분 집합인 경우 다음이 적용된다.
* 임의의 스칼라 $c$ 와 $d,$ 에 대해 $|c| \leq |d|$ 이면 $c B \subseteq d B$ 이고 $c B = |c| B$ 이다. 따라서 $c$ 와 $d$ 가 임의의 스칼라인 경우 $(c B) \cap (d B) = \min_{} \{|c|, |d|\} B$ 이다.
* $B$ 는 $X$ 에서 흡수 집합이다. 모든 $x \in X,$ 에 대해 $x \in r B$ 를 만족하는 $r > 0$ 가 존재한다.
* $X$ 의 임의의 1차원 벡터 부분 공간 $Y$ 에 대해 집합 $B \cap Y$ 는 볼록하고 균형 집합이다. $B$ 가 비어 있지 않고 $Y$ 가 $\operatorname{span} B$ 의 1차원 벡터 부분 공간인 경우 $B \cap Y$ 는 $\{0\}$ 이거나 $Y$ 에서 흡수 집합이다.
* 임의의 $x \in X,$ 에 대해 $B \cap \operatorname{span} x$ 가 둘 이상의 점을 포함하는 경우, 이 공간에 하우스도르프 유클리드 위상이 부여된 1차원 벡터 공간 $\operatorname{span} x$ 에서 0의 볼록하고 균형 집합의 근방이다. 그리고 집합 $B \cap \R x$ 는 원점을 포함하는 실수 벡터 공간 $\R x$ 의 볼록 균형 부분 집합이다.

균형 껍질 및 균형 코어의 성질

$X$ 의 부분 집합 모음 $\mathcal{S}$ 에 대해
$\operatorname{bal} \left(\bigcup_{S \in \mathcal{S}} S\right) = \bigcup_{S \in \mathcal{S}} \operatorname{bal} S\quad \text{ 및 } \quad \operatorname{balcore} \left(\bigcap_{S \in \mathcal{S}} S\right) = \bigcap_{S \in \mathcal{S}} \operatorname{balcore} S.$

모든 위상 벡터 공간에서 원점의 열린 근방의 균형 껍질은 다시 열려 있다.
$X$ 가 하우스도르프 위상 벡터 공간이고 $K$ 가 $X$ 의 콤팩트 부분 집합인 경우 $K$ 의 균형 껍질은 콤팩트하다.

집합이 닫힌 집합(각각 볼록, 흡수 집합, 원점의 근방)이면 균형 코어에도 동일하게 적용된다.

임의의 부분 집합 $S \subseteq X$ 와 임의의 스칼라 $c$ 에 대해 $\operatorname{bal} (c \, S) = c \operatorname{bal} S = |c| \operatorname{bal} S$ 이다.

임의의 스칼라 $c \neq 0,$ 에 대해 $\operatorname{balcore} (c \, S) = c \operatorname{balcore} S = |c| \operatorname{balcore} S$ 이다. 이 등식은 $S \subseteq \{0\}$ 인 경우에만 $c = 0$ 에 대해 성립한다. 따라서 $0 \in S$ 이거나 $S = \varnothing$ 인 경우, 모든 스칼라 $c$ 에 대해 $\operatorname{balcore} (c \, S) = c \operatorname{balcore} S = |c| \operatorname{balcore} S$ 이다.
* 균형 집합의 합집합 및 교집합은 균형 집합이다.
* 균형 집합의 폐포는 균형 집합이다.

4. 예시

* 반노름 공간 $(V, \nu)$에서 0을 중심으로 하는 열린 공과 닫힌 공은 균형 집합이다.
* 실수 벡터 공간 또는 복소수 벡터 공간의 모든 부분 공간은 균형 집합이다.
* 벡터 공간들의 직접곱에서, 각 벡터 공간의 균형 집합들의 곱집합은 그 직접곱에서도 균형 집합이다.
* 복소수체 $\mathbb{C}$를 1차원 복소수 벡터 공간으로 생각하면, 그 균형 집합은 $\mathbb{C}$ 자체, 공집합, 0을 중심으로 하는 열린 원판, 0을 중심으로 하는 닫힌 원판이다. 그러나 $\mathbb{C}$를 2차원 실수 벡터 공간(즉, 유클리드 공간 $\mathbb{R}^2$)으로 보면, 원점을 중심으로 하는 모든 열린 선분과 닫힌 선분도 균형 집합이 된다. 이는 벡터 공간 구조에 따라 균형 집합이 달라질 수 있음을 보여준다.

5. 관련 개념

부분 선형 함수이자 균형 함수인 실수 값을 갖는 함수는 세미노름이다. 함수 $p : X \to [0, \infty)$ 가 다음 조건들을 만족하면 균형 함수이다.

# $|a| \leq 1$ 을 만족하는 스칼라 $a$ 와 $x \in X$ 에 대해 $p(a x) \leq p(x)$ 이다.
# $|a| \leq |b|$ 를 만족하는 스칼라 $a$ 와 $b$ 및 $x \in X$ 에 대해 $p(a x) \leq p(b x)$ 이다.
# $\{x \in X : p(x) \leq t\}$ 는 모든 음이 아닌 실수 $t \geq 0$ 에 대해 균형 집합이다.

$p$ 가 균형 함수이면, 모든 스칼라 $a$ 와 벡터 $x \in X$ 에 대해 $p(a x) = p(|a| x)$ 이다. 특히, 모든 단위 길이 스칼라 $u$ ( $|u| = 1$ 을 만족)와 모든 $x \in X$ 에 대해 $p(u x) = p(x)$ 이다. $u := -1$ 을 사용하면 모든 균형 함수가 대칭 함수임을 알 수 있다.