해밀토니언 (양자역학)

1. 개요

해밀토니언(양자역학)은 양자역학에서 계의 총 에너지를 나타내는 연산자이며, 슈뢰딩거 방정식을 통해 계의 시간 변화를 기술하는 데 사용된다. 고전역학에서 라그랑지언을 르장드르 변환하여 구성하며, 고전역학의 해밀토니안은 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 합으로 표현된다. 양자역학에서는 위치와 운동량을 연산자로 나타내며, 해밀토니안의 스펙트럼은 계의 총 에너지를 측정할 때 관측 가능한 결과를 나타낸다. 해밀토니안은 슈뢰딩거 방정식을 통해 양자 상태의 시간 변화를 생성하며, 에너지 고유 상태의 축퇴, 대칭성, 보존 법칙과 관련된다. 또한, 해밀턴 방정식은 고전 해밀턴 역학에서 양자역학으로의 유추를 가능하게 한다.

2. 고전역학에서의 해밀토니언

고전역학에서 해밀토니언 H는 라그랑지언 L의 일반화 속도를 일반화 운동량으로 르장드르 변환한 것이다.

:$H(q\_i,\; \backslash ;\; p\_i\; ,\backslash ;\; t)\; \backslash equiv\; \backslash sum\_i\; p\_i\; \backslash dot\{q\}\_i\; -\; L(q\_i,\; \backslash ;\; \backslash dot\{q\}\_i\; ,\backslash ;\; t)$

고전역학에서는 T를 운동 에너지, U를 위치 에너지로 하여, 전체 에너지 H를

:$H\; =\; H(q,p;t)\; \backslash ,\; =\; T(p)\; +\; U(q)$

로 일반화 좌표 q, 일반화 운동량 p에 따라 표시하는 함수였다. 식에서 t는 시간을 나타낸다.

만약 퍼텐셜 U가 시간의 함수가 아니고

:$V\; =\; V(q\_i)$
:$\{\backslash partial\; V\; \backslash over\; \backslash partial\; t\}\; =\; 0$

주어진 일반화 좌표가 관성계여서 운동에너지가 $\backslash dot\{q\}\_i$의 이차 형식, 즉 제곱으로 나타낼 때,

:$T\; =\; \backslash sum\_i\; c\_i\; \backslash dot\{q\}\_i^2$

(여기서 c_i는 임의의 상수) 아래의 관계식이 만족되어

:$\backslash sum\_i\; p\_i\; \backslash dot\{q\}\_i\; =\; \backslash sum\_i\; \backslash dot\{q\}\_i\; \{\backslash partial\; L\; \backslash over\; \backslash partial\; \backslash dot\{q\}\_i\}\; =\; \backslash sum\_i\; \backslash dot\{q\}\_i\; \{\backslash partial\; T\; \backslash over\; \backslash partial\; \backslash dot\{q\}\_i\}\; =\; \backslash sum\_i\; 2\; c\_i\; \backslash dot\{q\}\_i^2\; =\; 2T$

이를 해밀토니언에 대입하면

:$H\; =\; T(q\_i\; ,\; \backslash ;\; \backslash dot\{q\}\_i)\; +\; V(q\_i\; )$

이 된다. 이러한 경우, 해밀토니언 H를 기하적 에너지 E라 정의한다.

해밀토니언에 대한 시간의 전미분은 다음과 같다.

:$\{dH\; \backslash over\; dt\}\; =\; \{\backslash partial\; H\; \backslash over\; \backslash partial\; t\}\; +\; \backslash sum\_i\; \{\backslash partial\; H\; \backslash over\; \backslash partial\; q\_i\}\; \backslash dot\{q\}\_i\; +\; \backslash sum\_i\; \{\backslash partial\; H\; \backslash over\; \backslash partial\; p\_i\}\; \backslash dot\{p\}\_i$

그런데 여기에 해밀턴 방정식 $\backslash partial\; H\; /\; \backslash partial\; q\_i\; =\; -\; \backslash dot\{p\}\_i$, $\backslash partial\; H\; /\; \backslash partial\; p\_i\; =\; \backslash dot\{q\}\_i$ 을 대입하면 다음의 관계가 성립함을 알 수 있다.

:$\{dH\; \backslash over\; dt\}\; =\; \{\backslash partial\; H\; \backslash over\; \backslash partial\; t\}$

따라서 해밀토니언이 직접적인 시간의 함수가 아니라면

:$\{dH\; \backslash over\; dt\}\; =\; 0$

이 되어 해밀토니언이 운동 상수가 됨을 알 수 있다. 이런 해밀토니언을 갖는 계를 역학적 에너지가 보존되는 계라 하여 보존계(conservative system^영어)라 한다.

2.1. 해밀토니언과 역학적 에너지

여기서 좌표 q는 대상으로 하는 계의 운동을 나타내는 것으로 임의로 선택할 수 있고, 운동량 p는 이에 따라 정해진다. 이와 같이 좌표와 운동량이 특별한 관계를 가지며, 이 관계를 정준공액이라 하고, 이 경우의 좌표와 운동량을 정준켤레인 역학변수라 한다. 따라서 해밀토니안은 정준공액인 역학변수로 에너지를 표현한 것이다.

해석역학 또는 고전역학에서 해밀토니안 Hamiltonian^영어 H는 T를 운동 에너지, V를 퍼텐셜 에너지로 하여, 전체 에너지를

:H = H(q,p;t) = T + V

와 같이 일반화 좌표 q, 일반화 운동량 p에 의해 나타낸 함수이다. 단, t는 시간이다.

해밀토니안은 라그랑주 형식의 해석역학에서 라그랑지안을 르장드르 변환하여 구성한다. 구체적인 방법은 다음과 같다.

먼저, 대상 계에 대해 라그랑지안 Lagrangian^영어 L = L (q_i, q̇_i; t)을 구성한다. 다음으로 정준 운동량을

:p_i= ∂L / ∂q̇_i

으로 정의한다. 이 정준 운동량을 사용하여 라그랑지안에 대해 변수의 쌍 (q_i, q̇_i)에서 (q_i, p_i)로 르장드르 변환을 수행한다. 그 결과, 해밀토니안

:H({q_i }, {p_i }; t) = ∑_i p_iq̇_i - L({q_i }, {q̇_i}; t)

을 얻는다. 여기서, 우변에 나타나는 q̇_i는 정준 운동량의 정의식을 통해 p_i로 다시 써서 해밀토니안을 (q_i, p_i)의 함수로 나타낼 필요가 있다.

참고로, 라그랑지안의 전미분이

:dL = ∑_i { p_idq̇_i + ṗ_idq_i }

임에 주목하면

:dH = ∑_i {dp_i · q̇_i + p_idq̇_i}-dL =∑_i { q̇_idp_i - ṗ_idq_i }

이며, 이 식에서 해밀턴의 정준 방정식이 유도된다.

대상 계에 대해 여러 가지 좌표계를 사용할 수 있다. 예를 들어, 중심력장 문제에서는 극좌표계로 기술되는 경우가 많다. 이는 문제를 푸는 데 있어 일반적인 직교좌표계를 사용하는 것보다 편리하기 때문이다. 다루는 계에 따라 적합한 좌표계는 다양하다.

2.2. 해밀턴의 정준 방정식

고전역학에서 해밀토니언 H는 라그랑지언 L의 일반화 속도를 일반화 운동량으로 르장드르 변환한 것이다. 라그랑지안의 전미분은 다음과 같다.
:$dL\; =\; \backslash sum\_i\; \backslash left\; \backslash \{\; p\_id\backslash dot\{q\}\_i\; +\; \backslash dot\{p\}\_idq\_i\; \backslash right\; \backslash \}$
이를 통해 해밀토니안의 전미분을 구하면 다음과 같다.
:$dH\; =\; \backslash sum\_i\; \backslash left\; \backslash \{dp\_i\; \backslash cdot\; \backslash dot\{q\}\_i\; +\; p\_id\backslash dot\{q\}\_i\backslash right\; \backslash \}-dL\; =\backslash sum\_i\; \backslash left\; \backslash \{\; \backslash dot\{q\}\_idp\_i\; -\; \backslash dot\{p\}\_idq\_i\; \backslash right\; \backslash \}$
이 식에서 해밀턴의 정준 방정식이 유도된다.

대상 계에 대해서는 여러 가지 좌표계를 사용할 수 있다. 예를 들어, 중심력장 문제에서는 극좌표계로 기술되는 경우가 많은데, 이는 직교좌표계를 사용하는 것보다 문제를 푸는 데 편리하기 때문이다. 이처럼 다루는 계에 따라 적합한 좌표계는 다양하다.

3. 양자역학에서의 해밀토니언

양자역학에서 해밀토니언은 계의 총 에너지를 나타내는 관측가능량이며, 계의 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 합으로 표현된다. 해밀토니언의 스펙트럼은 계의 총 에너지를 측정할 때 가능한 결과값을 나타낸다. 슈뢰딩거의 파동 방정식과 하이젠베르크의 행렬 역학은 표현 방식은 다르지만, 결국 동등한 것으로 증명되었다.

해밀토니언은 슈뢰딩거 방정식을 통해 양자 상태의 시간 변화를 기술한다.
:$$H\; \backslash left|\; \backslash psi\; (t)\; \backslash right\backslash rangle\; =\; i\; \backslash hbar\; \{d\backslash over\backslash \; d\; t\}\; \backslash left|\; \backslash psi\; (t)\; \backslash right\backslash rangle.$$
이 방정식은 해밀턴-야코비 방정식과 유사한 형태를 가지며, 초기 상태가 주어지면 이후의 상태를 계산할 수 있다. 특히, $H$가 시간에 무관하다면,
:$$\backslash left|\; \backslash psi\; (t)\; \backslash right\backslash rangle\; =\; e^\{-iHt/\backslash hbar\}\; \backslash left|\; \backslash psi\; (0)\; \backslash right\backslash rangle.$$
와 같이 나타낼 수 있다.

여기서 우변의 지수 연산자는 $H$의 멱급수로 정의된다. 함수 해석의 동형 사상 속성에 의해, 연산자
:$$U\; =\; e^\{-iHt/\backslash hbar\}$$
는 유니터리 연산자가 되며, 이는 닫힌 양자계의 시간 진화 연산자 또는 전파자라고 불린다. 해밀토니안이 시간에 무관하면, $\backslash \{U(t)\backslash \}$는 일변수 유니터리 군을 형성하며, 이는 상세 균형의 물리적 원리를 나타낸다.

양자역학에서 해밀토니언은 정준 양자화에 따라 위치와 운동량을 연산자로 나타내므로 연산자의 성질을 갖는다. 또한, 기저 함수를 이용해 무한 차원 행렬로 표현할 수도 있다.

시간에 의존하지 않는 슈뢰딩거 방정식은 고유 함수 또는 고유 상태를 , 에너지고유값을 로 하는 고유값 문제의 형태를 띤다.
:$\backslash hat\{H\}\; \backslash Psi\; =\; E\; \backslash Psi$
이 방정식은 행렬 를 대각화하여 풀 수 있으며, 실제로 풀 때는 무한 차원 행렬을 유한한 행렬로 변환한다. 가 에르미트 행렬일 때 고유값 는 실제로 관측되는 양이 된다.

3.1. 슈뢰딩거 해밀토니안

슈뢰딩거 방정식에서 해밀토니안은 운동 에너지 연산자와 퍼텐셜 에너지 연산자의 합으로 표현된다. 이는 연산자의 합으로 표현되며, 다음과 같은 형태를 가진다.

:$$\backslash hat\{H\}\; =\; \backslash hat\{T\}\; +\; \backslash hat\{V\},$$

여기서 $\backslash hat\{V\}$는 퍼텐셜 에너지 연산자, $\backslash hat\{T\}$는 운동 에너지 연산자이다. 이들을 결합하면 슈뢰딩거 방정식에 사용되는 형태가 된다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
\hat{H} & = \hat{T} + \hat{V} \\[6pt]
& = \frac{\mathbf{\hat{p}}\cdot\mathbf{\hat{p}}}{2m}+ V(\mathbf{r},t) \\[6pt]
& = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+ V(\mathbf{r},t)
\end{align}

이를 통해 해밀토니안을 파동 함수 $\backslash Psi(\backslash mathbf\{r\},\; t)$로 설명되는 계에 적용할 수 있다.

N개의 입자로 이루어진 다체계의 경우, 해밀토니언은 각 입자의 운동 에너지 연산자 $\backslash hat\{T\}\_n$와 전체 퍼텐셜 에너지 $\backslash hat\{V\}$의 합으로 나타낼 수 있다.

:$$\backslash hat\{H\}\; =\; \backslash sum\_\{n=1\}^N\; \backslash hat\{T\}\_n\; +\; \backslash hat\{V\}$$

이들을 결합하면 N개 입자에 대한 슈뢰딩거 해밀토니안을 얻는다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
\hat{H} & = \sum_{n=1}^N \hat{T}_n + \hat{V} \\[6pt]
& = \sum_{n=1}^N \frac{\mathbf{\hat{p}}_n\cdot\mathbf{\hat{p}}_n}{2m_n}+ V(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\ldots,\mathbf{r}_N,t) \\[6pt]
& = -\frac{\hbar^2}{2}\sum_{n=1}^N \frac{1}{m_n}\nabla_n^2 + V(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\ldots,\mathbf{r}_N,t)
\end{align}

다체 문제에서는 퍼텐셜 에너지가 입자의 공간 배열에 의존하기 때문에, 운동 에너지 또한 공간적 배열에 의존하여 에너지를 보존한다. 따라서 한 입자의 운동은 계 안의 다른 모든 입자의 운동으로 인해 변화한다.

상호작용하는 입자의 경우, 퍼텐셜 에너지 함수 $V$는 단순히 개별 퍼텐셜의 합이 아니라, 각 입자의 모든 공간 위치의 함수로만 나타낼 수 있다. 반면 상호작용하지 않는 입자의 경우, 계의 퍼텐셜은 각 입자에 대한 개별 퍼텐셜 에너지의 합으로 나타낼 수 있다.

3.1.1. 1개 입자

양자역학에서 단일 입자의 해밀토니언은 일반적으로 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지에 해당하는 연산자의 합으로 표현된다.

:$$\backslash hat\{H\}\; =\; \backslash hat\{T\}\; +\; \backslash hat\{V\},$$

여기서
:$$\backslash hat\{V\}\; =\; V\; =\; V(\backslash mathbf\{r\},t)\; ,$$
는 퍼텐셜 에너지 연산자이고,
:$$\backslash hat\{T\}\; =\; \backslash frac\{\backslash mathbf\{\backslash hat\{p\}\}\backslash cdot\backslash mathbf\{\backslash hat\{p\}\}\}\{2m\}\; =\; \backslash frac\{\backslash hat\{p\}^2\}\{2m\}\; =\; -\backslash frac\{\backslash hbar^2\}\{2m\}\backslash nabla^2,$$
는 운동 에너지 연산자이다. $m$은 입자의 질량이고, 점은 벡터의 내적을 나타내며,
:$$\backslash hat\{p\}\; =\; -i\backslash hbar\backslash nabla\; ,$$
는 운동량 연산자이다. $\backslash nabla$는 델 연산자이고, $\backslash nabla$의 자기 자신과의 내적은 라플라스 연산자 $\backslash nabla^2$이다. 직교 좌표계를 사용하는 3차원에서 라플라스 연산자는 다음과 같다.

:$$\backslash nabla^2\; =\; \backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\; \{\backslash partial\; x\}^2\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\; \{\backslash partial\; y\}^2\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\; \{\backslash partial\; z\}^2\}$$

이들을 결합하면 슈뢰딩거 방정식에 사용되는 형태가 된다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
\hat{H} & = \hat{T} + \hat{V} \\[6pt]
& = \frac{\mathbf{\hat{p}}\cdot\mathbf{\hat{p}}}{2m}+ V(\mathbf{r},t) \\[6pt]
& = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+ V(\mathbf{r},t)
\end{align}

이를 통해 해밀토니안을 파동 함수 $\backslash Psi(\backslash mathbf\{r\},\; t)$로 설명되는 계에 적용할 수 있다.

3.1.2. 다체계

N개의 입자로 이루어진 다체계의 경우, 해밀토니언은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$$\backslash hat\{H\}\; =\; \backslash sum\_\{n=1\}^N\; \backslash hat\{T\}\_n\; +\; \backslash hat\{V\}$$

여기서
:$$\backslash hat\{V\}\; =\; V(\backslash mathbf\{r\}\_1,\backslash mathbf\{r\}\_2,\backslash ldots,\; \backslash mathbf\{r\}\_N,t)\; ,$$
는 퍼텐셜 에너지 함수이며, 계의 공간적 배열과 시간의 함수이다. 그리고
:$$\backslash hat\{T\}\_n\; =\; \backslash frac\{\backslash mathbf\{\backslash hat\{p\}\}\_n\backslash cdot\backslash mathbf\{\backslash hat\{p\}\}\_n\}\{2m\_n\}\; =\; -\backslash frac\{\backslash hbar^2\}\{2m\_n\}\backslash nabla\_n^2$$
는 n번째 입자의 운동 에너지 연산자이며, $\backslash nabla\_n$는 n번째 입자에 대한 기울기이고, $\backslash nabla\_n^2$는 n번째 입자에 대한 라플라시안이다.

:$$\backslash nabla\_n^2\; =\; \backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; x\_n^2\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; y\_n^2\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; z\_n^2\},$$

이들을 결합하면 N개 입자에 대한 슈뢰딩거 해밀토니안을 얻는다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
\hat{H} & = \sum_{n=1}^N \hat{T}_n + \hat{V} \\[6pt]
& = \sum_{n=1}^N \frac{\mathbf{\hat{p}}_n\cdot\mathbf{\hat{p}}_n}{2m_n}+ V(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\ldots,\mathbf{r}_N,t) \\[6pt]
& = -\frac{\hbar^2}{2}\sum_{n=1}^N \frac{1}{m_n}\nabla_n^2 + V(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\ldots,\mathbf{r}_N,t)
\end{align}

다체 문제에서는 퍼텐셜 에너지가 입자의 공간 배열에 의존하기 때문에, 운동 에너지 또한 공간적 배열에 의존하여 에너지를 보존한다. 따라서 한 입자의 운동은 계 안의 다른 모든 입자의 운동으로 인해 변화한다. 이러한 이유로 운동 에너지에 대한 교차항이 해밀토니안에 나타날 수 있는데, 이는 두 입자의 기울기가 혼합된 형태이다.

:$$-\backslash frac\{\backslash hbar^2\}\{2M\}\backslash nabla\_i\backslash cdot\backslash nabla\_j$$

여기서 $M$은 이 여분의 운동 에너지를 생성하는 입자 집합의 질량을 나타낸다. 이러한 형태의 항은 "질량 분극 항"이라고 하며, 다전자 원자의 해밀토니안에 나타난다.

상호작용하는 N개의 입자의 경우, 퍼텐셜 에너지 함수 $V$는 단순히 개별 퍼텐셜의 합이 아니다. 각 입자의 모든 공간 위치의 함수로만 나타낼 수 있다.

반면, 상호작용하지 않는 입자의 경우, 계의 퍼텐셜은 각 입자에 대한 개별 퍼텐셜 에너지의 합이다.

:$$V\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^N\; V(\backslash mathbf\{r\}\_i,t)\; =\; V(\backslash mathbf\{r\}\_1,t)\; +\; V(\backslash mathbf\{r\}\_2,t)\; +\; \backslash cdots\; +\; V(\backslash mathbf\{r\}\_N,t)$$

이 경우 해밀토니안은 각 입자에 대한 개별 해밀토니안의 합으로 표현된다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
\hat{H} & = -\frac{\hbar^2}{2}\sum_{i=1}^N \frac{1}{m_i}\nabla_i^2 + \sum_{i=1}^N V_i \\[6pt]
& = \sum_{i=1}^N \left(-\frac{\hbar^2}{2m_i}\nabla_i^2 + V_i \right) \\[6pt]
& = \sum_{i=1}^N \hat{H}_i
\end{align}

3.2. 디랙 형식

디랙의 일반적인 형식에서 해밀토니안은 힐베르트 공간의 연산자로 표현된다.

해밀토니안의 고유켓은 $\backslash left|\; a\; \backslash right\backslash rang$로 표시되며, 힐베르트 공간에 대한 직교 기저를 이룬다. 계의 허용된 에너지 준위의 스펙트럼은 다음 방정식의 고유값 집합, $\backslash \{\; E\_a\; \backslash \}$로 주어진다.

:$$H\; \backslash left|\; a\; \backslash right\backslash rangle\; =\; E\_a\; \backslash left|\; a\; \backslash right\backslash rangle.$$

$H$가 에르미트 연산자이므로 에너지는 항상 실수이다.

무한 차원 힐베르트 공간의 연산자는 고유값을 갖지 않을 수 있다(연산자의 스펙트럼과 고유값 집합이 반드시 일치하지는 않음). 그러나 모든 일상적인 양자역학적 계산은 물리적 공식을 사용하여 수행할 수 있다.

3.3. 해밀토니안의 표현 예시

양자역학에서 다양한 물리적 상황에 대한 해밀토니안 표현은 다음과 같이 나타낼 수 있다. 이러한 표현들은 입자의 수, 차원의 수, 그리고 퍼텐셜 에너지 함수의 특성(특히 공간 및 시간 의존성)에 따라 분류할 수 있다. 질량은 $m$, 전하는 $q$로 표시한다.

* 상호작용하지 않는 입자: 서로 상호작용하지 않고 독립적으로 움직이는 입자의 경우, 계의 퍼텐셜은 각 입자에 대한 개별 퍼텐셜 에너지의 합이다. 즉,

:$$V\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^N\; V(\backslash mathbf\{r\}\_i,t)\; =\; V(\backslash mathbf\{r\}\_1,t)\; +\; V(\backslash mathbf\{r\}\_2,t)\; +\; \backslash cdots\; +\; V(\backslash mathbf\{r\}\_N,t)$$

이 경우 해밀토니안은 각 입자에 대한 개별 해밀토니안의 합이 된다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
\hat{H} & = -\frac{\hbar^2}{2}\sum_{i=1}^N \frac{1}{m_i}\nabla_i^2 + \sum_{i=1}^N V_i = \sum_{i=1}^N \hat{H}_i
\end{align}

* 다체계: N개의 입자에 대한 해밀토니안은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$$\backslash hat\{H\}\; =\; \backslash sum\_\{n=1\}^N\; \backslash hat\{T\}\_n\; +\; \backslash hat\{V\}$$

여기서 $\backslash hat\{V\}$는 계의 공간적 배열과 시간의 함수인 퍼텐셜 에너지 함수이고, $\backslash hat\{T\}\_n$는 n번째 입자의 운동 에너지 연산자이며, $\backslash nabla\_n$는 n번째 입자에 대한 기울기, $\backslash nabla\_n^2$는 n번째 입자에 대한 라플라시안이다.

:$$\backslash hat\{T\}\_n\; =\; \backslash frac\{\backslash mathbf\{\backslash hat\{p\}\}\_n\backslash cdot\backslash mathbf\{\backslash hat\{p\}\}\_n\}\{2m\_n\}\; =\; -\backslash frac\{\backslash hbar^2\}\{2m\_n\}\backslash nabla\_n^2$$

:$$\backslash nabla\_n^2\; =\; \backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; x\_n^2\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; y\_n^2\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; z\_n^2\},$$

이들을 결합하면 N개 입자에 대한 슈뢰딩거 해밀토니안을 얻는다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2}\sum_{n=1}^N \frac{1}{m_n}\nabla_n^2 + V(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\ldots,\mathbf{r}_N,t)
\end{align}

다체 문제에서는 퍼텐셜 에너지와 운동 에너지가 공간적 배열에 의존하고, 한 입자의 운동이 다른 입자의 운동에 영향을 주므로 복잡성이 발생한다. 운동 에너지에 대한 교차항, 즉 "질량 분극 항"이 해밀토니안에 나타날 수 있다.

:$$-\backslash frac\{\backslash hbar^2\}\{2M\}\backslash nabla\_i\backslash cdot\backslash nabla\_j$$

N개의 상호작용하는 입자의 경우, 퍼텐셜 에너지 함수 $V$는 각 입자의 모든 공간 위치의 함수로만 쓸 수 있다.

3.3.1. 자유 입자

퍼텐셜 에너지에 의해 구속되지 않는 입자의 경우, 퍼텐셜이 0이 되므로 해밀토니안은 가장 간단한 형태를 띈다. 1차원의 경우:

:$$\backslash hat\{H\}\; =\; -\backslash frac\{\backslash hbar^2\}\{2m\}\backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; x^2\}$$

이며, 더 높은 차원의 경우:

:$$\backslash hat\{H\}\; =\; -\backslash frac\{\backslash hbar^2\}\{2m\}\backslash nabla^2$$

이다.

상호작용이 없는 자유 입자계를 생각해보자. 3차원 공간을 운동하는 1개의 입자의 경우, 운동 에너지는 다음과 같이 주어진다.

:$T\; =\; \{m\; \backslash over\; 2\}\; (\backslash dot\{x\}^2\; +\; \backslash dot\{y\}^2\; +\; \backslash dot\{z\}^2)=\; \{1\; \backslash over\; \{2m\}\}\; (\; p\_x^2\; +\; p\_y^2\; +\; p\_z^2\; )$

여기서 정준 운동량 p{{sub^영어는

: $p\_x\; =\; \{\; \{\backslash partial\; T\}\; \backslash over\; \{\backslash partial\; \backslash dot\{x\}\; \}\; \}\; =\; m\; \backslash dot\{x\}$

이며, p{{sub^영어, ''p{{sub^영어도 마찬가지로 주어진다. 퍼텐셜 V^영어는 0이므로, 해밀토니안은

:$H\; =\; \{1\; \backslash over\; \{2m\}\}\; (\; p\_x^2\; +\; p\_y^2\; +\; p\_z^2\; )$

이 된다. N^영어개의 입자계라면,

:$H\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^\{N\}\; \{1\; \backslash over\; \{2m\}\}\; (\; p\_\{xi\}^2\; +\; p\_\{yi\}^2\; +\; p\_\{zi\}^2\; )$

이다. H^영어는 시간 t^영어에 대해 불변이다.

3.3.2. 상수 퍼텐셜 우물

양자역학에서 일차원에서 일정한 퍼텐셜 $V\; =\; V\_0$(공간 또는 시간에 무관) 영역에 있는 입자의 해밀토니안은 다음과 같다.

:$$\backslash hat\{H\}\; =\; -\backslash frac\{\backslash hbar^2\}\{2m\}\backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; x^2\}\; +\; V\_0$$

삼차원에서는 다음과 같다.

:$$\backslash hat\{H\}\; =\; -\backslash frac\{\backslash hbar^2\}\{2m\}\backslash nabla^2\; +\; V\_0$$

이것은 기본적인 "입자 상자" 문제와 단계 퍼텐셜에 적용된다.

3.3.3. 단순 조화 진동자

1차원 단순 조화 진동자의 경우, 위치(시간은 아님)에 따른 퍼텐셜은 다음과 같이 변한다.

:$$V\; =\; \backslash frac\{k\}\{2\}x^2\; =\; \backslash frac\{m\backslash omega^2\}\{2\}x^2$$

여기서 각진동수 $\backslash omega$, 유효 용수철 상수 $k$ 및 질량 $m$은 다음을 만족한다.

:$$\backslash omega^2\; =\; \backslash frac\{k\}\{m\}$$

따라서 해밀토니안은 다음과 같다.

:$$\backslash hat\{H\}\; =\; -\backslash frac\{\backslash hbar^2\}\{2m\}\backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; x^2\}\; +\; \backslash frac\{m\backslash omega^2\}\{2\}x^2$$

3차원의 경우, 이것은 다음이 된다.

:$$\backslash hat\{H\}\; =\; -\backslash frac\{\backslash hbar^2\}\{2m\}\backslash nabla^2\; +\; \backslash frac\{m\backslash omega^2\}\{2\}\; r^2$$

여기서 3차원 위치 벡터 $\backslash mathbf\{r\}$은 데카르트 좌표를 사용하여 $(x,\; y,\; z)$로 표현되며, 크기는 다음과 같다.

:$$r^2\; =\; \backslash mathbf\{r\}\backslash cdot\backslash mathbf\{r\}\; =\; |\backslash mathbf\{r\}|^2\; =\; x^2+y^2+z^2$$

해밀토니안을 완전히 풀어 쓰면, 각 방향의 1차원 해밀토니안의 합임을 알 수 있다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
\hat{H} & = -\frac{\hbar^2}{2m}\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right) + \frac{m\omega^2}{2} \left(x^2 + y^2 + z^2\right) \\[6pt]
& = \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{m\omega^2}{2}x^2\right) + \left(-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{m\omega^2}{2}y^2 \right ) + \left(- \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial z^2} +\frac{m\omega^2}{2}z^2 \right)
\end{align}

3.3.4. 강체 회전자

양자역학에서 강체 회전자는 자유롭게 어떤 축을 중심으로 회전할 수 있고 어떤 퍼텐셜에도 구속되지 않은 입자계를 말한다. 예를 들어 진동 자유도가 무시할 만큼 작은, 이중 또는 삼중 화학 결합으로 인해 자유로운 분자가 이에 해당한다. 강체 회전자의 해밀토니언은 다음과 같이 표현된다.

:$$\backslash hat\{H\}\; =\; -\backslash frac\{\backslash hbar^2\}\{2I\_\{xx\}\}\backslash hat\{J\}\_x^2\; -\backslash frac\{\backslash hbar^2\}\{2I\_\{yy\}\}\backslash hat\{J\}\_y^2\; -\backslash frac\{\backslash hbar^2\}\{2I\_\{zz\}\}\backslash hat\{J\}\_z^2$$

여기서 $I\_\{xx\}$, $I\_\{yy\}$, 그리고 $I\_\{zz\}$는 관성 모멘트 성분(기술적으로는 관성 모멘트 텐서의 대각 요소)이고, $\backslash hat\{J\}\_x$^영어, $\backslash hat\{J\}\_y$^영어, $\backslash hat\{J\}\_z$^영어는 각각 $x$, $y$, 그리고 $z$ 축에 대한 총 각운동량 연산자(성분)이다.

3.3.5. 정전기(쿨롱) 퍼텐셜

Coulomb potential^영어이라고도 불리는 정전기 퍼텐셜은 여러 점전하 간의 쿨롱 상호작용(정전기력)에 의한 퍼텐셜 에너지를 나타낸다. 이러한 상호작용을 포함하는 해밀토니언은 다음과 같이 표현된다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
\hat{H} & = -\frac{\hbar^2}{2}\sum_{j=1}^N\frac{1}{m_j}\nabla_j^2 + \frac{1}{8\pi\varepsilon_0}\sum_{j=1}^N\sum_{i\neq j} \frac{q_iq_j}