반군

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1. 개요

반군은 집합과 결합 법칙을 만족하는 이항 연산으로 구성된 대수 구조이다. 항등원을 가질 필요는 없으며, 항등원을 갖는 반군은 모노이드라고 한다. 반군은 마그마를 포함하며, 모노이드는 반군을 포함하고, 군은 모노이드를 포함한다. 반군 준동형, 부분 반군, 특별한 원소(영원, 항등원, 멱등원, 정칙원) 등의 개념이 존재한다.

반군에는 반대 반군, 몫반군, 직접곱, 반직접곱, 자유곱, 영원 추가, 멱집합, 화환곱 등의 연산이 정의되며, 케일리 정리가 성립한다. 반군은 멱등 반군, 가환 반군, 모노이드, 소거 반군, 정칙 반군, 아르키메데스 반군 등 다양한 종류로 분류된다. 유한 반군은 크론-로즈 정리를 통해 유한 단순군과 플립플롭 모노이드의 화환곱으로 나타낼 수 있다. 가환 반군은 가환 멱등 반군과 아르키메데스 반군으로 분해하여 구조를 설명할 수 있다.

반군은 모노이드, 군, 유사환 등의 예시를 가지며, 자유 반군, 영반군 등 다양한 특수한 형태가 존재한다. 반군 이론은 1904년 장아르망 드 세기에 의해 처음 사용되었으며, 1908년 해럴트 힐턴에 의해 현대적인 정의가 확립되었다. 수시케비치, 클리퍼드, 리스, 그린, 하위 등의 연구를 통해 발전했으며, 자동기계 이론, 크론-로즈 정리, 표현론 등 다양한 분야에 응용되었다.

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반군론 - 멱등원
멱등원은 연산을 통해 자기 자신을 결과로 반환하는 원소로, 환이나 모노이드에서는 $e^2 = e$ 를 만족하는 원소 $e$ 를 의미하며, 환의 구조 분석에 중요한 역할을 하고 범주론에서는 자기 사상 $e$ 가 $e \circ e = e$ 를 만족시킬 때 멱등 사상이라고 정의한다.
반군론 - 화환곱
화환곱은 군론에서 두 군의 구조를 결합하여 더 큰 군을 만드는 연산으로, 반군 작용을 통해 정의되며 다양한 종류가 존재하고 결합 법칙을 따르며 여러 분야에 응용된다.

반군

2. 정의

반군(Semigroup)은 하나의 집합과 그 위에 정의된, 결합법칙을 만족하는 이항 연산으로 이루어진 대수 구조이다.^[1]

구체적으로, 반군은 다음의 요소로 구성된다.

집합 $S$
이항 연산 $\cdot\colon S\times S\to S$ (결합 법칙을 만족)

이항 연산은 항등원을 가질 필요는 없다. 항등원을 갖는 반군은 모노이드라고 불린다. 즉, 반군과 모노이드의 관계는 유사환과 환의 관계와 유사하다. 보통 편의상 이항 연산은 곱셈처럼 생략하여 표현하기도 한다.^[1]

반군은 마그마의 특수한 경우로 볼 수 있다. 즉, 결합 법칙을 만족하는 마그마가 반군이다. 따라서 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.^[1]

마그마 ⊋ 반군 ⊋ 모노이드 ⊋ 군

반군은 집합 ''S''와 이항 연산 ⋅ (함수)로 구성되며, 다음의 결합 법칙을 만족한다.^[1]

: 모든 ''a'', ''b'', ''c'' ∈ ''S''에 대해, (''a'' ⋅ ''b'') ⋅ ''c'' = ''a'' ⋅ (''b'' ⋅ ''c'')

반군은 공집합에 공함수를 이항 연산으로 정의하여 만들 수 있다. 원소가 하나인 반군, 두 개의 원소를 갖는 반군 등 다양한 예시가 존재한다.^[1]

2. 1. 반군 준동형

두 반군

S

,

T

사이의 '''반군 준동형'''(半群準同型, semigroup homomorphism^영어)은 다음 조건을 만족시키는 함수

f\colon S\to T

이다.

(이항 연산의 보존) 임의의 $s,t\in S$ 에 대하여, $f(st)=f(s)f(t)$

반군 준동형 사상은 반군 구조를 보존하는 함수이다. 예를 들어, 두 반군 사이의 함수

f : S \rightarrow T

는 다음 방정식을 만족하면 준동형 사상이다.

:

f(ab) = f(a)f(b)

모든 모노이드는 반군이므로, 두 모노이드 사이의 반군 준동형을 생각할 수 있다. 두 모노이드 사이의 모든 모노이드 준동형은 반군 준동형이지만, 두 모노이드 사이의 반군 준동형은 모노이드 준동형이 아닐 수 있다 (즉, 항등원을 항등원으로 대응시키지 않을 수 있다).

만약

S_0

이 항등원

e_0

을 가진 모노이드라면,

f(e_0)

는

f

의 이미지에서 항등원이다. 만약

S_1

이 또한 항등원

e_1

을 가진 모노이드이고

e_1

이

f

의 이미지에 속한다면,

f(e_0) = e_1

이다. 즉,

f

는 모노이드 준동형 사상이다. 특히,

f

가 전사일 경우, 모노이드 준동형 사상이다.

2. 2. 부분 반군

반군

S

의 부분 집합

T\subseteq S

가 다음 조건을 만족시킨다면,

T

를

S

의 '''부분 반군'''이라고 한다.

임의의 $s,t\in S$ 에 대하여, $st\in S$

반군 연산은 반군 부분 집합 모음에 대한 연산을 유도한다. 반군 ''S''의 부분 집합 ''A''와 ''B''가 주어지면, 이들의 곱은 ''AB''로 표기하며, 이는 집합 { ''ab'' | ''a'' in ''A'' and ''b'' in ''B'' }이다. 이 연산과 관련하여, 부분 집합 ''A''는 다음과 같이 불린다.

'''부분 반군''': ''AA''가 ''A''의 부분 집합인 경우
'''오른쪽 아이디얼''': ''AS''가 ''A''의 부분 집합인 경우
'''왼쪽 아이디얼''': ''SA''가 ''A''의 부분 집합인 경우

''A''가 왼쪽 아이디얼이자 오른쪽 아이디얼이면, '''아이디얼'''(또는 '''양쪽 아이디얼''')이라고 불린다.

반군 (''S'', ∗)의 부분집합 ''A'', ''B''가 주어졌을 때, ''A'' ∗ ''B'' (또는 단순히 ''AB'')로 표시되는 ''S''의 부분집합을 다음과 같이 정의한다.

:

AB := \{ab \mid a\in A,\,b\in B\}

이 표기법을 사용하면, 반군 ''S''의 부분집합 ''A''에 대해

''A''가 ''S''의 '''부분반군'''이란, ''AA'' ⊂ ''A''임을 말한다.
''A''가 ''S''의 '''오른쪽 아이디얼'''이란, ''AS'' ⊂ ''A''임을 말한다.
''A''가 ''S''의 '''왼쪽 아이디얼'''이란, ''SA'' ⊂ ''A''임을 말한다.

''A''가 왼쪽 아이디얼이면서 오른쪽 아이디얼일 때, ''A''를 '''양쪽 아이디얼''' 또는 단순히 '''아이디얼'''이라고 한다.

''S''가 반군이면, ''S''의 부분 반군들의 모임의 교집합 또한 ''S''의 부분 반군이다. 따라서 ''S''의 부분 반군은 완비 격자를 형성한다.

반군 ''S''의 부분반군으로 이루어진 족(族, family)의 교집합은 다시 ''S''의 부분반군이 된다. 즉, ''S''의 부분반군 전체는 완비 격자를 이룬다.

2. 3. 특별한 원소

반군

S

에서, 어떤 원소

0_L\in S

가 모든

s\in S

에 대해

0_Ls=0_R

을 만족하면,

0_L

을 '''왼쪽 영원'''(left zero element^영어)이라고 한다. 비슷하게, 모든

s\in S

에 대해

s0_R=0_R

을 만족하는 원소

0_R\in S

는 '''오른쪽 영원'''(right zero element^영어)이다. 왼쪽 영원이면서 동시에 오른쪽 영원인 원소를 '''영원'''(zero element^영어)이라고 부른다. 일반적으로 왼쪽 영원과 오른쪽 영원은 여러 개 존재할 수 있지만, 영원은 존재한다면 유일하다.

반군

S

에서, 모든

s\in S

에 대해

1_Ls=s

를 만족하는 원소

1_L\in S

가 있다면,

1_L

을 '''왼쪽 항등원'''(left identity element^영어)이라고 한다. 마찬가지로, 모든

s\in S

에 대해

s1_R=s

를 만족하는 원소

1_R\in S

는 '''오른쪽 항등원'''(right identity element^영어)이다. 왼쪽 항등원이면서 오른쪽 항등원인 원소를 '''항등원'''(identity element^영어)이라고 한다. 왼쪽 항등원과 오른쪽 항등원은 유일하지 않을 수 있지만, 항등원은 존재한다면 유일하다. 항등원을 갖는 반군을 '''모노이드'''라고 한다.

s^2=s

를 만족하는 반군

S

의 원소

s\in S

를 '''멱등원'''(idempotent element^영어)이라고 한다. 왼쪽 영원, 오른쪽 영원, 왼쪽 항등원, 오른쪽 항등원은 모두 멱등원이다. 유한 반군은 항상 적어도 하나 이상의 멱등원을 갖는다.

반군

S

의 원소

s\in S

에 대해,

sts=s

를 만족하는 원소

t\in S

가 존재하면,

s

를 '''정칙원'''(regular element^영어),

t

를

s

의 '''유사역원'''(pseudoinverse^영어)이라고 한다. 유사역원은 일반적으로 유일하지 않다.

3. 연산

집합 ''S''와 그 위의 이항 연산 • : S × S → S의 쌍 (''S'', •)이 결합율(결합 법칙)을 만족할 때, 이를 '''반군'''이라고 한다. ''S''를 반군 (''S'', •)의 대집합이라고 부른다.

; 결합율: ''S''의 각 원소 ''a'', ''b'', ''c''에 대해 등식 (''a'' • ''b'') • ''c'' = ''a'' • (''b'' • ''c'')가 성립한다.

오해의 소지가 없다면 "반군 ''S''"처럼 대집합과 같은 기호로 반군을 나타낸다.

대집합이 유한 집합인 반군은 '''유한 반군''' finite semigroup^영어 또는 유한 위수를 갖는 반군 semigroup with finite order^영어이라 하고, 대집합이 무한 집합인 반군은 '''무한 반군''' infinite semigroup^영어 또는 무한 위수를 갖는 반군 semigroup with infinite order^영어이라고 한다.

반군에 대한 연산은 다음과 같다.

반대 반군
몫반군
직접곱
반직접곱
자유곱
영원의 추가
멱집합
화환곱

3. 1. 반대 반군

반군

(S,\cdot)

가 주어졌을 때, 집합

S

위에 다음과 같은 다른 이항 연산

\cdot'

을 줄 수 있다.

:

\cdot'\colon S\times S\to S

:

a\cdot'b=b\cdot a\qquad\forall a,b\in S

그렇다면

(S,\cdot')

는 반군을 이룬다. 이를

(S,\cdot)

의 '''반대 반군'''(opposite semigroup^영어)이라고 하고,

S^{\operatorname{op}}

으로 쓴다.

반대 모노이드나, 군론의 반대군이나, 환론의 반대환은 반대 반군의 특수한 경우이다.

군의 경우 모든 군은 스스로의 반대군과 역원 함수를 통해 표준적으로 동형이지만, 반군의 경우 일반적으로 스스로의 반대 반군과 동형이 아니다. (가환 반군은 물론 스스로의 반대 반군과 같다.)

3. 2. 몫반군

반군

S

위의 합동 관계

\sim

가 주어졌을 때, '''몫반군'''(-半群, quotient semigroup^영어)

S/{\sim}

을 정의할 수 있다. 군이나 유사환의 경우와 달리, 반군의 합동 관계는 일반적으로 정규 부분군이나 유사환 아이디얼과 같은 부분 집합으로 나타내어지지 않는다.

3. 3. 직접곱

여러 반군들의 모임은 대수 구조 다양체이므로, 여러 개의 반군들의 '''직접곱'''을 정의할 수 있다. 이는 반군과 반군 준동형의 범주에서의 범주론적 곱이다. 구체적으로, 반군들의 집합

\{S_i\}_{i\in I}

의 '''직접곱'''

\textstyle\prod_iS_i

은 집합으로서 곱집합과 같으며, 그 위의 이항 연산은 다음과 같다.

:

(a_i)_{i\in I}\cdot(b_i)_{i\in I}=(a\cdot b)_{i\in I}\qquad\forall a_i,b_i\in S_i

각

S_i

의 성질은

\textstyle\prod_{\in I}S_i

에게 다음과 같이 유전된다.

만약 모든 $S_i$ 가 가환 반군이라면, 이들의 직접곱 $\textstyle\prod_i S_i$ 역시 가환 반군이다.
만약 모든 $S_i$ 가 모노이드라면, 직접곱 $\textstyle\prod_i S_i$ 역시 모노이드이며, 이는 모노이드 직접곱과 같다.
만약 모든 $S_i$ 가 군이라면, 직접곱 $\textstyle\prod_i S_i$ 역시 군이며, 이는 군의 직접곱과 같다.

3. 4. 반직접곱

두 반군

N

,

H

및

H

의

N

위의 작용

\phi\colon H\to\operatorname{End}N

이 주어졌을 때, 반직접곱

N\rtimes_\phi H

를 정의할 수 있다.

3. 5. 자유곱

반군의 모임은 대수 구조 다양체이므로, 여러 개의 반군들의 '''자유곱'''을 정의할 수 있으며, 이는 반군의 범주의 쌍대곱이다. 반군의 자유곱은 모노이드의 자유곱과 다르다. 즉, 각 성분들의 항등원이 모노이드 자유곱에서는 한 원소로 합쳐지지만, 반군 자유곱에서는 그렇지 않다.

3. 6. 영원의 추가

반군

S

가 주어졌을 때,

S\sqcup\{0\}

에 다음과 같은 이항 연산을 준다.

:

0s=s0=0^2=0\qquad\forall s\in S

그렇다면

S\sqcup\{0\}

는 반군을 이루며, 새로 추가한 원소

0

은 그 속의 영원을 이룬다. 만약

S

가 모노이드라면

S\sqcup\{0\}

역시 모노이드이다.

3. 7. 멱집합

반군

S

가 주어졌을 때, 그 멱집합

\mathcal P(S)

위에 다음과 같은 이항 연산을 정의할 수 있다.

:

AB=\{ab\colon a\in A,b\in B\}

이 연산에 따라,

\mathcal P(S)

는 반군을 이룬다.

\mathcal P(S)

는 항상 영원을 가지는데, 이는 공집합이다. 또한,

\mathcal P(S)\setminus\{\varnothing\}

역시 반군이다.

만약

S

가 모노이드라면

\mathcal P(S)

역시 모노이드이다.

3. 8. 화환곱

군론의 화환곱(wreath product^영어)을 반군에 대하여 일반화할 수 있다. 즉, 두 반군

S

,

T

와

T

가 왼쪽에서 작용하는 집합

X

가 주어졌을 때, '''화환곱'''

S\wr_XT

는 집합

M^X\times N

위에 주어진 반군이다. 구체적으로, 이는 다음과 같다.

:

((m_x)_{x\in X},n)\cdot((m'_x)_{x\in X},n')=\left((m_xm_{n\cdot x'})_{x\in X},nn'\right)

작용을 갖춘 반군들에 대하여, 화환곱은 결합 법칙을 따른다.

4. 성질

두 반군 $S$ , $T$ 사이의 '''반군 준동형'''(半群準同型, semigroup homomorphism^영어)은 다음 조건을 만족시키는 함수 $f\colon S\to T$ 이다.

(이항 연산의 보존) 임의의 $s,t\in S$ 에 대하여, $f(st)=f(s)f(t)$

모든 모노이드는 반군이므로, 두 모노이드 사이의 반군 준동형을 생각할 수 있다. 두 모노이드 사이의 모든 모노이드 준동형은 반군 준동형이지만, 두 모노이드 사이의 반군 준동형은 모노이드 준동형이 아닐 수 있다. (즉, 항등원을 항등원으로 대응시키지 않을 수 있다).

반군

S

의 부분 집합

T\subseteq S

가 다음 조건을 만족시킨다면,

T

를

S

의 '''부분 반군'''(部分半群, subsemigroup^영어)이라고 한다.

임의의 $s,t\in S$ 에 대하여, $st\in S$

모노이드의 모든 부분 모노이드는 부분 반군이지만, 모노이드의 부분 반군은 부분 모노이드가 아닐 수 있다. (즉, 항등원을 포함하지 않을 수 있다).

반군

S

속에서, 다음 조건을 만족시키는 부분 반군

I\subseteq S

을

S

의 '''왼쪽 아이디얼'''(left ideal^영어)이라고 한다.

:

si\in I\qquad\forall s\in S,i\in I

반군

S

속에서, 다음 조건을 만족시키는 부분 반군

I\subseteq S

을

S

의 '''오른쪽 아이디얼'''(right ideal^영어)이라고 한다.

:

is\in I\qquad\forall s\in S,i\in I

왼쪽 아이디얼이자 오른쪽 아이디얼인 부분 반군을 '''아이디얼'''(ideal^영어)이라고 한다. 모노이드의 아이디얼은 부분 모노이드를 이룰 필요가 없다. (즉, 1을 포함하지 않을 수 있다). 이는 환의 환론적 아이디얼이 부분환을 이룰 필요가 없는 것과 마찬가지다.

반군

S

의 부분 반군의 몫반군을

S

의 '''인자'''(divisor^영어)라고 한다.

군론의 케일리 정리와 마찬가지로, 반군에 대하여 '''케일리 정리'''가 성립한다. 즉, 임의의 반군

S

에 대하여, 어떤 집합

X

위의 완전 변환 모노이드

\operatorname{End}_{\operatorname{Set}}(X)

로 가는 단사 반군 준동형

:

\iota\colon S\to\operatorname{End}_{\operatorname{Set}}(X)

이 존재한다. 또한, 만약

S

가 유한 반군이라면

X

역시 유한 집합으로 잡을 수 있다.

반군

S

의 부분 반군 가운데 부분군인 것들은 포함 관계에 따라 부분 순서 집합을 이룬다. 그렇다면, 다음 두 집합 사이에 표준적인 전단사 함수가 존재한다.

$S$ 의 극대 부분군들의 집합
$S$ 의 멱등원들의 집합

구체적으로,

S

의 극대 부분군

G\subseteq S

에 대하여,

1_G\in G\subseteq S

는

S

의 멱등원을 이룬다. 반대로, 임의의 멱등원

i\in S

에 대하여,

i

에 대한 역원을 갖는 모든 원소들의 집합

:

G_i=\{s\in S\colon is=si=s,\;\exists t\in S\colon st=ts=1\}

은

i

를 항등원으로 하는 극대 부분군이다.

공집합이 아닌 모든 유한 반군은 항상 하나 이상의 멱등원을 가진다. (모노이드의 경우 항등원이 멱등원이므로 이는 자명하게 성립한다.) 그러나 이는 무한 반군에 대하여 성립하지 않는다.

어떤 부분집합 ''A'' ⊆ ''S''에 대해 ''A''를 포함하는 ''S''의 가장 작은 부분 반군 ''T''가 존재하며, ''A''가 ''T''를 '''생성'''한다고 말한다. ''S''의 단일 원소 ''x''는 부분 반군을 생성한다. 이 부분이 유한하면 ''x''는 '''유한 차수'''를 가진다고 하며, 그렇지 않으면 '''무한 차수'''를 가진다고 한다.

반군은 모든 원소가 유한 차수를 가질 경우 '''주기적'''이라고 한다.

단일 원소에 의해 생성된 반군은 단항 반군(또는 순환 반군)이라고 한다. 단항 반군이 무한하다면, 이는 덧셈 연산을 가진 양의 정수 반군과 동형이다. 만약 유한하고 비어 있지 않다면, 적어도 하나의 멱등원을 포함해야 한다. 따라서 모든 비어 있지 않은 주기적 반군은 적어도 하나의 멱등원을 갖는다.

그룹이기도 한 부분 반군은 '''부분군'''이라고 한다. 반군의 부분군과 멱등원 사이에는 밀접한 관계가 있다. 각 부분군은 정확히 하나의 멱등원, 즉 부분군의 항등원을 포함한다. 반군의 각 멱등원 ''e''에 대해 ''e''를 포함하는 고유한 최대 부분군이 있다. 각 최대 부분군은 이런 방식으로 발생하므로 멱등원과 최대 부분군 간의 일대일 대응이 있다. 여기서 용어 ''최대 부분군''은 그룹 이론에서 표준 사용법과 다르다.

차수가 유한할 때는 종종 더 많은 것을 말할 수 있다. 예를 들어, 모든 비어 있지 않은 유한 반군은 주기적이며, 최소 아이디얼과 적어도 하나의 멱등원을 갖는다. 유한 반군의 구조에 대한 자세한 내용은 크론-로드 이론을 참조하라.

5. 종류

'''멱등 반군'''(idempotent semigroup|아이뎀포턴트 반군^영어 또는 band|밴드^영어)은 모든 원소가 멱등원인 반군이다.
'''가환 반군'''(commutative semigroup|커뮤터티브 반군^영어)은 이항 연산이 교환 법칙을 따르는 반군이다.
* 멱등 가환 반군을 '''반격자'''(semilattice|세미래티스^영어)라고 하기도 한다.
'''모노이드'''(monoid|모노이드^영어)는 항등원을 갖는 반군이다.
'''왼쪽 소거 반군'''(left-cancellative semigroup|레프트 캔슬러티브 반군^영어)은 만약 $ab=ac$ 라면 $b=c$ 가 성립하는 반군이다. '''오른쪽 소거 반군'''(right-cancellative semigroup|라이트 캔슬러티브 반군^영어)은 만약 $ba=ca$ 라면 $b=c$ 가 성립하는 반군이다. '''소거 반군'''(cancellative semigroup|캔슬러티브 반군^영어)은 왼쪽 소거 반군이자 오른쪽 소거 반군인 반군이다.
'''정칙 반군'''(regular semigroup|레귤러 반군^영어)은 모든 원소가 정칙원인 반군이다.
'''아르키메데스 반군'''(Archimedean semigroup|아르키미디언 반군^영어)은 임의의 원소 $a,b\in S$ 에 대하여 $a^n=bc$ 가 되는 원소 $c\in S$ 와 양의 정수 $n\in\mathbb Z^+$ 이 존재하는 가환 반군이다.
소거 반군은 소거 법칙을 갖는 반군이다.
밴드는 연산이 멱등인 반군이다.
반격자는 연산이 멱등이고 교환성이 있는 반군이다.
0-단순 반군.
변환 반군
이중 순환 반군
C₀-반군
정규 반군
역 반군
아핀 반군
모노이드는 단위적 반군이다.
부분 반군은 반군의 부분 집합으로, 원래 반군의 연산에 대해 닫혀 있는 것이다. 부분 반군이 군을 이루면, 그것을 원래 반군의 부분군이라고 부른다.
띠는 그 연산이 멱등인 반군이다.
반격자는 그 연산이 멱등이며 가환인 반군이다.

6. 분류

유한 반군과 가환 반군의 구조는 다음과 같이 설명할 수 있다.

'''유한 반군''': 크론-로즈 정리에 따르면, 모든 유한 반군은 유한 단순군과 비자명군을 포함하지 않는 유한 반군들의 화환곱의 부분 반군의 몫반군으로 나타낼 수 있다. 유한 반군의 구조에 대한 자세한 내용은 크론-로드 이론을 참조하라.
'''가환 반군''': 임의의 가환 반군 $S$ 에 대하여, $S/{\sim}$ 이 가환 멱등 반군이 되는 가장 섬세한 합동 관계 $\sim$ 가 존재하며, $S$ 는 $S/{\sim}$ 에 대한 등급 반군을 이룬다. 각 동차 성분은 모두 아르키메데스 반군을 이룬다.

6. 1. 유한 반군

'''크론-로즈 정리'''(Krohn–Rhodes theorem^영어)에 따르면, 모든 유한 반군은 유한 단순군과 비자명군을 포함하지 않는 유한 반군들의 화환곱의 부분 반군의 몫반군으로 나타낼 수 있다. 즉, 다음과 같은 꼴로 표현 가능하다.

:

S=T/{\sim}

:

T\subseteq G_1\wr\cdots\wr G_n

여기서

$G_1,\dots,G_n$ 은 다음 둘 중 하나이다.
* 유한 단순군이며, 스스로 위에 작용한다.
* 크기 2의 집합 위에 작용하는 크기 3의 비가환 멱등 모노이드인 '''플립플롭 모노이드'''(flip-flop monoid^영어)이다. 이러한 모노이드는 두 개가 있으며, 서로의 반대 모노이드이다.
$\wr$ 는 작용을 갖춘 반군들의 화환곱이다.
$T$ 는 위 (반)군들의 화환곱의 부분 반군이다.
$\sim$ 은 $T$ 위의 반군 합동 관계이다.

유한 반군의 구조에 대한 자세한 내용은 크론-로드 이론을 참조하라.

6. 2. 가환 반군의 구조 이론

임의의 가환 반군

S

에 대하여,

S/{\sim}

이 가환 멱등 반군이 되는 가장 섬세한 합동 관계

\sim

가 존재하며,

S

는

S/{\sim}

에 대한 등급 반군을 이룬다. 각

a\in S/{\sim}

에 대하여, 동차 성분

S_a

는 모두 아르키메데스 반군을 이룬다.^[1]

따라서 가환 반군의 분류는 가환 멱등 반군의 분류와 아르키메데스 반군의 분류로 귀결된다. 가환 멱등 반군은 공집합이 아닌 유한 부분 집합이 항상 최소 원소를 갖는 부분 순서 집합과 동치이다. 이 경우 부분 순서는

a\le b\iff a=ab

와 같다.^[1]

반격자를 사용하면 가환 반군에 대한 구조 정리를 할 수 있다.^[1] 반격자(또는 더 정확하게는 만남 반격자)는 모든 쌍의 원소

a, b \in L

가 최대 하한을 갖는 부분 순서 집합이며,

a ∧ b

로 표시된다. 연산 ∧는 ''L''을 멱등성 법칙

a ∧ a = a

를 만족하는 반군으로 만든다.^[1]

임의의 반군에서 반격자로의 준동형사상

f : S → L

이 주어지면, 각 역상

S_a = f^{-1}(a)

는 반군이다. (비어 있을 수도 있다) 또한

S

는

S_a S_b \subseteq S_{a∧b}

의 의미에서

L

에 의해 '''등급'''이 매겨진다.^[1]

만약

f

가 전사 함수라면, 반격자

L

은

x

~

y

가

f(x) = f(y)

인 동치 관계 ~에 의해

S

의 몫과 동형이다. 이 동치 관계는 위에서 정의된 반군 합동이다.^[1]

가환 반군을 합동으로 나누면 다른 가환 반군이 얻어진다. 구조 정리에 따르면 모든 가환 반군

S

에 대해, 이 동치 관계에 의해

S

의 몫이 반격자가 되도록 하는 가장 미세한 합동 ~이 존재한다. 이 반격자를

L

로 표시하면,

S

에서

L

로의 준동형사상

f

를 얻을 수 있다.

S

는 이 반격자에 의해 등급이 매겨진다.^[1]

또한, 구성 요소

S_a

는 모두 아르키메데스 반군이다. 아르키메데스 반군은 임의의 두 원소

x, y

가 주어졌을 때,

x^n = yz

인 원소

z

와

n > 0

이 존재하는 반군이다.^[1] 아르키메데스 성질은 반격자

L

에서의 순서에서 즉시 유도되는데, 이 순서에서

f(x) ≤ f(y)

는

x^n = yz

(

z

는 어떤 원소,

n > 0

)인 것과 같다.^[1]

7. 예

공집합 ( $\varnothing$ ) 위에 유일한 이항 관계를 부여하면 자명하게 반군이 된다. 이를 '''공반군'''(空半群, empty semigroup^영어)이라고 하며, 모노이드는 아니다.
집합 $S$ 에 원소 $0$ 을 추가한 분리합집합 $S\sqcup\{0\}$ 위에 다음과 같은 이항 연산을 상수 함수로 정의할 수 있다.

:

st=0\qquad\forall s,t\in S\sqcup\{0\}

:

S\sqcup\{0\}

은 반군이 되며, 이를 '''영반군'''(零半群, zero monoid^영어)이라고 한다.

S

가 공집합이 아니면 모노이드가 아니고,

S

가 공집합이면 자명군이 된다.

아벨 군 위에 곱셈을 모두 0으로 정의해 영 유사환을 만들 수 있는데, 이 유사환의 곱셈 반군이 영반군이다.
집합 $S$ 위의 '''자유 반군'''(自由半群, free semigroup^영어)은 $S$ 위의 클레이니 스타 (자유 모노이드) $S^*$ 에서 길이가 0인 문자열 $\epsilon$ (항등원)을 제거한 반군 $S^*\setminus\{\epsilon\}$ 이다.
한원소 집합 위의 자유 반군은 양의 정수의 덧셈 반군 $(\mathbb Z^+,+)$ 과 동형이다.
집합 $S$ 위에 다음과 같은 두 이항 연산을 정의할 수 있다.

:

s\cdot_Lt=s\qquad\forall s,t\in S

:

s\cdot_Rt=t\qquad\forall s,t\in S

:이 경우

(S,\cdot_L)

과

(S,\cdot_R)

는 각각 반군이 된다. 전자를 '''왼쪽 영원 반군'''(left zero semigroup^영어), 후자를 '''오른쪽 영원 반군'''(right zero semigroup^영어)이라고 한다.

왼쪽 영원 반군의 모든 원소는 왼쪽 영원이자 오른쪽 항등원이다. 오른쪽 영원 반군의 모든 원소는 오른쪽 영원이자 왼쪽 항등원이다.
왼쪽·오른쪽 영원 반군은 $S$ 가 한원소 집합이 아니면 모노이드가 아니다.
한 원소로 생성되는 반군은 항상 가환 반군이며, 다음 두 가지 경우 중 하나와 동형이다.
한원소 집합 위의 자유 반군 (양의 정수의 덧셈 반군 $(\mathbb Z^+,+)$ 과 동형). 멱등원이 없다.
두 양의 정수 $n,k\in\mathbb Z^+$ 에 대한 $\langle x|x^n=x^{n+k}\rangle$ 형태. 집합은 $n+k-1$ 개의 원소 $\{x,x^2,\cdots,x^{n+k-1}\}$ 로 구성되며, 이항 연산은 다음과 같다.
$x^ax^b=x^{\max \{c\in\mathbb Z^+\colon c$
멱등원 $x^{k\lfloor (n+k-1)/k\rfloor}$ 을 갖는다.
$n>1$ 이면 모노이드가 아니고, $n=1$ 이면 순환군 $\operatorname{Cyc}(k)$ 이다.
$k>1$ 이면 영원이 없고, $k=1$ 이면 유일한 멱등원 $x^n$ 이 영원이다.
크기가 $n$ 인 반군의 동형류 수는 다음과 같다. (단, $n=0,1,2,3,\dots$ 이고, 모노이드와 그 반대 모노이드는 일반적으로 동형이 아니라고 간주한다.)

:1, 1, 5, 24, 188, 1915, 28634, 1627672, 3684030417, 105978177936292, …

반군과 그 반대 반군을 동치로 간주할 때, 동치류 수는 다음과 같다. ( $n=0,1,2,3,\dots$ )

:1, 1, 4, 18, 126, 1160, 15973, 836021, 1843120128, 52989400714478, …

크기가 0인 반군은 공반군, 크기가 1인 반군은 자명군뿐이다. 크기가 2인 반군은 총 5가지이다.
2차 순환군 $\operatorname{Cyc}(2)$ (크기 2인 유한체 $\mathbb F_2$ 의 덧셈 아벨 군)
2원소 불 대수의 만남 또는 이음 모노이드 $B_2$ (크기 2인 유한체 $\mathbb F_2$ 의 곱셈 모노이드)
크기 2의 영반군 $O_2$
크기 2의 왼쪽 영원 반군 $LO_2$ 과 오른쪽 영원 반군 $RO_2$
공집합 반군: 공집합은 공함수를 이진 연산으로 사용해 반군을 이룬다.
1원소 반군: 연산 를 갖는 단일 집합 {''a''} (동형 사상까지 유일).
2원소 반군: 본질적으로 서로 다른 5가지가 존재한다.
덧셈 연산을 갖는 양의 정수 집합 (0을 포함하면 모노이드가 된다).
최소값 또는 최대값 연산을 갖는 정수 집합 (양의/음의 무한대를 포함하면 모노이드).
행렬 곱셈 연산을 갖는 특정 크기의 음이 아닌 정사각 행렬.
링의 곱셈 연산을 갖는 아이디얼.
문자열 결합을 반군 연산으로 사용하는, 고정된 알파벳 Σ에 대한 모든 유한 문자열 집합 (이를 Σ에 대한 "자유 반군"이라 함). 빈 문자열을 포함하면 Σ에 대한 자유 모노이드가 된다.
확률 분포 ''F''와 ''F''의 모든 컨볼루션 멱승으로 구성된 집합에 컨볼루션 연산을 부여한 것 (컨볼루션 반군).
변환 반군 및 변환 모노이드.

8. 역사

1904년에 장아르망 드 세기에(Jean-Armand de Séguier^프랑스어, 1862~1935)가 최초로 반군(semi-groupe^프랑스어)이라는 용어를 사용하였으나,^[23] 드 세기에는 이를 오늘날과 달리 "소거 반군"의 뜻으로 사용하였다. 1908년에 해럴트 힐턴(Harold Hilton^영어, 훗날 해럴드 심프슨(Harold Simpson^영어)으로 개명, 1876~1974)은 최초로 영어 문헌에서 "반군"(semi-group^영어)이라는 용어를 사용하였으며,^[24] 힐턴은 반군을 오늘날과 같이 정의하였다.

반군에 대한 최초의 (자명하지 않은) 정리들은 하인리히 브란트(Heinrich Brandt^de, 1886~1954)의 1926년 논문^[25]과 안톤 카시미로비치 수시케비치(Анто́н Казими́рович Сушке́вич^ru, 1889~1961)의 1928년 논문^[26]이다.^[27] 수시케비치는 유한 단순 반군의 구조를 결정하고 유한 반군의 최소 아이디얼(혹은 그린 관계 J-클래스)이 단순하다는 것을 보였다. 앨프리드 호블리첼 클리퍼드(Alfred Hoblitzelle Clifford^영어, 1908~1992)는 수시케비치의 구조 정리들을 일반화하였다.^[28]^[29]

데이비드 리스(David Rees^영어, 1918~2013)는 1947년에 역원 반군(inverse semigroup^영어)의 개념을 도입하였고, 예브게니 세르게예비치 랴핀(Евге́ний Сергее́вич Ля́пин^ru, 1914~2005)와 고든 프레스턴(Gordon Preston^영어, 1925~2015)은 그 이론을 발전시켰다. 제임스 알렉산더 그린(James Alexander Green^영어, 1926~2014), 존 매킨토시 하위(John Mackintosh Howie^영어, 1936~2011) 등도 반군 이론에 공헌하였다. 특히, 그린은 1951년에 그린 관계를 도입하였다.^[30]

사무엘 에일렌베르크(1913~1998)와 마르셀폴 쉬첸베르제(Marcel-Paul Schützenberger^프랑스어, 1920~1996)는 반군 이론을 자동기계 이론에 응용하여 발전시켰다. 특히, 쉬첸베르제는 1957년에 쉬첸베르제 군을 도입하였다.^[31]

크론-로즈 정리는 미국의 케네스 크론(Kenneth Krohn^영어)과 존 루이스 로즈(John Lewis Rhodes^영어, 1937~)가 1965년 박사 학위 논문에서 발표하였다.^[32]

1961년~1967년에 클리퍼드와 프레스턴은 당시 알려진 반군 이론을 체계화하여, 반군 이론에 대한 최초의 책을 출판하였다.^[33]^[34]^[27] 1970년에는 반군 이론을 전문으로 다루는 학술지인 《반군 포럼》이 창간되었다.

최근에는 역 반군 등 특정 반군에 대한 연구와 대수적 오토마타 이론 및 함수해석학 분야로의 응용이 활발히 이루어지고 있다.

참조

_[1] 서적 Monoids, Acts, and Categories: With Applications to Wreath Products and Graphs : a Handbook for Students and Researchers https://books.google[...] Walter de Gruyter
_[2] 서적 Semigroups https://books.google[...] American Mathematical Soc.
_[3] 서적 Mathematical Foundations of Automata Theory http://www.liafa.jus[...] 2016-11-30
_[4] 서적 Problems on mapping class groups and related topics Amer. Math. Soc.
_[5] 서적 Groups, rings, modules Harper & Row
_[6] 웹사이트 Personal reminiscences of the early history of semigroups http://www.gap-syste[...] 2009-05-12
_[7] 저널 On the immersion of an algebraic ring into a field
_[8] 웹사이트 Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics http://jeff560.tripo[...]
_[9] 웹사이트 An account of Suschkewitsch's paper by Christopher Hollings http://uk.geocities.[...]
_[10] 간행물 Representations of semigroups by means of binary relations
_[11] 간행물 Miniconference on semigroup Theory
_[12] 간행물 Every semigroup is isomorphic to a transitive semigroup of binary relations
_[13] 저널 On some old problems in ''n''-ary groups http://www.quasigrou[...]
_[14] 문서
_[15] 서적 Problems on mapping class groups and related topics Amer. Math. Soc.
_[16] 서적 Groups, rings, modules Harper&Row
_[17] 문서
_[18] 웹사이트 Personal reminiscences of the early history of semigroups http://www.gap-syste[...] 2009-05-12
_[19] 저널
_[20] 웹사이트 Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics http://jeff560.tripo[...]
_[21] 웹사이트 An account of Suschkewitsch's paper by Christopher Hollings http://uk.geocities.[...]
_[22] 저널 On some old problems in n-ary groups http://www.quasigrou[...]
_[23] 서적 Théorie des groupes finis. Élements de la théorie des groupes abstraits https://archive.org/[...] Gaulthier-Villars 1904
_[24] 서적 Theory of Groups of Finite Order https://archive.org/[...] Clarendon Press 1908
_[25] 저널 Über eine Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes 1926
_[26] 저널 Über die endlichen Gruppen ohne das Gesetz der eindeutigen Umkehrbarkeit 1928
_[27] 서적 Semigroup theory. Proceedings of the Monash conference on semigroup theory in honor of G. B. Preston, Clayton, Australia, July 12–14, 1990 World Scientific 1991
_[28] 저널 A system arising from a weakened set of group postulates 1933-10
_[29] 저널 Semigroups admitting relative inverses 1941-10
_[30] 저널 On the structure of semigroups 1951-07
_[31] 저널 " $\bar D$ représentation des demi-groupes"
_[32] 저널 Algebraic theory of machines. I. Prime decomposition theorem for finite semigroups and machines 1965-04
_[33] 서적 The algebraic theory of semigroups, volume I American Mathematical Society 1961
_[34] 서적 The algebraic theory of semigroups, volume II American Mathematical Society 1967

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