중심대칭행렬

1. 개요

중심대칭행렬은 행렬 A의 i, j번째 원소와 n-i+1, n-j+1번째 원소가 같은 n × n 행렬이다. 교환 행렬 J에 대해 AJ = JA를 만족하는 행렬 A도 중심대칭행렬이다. 중심대칭행렬은 덧셈, 스칼라 곱셈, 행렬 곱셈에 대해 닫혀 있으며, 고유 벡터와 고유값에 대한 특정 성질을 갖는다. 관련 개념으로는 왜곡 중심대칭행렬, 이중 대칭 행렬 등이 있다.

2. 정의

n × n 행렬 A = [A_{i, j}]는 모든 i, j ∈ {1, ..., n}에 대해 A_{i, j} = A_{n-i+1, n-j+1}을 만족할 때 중심대칭행렬이라고 한다. J가 반대각선에 1, 그 외에는 0을 갖는 n × n 교환 행렬을 나타내는 경우, 행렬 A가 중심대칭 행렬일 필요충분 조건은 AJ = JA이다.

3. 예시

모든 2×2 중심대칭행렬은 다음과 같은 형태를 갖는다.
:

모든 3×3 중심대칭행렬은 다음과 같은 형태를 갖는다.
:
$\backslash begin\{pmatrix\}$
a & b & c \\
d & e & d \\
c & b & a
\end{pmatrix}

:$\backslash begin\{pmatrix\}$
{\color{red} {1}} & {\color{red} {2}} & {\color{red} {3}} & {\color{red} {4}} & {\color{red} {5}} \\
{\color{red} {6}} & {\color{red} {7}} & {\color{red} {8}} & {\color{red} {9}} & {\color{red} {10}} \\
{\color{red} {11}} & {\color{red} {12}} & {\color{green} {13}} &12 & 11 \\
10 & 9 & 8 & 7 & 6 \\
5 & 4 & 3 & 2 & 1
\end{pmatrix}

대칭 퇴플리츠행렬(Symmetric Toeplitz matrix)들은 방사형 대칭행렬(중심대칭행렬,centrosymmetric)이다.

4. 성질

체 *F*에 대한 *n* × *n* 중심대칭행렬 *A*와 *B*에 대해, *A* + *B*와 *cA* (*c*는 *F*의 임의의 원소)도 중심대칭행렬이다. 중심대칭행렬의 행렬 곱셈 *AB*도 중심대칭행렬이다. (*JAB* = *AJB* = *ABJ*) 항등 행렬은 중심대칭행렬이다. 따라서 *n* × *n* 중심대칭행렬의 집합은 모든 *n* × *n* 행렬의 결합 대수의 부분 대수를 형성한다.

*A*가 *m* 차원의 고유 기저를 갖는 중심대칭행렬이라면, 그의 *m*개의 고유 벡터 각각은 x = *J*x 또는 x = -*J*x를 만족하도록 선택될 수 있다. (*J*는 교환 행렬) *A*가 서로 다른 고유값을 갖는 중심대칭행렬이라면, *A*와 교환하는 행렬은 중심대칭행렬이어야 한다. *m* × *m* 중심대칭행렬에서 고유 원소의 최대 개수는 (m² + m mod 2) / 2이다.

5. 관련 개념

n × n 행렬 A의 성분이 모든 i, j ∈ {1, ..., n}에 대해 A_{i, j} = -A_{n-i+1, n-j+1}을 만족하면 A는 왜곡 중심대칭행렬이다. 또는, 교환 행렬 J에 대해 AJ = -JA이면 A는 왜곡 중심대칭행렬이다.

중심 대칭 관계 AJ = JA는 자연스러운 일반화로 이어지며, 여기서 J는 대합 행렬 K (즉, K² = I) 또는 더 일반적으로 정수 m > 1에 대해 K^m = I를 만족하는 행렬 K로 대체된다. 고정 행렬 A와 교환하는 모든 대합 K를 식별하는 교환 관계 AK = KA에 대한 역 문제도 연구되었다.

대칭 행렬 중심 대칭 행렬은 때때로 이중 대칭 행렬이라고 한다. 기저체가 실수인 경우, 이중 대칭 행렬은 교환 행렬로 사전 또는 사후 곱셈을 수행한 후 가능한 부호 변경을 제외하고 고유값이 동일하게 유지되는 정확한 대칭 행렬인 것으로 나타났다. 에르미트 행렬 중심 대칭 및 왜곡 중심 대칭 행렬에 대해서도 유사한 결과가 적용된다.

5.1. 왜곡 중심대칭행렬

n × n 행렬 A의 성분이 모든 i, j ∈ {1, ..., n}에 대해 A_{i, j} = -A_{n-i+1, n-j+1}을 만족하면 A는 왜곡 중심대칭행렬이다. 또는, 교환 행렬 J에 대해 AJ = -JA이면 A는 왜곡 중심대칭행렬이다.

중심 대칭 관계 AJ = JA는 자연스러운 일반화로 이어지며, 여기서 J는 대합 행렬 K (즉, K² = I) 또는 더 일반적으로 정수 m > 1에 대해 K^m = I를 만족하는 행렬 K로 대체된다. 고정 행렬 A와 교환하는 모든 대합 K를 식별하는 교환 관계 AK = KA에 대한 역 문제도 연구되었다.

5.2. 일반화

5.3. 이중 대칭 행렬

대칭 행렬이면서 중심대칭행렬인 행렬을 이중 대칭 행렬이라고 부르기도 한다. 기저체가 실수인 경우, 이중 대칭 행렬은 교환 행렬로 사전 또는 사후 곱셈을 수행한 후 가능한 부호 변경을 제외하고 고유값이 동일하게 유지되는 대칭 행렬이다. 에르미트 행렬 중심 대칭 및 왜곡 중심 대칭 행렬에 대해서도 유사한 결과가 적용된다.

6. 추가 정보

중심대칭행렬은 일반적으로 행렬의 대각선인 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 내려오는 사선($\backslash left(\; \backslash ;\; \backslash Bigg\backslash backslash\; \backslash ;\; \backslash right)$)뿐만 아니라, 반대각선인 왼쪽 아래에서 오른쪽 위로 올라가는 사선($\backslash left(\; \backslash ;\; \backslash Bigg/\; \backslash ;\; \backslash right)$)에 대해서도 대칭성을 가진다. 이러한 행렬의 구조적 성질은 이들이 교차하는 중심점과 이들이 대칭되는 중심축을 예상할 수 있는 정보를 제공한다.