분포 (해석학)

1. 개요

분포(distribution)는 해석학에서 유클리드 공간 위의 연속 함수를 일반화한 개념으로, 미분, 적분, 푸리에 변환 등 다양한 연산을 정의할 수 있게 해준다. 시험 함수 공간의 연속 쌍대 공간으로 정의되며, 국소 적분 가능 함수, 라돈 측도 등을 포함한다. 분포는 편미분 방정식, 물리학, 공학, 신호 처리 등 다양한 분야에 응용되며, 그린 함수, 디랙 델타 함수 등과 밀접한 관련이 있다. 분포의 곱셈은 일반적으로 정의되지 않지만, 매끄러운 함수와의 곱셈은 정의된다. 사토 초함수, 콜롱보 대수, 흐름 등과 같은 관련 개념들이 존재하며, 슈바르츠와 소볼레프 등에 의해 발전되었다.

2. 정의

유클리드 공간 $\backslash mathbb\; R^n$ 속의 열린집합 $U\backslash subset\backslash mathbb\; R^n$이 주어졌을 때, $U$ 위의 시험 함수 공간 $\backslash mathcal\; D(U)$는 콤팩트 지지를 갖는 매끄러운 함수들의 벡터 공간이다. 이 공간에 특정한 위상을 부여하여 완비 거리화 가능 국소 볼록 공간을 이룬다.

$\backslash mathcal\; D(U)$의 연속 쌍대 공간 $\backslash mathcal\; D\text{'}(U)$를 분포 공간이라 하고, 그 원소를 분포라고 한다. 분포는 시험 함수에 작용하는 연속 선형 범함수로 정의된다.

분포 $F$와 시험 함수 $f\backslash in\backslash mathcal\; D(U)$에 대하여, $F(f)$는 보통 다음과 같이 표기한다.
:$F(f)=\backslash int\_UF(x)f(x)\backslash ,d^nx$
이는 $x\backslash in\; U$에 대하여 $F(x)$라는 대상이 엄밀히 정의되지 않으므로, 우변은 실제 적분을 의미하는 것이 아니라 단순한 표기법일 뿐이다.

$C\_c^\backslash infty(U)$에 대한 선형 범함수 T가 연속, 즉 분포가 되기 위한 필요충분조건은 다음과 같다.

* 모든 컴팩트 부분 집합 $K\backslash subseteq\; U$에 대해, 지지 집합이 $K$에 포함된 모든 $f\; \backslash in\; C\_c^\backslash infty(U)$에 대해 다음을 만족하는 $C>0$ 및 $N\backslash in\; \backslash N$가 존재한다.
:$|T(f)|\; \backslash leq\; C\; \backslash sup\; \backslash \{|\backslash partial^\backslash alpha\; f(x)|:\; x\; \backslash in\; U,\; |\backslash alpha|\; \backslash leq\; N\backslash \}.$
* 모든 컴팩트 부분 집합 $K\backslash subseteq\; U$와 지지 집합이 $K$에 포함된 $C\_c^\backslash infty(U)$의 모든 수열 $\backslash \{f\_i\backslash \}\_\{i=1\}^\backslash infty$에 대해, 모든 다중 지수 $\backslash alpha$에 대하여 $\backslash \{\backslash partial^\backslash alpha\; f\_i\backslash \}\_\{i=1\}^\backslash infty$가 $U$에서 균일하게 0으로 수렴하면 $T(f\_i)\; \backslash to\; 0$이다.

분포의 실질적인 사용은 1830년대에 그린 함수를 사용하여 상미분 방정식을 푸는 것으로 거슬러 올라갈 수 있지만, 소볼레프가 2계 미분 방정식 쌍곡형 편미분 방정식에 대한 연구에서 일반 함수 개념을 처음 사용하였고, 1940년대 후반 로랑 슈바르츠에 의해 확장, 발전되었다.

2.1. 시험 함수

유클리드 공간 $\backslash mathbb\; R^n$ 속의 열린집합 $U\backslash subset\backslash mathbb\; R^n$ 위의 실수 값 콤팩트 지지 매끄러운 함수들의 실수 벡터 공간을 $\backslash mathcal\; C^\backslash infty\_0(U)$ 또는 $\backslash mathcal\; D(U)$라고 쓰고, 그 원소를 $U$ 위의 시험 함수(test function^영어)라고 한다.

2.2. 분포 공간

유클리드 공간 $\backslash mathbb\; R^n$ 속의 열린집합 $U\backslash subset\backslash mathbb\; R^n$ 위의 콤팩트 지지를 가지는 매끄러운 함수들의 벡터 공간 $\backslash mathcal\; D(U)$ (시험 함수(試驗函數, test function^영어) 공간)의 연속 쌍대 공간 $\backslash mathcal\; D\text{'}(U)$를 분포 공간(分布空間, space of distributions^영어)이라고 하고, 그 원소를 분포(分布, distribution^영어)라고 한다.

분포 $F$와 시험 함수 $f\backslash in\backslash mathcal\; D(U)$에 대하여, $F(f)$는 보통 다음과 같이 표기한다.
:$F(f)=\backslash int\_UF(x)f(x)\backslash ,d^nx$
이는 $x\backslash in\; U$에 대하여 $F(x)$라는 대상이 엄밀히 정의되지 않으므로, 실제 적분을 의미하는 것이 아니라 단순한 표기법이다.

$U$에 대한 분포 $T$와 테스트 함수 $f\; \backslash in\; C\_c^\backslash infty(U)$ 사이에는 표준적인 쌍대 쌍이 존재하며, 이는 꺾쇠 괄호를 사용하여 다음과 같이 표시된다.
$$\backslash begin\{cases\}$$
\mathcal{D}'(U) \times C_c^\infty(U) \to \R \\
(T, f) \mapsto \langle T, f \rangle := T(f)
\end{cases}

모든 $U$상의 분포 집합은 $C\_c^\backslash infty(U)$의 연속 쌍대 공간이며, 이 공간에 강한 쌍대 위상을 부여하면 $\backslash mathcal\{D\}\text{'}(U)$로 표기된다.

3. 연산

분포는 미분, 곱셈, 합성, 컨볼루션, 푸리에 변환 등 다양한 연산이 가능하다.

* 미분: 분포의 미분은 부분 적분 공식을 일반화하여 정의된다. 모든 분포는 무한히 미분 가능하며, 미분 연산은 분포 공간에서 선형 연산자이다.
:$\backslash left\backslash langle\; \backslash frac\{\backslash partial\; T\}\{\backslash partial\; x\_k\},\; \backslash phi\; \backslash right\backslash rangle\; =\; -\; \backslash left\backslash langle\; T,\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash phi\}\{\backslash partial\; x\_k\}\; \backslash right\backslash rangle\; \backslash qquad\; \backslash text\{\; for\; all\; \}\; \backslash phi\; \backslash in\; \backslash mathcal\{D\}(U).$

* 곱셈: 분포와 매끄러운 함수의 곱셈은 가환환 위의 가군 구조를 이루며, 곱 규칙이 성립한다.
:$m\backslash delta\text{'}\; =\; m(0)\; \backslash delta\text{'}\; -\; m\text{'}\; \backslash delta\; =\; m(0)\; \backslash delta\text{'}\; -\; m\text{'}(0)\; \backslash delta$ (여기서 $\backslash delta$는 디랙 델타 분포)

* 컨볼루션: 특정 조건을 만족하는 경우(두 분포 중 하나가 컴팩트한 지지 집합을 갖는 경우), 분포 간의 컨볼루션이 정의된다.
:$\backslash langle\; S\; \backslash ast\; T,\; \backslash phi\; \backslash rangle\; =\; \backslash langle\; S,\; \backslash psi\; \backslash rangle$

* 푸리에 변환: 조절 분포 공간에서 정의되며, 분포의 특성을 분석하는 데 중요한 도구이다.
:$F\; \backslash dfrac\{dT\}\{dx\}\; =\; ixFT$

3.1. 지지 집합

분포 $F\in\mathcal D'(U)$의 지지 집합(支持集合, support^영어) $\operatorname{supp}F$는 다음 조건을 만족하는 점 $x$를 포함하지 않는다.

* $x$의 어떤 열린 근방 $V\ni x$에 대하여, 모든 $f\in\mathcal D(V)$에 대해 $F(f)=0$이다.

분포의 지지 집합은 (열린집합들의 합집합의 여집합이므로) 항상 $U$ 속의 닫힌집합이다.

분포 $F\in\mathcal D'(U)$의 특이 지지 집합(特異支持集合, singular support^영어) $\operatorname{sing\,supp}F$는 다음 조건과 동치인 점 $x$를 포함하지 않는다.

* $x$의 어떤 열린 근방 $V\ni x$에 대하여, $F|_V$는 매끄러운 함수이다. 즉, $T_f=F|_V$가 되는 $f\in\mathcal C^\infty(V)$가 존재한다.

분포의 특이 지지 집합 역시 $U$ 속의 닫힌집합이다.

특이 지지 집합과 관련된 개념으로 파면 집합이 있다. 이는 특이 지지 집합과 달리, 특이성이 발생하는 방향에 대한 정보를 담고 있다.

$U$ 위의 초함수 $S \in \mathcal{D}'(U)$에 대해, $S$가 $U$의 열린 집합 $V$ 위에서 사라진다 (vanish^영어)는 것은, $S$가 제한 사상 $\rho_{VU}$의 핵에 속하는 것을 의미한다. 즉, $S$가 $V$ 위에서 사라진다는 것은 $V$ 내부에 지지체를 갖는 임의의 테스트 함수 $\varphi \in C^\infty(U)$에 대해 $\langle S,\varphi\rangle = 0$이 성립하는 것을 말한다. $V$를 $S$가 사라지는 최대의 열린 집합, 즉 $S$가 사라지는 열린 집합들의 합집합이라고 하면, 초함수 $S$의 지지체 supp $S$는 $U$에서의 $V$의 여집합을 의미한다. 따라서 다음이 성립한다.

:$\backslash operatorname\{supp\}\backslash ,S\; =\; U\; -\; \backslash bigcup\backslash left\backslash \{V\; \backslash mid\; \backslash rho\_\{VU\}S\; =\; 0\backslash right\backslash \}$

3.2. 국소화

열린집합 $U$ 위에 정의된 분포 $F\in\mathcal D'(U)$와 열린 부분 집합 $V\subseteq U$가 주어졌을 때, 시험 함수에 대한 다음과 같은 자연스러운 포함 관계가 존재한다.

:$\backslash iota\_\{VU\}\backslash colon\backslash mathcal\; D(V)\backslash hookrightarrow\backslash mathcal\; D(U)$
:

$F$의 $V$에 대한 제한(restriction^영어)은 다음과 같다.

:$F|\_V\backslash in\; \backslash mathcal\; D\text{'}(V)$
:$F|\_V\backslash colon\; f\backslash mapsto\; F(\backslash iota\_\{VU\}f)$

이에 따라, 분포 공간은 실수 벡터 공간의 층을 이룬다.

일반적으로, 분포 $F\in\mathcal D'(U)$ 및 점 $x\in U$가 주어졌을 때, 분포의 $x$에서의 값 $F(x)$는 정의할 수 없다. 다만, 만약 $x\not\in\operatorname{sing\,supp}F$일 경우, $F(x)$를 해당하는 매끄러운 함수의 값으로 정의할 수 있다. 또한, 다른 층과 마찬가지로, $F$의 $x$에서의 싹을 정의할 수 있다.

$\mathcal{D}'(U)$에서 특정 점에 대한 분포의 값을 정의할 방법은 없다. 그러나 함수의 경우와 마찬가지로, $U$에 대한 분포는 $U$의 열린 부분 집합에 대한 분포를 제공하도록 제한된다. 또한, 분포는 국소적으로 결정되는데, 이는 $U$ 전체에 대한 분포가 겹침에 대한 몇 가지 호환성 조건을 만족하는 $U$의 열린 덮개에 대한 분포로부터 조립될 수 있다는 의미이다. 이러한 구조를 층이라고 한다.

$V \subseteq U$를 $\R^n$의 열린 부분 집합이라고 하자. 모든 함수 $f \in \mathcal{D}(V)$는 $V$의 정의 구역에서 여집합 $U \setminus V$에서 $0$으로 설정하여 확장할 수 있다. 이 확장은 $f$의 $U$로의 자명한 확장이라고 하며, $E_{VU} (f)$로 표시된다. 이 할당 $f \mapsto E_{VU} (f)$는 자명한 확장 연산자 $E_{VU} : \mathcal{D}(V) \to \mathcal{D}(U)$를 정의하며, 이는 연속적인 단사 선형 사상이다. 이는 $\mathcal{D}(V)$를 $\mathcal{D}(U)$의 벡터 부분 공간으로 (위상 부분 공간으로는 아니게) 표준적으로 식별하는 데 사용된다.

그 전치 행렬은 다음과 같다.

:$\backslash rho\_\{VU\}\; :=\; \{\}^\{t\}E\_\{VU\}\; :\; \backslash mathcal\{D\}\text{'}(U)\; \backslash to\; \backslash mathcal\{D\}\text{'}(V)$

이는 $U$의 분포의 $V$로의 제한이라고 하며, 이름에서 알 수 있듯이, 이 사상 아래에서 분포 $T \in \mathcal{D}'(U)$의 이미지 $\rho_{VU}(T)$는 $T$의 $V$로의 제한이라고 하는 $V$에 대한 분포이다. $\rho_{VU}(T)$의 정의 조건은 다음과 같다.

:$\backslash langle\; \backslash rho\_\{VU\}\; T,\; \backslash phi\; \backslash rangle\; =\; \backslash langle\; T,\; E\_\{VU\}\; \backslash phi\; \backslash rangle\; \backslash quad\; \backslash text\{\; for\; all\; \}\; \backslash phi\; \backslash in\; \backslash mathcal\{D\}(V)$

만약 $V \neq U$이면 (연속적인 단사 선형) 자명한 확장 사상 $E_{VU} : \mathcal{D}(V) \to \mathcal{D}(U)$는 위상 임베딩이 아니다. 즉, 이 선형 단사 사상을 사용하여 $\mathcal{D}(V)$를 $\mathcal{D}(U)$의 부분 집합으로 식별하는 경우, $\mathcal{D}(V)$의 위상은 $\mathcal{D}(U)$가 이에 유도하는 부분 공간 위상보다 더 미세하다. 중요한 것은, 그것은 위상의 동일성을 필요로 하므로 위상 부분 공간이 아니라는 것이다. 그리고 그 범위도 공역 $\mathcal{D}(U)$에서 조밀하지 않다. 결과적으로 $V \neq U$이면 제한 매핑은 단사도 전사도 아니다. 분포 $S \in \mathcal{D}'(V)$는 $E_{VU}$의 전치 행렬의 범위에 속하면 $U$로 확장 가능하다고 하며, $\R^n$으로 확장 가능하면 확장 가능하다고 한다.

$U = V$가 아니면, $V$로의 제한은 단사도 전사도 아니다. 전사성의 부족은 분포가 $V$의 경계로 향해 발산할 수 있기 때문에 따른다. 예를 들어, $U = \R$이고 $V = (0, 2)$이면 분포

:$T(x)\; =\; \backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; n\; \backslash ,\; \backslash delta\backslash left(x-\backslash frac\{1\}\{n\}\backslash right)$

는 $\mathcal{D}'(V)$에 있지만 $\mathcal{D}'(U)$로의 확장을 허용하지 않는다.

$V$를 $U$의 열린 부분 집합이라고 하자. $T \in \mathcal{D}'(U)$가 모든 $f \in \mathcal{D}(U)$에 대해 $\operatorname{supp}(f) \subseteq V$이면 $Tf = 0$을 만족하는 경우 $V$에서 사라진다고 한다. $T$가 $V$에서 사라지는 것은 $T$의 $V$로의 제한이 0과 같을 때, 또는 동등하게는 $T$가 제한 사상 $\rho_{VU}$의 커널에 속할 때와 동일하다.

$U$, $V$를 $\R^n$의 열린 집합으로, $V \subset U$를 만족한다고 하자. $E_{VU}\colon D(V) \to D(U)$를, $V$에 콤팩트 지지를 갖는 매끄러운 함수가 주어졌을 때, "0으로 연장"하여 더 큰 $U$에 콤팩트 지지를 갖는 매끄러운 함수로 간주하는 연산으로 정의할 때, 초함수의 제한 사상 $\rho_{VU}$는 $E_{VU}$의 수반 연산자로 정의된다. 즉, 임의의 초함수 $S \in D'(U)$에 대해, 그 제한 $\rho_{VU}S$는 임의의 테스트 함수 $\phi \in D(V)$에 대해

:$\backslash langle\; \backslash rho\_\{VU\}S,\backslash varphi\backslash rangle\; =\; \backslash langle\; S,\; E\_\{VU\}\backslash varphi\backslash rangle$

를 만족하는, 공간 $D'(V)$에 속하는 초함수로 정의된다.

$U = V$가 아닌 한, $V$의 제한은 단사도 전사도 아니다. 전사가 아닌 이유는, 초함수는 $V$의 경계에서 발산할 수 있기 때문이다. 간단한 예로 $U = \R$, $V = (0,2)$인 경우, 초함수

:$S(x)\; =\; \backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; n\backslash ,\backslash delta\backslash !\backslash left(x-\backslash frac\{1\}\{n\}\backslash right)$

는 $D'(V)$에 속하지만, $D'(U)$의 원소로 연장될 수 없다.

3.3. 미분

부분 적분 공식에 따라, 분포의 미분은 다음과 같이 정의된다.
:$\backslash frac\backslash partial\{\backslash partial\; x^i\}F\backslash colon\; f\backslash mapsto\; -F\backslash left(\backslash frac\backslash partial\{\backslash partial\; x^i\}f\backslash right)$
이를 일반화하여, 임의의 다중지표 $\backslash alpha\backslash in\backslash mathbb\; N^n$에 대하여 분포 $F$의 미분 $\backslash partial^\backslash alpha\; F$를 정의할 수 있다.
:$\backslash partial^\backslash alpha\; F\backslash colon\; f\backslash mapsto(-1)^$

4.1. 분포 공간의 위상

분포 공간 $\mathcal{D}'(U)$는 연속 쌍대 공간이므로, 그 위에 다양한 위상이 존재한다. 흔히 사용되는 위상은 다음과 같다.

* 약한-* 위상: 이 경우 $\mathcal{D}'(U)$는 국소 볼록 공간이지만, 거리화 가능 공간이 아니다.
* 콤팩트 집합 위에서의 균등 수렴 위상: 이 경우, $\mathcal{D}'(U)$는 국소 볼록 공간이며, 추가로 핵공간(nuclear space^영어)이자 몽텔 공간(Montel space^영어)이다. 그러나 이는 거리화 가능 공간이 아니다.

$U$상의 모든 분포 집합은 $C_c^\infty(U)$의 연속 쌍대 공간이며, 이 공간에 강한 쌍대 위상을 부여하면 $\mathcal{D}'(U)$로 표기된다. 특히, 별도로 표시하지 않는 한, $\mathcal{D}'(U)$상의 위상은 강한 쌍대 위상이다. 위상이 대신 약-* 위상인 경우 이를 표시한다. 두 위상 모두 거리화 가능 공간은 아니지만, 약-* 위상과는 달리, 강한 쌍대 위상은 $\mathcal{D}'(U)$를 몇 가지 바람직한 속성을 가진 완비 위상 벡터 공간인 핵 공간으로 만든다.

$\mathcal{D}'(U)$에 부여된 위상에 대한 자세한 내용은 검증 함수와 분포 공간 및 극 위상, 쌍대 시스템에 대한 문서에서 찾을 수 있다.

약-* 위상을 고려함으로써, D′(U)는 국소 볼록 위상 선형 공간이 된다. 특히 D′(U)에서의 수열 (S_k)가 초함수 S로 수렴하는 것은 임의의 테스트 함수 φ에 대해
:$\backslash langle\; S\_k,\; \backslash varphi\backslash rangle\; \backslash to\; \backslash langle\; S,\; \backslash varphi\backslash rangle$
이 만족되는 것과 동치이다. 이는 또한, D(U)의 임의의 유계 부분 집합 위에서 S로 균등 수렴하는 것과도 동치이다.

4.2. 함수 공간의 매장

locally integrable function^영어 $f\backslash colon\; U\backslash to\backslash mathbb\; R$는 임의의 콤팩트 집합 $K\backslash subset\; U$에 대하여 $(|f|)|\_K$가 르베그 적분 가능한 함수인 함수이다. 모든 연속 함수와 임의의 $p$에 대하여 L^p 함수는 국소 적분 가능 함수이다. 국소 적분 가능 함수의 공간은 $\backslash mathcal\; L^1\_\{\backslash text\{loc\}\}(U)$로 표기한다. L^p 공간과 마찬가지로, 임의의 $f,g\backslash in\backslash mathcal\; L^1\_\{\backslash text\{loc\}\}(U)$에 대하여 $f-g$가 거의 어디서나 0인 경우 $f\backslash sim\; g$로 정의하고, 다음과 같이 정의한다.
:$L^1\_\{\backslash text\{loc\}\}(U)=\backslash mathcal\; L^1\_\{\backslash text\{loc\}\}(U)/\{\backslash sim\}$

국소 적분 가능 함수 $f$에 대하여, 대응하는 분포 $T\_f\backslash in\backslash mathcal\; D\text{'}(U)$는 다음과 같이 정의된다.
:$T\_f\backslash colon\backslash mathcal\; D(U)\backslash to\backslash mathbb\; R$
:$T\_f\backslash colon\; g\backslash mapsto\backslash int\_Ufg$
이는 항상 연속 함수이며, 실수 벡터 공간의 단사 선형 변환
:$T\backslash colon\; L^1\_\{\backslash text\{loc\}\}(U)\backslash hookrightarrow\backslash mathcal\; D\text{'}(U)$
을 정의한다.

함수 $f\; :\; U\; \backslash to\; \backslash R$가 U의 모든 컴팩트 부분 집합 K에 대해 르베그 적분 가능하면 국소 적분 가능 함수이다. 이는 모든 연속 함수와 모든 Lp 공간 $L^p$ 함수를 포함하는 광범위한 함수 부류이다. $\backslash mathcal\{D\}(U)$ 상의 위상은 모든 국소적 적분 가능 함수 $f$가 $\backslash mathcal\{D\}(U)$ 상의 연속 선형 범함수, 즉 $\backslash mathcal\{D\}\text{'}(U)$의 원소로 이어지도록 정의되며, $T\_f$로 표기하고 테스트 함수 $\backslash phi$에서의 값은 르베그 적분으로 주어진다.
:$\backslash langle\; T\_f,\; \backslash phi\; \backslash rangle\; =\; \backslash int\_U\; f\; \backslash phi\backslash ,dx$

일반적으로 혼동의 여지가 없을 경우, $T\_f$를 $f$로 식별하여 표기법 남용을 하며, 따라서 $T\_f$와 $\backslash phi$ 사이의 쌍은 종종 다음과 같이 작성된다.
:$\backslash langle\; f,\; \backslash phi\; \backslash rangle\; =\; \backslash langle\; T\_f,\backslash phi\backslash rangle$

만약 $f$와 $g$가 두 개의 국소적 적분 가능 함수라면, 관련 분포 $T\_f$와 $T\_g$는 $f$와 $g$가 거의 어디에서나 같을 때와 같은 $\backslash mathcal\{D\}\text{'}(U)$의 원소와 같다.

4.3. 측도 공간의 매장

라돈 측도 $\mu$에 대하여, 대응하는 분포 $T_\mu \in \mathcal{D}'(U)$는 다음과 같이 정의된다.

:$T_\mu \colon \mathcal{D}(U) \to \mathbb{R}$
:$T_\mu \colon g \mapsto \int_U g \, d\mu$

반대로, 분포 $F \in \mathcal{D}'(U)$가 다음 성질을 만족하면,

:$\forall f \in \mathcal{D}(U) \colon (\forall x \in U \colon f(x) \ge 0) \implies F(f) \ge 0$

$T_\mu = f$가 되는 라돈 측도 $\mu$가 존재한다. 이는 리스 표현 정리와 유사하다.

하지만 위 조건이 성립하지 않을 경우, 일반적인 분포는 (부호 붙은) 측도로 나타낼 수 없다. 예를 들어, 실수선 위의 디랙 델타 분포의 미분 $\delta'$은 부호 붙은 측도로 나타낼 수 없다.

포함 사상 $\operatorname{In} \colon C_c^\infty(U) \to C_c^0(U)$는 연속적인 단사 사상이며, 그 상은 공역에서 조밀하다. 따라서 전치 사상 ${}^{t}\operatorname{In} \colon (C_c^0(U))'_b \to \mathcal{D}'(U) = (C_c^\infty(U))'_b$도 연속적인 단사 사상이다.

연속 쌍대 공간 $(C_c^0(U))'_b$는 라돈 측도의 공간으로 식별될 수 있으며, 여기서 연속 선형 범함수 $T \in (C_c^0(U))'_b$와 라돈 측도에 대한 적분 사이에는 일대일 대응이 존재한다. 즉,

* $T \in (C_c^0(U))'_b$이면 모든 $f \in C_c^0(U)$에 대해 $T(f) = \int_U f \, d\mu$를 만족하는 라돈 측도 $\mu$가 $U$에 존재한다.
* $\mu$가 $U$에 대한 라돈 측도이면, $f \in C_c^0(U)$를 $\int_U f \, d\mu$로 보내는 방식으로 정의된 $C_c^0(U)$상의 선형 범함수는 연속이다.

단사 사상 ${}^{t}\operatorname{In} \colon (C_c^0(U))'_b \to \mathcal{D}'(U)$를 통해, 모든 라돈 측도는 $U$에 대한 분포가 된다. $f$가 $U$에 대한 국소 가적분 함수이면, 분포 $\phi \mapsto \int_U f(x) \phi(x) \, dx$는 라돈 측도이며, 따라서 라돈 측도는 크고 중요한 분포의 공간을 형성한다.

4.4. 연속 함수로의 표현

열린집합 $U\backslash subseteq\backslash mathbb\; R^n$ 위의 임의의 분포 $F\backslash in\backslash mathcal\; D\text{'}(U)$는 유한 개의 다중지표와 연속 함수들 $(\backslash alpha\_1,f\_1),\backslash dots,(\backslash alpha\_k,f\_k)$로부터 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$F=\backslash sum\_\{i=1\}^k\backslash partial^\{\backslash alpha\_k\}f\_k$

다시 말해, 분포 공간은 연속 함수들의 모든 유한차 미분을 포함하는 최소의 벡터 공간이다.

임의의 분포에서 각 분포를 U상에서 연속 함수의 분포 미분의 유한 합으로 쓸 수 있는 압축된 지지 집합을 가진 일련의 분포의 합으로 표현할 수 있다. 즉, 임의의 $T\; \backslash in\; \backslash mathcal\{D\}\text{'}(U)$에 대해 다음을 쓸 수 있다.

:$T\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^\backslash infty\; \backslash sum\_\{p\; \backslash in\; P\_i\}\; \backslash partial^p\; f\_\{ip\},$

여기서 $P\_1,\; P\_2,\; \backslash ldots$는 다중 지수의 유한 집합이고 함수 $f\_\{ip\}$는 연속이다.

5. 예

국소 적분 가능 함수와 라돈 측도는 분포의 예이다. 모든 국소 적분 가능 함수는 분포를 이루며, 모든 라돈 측도 역시 분포를 이룬다. 디랙 델타 함수와 그 도함수는 분포의 예이며, 이는 더 이상 함수가 아니지만 라돈 측도이다. 코시 주요값은 함수는 아니지만 분포이며, 아다마르 유한 부분은 분포의 예이다.

5.1. 함수와 측도

모든 국소 적분 가능 함수는 분포를 이룬다. 마찬가지로, 모든 라돈 측도 역시 분포를 이룬다. 보다 일반적으로, 부호 붙은 라돈 측도, 즉 두 라돈 측도의 차 $\backslash mu\_+-\backslash mu\_-$ 역시 분포를 이룬다.

단사 사상 $\{\}^\{t\}\backslash operatorname\{In\}\; :\; (C\_c^0(U))\text{'}\_b\; \backslash to\; \backslash mathcal\{D\}\text{'}(U)$를 통해, 모든 라돈 측도는 U에 대한 분포가 된다. 만약 $f$가 U에 대한 국소 가적분 함수이면, 분포 $\backslash phi\; \backslash mapsto\; \backslash int\_U\; f(x)\; \backslash phi(x)\; \backslash ,\; dx$는 라돈 측도이며, 따라서 라돈 측도는 크고 중요한 분포의 공간을 형성한다.

함수 $f\; :\; U\; \backslash to\; \backslash R$이 국소적 적분 가능 함수라는 것은 U의 모든 콤팩트 부분 집합 K에 대해 르베그 적분 가능하면 정의된다. 이는 모든 연속 함수와 모든 Lp 공간 $L^p$ 함수를 포함하는 광범위한 함수 부류이다. $\backslash mathcal\{D\}(U)$ 상의 위상은 모든 국소적 적분 가능 함수 $f$가 $\backslash mathcal\{D\}(U)$ 상의 연속 선형 범함수, 즉 $\backslash mathcal\{D\}\text{'}(U)$의 원소로 이어지도록 정의되며, 여기서는 $T\_f$로 표기하고 테스트 함수 $\backslash phi$에서의 값은 르베그 적분으로 주어진다.

:$$\backslash langle\; T\_f,\; \backslash phi\; \backslash rangle\; =\; \backslash int\_U\; f\; \backslash phi\backslash ,dx.$$

만약 $f$와 $g$가 두 개의 국소적 적분 가능 함수라면, 관련 분포 $T\_f$와 $T\_g$는 $f$와 $g$가 거의 어디에서나 같을 때와 같은 $\backslash mathcal\{D\}\text{'}(U)$의 원소와 같다. 마찬가지로 U 상의 모든 라돈 척도 $\backslash mu$는 테스트 함수 $\backslash phi$에서의 값이 $\backslash int\backslash phi\; \backslash ,d\backslash mu$인 $\backslash mathcal\{D\}\text{'}(U)$의 원소를 정의한다.

5.2. 디랙 델타 함수와 그 도함수

실수선 위에 다음과 같은 연속 함수를 생각하자.

:$f(x)=\backslash max\backslash \{x,0\backslash \}$

이 함수에 도함수를 취하면, 다음과 같은 분포들을 얻는다.

* $f\text{'}(x)$는 단위 계단 함수이다. 이는 국소 적분 가능 함수로 나타낼 수 있지만, 연속 함수가 아니다.
* $f$(x)=\delta(x)는 디랙 델타 분포이다. 이는 더 이상 함수가 아니지만, 라돈 측도이며, 다음과 같다.

::$\backslash int\backslash delta(x)g(x)=g(0)$

* $f$(x)=\delta'(x)는 디랙 델타의 도함수이다. 이는 더 이상 라돈 측도조차 아니며, 다음과 같다.

::$\backslash int\backslash delta\text{'}(x)g(x)=-\backslash int\; g\text{'}(x)\backslash delta(0)=-g\text{'}(0)\backslash qquad\backslash forall\; g\backslash in\backslash mathcal\; D(\backslash mathbb\; R)$

* 계속해서 도함수를 취하면, 다음과 같다.

::$\backslash int\backslash delta^\{(n)\}(x)g(x)=(-1)^ng^\{(n)\}(0)\backslash qquad\backslash forall\; g\backslash in\backslash mathcal\; D(\backslash mathbb\; R)$

임의의 $x\; \backslash in\; U$에 대해, $\backslash delta\_x\; \backslash in\; \backslash mathcal\{D\}\text{'}(U)$를 점 $x$에서의 디랙 측도에 의해 유도된 분포로 나타낸다. 임의의 $x\_0\; \backslash in\; U$와 분포 $T\; \backslash in\; \backslash mathcal\{D\}\text{'}(U)$에 대해, $T$의 지지 집합이 $\backslash \{x\_0\backslash \}$에 포함되는 것은 $T$가 $x\_0$에서의 디랙 측도의 도함수의 유한 선형 결합인 것과 필요충분 조건이다. 만약 게다가 $T$의 차수가 $\backslash leq\; k$이면, 다음과 같은 상수 $\backslash alpha\_p$가 존재한다.

:$$T\; =\; \backslash sum\_\{|p|\; \backslash leq\; k\}\; \backslash alpha\_p\; \backslash partial^p\; \backslash delta\_\{x\_0\}.$$

다르게 말하면, 만약 $T$가 단일 점 $\backslash \{P\backslash \}$에서 지지 집합을 가지면, $T$는 사실 $P$에서의 $\backslash delta$ 함수의 분포 도함수의 유한 선형 결합이다. 즉, 정수 $m$과 복소 상수 $a\_\backslash alpha$가 존재하여

:$$T\; =\; \backslash sum\_\{|\backslash alpha|\backslash leq\; m\}\; a\_\backslash alpha\; \backslash partial^\backslash alpha(\backslash tau\_P\backslash delta)$$

여기서 $\backslash tau\_P$는 평행 이동 연산자이다.

5.3. 코시 주요값

실수선 위에서 함수 $f(x)=x(\backslash ln|x|-1)$는 연속 함수이다. 이 함수의 도함수는 다음과 같다.

::$f\text{'}(x)=\backslash ln|x|$는 연속 함수가 아니지만, 국소 적분 가능 함수이다.

::$f$(x)=\operatorname{pv}1/x는 코시 주요값 ($\backslash operatorname\{pv\}$)을 사용하여 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash begin\{align\}$
\int f(x)g(x)&=\lim_{\epsilon\to0^+}\left(\int_{-\epsilon}^\epsilon f(x)g(x) + \int_\epsilon^\infty\frac{g(x)-g(-x)}x\right)\\
&=\lim_{\epsilon\to0^+}\left(\frac{g(\epsilon)-g(-\epsilon)}{2\epsilon}2\epsilon\ln|\epsilon|
-\left(g'(\epsilon)+g'(-\epsilon)\right)\epsilon(\ln|\epsilon|-1)
+\int_{-\epsilon}^\epsilon x(\ln|x|-1)g(x) + \int_\epsilon^\infty\frac{g(x)-g(-x)}x\right)\\
&=\lim_{\epsilon\to0^+}\int_\epsilon^\infty\frac{g(x)-g(-x)}x\\
&=\operatorname{pv}\int \frac{g(x)}x
\end{align}

::$f$(x)=-\operatorname{fp}1/x^2는 아다마르 유한 성분(partie finie^프랑스어) ($\backslash operatorname\{fp\}$)을 사용하여 다음과 같이 정의된다.

:$$
\begin{align}
\int f(x)g(x)&=\lim_{\epsilon\to0^+}\left(\int_{-\epsilon}^\epsilon f(x)g(x)-\int_\epsilon^\infty\frac{g(x)+g(-x)}{x^2}\right)\\
&=\lim_{\epsilon\to0^+}\left(
[f(x)g(x)]_{-\epsilon}^\epsilon
-[f'(x)g'(x)]_{-\epsilon}^\epsilon
+[f(x)g(x)]_{-\epsilon}^\epsilon
-\int_{-\epsilon}^\epsilon f(x)g(x)
-\int_\epsilon^\infty\frac{g(x)+g(-x)}{x^2}\right)\\
&=\lim_{\epsilon\to0^+}\left(
\frac{g(\epsilon)+g(-\epsilon)}{\epsilon}
+0+0+0
-\int_\epsilon^\infty\frac{g(x)+g(-x)}{x^2}\right)\\
&=\lim_{\epsilon\to0^+}\left(
2g(0)/\epsilon
+0+0+0
-\int_\epsilon^\infty\frac{g(x)+g(-x)}{x^2}\right)\\
&=-\operatorname{pf}\int\frac{g(x)}{x^2}
\end{align}

보다 일반적으로, $f^\{(n)\}=(-1)^n\backslash operatorname\{pf\}x^\{1-n\}$는 다음과 같이 정의된다.

:$$
\begin{align}
\int f^{(n)}(x)g(x)&=\lim_{\epsilon\to0^+}\left(\int_{-\epsilon}^\epsilon f^{(n)}(x)g(x)+\int_\epsilon^\infty\frac{g(x)+(-1)^{n-1}g(-x)}{x^{n-1}}\right)\\
&=\lim_{\epsilon\to0^+}\left(
\sum_{i=0}^{n-1}
(-)^i[f^{(n-1-i)}g^{(i)}]_{-\epsilon}^\epsilon
+(-1)^n\int_{-\epsilon}^\epsilon f(x)g^{(n)}(x)+\int_\epsilon^\infty\frac{g(x)+(-1)^{n-1}g(-x)}{x^{n-1}}\right)\\
&=\lim_{\epsilon\to0^+}\left(
2
\sum_{j=0}^{\lfloor(n-3)/2\rfloor}
\epsilon^{-2j-1}
g^{(n-2j-3)}(0)
\sum_{k=0}^{n-2j-3}
\frac1{k!}
+\int_\epsilon^\infty\frac{(-1)^ng(x)-g(-x)}{x^{n-1}}\right)\\
\end{align}


코시 주요값은 함수는 아니지만 분포이다. 아다마르 유한 성분은 분포의 예이다.

6. 관련 개념

콜롱보 대수(Colombeau algebra)는 분포와 달리 곱셈이 정의되는 일반화 함수 이론이다. 콜롱보 대수의 원소는 분포로 수렴하는 함수열로 구성되는데, 콜롱보 대수에서의 곱셈은 일반적으로 함수열에 의존한다.

흐름(current)은 분포의 개념을 미분 형식으로 일반화한 것이며, 조르주 드 람이 도입하였다. n차원 유클리드 공간에서 n차 흐름과 분포는 일치하지만, 임의의 매끄러운 다양체에서는 이는 성립하지 않는다.

6.1. 사토 초함수

사토 간오의 대수적 해석학에서 발전된 사토 초함수는 정칙 함수를 시험 함수로 사용하는 초함수 이론이다. 층 이론과 다변수 복소 해석을 사용하여, 파인만의 경로 적분과 같은 형식적인 방법들을 엄밀한 수학으로 다룰 수 있게 해준다.

7. 응용

분포는 편미분 방정식의 해를 구하는 데 사용될 수 있다. 물리학, 공학 등에서 나타나는 비연속적인 문제를 미분 방정식으로 나타낼 때 분포가 해로 나타나는 경우가 많다. 신호 처리, 확률론 등 다양한 분야에서 응용된다.

7.1. 편미분 방정식

모든 적분 가능한 함수는 분포들의 공간에서 미분을 가지며, 이를 이용해 편미분 방정식의 해를 구할 수 있다. 물리학이나 공학에서 나타나는 비연속적인 문제들을 미분 방정식으로 나타내면 이는 분포를 해로 갖는 경우가 많으며, 대표적인 예로 디랙 델타 분포가 있다.

$A\; :\; \backslash mathcal\{D\}(U)\; \backslash to\; \backslash mathcal\{D\}(U)$를 편미분 연산자 $\backslash tfrac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x\_k\}$라고 하자. $A$를 확장하기 위해 전치 연산자를 계산하면 다음과 같다.

$$\backslash begin\{align\}$$
\langle {}^{t}A(D_\psi), \phi \rangle
&= \int_U \psi (A\phi) \,dx \\
&= \int_U \psi \frac{\partial\phi}{\partial x_k} \, dx \\[4pt]
&= -\int_U \phi \frac{\partial\psi}{\partial x_k}\, dx && \text{(부분 적분)} \\[4pt]
&= -\left\langle \frac{\partial\psi}{\partial x_k}, \phi \right\rangle \\[4pt]
&= -\langle A \psi, \phi \rangle = \langle - A \psi, \phi \rangle
\end{align}

따라서 $\{\}^\{t\}A\; =\; -A$이다. 좌표 $x\_k$에 대한 $T$의 편미분은 다음 공식으로 정의된다.

$$\backslash left\backslash langle\; \backslash frac\{\backslash partial\; T\}\{\backslash partial\; x\_k\},\; \backslash phi\; \backslash right\backslash rangle\; =\; -\; \backslash left\backslash langle\; T,\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash phi\}\{\backslash partial\; x\_k\}\; \backslash right\backslash rangle\; \backslash qquad\; \backslash text\{\; for\; all\; \}\; \backslash phi\; \backslash in\; \backslash mathcal\{D\}(U).$$

이 정의를 사용하면 모든 분포는 무한히 미분 가능하며, $x\_k$ 방향의 도함수는 $\backslash mathcal\{D\}\text{'}(U)$에 대한 선형 연산자이다.

다중 지수 $\backslash alpha$에 대해, 분포 $T\; \backslash in\; \backslash mathcal\{D\}\text{'}(U)$의 편도함수 $\backslash partial^\backslash alpha\; T$는 다음과 같이 정의된다.

$$\backslash langle\; \backslash partial^\backslash alpha\; T,\; \backslash phi\; \backslash rangle\; =\; (-1)^$$