미분 연산자

1. 개요

미분 연산자는 매끄러운 다양체 사이의 매끄러운 단면을 실수 선형 변환하는 연산자이다. 다양한 방법으로 정의될 수 있으며, 함수와 그 미분을 포함하는 고계 미분에 의해 유한하게 생성되는 연산자를 말한다. 미분 연산자는 국소 좌표계에서 특정 꼴의 연산자들의 합으로 표현되며, 차수는 연산자의 종류를 나타낸다. 미분은 선형 연산이며, 함수 계수를 가진 다항식은 미분 연산자가 된다. 미분 연산자는 물리 과학, 미분 기하학, 추상대수학 등 다양한 분야에서 활용되며, 라플라스 연산자, 델 연산자 등이 예시로 제시된다.

2. 정의

매끄러운 다양체 $M$ 위의 두 매끄러운 벡터 다발 $E,\; F$가 주어졌을 때, $E$와 $F$의 매끄러운 단면들의 실수 벡터 공간 $\backslash Gamma^\backslash infty(E)$와 $\backslash Gamma^\backslash infty(F)$를 생각할 수 있다.

$E$와 $F$ 사이의 미분 연산자는 특정한 형태의 실수 선형 변환 $D\backslash colon\backslash Gamma^\backslash infty(E)\backslash to\backslash Gamma^\backslash infty(F)$이다. 미분 연산자는 다음과 같이 여러 방법으로 정의될 수 있다.

* 국소 좌표계에서, 미분 연산자는 다음과 같이 표현될 수 있다.
:$Pu(x)\; =\; \backslash sum\_\{|\backslash alpha|\; =\; k\}\; P^\backslash alpha(x)\; \backslash frac\; \{\backslash partial^\backslash alpha\; u\}\; \{\backslash partial\; x^\{\backslash alpha\}\}\; +\; \backslash text\{lower-order\; terms\}$
여기서 각 다중 지표 α에 대해, $P^\backslash alpha(x):E\; \backslash to\; F$는 다발 사상이며, 지표 α에 대해 대칭이다.

* 함수 공간 $\backslash mathcal\{F\}\_1$에서 다른 함수 공간 $\backslash mathcal\{F\}\_2$로의 사상 $A$가 존재하고, $u\; \backslash in\; \backslash mathcal\{F\}\_1$의 상이 되는 함수 $f\; \backslash in\; \backslash mathcal\{F\}\_2$(즉 $f=A(u)$)가 존재한다고 가정하면, 미분 연산자는 $u$ 및 그 고계 미분에 의해 유한하게 생성되는 연산자를 말한다.
:$P(x,D)=\backslash sum\_\{|\backslash alpha|\backslash le\; m\}a\_\backslash alpha(x)\; D^\backslash alpha$
여기서, 음이 아닌 정수의 열 $\backslash alpha=(\backslash alpha\_1,\backslash alpha\_2,\backslash cdots,\backslash alpha\_n)$은 다중 지수, $|\backslash alpha|=\backslash alpha\_1+\backslash alpha\_2+\backslash cdots+\backslash alpha\_n$는 길이, $a\_\backslash alpha(x)$는 n-차원 공간 내의 열린 영역 위의 함수이며, $D^\backslash alpha=D^\{\backslash alpha\_1\}\; D^\{\backslash alpha\_2\}\; \backslash cdots\; D^\{\backslash alpha\_n\}$이다.

2.1. 구체적 정의

임의의 국소 좌표계에서, 미분 연산자는 코쥘 접속과 벡터장의 합성으로 표현될 수 있다. 즉, 다음과 같은 꼴의 연산자들의 합으로 나타내어진다.
:$s\backslash nabla\_\{X\_1\}\backslash nabla\_\{X\_2\}\backslash cdots\backslash nabla\_\{X\_k\}\backslash colon\backslash Gamma^\backslash infty(E)\backslash to\backslash Gamma^\backslash infty(F)$
여기서
* $k\backslash in\backslash mathbb\; N$는 자연수(음이 아닌 정수)이다.
* $\backslash nabla$는 $E$의 임의의 코쥘 접속이다.
* $s\backslash in\backslash Gamma^\backslash infty(E^*\backslash otimes\; F)$는 $E^*\backslash otimes\; F$의 임의의 매끄러운 단면이다.
* $X\_1,\backslash dots,X\_k\backslash in\backslash Gamma^\backslash infty(\backslash mathrm\; TM)$는 $M$ 위의 매끄러운 벡터장이다.

이러한 표현은 유일하지 않지만, 가능한 최소의 $k$를 미분 연산자의 차수(degree^영어)라고 한다.

좀 더 일반적으로, E와 F가 다양체 X 위의 벡터 다발일 때, 선형 연산자
:$P:\; C^\backslash infty(E)\; \backslash to\; C^\backslash infty(F)$
는 국소 좌표에서 다음과 같이 나타낼 때 차수 $k$의 미분 연산자이다.
:$Pu(x)\; =\; \backslash sum\_\{|\backslash alpha|\; =\; k\}\; P^\backslash alpha(x)\; \backslash frac\; \{\backslash partial^\backslash alpha\; u\}\; \{\backslash partial\; x^\{\backslash alpha\}\}\; +\; \backslash text\{lower-order\; terms\}$
여기서 각 다중 지표 α에 대해, $P^\backslash alpha(x):E\; \backslash to\; F$는 다발 사상이며, 지표 α에 대해 대칭이다.

2.2. 제트 다발을 통한 정의

실수 선형 변환
:$D\backslash colon\backslash Gamma^\backslash infty(E)\backslash to\backslash Gamma^\backslash infty(F)$
가 주어졌을 때, 만약 다음과 같은 꼴의 분해가 존재한다면, $D$를 $k$차 미분 연산자라고 한다.
:$D=T\backslash circ\; \backslash mathrm\; j^k$
여기서
* $\backslash mathrm\; j^k\backslash colon\backslash Gamma^\backslash infty(E)\backslash to\backslash Gamma^\backslash infty(\backslash mathrm\; J^kE)$는 $E$의 $k$차 제트 연장이다.
* $\backslash mathrm\; J^kE$는 $E$의 $k$차 제트 다발이다.
* $T\backslash colon\backslash mathrm\; J^kE\backslash to\; F$는 벡터 다발 사상이다.

미분 기하학과 대수 기하학에서는 두 벡터 다발 사이의 미분 연산자를 좌표에 독립적인 방식으로 표현하는 것이 편리하다. E와 F를 미분 가능 다양체 M 위의 두 벡터 다발이라고 할 때, 단면의 R-선형 사상P : Γ(E) → Γ(F)가 k차 선형 미분 연산자'인 것은 이 사상이 제트 다발 Jk(E)를 통해 인수분해되는 경우이다.

다시 말해, 다음과 같은 벡터 다발의 선형 사상이 존재한다.

:$i\_P:\; J^k(E)\; \backslash to\; F$

위 식은 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$P\; =\; i\_P\backslash circ\; j^k$

여기서 $j^k$: Γ(E) → Γ(Jk(E))는 E의 임의의 단면에 그 k-제트를 대응시키는 연장이다.

이는 주어진 E의 단면 s에 대해, 점 x ∈ M에서의 P(s)의 값은 x에서 s의 k차 미세한 거동에 의해 완전히 결정된다는 것을 의미한다. 특히, P(s)(x)가 x에서 s''의 싹에 의해 결정되며, 이는 미분 연산자가 국소적이라고 말함으로써 표현된다.

2.3. 페트레 정리를 통한 정의

실수 벡터 공간 값의 층 사상
:$D\backslash colon\backslash Gamma^\backslash infty(E)\backslash to\backslash Gamma^\backslash infty(F)$
가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

* 임의의 매끄러운 단면 $s\backslash in\backslash Gamma^\backslash infty(E)$에 대하여, $\backslash operatorname\{supp\}(Ds)\backslash subseteq\backslash operatorname\{supp\}s$. 여기서 $\backslash operatorname\{supp\}$은 층의 지지 집합이다.

그렇다면, $D$를 미분 연산자라고 한다.

이 정의가 다른 정의들과 동치라는 사실은 자명하지 않으며, 페트레 정리(Peetre定理, Peetre’s theorem^영어)라고 한다. 페트레 정리는 미분 연산자의 국소적 성질을 이용하여 정의하는 방법을 제시한다. 즉, 임의의 (선형) 국소 연산자는 미분 연산자이다.

3. 성질

미분은 선형 연산이다. 즉, 함수 f와 g, 상수 a에 대해 다음이 성립한다.

:$D(f+g)\; =\; (Df)+(Dg),$
:$D(af)\; =\; a(Df)$

함수 계수를 가진 D에 대한 모든 다항식은 또한 미분 연산자이다. 우리는 또한 다음 규칙에 따라 미분 연산자를 합성할 수 있다.

:$(D\_1\; \backslash circ\; D\_2)(f)\; =\; D\_1(D\_2(f)).$

여기에는 몇 가지 주의가 필요하다. 먼저 연산자 D₂의 모든 함수 계수는 D₁의 적용이 요구하는 만큼 미분 가능해야 한다. 이러한 연산자의 환을 얻으려면 사용된 계수의 모든 차수에 대한 도함수를 가정해야 한다. 둘째, 이 환은 가환이 아니다. 연산자 gD는 일반적으로 Dg와 동일하지 않다. 예를 들어, 양자역학의 기본적인 관계는 다음과 같다.

:$Dx\; -\; xD\; =\; 1.$

반대로, 상수 계수를 가진 D의 다항식인 연산자의 부분환은 가환이다. 이는 변환 불변 연산자로 구성된다.

미분 연산자는 시프트 정리를 따른다.

콤팩트 매끄러운 다양체 $M$ 위의 두 벡터 다발 $E,F$가 주어졌을 때, $E\backslash to\; F$ 미분 연산자의 공간을 $\backslash mathcal\; D(E,F)$로 표기하면, 모든 미분 연산자 $\backslash Gamma^\backslash infty(E)\backslash to\backslash Gamma^\backslash infty(F)$는 유한한 차수를 가지며, 따라서 차수에 따라 자연스러운 오름 여과

:$\backslash Gamma^\backslash infty(E^*\backslash otimes\; F)=\backslash mathcal\; D\_0(E,F)\backslash subseteq\backslash mathcal\; D\_1(E,F)\backslash subseteq\backslash cdots\backslash subseteq\backslash mathcal\; D\_\backslash infty(E,F)=\backslash mathcal\; D(E,F)$

가 존재한다. 그러나 이 여과는 자연스럽게 등급을 이루지 않는다.

미분 연산자의 차수 여과는 합성에 대하여 다음과 같이 호환된다.

:$\backslash mathcal\; D\_n(E\text{'},E$)\circ\mathcal D_m(E,E')\subseteq\mathcal D_{m+n}(E,E)

매끄러운 다양체 $M$ 위의 $\backslash mathcal\; C^\backslash infty(M,\backslash mathbb\; C)\backslash to\backslash mathcal\; C^\backslash infty(M,\backslash mathbb\; C)$ 미분 연산자는 유사 미분 연산자이다.

3.1. 등급 대수

콤팩트 매끄러운 다양체 $M$ 위의 벡터 다발 $E$가 주어졌을 때, 미분 연산자의 공간은 다음과 같은 등급 대수를 이룬다.
:$\backslash operatorname\{gr\}\backslash mathcal\; D(E)=\backslash bigoplus\_\{i=0\}^\backslash infty\backslash frac\{\backslash mathcal\; D\_i(E)\}\{\backslash mathcal\; D\_\{i-1\}(E)\}$
(여기서 편의상 $\backslash mathcal\; D\_\{i-1\}(E)=\backslash \{0\backslash \}$으로 간주한다.)

이 등급 대수는 다음 벡터 다발의 매끄러운 단면들의 공간과 등급 대수로서 동형이다.
:$\backslash Gamma^\backslash infty\backslash left(\backslash operatorname\{Sym\}(\backslash mathrm\; TM)\backslash otimes\backslash operatorname\{End\}(E)\backslash right)\backslash cong\backslash operatorname\{gr\}\backslash mathcal\; D(E)$
여기서
* $\backslash operatorname\{Sym\}(\backslash mathrm\; TM)$은 각 점에서의 올이 접공간의 대칭 대수인 벡터 다발이다.
* $\backslash operatorname\{End\}(E)=E\backslash otimes\; E^*$는 $E$ 위의 자기 벡터 다발 사상들로 구성된 벡터 다발이다.

이 동형 사상은 다음과 같이 주어진다.
:$X\_1\backslash otimes\; X\_2\backslash otimes\backslash cdots\backslash otimes\; X\_k\backslash otimes\; T\backslash mapsto\; [T\backslash nabla\_\{X\_1\}\backslash nabla\_\{X\_2\}\backslash cdots\backslash nabla\_\{X\_k\}]\backslash qquad\backslash forall\; X\_1,\backslash dots,X\_k\backslash in\backslash Gamma^\backslash infty(\backslash mathrm\; TM),\backslash ;T\backslash in\backslash Gamma^\backslash infty(E\backslash otimes\; E^*)$
여기서 $\backslash nabla$는 $E$ 위에 정의된 임의의 코쥘 접속이다.

3.2. 주표상

여접다발 위에 정의되는 완전 대칭 다항식으로, 미분 연산자의 차수를 나타낸다. 대략 미분 연산자의 최고차항에서 편미분 연산자를 형식적인 변수 $\backslash partial\_i\backslash mapsto\backslash xi\_i$로 치환한 것이다.

구체적으로, 매끄러운 다양체 $M$ 위의 두 매끄러운 벡터 다발 $E,F\backslash to\; X$ 사이의 미분 연산자 $D\backslash colon\backslash Gamma^\backslash infty(E)\backslash to\backslash Gamma^\backslash infty(F)$를 생각하자. 임의의 매끄러운 단면 $u\backslash in\backslash Gamma^\backslash infty(E)$에 대하여, 국소 좌표계에서 $D$가
:$D\backslash colon\; u(x)\backslash mapsto\backslash sum\_IP^I(x)\backslash partial\_Iu$
의 꼴이라고 하자. 여기서 $I$는 다중지표이고, $D^I\backslash colon\; E\backslash to\; F$는 다발 사상이다. 여기서 $D^I$는 다중지표의 성분들의 순열에 무관하다.

$D$의 차수
:$k=\backslash max\backslash \{|I|\backslash colon\; P^I\backslash ne0\backslash \}$
가 유한하다고 하자. 그렇다면 미분 연산자 $D$의 주표상
:$\backslash sigma\_D\backslash in\backslash Gamma^\backslash infty\backslash left(\backslash operatorname\{Sym\}^k(\backslash mathrm\; TX)\backslash otimes\; E^*\backslash otimes\; F\backslash right)$
은 $(k,0)$차 완전 대칭 텐서장이며, 다음과 같다.
:$\backslash sigma\_D=\backslash sum\_\{|I|=k\}P^I$
이것이 텐서장으로서 변환한다는 사실을 보일 수 있다.

4. 표기법

변수 x에 대한 1차 미분을 나타내는 일반적인 표기법은 다음과 같다.

:$\{d\; \backslash over\; dx\}$, $D$, $D\_x$, $\backslash partial\_x$

n차 미분을 나타낼 때는 다음 표기법을 사용한다.

:$\{d^n\; \backslash over\; dx^n\}$, $D^n$, $D^n\_x$, $\backslash partial\_x^n$

함수 f의 도함수는 때때로 다음과 같이 표현된다.

:$[f(x)]\text{'}$
:$f\text{'}(x).$

D 표기법은 올리버 헤비사이드가 미분 방정식 연구에서 사용한 것으로 알려져 있다. 그는 다음과 같은 형태의 미분 연산자를 고려했다.

:$\backslash sum\_\{k=0\}^n\; c\_k\; D^k$

자주 사용되는 미분 연산자 중 하나는 라플라스 연산자이며, 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash Delta\; =\; \backslash nabla^2\; =\; \backslash sum\_\{k=1\}^n\; \backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; x\_k^2\}$

세타 연산자는 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash Theta\; =\; z\; \{d\; \backslash over\; dz\}$

이 연산자는 고유 함수가 z의 단항식이기 때문에 동차성 연산자라고도 불린다.

:$\backslash Theta\; (z^k)\; =\; k\; z^k,\backslash quad\; k=0,1,2,\backslash dots$

n개 변수의 동차성 연산자는 다음과 같다.

:$\backslash Theta\; =\; \backslash sum\_\{k=1\}^n\; x\_k\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x\_k\}$

일반적으로 미분 연산자의 인자는 연산자 오른쪽에 위치한다. 하지만 다른 표기법도 사용되는데, 연산자를 왼쪽에 있는 함수와 오른쪽에 있는 함수에 적용한 결과, 그리고 양쪽에 적용했을 때의 차이를 화살표로 나타낸다.

:$f\; \backslash overleftarrow\{\backslash partial\_x\}\; g\; =\; g\; \backslash cdot\; \backslash partial\_x\; f$
:$f\; \backslash overrightarrow\{\backslash partial\_x\}\; g\; =\; f\; \backslash cdot\; \backslash partial\_x\; g$
:$f\; \backslash overleftrightarrow\{\backslash partial\_x\}\; g\; =\; f\; \backslash cdot\; \backslash partial\_x\; g\; -\; g\; \backslash cdot\; \backslash partial\_x\; f$

이러한 양방향 화살표 표기법은 양자 역학에서 확률 전류를 설명하는 데 사용된다.

5. 예시

미분 연산자에는 여러 종류가 있으며, 각각 다른 특징과 응용 분야를 가진다. 몇 가지 예는 다음과 같다.

* 실수선 위의 미분 연산자: 다음과 같은 형태를 가진다.
:$D=\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; f\_n(x)\backslash frac\{\backslash mathrm\; d^n\}\{\backslash mathrm\; dx^n\}$
* 타원형 미분 연산자: 기호가 가역적이며, 콤팩트 다양체에서 프레드홀름 연산자이다. 유한 차원의 커널과 코커널을 갖는다.
* 쌍곡형/포물형 편미분 방정식의 특성선: 쌍곡형 편미분 방정식과 포물형 편미분 방정식 연구에서 주 기호의 영점은 방정식의 특성선에 해당한다.
* 복소변수 함수: 복소변수 z = x + i y의 정칙 함수를 연구할 때, 복소 함수는 두 개의 실변수 x, y의 함수로 간주될 수 있다. 이때 비르팅거 미분이 사용된다.
* 키랄 미분 연산자: [https://ncatlab.org/nlab/show/chiral+differential+operator] 참조.

5.1. 벡터 연산자

유클리드 공간 $\backslash mathbb\; R^n$ 위의 실수 값 매끄러운 함수는 자명한 벡터 다발 $\backslash mathbb\; R\backslash times\backslash mathbb\; R^n$의 매끄러운 단면이며, 벡터장은 자명한 벡터 다발 $\backslash mathbb\; R^n\backslash times\backslash mathbb\; R^n=\backslash operatorname\; T\backslash mathbb\; R^n$의 매끄러운 단면이다. 이 경우, 매끄러운 함수의 기울기, 발산 및 회전은 모두 1차 미분 연산자이다.

* 기울기
:$\backslash operatorname\{grad\}\backslash colon\backslash mathcal\; C^\backslash infty(\backslash mathbb\; R^n,\backslash mathbb\; R)\backslash to\backslash mathcal\; C^\backslash infty(\backslash mathbb\; R^n,\backslash mathbb\; R^n)$
* 발산
:$\backslash operatorname\{div\}\backslash colon\backslash mathcal\; C^\backslash infty(\backslash mathbb\; R^n,\backslash mathbb\; R^n)\backslash to\backslash mathcal\; C^\backslash infty(\backslash mathbb\; R^n,\backslash mathbb\; R)$
* 회전
:$\backslash operatorname\{curl\}\backslash colon\backslash mathcal\; C^\backslash infty(\backslash mathbb\; R^n,\backslash mathbb\; R^n)\backslash to\backslash mathcal\; C^\backslash infty(\backslash mathbb\; R^n,\backslash mathbb\; R^n)$

나블라 미분 연산자 ∇는 나블라 연산자라고도 불리며, 중요한 벡터 미분 연산자이다. 물리학에서 빈번하게, 맥스웰 방정식의 미분 형태와 같은 곳에 나타난다. 삼차원 직교 좌표계에서 ∇는

:$\backslash nabla\; =\; \backslash mathbf\{\backslash hat\{x\}\}\; \{\backslash partial\; \backslash over\; \backslash partial\; x\}\; +\; \backslash mathbf\{\backslash hat\{y\}\}\; \{\backslash partial\; \backslash over\; \backslash partial\; y\}\; +\; \backslash mathbf\{\backslash hat\{z\}\}\; \{\backslash partial\; \backslash over\; \backslash partial\; z\}$

로 정의된다. ∇는 다양한 대상의 경사, 회전, 발산 및 라플라시안 계산에 사용된다.

5.2. 라플라스 연산자

준 리만 다양체 $(M,g)$ 위에는 2차 미분 연산자인 라플라스 연산자

:$\backslash Delta\backslash colon\; C^\backslash infty(X)\backslash to\; C^\backslash infty(X)$

가 존재하며, 그 주표상은

:$\backslash sigma\_\backslash Delta(\backslash xi)=g^\{-1\}(\backslash xi,\backslash xi)$

이다. 만약 $M$이 리만 다양체라면 이는 타원형 미분 연산자이다.

슈투름-리우빌 연산자는 잘 알려진 형식 자기 수반 연산자이다. 이 2계 선형 미분 연산자 L은 다음과 같은 형태로 쓸 수 있다.

:$Lu\; =\; -(pu\text{'})\text{'}+qu=-(pu$+p'u')+qu=-pu-p'u'+qu=(-p) D^2 u +(-p') D u + (q)u.

이 성질은 위의 형식 수반의 정의를 사용하여 증명할 수 있다.

:$\backslash begin\{align\}$
L^*u & {} = (-1)^2 D^2 [(-p)u] + (-1)^1 D [(-p')u] + (-1)^0 (qu) \\
& {} = -D^2(pu) + D(p'u)+qu \\
& {} = -(pu)+(p'u)'+qu \\
& {} = -pu-2p'u'-pu+pu+p'u'+qu \\
& {} = -p'u'-pu''+qu \\
& {} = -(pu')'+qu \\
& {} = Lu
\end{align}

이 연산자는 슈투름-리우빌 이론에서 중심적인 역할을 하며, 여기에서는 이 연산자의 고유 함수 (고유 벡터에 해당)가 고려된다.

5.3. 디랙 연산자

스핀 다양체 $M$ 위의 1차 미분 연산자인 디랙 연산자는 다음과 같다.

:$D=\backslash gamma^i\backslash nabla\_i\backslash colon\; SM\backslash to\; SM$

이 연산자의 주표상은 다음과 같다.

:$\backslash sigma\_D(\backslash xi)=\backslash gamma^i\backslash xi\_i$

여기서 $SM$은 $M$의 스피너 다발이고, $\backslash gamma^i$는 디랙 행렬이다. 디랙 연산자는 항상 약타원형 미분 연산자이다.

6. 역사

미분 연산자를 (단순히 함수의 도함수를 나타내는 기호가 아니라) 스스로 존재하는 대상으로 여기는 것은 루이 프랑수아 앙투안 아르보가스트(Louis François Antoine Arbogast^프랑스어, 1759~1803)의 1800년 저서가 최초라고 여겨진다.

야크 페트레(Jaak Peetre^{에스토니아어}, 1935~)는 페트레 정리를 증명하였다.

7. 응용

물리 과학에서 라플라스 연산자와 같은 연산자는 편미분 방정식을 풀거나 설정하는 데 중요한 역할을 한다. 미분 위상 기하학에서 외미분과 리 미분 연산자는 내재적인 의미를 갖는다.

추상대수학에서 derivation (abstract algebra)^영어 개념은 미적분학을 사용하지 않는 미분 연산자의 일반화를 가능하게 한다. 이러한 일반화는 대수 기하학이나 가환대수학에서 자주 다루어진다.

복소 변수에 관한 정칙 함수 연구에서, 복소 함수를 두 개의 실수 변수 함수로 생각할 수 있다. 이는 비르팅거 미분 구성에 이용될 수 있다. 이 접근법은 다변수 복소 함수와 분해형 복소 변수 함수 연구에도 사용된다.

7.1. 물리학

물리 과학 응용 분야에서 라플라스 연산자와 같은 연산자는 편미분 방정식을 풀거나 설정하는 데 중요한 역할을 한다.

7.2. 미분 위상수학

미분 위상 기하학에서 외미분과 리 미분 연산자는 내재적인 의미를 갖는다.

7.3. 추상대수학

추상대수학에서 derivation (abstract algebra)^영어 개념은 미적분학을 사용하지 않는 미분 연산자의 일반화를 가능하게 한다. 이러한 일반화는 대수 기하학이나 가환대수학에서 자주 다루어진다.

7.4. 복소해석학

복소 변수 에 관한 정칙 함수 연구에서, 복소 함수를 두 개의 실수 변수 의 함수로 생각할 수 있다. 이는 비르팅거 미분 () 구성에 이용될 수 있다. 이 접근법은 다변수 복소 함수와 분해형 복소 motor variable^영어 연구에도 사용된다.

8. 다항식 계수 미분 연산자 환

환 을 계수로 하고, 및 를 변수로 하는 비가환 다항식환 의 양쪽 아이디얼 를 로 생성되는 것으로 한다. 즉, 다음과 같다.

:$I\; =\; ([D,X]-1)\; =\; (DX-XD-1)$

이 때, 잉여환 를 위의 일변수 다항식 계수 미분 작용소환이라고 부른다. 이 환은 비가환 단순환이다. 그 임의의 원소는 형태의 단항식의 -선형 결합으로 유일하게 쓸 수 있다. 이로 인해, 이 환 위에서 다항식의 유클리드 나눗셈에 대응하는 연산이 보장된다.

위의 (표준 미분에 대한) 미분 가군은 위의 가군과 동일시할 수 있다.

환 을 계수로 하고, 및 을 변수로 하는 -변수의 비가환 다항식 환 의 아이디얼 를 다음과 같이 정의한다.

:$I=\backslash left(\backslash begin\{matrix\}\; [D\_i,\; X\_j]-\backslash delta\_\{i,j\},\backslash \backslash [2pt]\; [D\_i,\; D\_j],\backslash \backslash [2pt]\; [X\_i,\; X\_j]\; \backslash end\{matrix\}\backslash Bigg|\backslash ;\; 1\backslash le\; i,j\backslash le\; n\backslash right)$

여기서 는 크로네커 델타이다. 이때, 잉여환 를 -변수의 다항식 계수 미분 작용소 환이라고 부른다. 이 환은 비가환 단순 환이다. 임의의 원소는 형태의 단항식의 -선형 결합으로 유일하게 쓸 수 있다. (는 로 표현된다.)

9. 좌표에 의존하지 않는 기술

미분 기하학과 대수 기하학에서 두 벡터 다발 사이의 미분 연산자를 좌표에 독립적인 방식으로 표현하는 것이 종종 편리하다. E와 F를 미분 가능 다양체 M 위의 두 벡터 다발이라고 하자. 단면의 R-선형 사상 P : Γ(E) → Γ(F)는 이 사상이 제트 다발 Jk(E)를 통해 인수분해될 때 k차 선형 미분 연산자라고 한다.

다시 말해, 다음과 같은 벡터 다발의 선형 사상이 존재한다.

:$i\_P:\; J^k(E)\; \backslash to\; F$

그리고 다음이 성립한다.

:$P\; =\; i\_P\backslash circ\; j^k$

여기서 $j^k$는 E의 임의의 단면에 그 k-제트를 대응시키는 연장이다.

이는 주어진 E의 단면 s에 대해, 점 x ∈ M에서의 P(s)의 값은 x에서 s의 k차 미세한 거동에 의해 완전히 결정된다는 것을 의미한다. 특히, 이는 P(s)(x)가 x에서 s''의 싹에 의해 결정된다는 것을 의미하며, 이는 미분 연산자가 국소적이라고 말함으로써 표현된다. 기본적인 결과는 반대도 참임을 보여주는 페트리 정리이다. 즉, 모든 (선형) 국소 연산자는 미분 연산자이다.

10. 관련 개념

(이전 출력에서 원본 소스에 내용이 없어 빈칸으로 출력되었으므로, 수정할 내용이 없습니다. 따라서 이전과 동일하게 빈칸으로 출력합니다.)

10.1. 형식적 수반 연산자

선형 미분 연산자 $T$가 다음과 같이 주어졌다고 하자.

:$$Tu\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^n\; a\_k(x)\; D^k\; u$$

이 연산자의 수반 연산자는 다음을 만족하는 연산자 $T^*$로 정의된다.

:$$\backslash langle\; Tu,v\; \backslash rangle\; =\; \backslash langle\; u,\; T^*v\; \backslash rangle$$

여기서 $\backslash langle\backslash cdot,\backslash cdot\backslash rangle$는 스칼라 곱 또는 내적을 나타낸다. 이 정의는 스칼라 곱 (또는 내적)의 정의에 따라 달라진다.

제곱 적분 가능 함수 공간, 즉 실수 구간에서 정의된 공간에서, 스칼라 곱은 다음과 같이 정의된다.

:$$\backslash langle\; f,\; g\; \backslash rangle\; =\; \backslash int\_a^b\; \backslash overline\{f(x)\}\; \backslash ,g(x)\; \backslash ,dx\; ,$$

여기서 f(x) 위에 있는 가로줄은 f(x)의 복소 켤레를 나타낸다. 만약 f 또는 g가 $x\; \backslash to\; a$ 및 $x\; \backslash to\; b$에서 0이 된다는 조건을 추가하면, 다음과 같이 T의 수반 연산자를 정의할 수 있다.

:$$T^*u\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^n\; (-1)^k\; D^k\; \backslash left[\; \backslash overline\{a\_k(x)\}\; u\; \backslash right].$$

이 공식은 스칼라 곱의 정의에 명시적으로 의존하지 않는다. 따라서 때때로 수반 연산자의 정의로 선택된다. $T^*$가 이 공식에 따라 정의될 때, T의 형식적 수반 연산자라고 부른다.

(형식적) 자기 수반 연산자는 자체 (형식적) 수반 연산자와 동일한 연산자이다.

10.2. 자기 수반 연산자

(형식) 자기 수반 작용소란 자신의 (형식) 수반 작용소와 같은 작용소를 말한다.

슈투름-리우빌 연산자는 잘 알려진 형식 자기 수반 연산자의 예시이다. 이 2계 선형 미분 연산자 L은 다음과 같은 형태로 쓸 수 있다.

:$Lu\; =\; -(pu\text{'})\text{'}+qu=-(pu$+p'u')+qu=-pu-p'u'+qu=(-p) D^2 u +(-p') D u + (q)u.

이 성질은 위의 형식 수반의 정의를 사용하여 증명할 수 있다.

:$\backslash begin\{align\}$
L^*u & {} = (-1)^2 D^2 [(-p)u] + (-1)^1 D [(-p')u] + (-1)^0 (qu) \\
& {} = -D^2(pu) + D(p'u)+qu \\
& {} = -(pu)+(p'u)'+qu \\
& {} = -pu-2p'u'-pu+pu+p'u'+qu \\
& {} = -p'u'-pu''+qu \\
& {} = -(pu')'+qu \\
& {} = Lu
\end{align}

이 연산자는 슈투름-리우빌 이론에서 중심적인 역할을 하며, 여기에서는 이 연산자의 고유 함수 (고유 벡터에 해당)가 고려된다.

11. 같이 보기

* 슈투름-리우빌 이론
* 나블라 연산자