질량 간극

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1. 개요
2. 수학적 정의
- 2.1. 상관 함수
- 2.2. 전파자
3. 고전 이론에서의 예시
- 3.1. 자발 대칭 깨짐
- 3.2. 4차 질량이 없는 스칼라 장 이론
4. 양-밀스 이론
- 4.1. 글루볼
- 4.2. 밀레니엄 문제
5. 캘런-리만 표현
- 5.1. 스펙트럼 밀도 함수
- 5.2. 전파자
참조

1. 개요

질량 간극은 양자장론에서 해밀토니안 스펙트럼의 가장 낮은 에너지 값으로, 입자가 질량을 갖는 현상을 의미한다. 수학적으로는 그린 함수의 두 점 함수가 특정 성질을 만족할 때 존재한다고 정의되며, 전파자의 극한을 통해 확인할 수 있다. 자발적인 대칭 깨짐이나 힉스 메커니즘과 같은 고전 이론에서 나타날 수 있으며, 양-밀스 이론과 같은 이론에서 격자 계산을 통해 질량 간극의 존재가 제시되었으나, 이론적인 증명은 아직 해결되지 않은 문제로 남아있다. Källén–Lehmann 스펙트럼 표현을 통해 스펙트럼 밀도 함수와 전파자를 나타낼 수 있으며, 게이지 이론에서는 이 표현이 성립하지 않을 수 있다.

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질량 간극
질량 간극
힉스 메커니즘을 묘사한 다이어그램.
개요
분야	양자장론, 수학적 물리학
설명	양자장론에서 가장 낮은 에너지의 여기 상태와 기저 상태 사이의 에너지 차이.

2. 수학적 정의

주어진 실수값 양자장 $\phi(x)$ 에 대해, 이론의 두 점 함수를 통해 질량 간극을 정의할 수 있다. 이 방식은 양-밀스 이론이 격자에서 질량 간극을 갖는다는 것을 증명하는 데 사용되었다.^[1]^[2]

2. 1. 상관 함수

주어진 실수 장

\phi(x)

에 대하여 상관 함수가 다음과 같은 성질을 가지면,

:

\langle\phi(0,t)\phi(0,0)\rangle\sim \sum_nA_n\exp\left(-\Delta_nt\right)

:

\Delta_0>0

해밀토니언 스펙트럼에서의 최소 에너지에 의해 질량 간극이 생긴다.

주어진 실수값 양자장

\phi(x)

에 대해,

x = (\boldsymbol{x},t)

라고 할 때, 이론의 두 점 함수가 다음 성질을 만족하면 질량 간극이 있다고 말할 수 있다.

\langle\phi(0,t)\phi(0,0)\rangle\sim \sum_nA_n\exp\left(-\Delta_nt\right)

여기서

\Delta_0>0

는 해밀토니안 스펙트럼에서 가장 낮은 에너지 값, 즉 질량 간극이다. 이 양은 다른 장으로 일반화하기 쉽고, 격자 계산에서 일반적으로 측정된다. 이 방식으로 양-밀스 이론이 격자에서 질량 간극을 갖는다는 것이 증명되었다.^[1]^[2] 이에 해당하는 시간 정렬된 값인 전파자는 다음 성질을 갖는다.

\lim_{p\rightarrow 0}\Delta(p)=\mathrm{constant}

여기서 상수는 유한하다. 전형적인 예로는 자유 질량 입자가 있으며, 이 경우 상수는 1/''m''²이다. 같은 극한에서, 질량이 없는 입자의 전파자는 특이점을 갖는다.

2. 2. 전파자

시간 정렬된 값인 전파자는 다음 성질을 갖는다.

:

\lim_{p\rightarrow 0}\Delta(p)=\mathrm{constant}

여기서 상수는 유한하다. 전형적인 예로는 자유 질량 입자가 있으며, 이 경우 상수는 1/''m''²이다. 같은 극한에서, 질량이 없는 입자의 전파자는 특이점을 갖는다.^[1]^[2]

3. 고전 이론에서의 예시

자발적인 대칭 깨짐 또는 힉스 메커니즘에서 질량 간극이 발생할 수 있다. 전자의 경우, 골드스톤 보존과 같은 질량이 없는 여기가 나타나며, 후자의 경우 게이지 자유도로 인해 제거된다. 양자화는 이러한 게이지 자유도 속성을 유지한다.^[3]

4차 질량이 없는 스칼라 장 이론은 고전적 수준에서 이미 질량 간극을 발생시킨다.

: $\Box\phi+\lambda\phi^3=0.$

이 방정식은 정확한 해를 갖는다.

: $\phi(x)=\mu\left(\frac{2}{\lambda}\right)^\frac{1}{4}{\rm sn}\left(p\cdot x+\theta,-1\right)$

여기서 $\mu$ 와 $\theta$ 는 적분 상수이고 sn은 야코비 타원 함수이다. 다음이 주어지는 경우

: $p^2=\mu^2\sqrt{\frac{\lambda}{2}}.$

고전적 수준에서 질량 간극이 나타나지만, 양자적 수준에서는 여기 타워가 있으며, 이 이론의 이러한 속성은 운동량이 0으로 가는 극한에서 양자화 후에도 유지된다.^[3]

3. 1. 자발 대칭 깨짐

자발적인 대칭 깨짐 또는 힉스 메커니즘에서 질량 간극이 발생할 수 있다. 전자의 경우, 골드스톤 보존과 같은 질량이 없는 여기가 나타나며, 후자의 경우 게이지 자유도로 인해 제거된다. 양자화는 이러한 게이지 자유도 속성을 유지한다.^[3]

4차 질량이 없는 스칼라 장 이론은 고전적 수준에서 이미 질량 간극을 발생시킨다. 다음 방정식을 고려해 보자.

:

\Box\phi+\lambda\phi^3=0.

이 방정식은 정확한 해를 갖는다.

:

\phi(x)=\mu\left(\frac{2}{\lambda}\right)^\frac{1}{4}{\rm sn}\left(p\cdot x+\theta,-1\right)

여기서

\mu

와

\theta

는 적분 상수이고 sn은 야코비 타원 함수이다. 다음이 주어지는 경우

:

p^2=\mu^2\sqrt{\frac{\lambda}{2}}.

고전적 수준에서 질량 간극이 나타나지만, 양자적 수준에서는 여기 타워가 있으며, 이 이론의 이러한 속성은 운동량이 0으로 가는 극한에서 양자화 후에도 유지된다.^[3]

3. 2. 4차 질량이 없는 스칼라 장 이론

주어진 실수 장 $\phi(x)$에 대하여 상관 함수가 다음과 같은 성질을 가지면

:$\langle\phi(0,t)\phi(0,0)\rangle\sim \sum_nA_n\exp\left(-\Delta_nt\right)$

:$\Delta_0>0$

해밀토니언 스펙트럼에서의 최소 에너지에 의해 질량 간극이 생긴다.

4차 질량이 없는 스칼라 장 이론은 고전적 수준에서 이미 질량 간극을 발생시킨다. 다음 방정식을 고려해 보자.

$\Box\phi+\lambda\phi^3=0.$

이 방정식은 정확한 해를 갖는다.

$\phi(x)=\mu\left(\frac{2}{\lambda}\right)^\frac{1}{4}{\rm sn}\left(p\cdot x+\theta,-1\right)$

—여기서 $\mu$와 $\theta$는 적분 상수이고 sn은 야코비 타원 함수이다—다음이 제공되는 경우

$p^2=\mu^2\sqrt{\frac{\lambda}{2}}.$

고전적 수준에서 질량 간극이 나타나지만, 양자적 수준에서는 여기 타워가 있으며, 이 이론의 이러한 속성은 운동량이 0으로 가는 극한에서 양자화 후에도 유지된다.^[3]

4. 양-밀스 이론

주어진 실수 장 $\phi(x)$ 에 대하여 상관 함수가 다음과 같은 성질을 가지면,

: $\langle\phi(0,t)\phi(0,0)\rangle\sim \sum_nA_n\exp\left(-\Delta_nt\right)$

: $\Delta_0>0$

해밀토니언 스펙트럼에서의 최소 에너지에 의해 질량 간극이 생긴다. 양-밀스 이론에서 질량 간극의 존재는 중요한 문제이다.

4. 1. 글루볼

양-밀스 이론의 물리적 상태는 글루볼이라고 불리며, 실험실에서 관찰할 수 있어야 한다. 격자 계산을 통해 양-밀스 이론이 실제로 질량 간극과 여기 상태 타워를 가지고 있다는 것이 제시되었지만, 이론적인 증명은 아직 없다.^[1]

4. 2. 밀레니엄 문제

격자 계산을 통해 양-밀스 이론이 실제로 질량 간극과 여기 상태 타워를 가지고 있다는 것이 제시되었지만, 이론적인 증명은 아직 없다. 이는 클레이 수학 연구소의 밀레니엄 문제 중 하나이며 미해결 문제로 남아 있다. 양-밀스 이론의 이러한 상태는 글루볼이라고 불리는 물리적 상태여야 하며, 실험실에서 관찰할 수 있어야 한다.

5. 캘런-리만 표현

Källén–Lehmann 스펙트럼 표현(캘런-리만 스펙트럼 표현)이 성립하는 경우, 전파자와 스펙트럼 밀도 함수 형태를 분석한다. 실수 장 $\phi(x)$에 대한 상관 함수가 특정 성질을 가지면 해밀토니언 스펙트럼의 최소 에너지에 의해 질량 간극이 발생한다. 이때, 스펙트럼 밀도 함수는 이산 스펙트럼과 다중 입자 기여로 구성되며, 전파자는 이산항과 연속항의 합으로 표현된다. 스펙트럼 밀도 함수의 적분값은 1이며, 이는 게이지 이론에서는 성립하지 않을 수 있다. 다중 입자 기여가 없으면, 이론은 상호작용이 없는 양자 자명성을 띈다.

5. 1. 스펙트럼 밀도 함수

Källén–Lehmann 스펙트럼 표현이 성립한다면, 이 단계에서 게이지 이론을 제외하며, 스펙트럼 밀도 함수는 질량 간극에서 시작하는 이산 스펙트럼을 갖는 매우 간단한 형태를 띨 수 있다.

:

\rho(\mu^2)=\sum_{n=1}^NZ_n\delta(\mu^2-m_n^2)+\rho_c(\mu^2)

여기서

\rho_c(\mu^2)

는 스펙트럼의 다중 입자 부분의 기여이다. 이 경우, 전파자는 다음과 같은 간단한 형태를 취한다.

:

\Delta(p)=\sum_{n=1}^N\frac{Z_n}{p^2-m^2_n+i\epsilon}+\int_{4m_N^2}^\infty d\mu^2\rho_c(\mu^2)\frac{1}{p^2-\mu^2+i\epsilon}

여기서

4m_N^2

는 대략적으로 다중 입자 영역의 시작점이다. 이제,

:

\int_0^\infty d\mu^2\rho(\mu^2)=1

라는 사실을 사용하여, 스펙트럼 밀도에 있는 상수들에 대한 다음 결론에 도달한다.

:

1=\sum_{n=1}^NZ_n+\int_0^\infty d\mu^2\rho_c(\mu^2)

.

이는 게이지 이론에서는 성립할 수 없다. 오히려 이 경우에도 전파자에 대한 Källén–Lehmann 표현이 성립함을 증명해야 한다. 다중 입자 기여가 없다는 것은, 이론에 결합 상태가 나타나지 않으므로, 이론에 질량 간극이 있더라도 상호 작용이 없다는 점에서 양자 자명성임을 의미한다. 이 경우, 위 공식에서

\rho_c(\mu^2)=0

으로 설정하면 바로 전파자를 얻을 수 있다.

5. 2. 전파자

주어진 실수 장 $\phi(x)$에 대하여 상관 함수가 다음과 같은 성질을 가지면

:$\langle\phi(0,t)\phi(0,0)\rangle\sim \sum_nA_n\exp\left(-\Delta_nt\right)$

:$\Delta_0>0$

해밀토니언 스펙트럼에서의 최소 에너지에 의해 질량 간극이 생긴다. 만약 Källén–Lehmann 스펙트럼 표현이 성립한다면, 이 단계에서 우리는 게이지 이론을 제외하며, 스펙트럼 밀도 함수는 질량 간극에서 시작하는 이산 스펙트럼을 갖는 매우 간단한 형태를 띨 수 있다.

:$\rho(\mu^2)=\sum_{n=1}^NZ_n\delta(\mu^2-m_n^2)+\rho_c(\mu^2)$

여기서 $\rho_c(\mu^2)$는 스펙트럼의 다중 입자 부분의 기여이다. 이 경우, 전파자는 다음과 같은 간단한 형태를 취한다.

:$\Delta(p)=\sum_{n=1}^N\frac{Z_n}{p^2-m^2_n+i\epsilon}+\int_{4m_N^2}^\infty d\mu^2\rho_c(\mu^2)\frac{1}{p^2-\mu^2+i\epsilon}$

여기서 $4m_N^2$는 대략적으로 다중 입자 영역의 시작점이다. 이제,

:$\int_0^\infty d\mu^2\rho(\mu^2)=1$

라는 사실을 사용하여, 스펙트럼 밀도에 있는 상수들에 대한 다음 결론에 도달한다.

:$1=\sum_{n=1}^NZ_n+\int_0^\infty d\mu^2\rho_c(\mu^2)$

이는 게이지 이론에서는 성립할 수 없다. 오히려 이 경우에도 전파자에 대한 Källén–Lehmann 표현이 성립함을 증명해야 한다. 다중 입자 기여가 없다는 것은, 이론에 결합 상태가 나타나지 않으므로, 이론에 질량 간극이 있더라도 상호 작용이 없다는 점에서 양자 자명성임을 의미한다. 이 경우, 위 공식에서 $\rho_c(\mu^2)=0$으로 설정하면 바로 전파자를 얻을 수 있다.

참조

_[1] 논문 Glueballs and k-strings in SU(N) gauge theories : calculations with improved operators
_[2] 논문 Glueball Spectrum and Matrix Elements on Anisotropic Lattices
_[3] 논문 Strongly coupled quantum field theory

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