준타원형 미분 연산자

1. 개요

준타원형 미분 연산자는 특정 조건을 만족하는 미분 연산자이다. 매끄러운 다양체 U, 매끄러운 벡터 다발 E→U, 미분 연산자 D: C^∞(U,E) → C^∞(U,E)가 주어졌을 때, 임의의 열린 집합 V⊆U와 분포 u∈𝒟(V,E)에 대해 Du ∈ C^∞(V,E)이면 u∈C^∞(V,E)일 경우 D를 준타원형 미분 연산자라고 정의한다. 타원형 미분 연산자는 준타원형 미분 연산자에 속하며, 리만 다양체 위의 라플라스 연산자는 준타원형 미분 연산자의 한 예이다. 열방정식 연산자는 준타원형 미분 연산자이지만 타원형 미분 연산자는 아니며, 파동 방정식 연산자는 준타원형 미분 연산자도, 타원형 미분 연산자도 아니다.

2. 정의

매끄러운 다양체 $U$와 그 위의 매끄러운 벡터 다발 $E\backslash twoheadrightarrow\; U$, 그리고 미분 연산자 $D\backslash colon\backslash mathcal\; C^\backslash infty(U,E)\; \backslash to\; \backslash mathcal\; C^\backslash infty(U,E)$가 주어졌다고 하자.

이때, 임의의 열린집합 $V\backslash subseteq\; U$와 분포 $u\backslash in\backslash mathcal\; D(V,E)$에 대하여 다음 조건이 성립하면, 미분 연산자 $D$를 준타원형 미분 연산자라고 한다.
:$Du\; \backslash in\; \backslash mathcal\; C^\backslash infty(V,E)\; \backslash implies\; u\backslash in\backslash mathcal\; C^\backslash infty(V,E)$

2.1. 기본 개념

다음과 같은 요소들이 주어졌다고 가정하자.
* 매끄러운 다양체 $U$
* 매끄러운 벡터 다발 $E\backslash twoheadrightarrow\; U$
* 미분 연산자 $D\backslash colon\backslash mathcal\; C^\backslash infty(U,E)\; \backslash to\; \backslash mathcal\; C^\backslash infty(U,E)$

이때, 임의의 열린집합 $V\backslash subseteq\; U$와 분포 $u\backslash in\backslash mathcal\; D(V,E)$에 대하여 다음 조건이 성립하면, 미분 연산자 $D$를 준타원형 미분 연산자라고 부른다.
:$Du\; \backslash in\; \backslash mathcal\; C^\backslash infty(V,E)\; \backslash implies\; u\backslash in\backslash mathcal\; C^\backslash infty(V,E)$

이 조건은 분포 $u$에 미분 연산자 $D$를 적용한 결과($Du$)가 매끄러운 함수이면, 원래의 분포 $u$ 역시 매끄러운 함수여야 한다는 것을 의미한다. 즉, 준타원형 미분 연산자는 함수의 정칙성(regularity) 또는 매끄러움(smoothness)과 관련된 성질을 가진다. 만약 어떤 분포 $u$가 방정식 $Du=f$를 만족하고 $f$가 매끄러운 함수라면, $u$ 자신도 매끄러운 함수가 된다는 것이다.

2.2. 조건

매끄러운 다양체 U와 그 위의 매끄러운 벡터 다발 E → U가 주어졌다고 하자. 그리고 D를 E의 매끄러운 단면들의 공간 C^∞(U, E)에서 자기 자신으로 가는 미분 연산자라고 하자.
:D: C^∞(U, E) → C^∞(U, E)
이때, 임의의 열린집합 V ⊆ U와 V 위에서 정의된 E 값을 갖는 분포 u ∈ D(V, E)에 대하여 다음 조건이 성립하면, 미분 연산자 D를 준타원형 미분 연산자(hypoelliptic operator)라고 한다.
:Du ∈ C^∞(V, E) ⇒ u ∈ C^∞(V, E)
즉, 분포 u에 미분 연산자 D를 적용한 결과 Du가 매끄러운 단면이면, 원래의 분포 u 역시 매끄러운 단면이어야 한다는 조건이다. 이는 미분 연산자 D가 분포의 특이점(singularity)을 "매끄럽게" 만들지 못한다는 것을 의미하며, 만약 Du가 매끄럽다면 u 자체에 특이점이 없었다는 것을 뜻한다.

3. 성질

(내용 없음 - 하위 섹션에서 모든 내용을 다루고 있음)

3.1. 타원형 미분 연산자와의 관계

C^∞ 계수를 가지는 모든 타원형 미분 연산자는 준타원형 미분 연산자이다. 특히, 리만 다양체 위의 라플라스 연산자는 매끄러운 계수를 가지는 타원형 미분 연산자이므로 준타원형 미분 연산자에 해당한다.

4. 예

준타원형 미분 연산자의 대표적인 예로는 열방정식 연산자가 있다. 이 연산자는 준타원형이지만 타원형 미분 연산자는 아니다. 반면, 파동 방정식 연산자는 준타원형 미분 연산자가 아닌 예시에 해당한다.

4.1. 열방정식 연산자

매끄러운 다양체 $U\; =\; \backslash mathbb\; R\; \backslash times\backslash mathbb\; R^n\; =\; \backslash \{(t,x^1,x^2,\backslash dotsc,x^n)\; \backslash colon\; t,x^1,x^2,\backslash dotsc,\; x^n\backslash in\backslash mathbb\; R\backslash \}$ 위에서 정의된 열방정식 미분 연산자
:$D\; =\; \backslash frac\backslash partial\{\backslash partial\; t\}\; -\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; \backslash frac\{\backslash partial^2\}\{(\backslash partial\; x^i)^2\}$
는 준타원형 미분 연산자에 해당한다. 하지만 이 연산자는 타원형 미분 연산자는 아니다. 이는 연산자의 주표상이 $\backslash operatorname\{diag\}(0,-1,-1,\backslash dotsc,-1)$ 형태가 되어 음의 정부호 조건을 만족하지 않기 때문이다.

4.2. 파동 방정식 연산자

반면, 같은 매끄러운 다양체 위의 파동 방정식 미분 연산자
:$\backslash square^2\; =\; \backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; t^2\}\; -\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; \backslash frac\{\backslash partial^2\}\{(\backslash partial\; x^i)^2\}$
는 타원형 미분 연산자도, 준타원형 미분 연산자도 아니다.