카라테오도리 보조정리

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1. 개요
2. 공식화 (실해석학)
3. 응용 (실해석학)
- 3.1. 연쇄 법칙 증명
4. 공식화 (복소해석학)
5. 증명 (복소해석학)
6. 비버바흐 추측에의 응용 (복소해석학)
- 6.1. 카라테오도리 보조정리 (복소해석학)
- 6.2. 별 모양 함수에 대한 증명
참조

1. 개요

카라테오도리 보조정리는 함수가 특정 점에서 미분가능하기 위한 필요충분 조건을 제시하는 정리이다. 실해석학 및 복소해석학에서 연쇄 법칙 증명 등에 활용된다. 복소해석학에서는 단가 함수, 별 모양 함수 등과 관련된 연구에 적용되며, 비버바흐 추측 증명에도 기여했다.

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카라테오도리 보조정리
네반린나 판정법 정보
분야	복소해석학
이름의 유래	롤프 네반린나
종류	판정법
카라테오도리 보조정리 정보
분야	복소해석학
이름의 유래	콘스탄틴 카라테오도리
종류	보조정리

2. 공식화 (실해석학)

함수 f가 점 c를 포함하는 어떤 구간에서 정의될 때, f가 c에서 미분가능하기 위한 필요충분조건은 c에서 연속이고 모든 x∈I에 대하여 f(x) - f(c) = φ(x)(x-c)를 만족하는 연속함수 φ가 존재하는 것이다.^[2] 특히, 이 경우 φ(c) = f'(c)를 만족한다.

3. 응용 (실해석학)

이 정리를 이용해 연쇄법칙을 증명할 수 있다.^[3]

3. 1. 연쇄 법칙 증명

이 정리를 응용하여 연쇄법칙을 증명해 보자.^[3] 우선 함수 f, g를 다음과 같이 정의한다.

I, J는 실직선 상의 구간, g:I→'''R''', f:J→'''R''', f(J) ⊆ I.

이때 증명해야 할 c∈J에서의 '연쇄법칙'은 다음과 같다.

f가 c에서 미분가능하고 g가 f(c)에서 미분가능하면, 합성함수 $(g \circ f)$ 는 c에서 미분가능하고 $(g \circ f)'(c) = g'(f(c))f'(c).$

조건에서 f'(c)가 존재하므로 카라테오도리 보조정리에 의하여 c에서 연속이고 J에서 f(x) - f(c) = φ(x)(x-c)를 만족하는 함수 φ가 존재한다. 또, g'(f(c))가 존재하므로, f(c)에서 연속이고 I에서 g(y) - g(f(c)) = χ(y)(y - f(c))를 만족하는 함수 χ가 존재한다. 이제 둘째 식에서 y = f(x)로 놓으면 모든 x에 대해 다음이 성립한다.

g(f(x)) - g(f(c)) = χ(f(x))(f(x) - f(c)) = χ(f(x))φ(x)(x-c).

그런데 χ(f(x))φ(x)는 c에서 연속이므로

g \circ f

는 카라테오도리 보조정리의 조건을 만족하여 c에서 미분가능하고, 그 값은 χ(f(c))φ(c) = g'(f(c))f'(c)이다.

4. 공식화 (복소해석학)

단위 원판에서 h^영어(0) = 0 및 h′^영어(0) = 1을 만족하는 단가 함수 h^영어는 별 모양이며, 즉 [0,1]의 실수 곱셈에 대해 불변인 이미지를 가지며, |z^영어| < 1에 대해 $z h^\prime(z)/h(z)$ 가 양의 실수부를 갖고 0에서 값 1을 갖는 경우에만 해당한다.

결과를 a^영어•h^영어(rz^영어)에 적용하면, 기준은 |z^영어| < r인 모든 원판에 적용되며, 단지 f^영어(0) = 0 및 f′^영어(0) ≠ 0이라는 요구 사항만 충족하면 된다는 점에 유의해야 한다.

h^영어(z^영어)를 |z^영어| < 1에서 h^영어(0) = 0이고 h′^영어(0) = 1인 별 모양의 단일가 함수라고 하자.

t^영어 < 0에 대해, 다음을 정의한다.^[1]

: $f_t(z)=h^{-1}(e^{-t}h(z)), \,$

0을 고정하는 자기 자신으로의 정칙 사상의 반군이다.

게다가 h^영어는 반군 f^영어_t^영어의 쾨니히스 함수이다.

슈바르츠 보조정리에 의해, |f^영어_t^영어(z^영어)|는 t^영어가 증가함에 따라 감소한다.

따라서

: $\partial_t |f_t(z)|^2 \le 0.$

하지만 w^영어 = f^영어_t^영어(z^영어)로 설정하면,

: $\partial_t |f_t(z)|^2 =2\Re\, \overline{f_t(z)} \partial_t f_t(z) = 2 \Re\, \overline{w} v(w),$

여기서

: $v(w)= -{h(w)\over h^\prime(w)}.$

따라서

: $\Re\, \overline{w} {h(w)\over h^\prime (w)} \ge 0.$

그리고 |w^영어|²로 나누면,

: $\Re\, {h(w)\over w h^\prime (w)} \ge 0.$

역수를 취하고 t^영어를 0으로 보내면

: $\Re\, z {h^\prime(z)\over h(z)} \ge 0$

모든 |z^영어| < 1에 대해 성립한다. 좌변이 조화 함수이므로, 최대 원리는 이 부등식이 엄격함을 의미한다.

반대로

: $g(z) =z {h^\prime(z)\over h(z)}$

가 양의 실수를 갖고 g^영어(0) = 1이면, h^영어는 0에서만 사라질 수 있으며, 여기서 단순한 영점을 가져야 한다.

이제

: $\partial_\theta \arg h(re^{i\theta})=\partial_\theta \Im\, \log h(z) = \Im\, \partial_\theta \log h(z)=\Im\, {\partial z\over \partial\theta} \cdot \partial_z \log h(z) =\Re\, z {h^\prime(z)\over h(z)}.$

따라서 z^영어가 원 $z=re^{i\theta}$ 을 따라가면, 이미지 $h(re^{i\theta})$ 의 인수가 엄격하게 증가한다. 인수 원리에 의해, $h$ 가 0에서 단순한 영점을 가지므로, 원점을 정확히 한 번 돈다. 그리는 곡선으로 경계가 정해진 영역의 내부는 따라서 별 모양이다. 만약 a^영어가 내부의 점이라면, |z^영어| < r^영어을 만족하는 h(z)^영어 = a^영어의 해의 수 N^영어(a^영어)는 다음과 같다.

: $N(a) ={1\over 2\pi i} \int_$

5. 증명 (복소해석학)

단위 원판에서 ''h''(0) = 0 및 ''h'''(0) = 1을 만족하는 단가 함수 ''h''는 별 모양이며, 이는 [0,1]의 실수 곱셈에 대해 불변인 이미지를 가지며, |''z''| < 1에 대해

z h^\prime(z)/h(z)

가 양의 실수부를 갖고 0에서 값 1을 갖는 경우에만 해당한다.^[1]

결과를 ''a''•''h''(''rz'')에 적용하면, 기준은 |''z''| < r인 모든 원판에 적용되며, 단지 ''f''(0) = 0 및 ''f'''(0) ≠ 0이라는 요구 사항만 충족하면 된다.

|''z''| < 1에서 ''h''(''z'')를 ''h''(0) = 0이고 ''h'''(0) = 1인 별 모양의 단일가 함수라고 하자.

''t'' < 0에 대해, 다음을 정의한다.^[1]

:

f_t(z)=h^{-1}(e^{-t}h(z)), \,

0을 고정하는 자기 자신으로의 정칙 사상의 반군.

게다가 ''h''는 반군 ''f''_''t''의 쾨니히스 함수이다.

슈바르츠 보조정리에 의해, |''f''_''t''(''z'')|는 ''t''가 증가함에 따라 감소한다.

따라서

:

\partial_t |f_t(z)|^2 \le 0.

하지만 ''w'' = ''f''_''t''(''z'')로 설정하면,

:

\partial_t |f_t(z)|^2 =2\Re\, \overline{f_t(z)} \partial_t f_t(z) = 2 \Re\, \overline{w} v(w),

여기서

:

v(w)= -{h(w)\over h^\prime(w)}.

따라서

:

\Re\, \overline{w} {h(w)\over h^\prime (w)} \ge 0.

그리고 |''w''|²로 나누면,

:

\Re\, {h(w)\over w h^\prime (w)} \ge 0.

역수를 취하고 ''t''를 0으로 보내면

:

\Re\, z {h^\prime(z)\over h(z)} \ge  0

모든 |''z''| < 1에 대해 성립한다. 좌변이 조화 함수이므로, 최대 원리는 이 부등식이 엄격함을 의미한다.

반대로

:

g(z) =z {h^\prime(z)\over h(z)}

가 양의 실수를 갖고 ''g''(0) = 1이면, ''h''는 0에서만 사라질 수 있으며, 여기서 단순한 영점을 가져야 한다.

이제

:

\partial_\theta \arg h(re^{i\theta})=\partial_\theta \Im\, \log h(z) = \Im\, \partial_\theta \log h(z)=\Im\, {\partial z\over \partial\theta} \cdot \partial_z \log h(z) =\Re\, z {h^\prime(z)\over h(z)}.

따라서 ''z''가 원

z=re^{i\theta}

을 따라가면, 이미지

h(re^{i\theta})

의 인수가 엄격하게 증가한다. 인수 원리에 의해,

h

가 0에서 단순한 영점을 가지므로, 원점을 정확히 한 번 돈다. 그리는 곡선으로 경계가 정해진 영역의 내부는 따라서 별 모양이다. 만약 ''a''가 내부의 점이라면, |''z''| < ''r''을 만족하는 ''h(z)'' = ''a''의 해의 수 ''N''(''a'')는 다음과 같다.

:

N(a) ={1\over 2\pi i} \int_

6. 비버바흐 추측에의 응용 (복소해석학)

콘스탄틴 카라테오도리는 1907년에 단위 원판 ''D''에서 양의 실수를 갖는 정칙 함수

g(z)= 1 +b_1 z + b_2 z^2 + \cdots

에 대해

|b_n|\le 2

임을 증명했다. 이는 슈바르츠 공식과 확률 측도를 이용하여 증명할 수 있다.^[2]

별 모양 함수 ''h''(''z'')에 대해서도 카라테오도리 보조정리를 응용할 수 있다. ''h''(0) = 0이고 ''h'''(0) = 1인 별 모양 단일가 함수 ''h''(''z'')에 대해, 쾨니히스 함수를 이용하고, 적절한 부등식을 통해 다음 조건을 유도할 수 있다.

:

\Re\, z {h^\prime(z)\over h(z)} \ge  0

이 조건은 |''z''| < 1에서 성립하며, 조화 함수의 최대 원리에 의해 엄격한 부등식으로 표현된다.

이 결과를 바탕으로, |''z''| < 1에서 단일성을 가진 별 모양 함수

f(z) = z + a_2 z^2 + a_3 z^3 + \cdots

의 계수에 대해 네반린나는

|a_n|\le n

임을 증명했다. 이는 카라테오도리 보조정리에 의해

g(z) = z{f^\prime(z)\over f(z)}

의 계수

|b_n|

이 2 이하임을 보이고, 재귀 관계를 통해 유도할 수 있다.^[1]

6. 1. 카라테오도리 보조정리 (복소해석학)

함수 f가 점 c를 포함하는 어떤 구간에서 정의될 때, f가 c에서 미분가능하기 위한 필요충분조건은 c에서 연속이고 모든 x∈I에 대하여 f(x) - f(c) = φ(x)(x-c)를 만족하는 연속함수 φ가 존재하는 것이다. 특히, 이 경우 φ(c) = f'(c)를 만족한다.^[2]

콘스탄틴 카라테오도리는 1907년에 다음을 증명했다.

:

g(z)= 1 +b_1 z + b_2 z^2 + \cdots.

가 단위 원판 ''D''에서 양의 실수를 갖는 정칙 함수이면,

:

|b_n|\le 2.

사실, ''g''를 모든 ''r'' < 1에 대해 ''g''_''r''(z) = ''g''(''rz'')로 대체하고 ''r'' = 1로 극한을 취하여 결과를 보이는 것으로 충분하다. 이 경우 ''g''는 닫힌 원판에서 양의 실수를 갖는 연속 함수로 확장되며 슈바르츠 공식에 의해

:

g(z) = {1\over 2\pi} \int_0^{2\pi} { e^{i\theta}+  z\over e^{i\theta} -z} \Re g(e^{i\theta})\, d\theta.

다음 항등식을 사용하면

:

{ e^{i\theta}+  z\over e^{i\theta} -z} = 1 +2 \sum_{n\ge 1} e^{-in\theta} z^n,

다음이 따른다.

:

\int_0^{2\pi}  \Re g(e^{i\theta}) \,d\theta =1

,

따라서 확률 측도를 정의하고,

:

b_n =2\int_0^{2\pi} e^{-int} \Re g(e^{i\theta}) \,d\theta.

따라서

:

|b_n| \le 2 \int_0^{2\pi} \Re g(e^{i\theta}) \,d\theta =2.

6. 2. 별 모양 함수에 대한 증명

|''z''| < 1에서 ''h''(0) = 0이고 ''h'''(0) = 1인 별 모양의 단일가 함수 ''h''(''z'')를 생각하자.^[1]

''t'' < 0에 대해, 다음을 정의한다.

:

f_t(z)=h^{-1}(e^{-t}h(z)), \,

이는 0을 고정하는 자기 자신으로의 정칙 사상의 반군이다. ''h''는 반군 ''f''_''t''의 쾨니히스 함수이다.

슈바르츠 보조정리에 의해, |''f''_''t''(''z'')|는 ''t''가 증가함에 따라 감소한다.

따라서

:

\partial_t |f_t(z)|^2 \le 0.

''w'' = ''f''_''t''(''z'')로 두면,

:

\partial_t |f_t(z)|^2 =2\Re\, \overline{f_t(z)} \partial_t f_t(z) = 2 \Re\, \overline{w} v(w),

여기서

:

v(w)= -{h(w)\over h^\prime(w)}.

이다. 따라서

:

\Re\, \overline{w} {h(w)\over h^\prime (w)} \ge 0.

이고, |''w''|²로 나누면,

:

\Re\, {h(w)\over w h^\prime (w)} \ge 0.

이다. 역수를 취하고 ''t''를 0으로 보내면,

:

\Re\, z {h^\prime(z)\over h(z)} \ge  0

이 모든 |''z''| < 1에 대해 성립한다. 좌변이 조화 함수이므로, 최대 원리는 이 부등식이 엄격함을 의미한다.

반대로

:

g(z) =z {h^\prime(z)\over h(z)}

가 양의 실수를 갖고 ''g''(0) = 1이면, ''h''는 0에서만 사라질 수 있으며, 이 점에서 단순한 영점을 가져야 한다.

이제

:

\partial_\theta \arg h(re^{i\theta})=\partial_\theta \Im\, \log h(z) = \Im\, \partial_\theta \log h(z)=\Im\, {\partial z\over \partial\theta} \cdot \partial_z \log h(z) =\Re\, z {h^\prime(z)\over h(z)}.

따라서 ''z''가 원

z=re^{i\theta}

을 따라가면, 이미지

h(re^{i\theta})

의 인수가 엄격하게 증가한다. 인수 원리에 의해,

h

가 0에서 단순한 영점을 가지므로, 원점을 정확히 한 번 돈다. 그리는 곡선으로 경계가 정해진 영역의 내부는 따라서 별 모양이다. 만약 ''a''가 내부의 점이라면, |''z''| < ''r''을 만족하는 ''h(z)'' = ''a''의 해의 수 ''N''(''a'')는 다음과 같다.

:

N(a) ={1\over 2\pi i} \int_

참조

_[1] 서적
_[2] 서적 실해석학개론 범한서적주식회사
_[3] 서적 같은 책

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