슈바르츠 보조정리

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1. 개요

슈바르츠 보조정리는 복소해석학에서 열린 단위 원판에서 자기 자신으로 가는 정칙 함수에 대한 중요한 정리이다. 이 정리는 정칙 함수가 원점과의 거리를 증가시키지 않으며, 특정 조건을 만족할 경우 함수가 원점을 보존하는 쌍정칙 함수임을 보여준다. 슈바르츠 보조정리는 슈바르츠-피크 정리와 같은 다양한 따름정리를 가지며, 쌍곡 기하학과의 연관성을 보여준다. 이 정리는 독일 수학자 헤르만 아만두스 슈바르츠의 이름을 따서 명명되었다.

슈바르츠 보조정리

기본 정보

유형	수학적 보조정리
분야	복소해석학
이름의 유래	헤르만 아만두스 슈바르츠

설명

내용	복소평면의 단위 원판에서 정의되고, 원점을 고정하는 정칙 함수는 슈바르츠 부등식을 만족하며, 등호가 성립하는 경우는 회전 변환이다.
응용	리만 사상 정리 증명에 사용된다.

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1. 개요
2. 정의
3. 증명
4. 따름정리
- 4.1. 슈바르츠-픽 보조정리
  - 4.1.1. 슈바르츠-픽 보조정리의 증명
- 4.2. 단위 원판 위의 쌍정칙 함수의 분류
  - 4.2.1. 단위 원판 위의 쌍정칙 함수의 분류 증명
5. 역사

2. 정의

열린 단위 원판 $\operatorname B(0,1)\subseteq\mathbb C$ 위의 정칙 함수 $f\colon\operatorname B(0,1)\to\operatorname B(0,1)$ 가 $f(0)=0$ 을 만족시킨다고 하자. 슈바르츠 보조정리에 따르면, 다음이 성립한다.
* 임의의 $z\in\operatorname B(0,1)$ 에 대하여, $|f(z)|\le|z|$ 이다.
* $|f'(0)|\le 1$
* 다음 두 조건이 서로 동치이다.
$|f(z)|=|z|$ 인 $0\ne z\in\operatorname B(0,1)$ 가 존재하거나, $|f'(0)|=1$ 이다.
임의의 $z\in\operatorname B(0,1)$ 에 대하여 $f(z)=az$ 이다. 여기서 $a\in\mathbb C$ 는 $|a|=1$ 인 상수이다. (즉, $f$ 는 $\operatorname B(0,1)$ 위의 (원점을 보존하는) 쌍정칙 함수이다.)

이에 따라, 열린 단위 원판 위의 정칙 함수는 원점과의 거리를 증가시키지 않는다.

$\mathbf{D} = \{z : |z| < 1\}$ 를 복소수 평면 $\mathbb{C}$ 에서 원점을 중심으로 하는 열린 단위 원판이라고 하고, $f : \mathbf{D}\rightarrow \mathbb{C}$ 를 $f(0) = 0$ 이고 $|f(z)|\leq 1$ on $\mathbf{D}$ 을 만족하는 정칙 함수라고 하자.

그러면 모든 $z \in \mathbf{D}$ 에 대해 $|f(z)| \leq |z|$ 이고, $|f'(0)| \leq 1$ 이다.

또한, 0이 아닌 어떤 $z$ 에 대해 $|f(z)| = |z|$ 이거나 $|f'(0)| = 1$ 이면, $f(z) = az$ 이며, 여기서 $a \in \mathbb{C}$ 이고 $|a| = 1$ 이다.

복소함수 f(z)는 복소 평면 C의 단위 원판 D = {z : |z | < 1 } 상에서 정칙이고 |f(z) | < 1을 만족하며, 게다가 f(0) = 0이라고 가정한다. 이 때, D의 임의의 점 z에서
: $|f(z)| \le |z|$
가 성립한다.

더욱이 D - {0}의 어떤 점 z에서 |f(z) | = | z |가 성립하거나, 또는 |f ' (0) | = 1이라면, | a | = 1을 만족하는 어떤 상수 a가 존재하여, D에서
: $f(z) = a z\$
이다.

3. 증명

함수 $g\colon\operatorname B(0,1)\to\mathbb C$ 를 다음과 같이 정의한다.
: $g(z)=\begin{cases}f(z)/z&z\ne 0\\f'(0)&z=0\end{cases}\qquad\forall z\in\operatorname B(0,1)$
$g$ 는 정칙 함수이다. 최대 절댓값 원리에 의하여, 임의의 $z\in\operatorname B(0,1)$ 및 $|z| 에 대하여,$
: $|g(z)|\le\sup_{|w|=r}|g(w)|\le\frac 1r$
이며, 따라서
: $|g(z)|\le\lim_{r\to 1^-}\frac 1r=1$
이다. 즉, $z\ne 0$ 일 경우 $|f(z)|\le|z|$ 이며 (0에서도 자명하게 성립한다), 또한 $|f'(0)|\le 1$ 이다.

만약 $|f(z)|=|z|$ 인 $0\ne z\in\operatorname B(0,1)$ 가 존재하거나, $|f'(0)|=1$ 이면, $|g|$ 는 $\operatorname B(0,1)$ 에서 최댓값 1을 가지므로, 상수 함수이다. 즉, 임의의 $z\in\operatorname B(0,1)$ 에 대하여 $g(z)=a$ 인 $a\in\mathbb C$ 가 존재하며, $|a|=1$ 이다. 따라서 임의의 $z\in\operatorname B(0,1)$ 에 대하여, $f(z)=az$ 이다.

만약 임의의 $z\in\operatorname B(0,1)$ 에 대하여 $f(z)=az$ 이며, $a\in\mathbb C$ 가 $|a|=1$ 인 상수라면, 자명하게 임의의 $z\in\operatorname B(0,1)$ 에 대하여 $|f(z)|=|z|$ 이며, 또한 $|f'(0)|=1$ 이다.

4. 따름정리

슈바르츠-픽 보조정리는 열린 단위 원판 $\operatorname B(0,1)\subseteq\mathbb C$ 위의 정칙 함수 $f\colon\operatorname B(0,1)\to\operatorname B(0,1)$ 에 대하여 다음 두 부등식이 성립함을 보이는 정리이다.

* 임의의 $z,w\in\operatorname B(0,1)$ 에 대하여, $\left|\frac{f(z)-f(w)}{1-\overline{f(z)}f(w)}\right|\le\left|\frac{z-w}{1-\bar zw}\right|$
* 임의의 $z\in\operatorname B(0,1)$ 에 대하여, $|f'(z)|\le\frac{1-|f(z)|^2}{1-|z|^2}$

이에 따라, 열린 단위 원판 위의 정칙 함수는 두 점 사이의 쌍곡 거리를 증가시키지 않는다.

드 브랑주 정리는 $f$ 가 단사인 경우, 즉 단일가인 경우에 $0$ 에서 $f$ 의 고차 도함수에 대한 제한을 제공하는 정리로, 과거 비에버바흐 추측으로 알려졌다.

쾨베 1/4 정리는 $f$ 가 단일가인 경우에 대한 관련 추정치를 제공한다.

슈바르츠-아포르스-픽 정리는 쌍곡 다양체에 대한 유사한 정리를 제공한다.

4.1. 슈바르츠-픽 보조정리

열린 단위 원판 $\operatorname B(0,1)\subseteq\mathbb C$ 위의 정칙 함수 $f\colon\operatorname B(0,1)\to\operatorname B(0,1)$ 가 주어졌다고 하자. 슈바르츠-픽 보조정리(-補助定理, Schwarz-Pick lemma^영어)에 따르면, 다음이 성립한다.

* 임의의 $z,w\in\operatorname B(0,1)$ 에 대하여,
*: $\left|\frac{f(z)-f(w)}{1-\overline{f(z)}f(w)}\right|\le\left|\frac{z-w}{1-\bar zw}\right|$
* 임의의 $z\in\operatorname B(0,1)$ 에 대하여,
*: $|f'(z)|\le\frac{1-|f(z)|^2}{1-|z|^2}$
* 다음 두 조건이 서로 동치이다.
첫 번째 부등식에서 등식이 성립하는 $z,w\in\operatorname B(0,1)$ 이 존재하거나, 두 번째 부등식에서 등식이 성립하는 $z\in\operatorname B(0,1)$ 이 존재한다.
임의의 $z\in\operatorname B(0,1)$ 에 대하여 $f(z)=a(z-z_0)/(1-\overline{z_0}z)$ 이다. 여기서 $a,z_0\in\mathbb C$ 는 $|a|=1$ 이고 $|z_0|<1$ 인 상수이다. (즉, $f$ 는 $\operatorname B(0,1)$ 위의 쌍정칙 함수이다.)

이에 따라, 열린 단위 원판 위의 정칙 함수는 두 점 사이의 쌍곡 거리
: $d(z,w)=\tanh^{-1}\left|\frac{z-w}{1-\bar zw}\right|$
를 증가시키지 않는다. 이는 게오르크 피크의 이름을 딴 슈바르츠 보조정리의 변형으로, 단위 원판을 자기 자신으로 사상하는 전단사 정칙 함수인 해석적 자기 동형 사상을 특징짓는다.

푸앵카레 거리에서 점 $z_1$ , $z_2$ 사이의 거리는 다음과 같이 정의된다.

: $d(z_1,z_2)=\tanh^{-1} \left|\frac{z_1-z_2}{1-\overline{z_1}z_2}\right|$

이는 2차원 쌍곡 기하학의 푸앵카레 원반 모형에서 정의되는 거리이다. 슈바르츠-픽 정리는 본질적으로 단위 원판에서 자기 자신으로의 정칙 함수가 푸앵카레 거리에서 점 사이의 거리를 "감소"시킨다고 말한다.

상반평면 $\mathbf{H}$ 에 대한 유사한 명제는 다음과 같다.

$f:\mathbf{H}\to\mathbf{H}$ 가 정칙 함수라고 하자. 그러면 모든 $z_1,z_2\in\mathbf{H}$ 에 대해,

: $\left|\frac{f(z_1)-f(z_2)}{\overline{f(z_1)}-f(z_2)}\right|\le \frac{\left|z_1-z_2\right|}{\left|\overline{z_1}-z_2\right|}.$

이는 케일리 변환

W(z) = (z-i)/(z+i)

가 상반평면

\mathbf{H}

을 단위 원판

\mathbf{D}

으로 등각적으로 사상한다는 것을 이용하면, 슈바르츠-픽 정리로부터 쉽게 유도할 수 있다. 즉, 사상

W\circ f\circ W^{-1}

는

\mathbf{D}

에서

\mathbf{D}

로의 정칙 함수이므로, 이 사상에 슈바르츠-픽 정리를 적용하고,

W

에 대한 공식을 사용하여 결과를 단순화하면 된다. 또한 모든

z\in\mathbf{H}

에 대해,

:

\frac{\left|f'(z)\right|}{\text{Im}(f(z))} \le \frac{1}{\text{Im}(z)}.

이다.

위의 두 부등식 중 하나에서 등호가 성립하면

f

는 실수 계수를 갖는 뫼비우스 변환이어야 한다. 즉, 등호가 성립하면,

:

f(z)=\frac{az+b}{cz+d}

이며,

a,b,c,d\in\mathbb{R}

이고

ad-bc>0

이다.

4.1.1. 슈바르츠-픽 보조정리의 증명

임의의 $w\in\operatorname B(0,1)$ 를 취하고, 다음과 같은 함수 $\varphi_w,\varphi_{f(w)}\colon\operatorname B(0,1)\to\operatorname B(0,1)$ 을 정의한다.
: $\varphi_w(z)=\frac{z-w}{1-\bar wz}$
: $\varphi_{f(w)}(z)=\frac{z-f(w)}{1-\overline{f(w)}z}\qquad\forall z\in\operatorname B(0,1)$
이들은 $\operatorname B(0,1)$ 위의 쌍정칙 함수이며, $\varphi_w(w)=\varphi_{f(w)}(f(w))=0$ 이므로,
: $g=\varphi_{f(w)}\circ f\circ\varphi_w^{-1}\colon\operatorname B(0,1)\to\operatorname B(0,1)$
는 정칙 함수이며, $g(0)=0$ 이다. 슈바르츠 보조정리에 의하여, 임의의 $z\in\operatorname B(0,1)$ 에 대하여,
: $|g(\varphi_w(z))|\le|\varphi_w(z)|$
: $|g'(0)|\le 1$
이다. 이는 각각 첫 번째 및 두 번째 부등식과 같다. 첫 번째 부등식에서 등식이 성립하는 $z,w\in\operatorname B(0,1)$ 이 존재하거나, 두 번째 부등식에서 등식이 성립하는 $z\in\operatorname B(0,1)$ 이 존재하는 것은
: $g=\varphi_{f(w)}\circ f\circ\varphi_w^{-1}$
가 $\operatorname B(0,1)$ 위의 (원점을 보존하는) 쌍정칙 함수인 것과 동치이며, 이는 $f$ 가 쌍정칙 함수인 것과 동치이다.

최대 절댓값 원리를 응용하면 다음과 같다.

: $g(z) = \begin{cases}\frac{f(z)}{z}\, & \mbox{if } z \neq 0 \\f'(0) & \mbox{if } z = 0,\end{cases}$

이 함수는 원점을 포함하여 전체 $D$ 에서 정칙 함수이다. 왜냐하면 $f$ 가 원점에서 미분 가능하고 0을 고정하기 때문이다. $D_r = \{z : |z| \le r\}$ 가 원점을 중심으로 하는 반지름 $r$ 의 닫힌 원판이라고 하면, 최대 절댓값 원리에 의해 $r < 1$ 에 대해, 임의의 $z \in D_r$ 에 대해 다음을 만족하는 $D_r$ 의 경계에 있는 $z_r$ 이 존재한다.

: $|g(z)| \le |g(z_r)| = \frac$

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\le \frac{1}{r}.

r \rightarrow 1

로 갈 때

|g(z)| \leq 1

을 얻는다.

만약 어떤 영이 아닌

z \in D

에 대해

|f(z)| = |z|

이거나

|f'(0)| = 1

이라고 가정하면,

D

의 어떤 점에서

|g(z)| = 1

이다. 따라서 최대 절댓값 원리에 의해

g(z)

는

|a| = 1

인 상수

a

와 같다. 그러므로,

f(z) = az

이다.

슈바르츠-픽 정리에 대한 증명은 슈바르츠 보조정리와 다음 형식의 뫼비우스 변환이 단위원을 자기 자신으로 사상한다는 사실에서 비롯된다.

:

\frac{z-z_0}{\overline{z_0}z-1}, \qquad |z_0| < 1,

z_1

을 고정하고 뫼비우스 변환을 다음과 같이 정의한다.

:

M(z)=\frac{z_1-z}{1-\overline{z_1}z}, \qquad \varphi(z)=\frac{f(z_1)-z}{1-\overline{f(z_1)}z}.

M(z_1)=0

이고 뫼비우스 변환은 가역적이므로, 합성 함수

\varphi(f(M^{-1}(z)))

는

0

을

0

으로 사상하고, 단위 원판은 자기 자신으로 사상된다. 따라서 슈바르츠 보조정리를 적용할 수 있으며, 이는 다음과 같다.

:

\left |\varphi\left(f(M^{-1}(z))\right) \right|=\left|\frac{f(z_1)-f(M^{-1}(z))}{1-\overline{f(z_1)}f(M^{-1}(z))}\right| \le |z|.

z_2=M^{-1}(z)

라고 하면 (이는 여전히 단위 원판 안에 있을 것이다) 원하는 결론을 얻는다.

:

\left|\frac{f(z_1)-f(z_2)}{1-\overline{f(z_1)}f(z_2)}\right| \le \left|\frac{z_1-z_2}{1-\overline{z_1}z_2}\right|.

정리의 두 번째 부분을 증명하기 위해, 좌변을 차분 몫으로 재배열하고

z_2

가

z_1

에 접근하도록 한다.

정리의 전반부를 증명하기 위해

:

g(z) = \frac{f(z)}{z}

라고 두면, g(z)는 D - {0}에서 정칙이다. 또한

:

\lim_{z\to 0}g(z) = \lim_{z\to 0} \frac{f(z)-f(0)}{z} = f'(0) \

이고, g(z)는 0에서도 정칙이므로, 결국 g(z)는 D 전체에서 정칙이다.

0 < r < 1인 실수 r을 임의로 선택하고, 반지름 r의 원주 {z : |z | = r }을 C_r, 그 내부 영역 {z : |z | < r }을 D_r이라고 한다.
최대 절댓값 원리로부터 D_r ∪ C_r 상에서 |g(z)|는 최댓값을 C_r 상에서 갖는다. 이 때 D 상에서 |f(z)| < 1이라는 조건으로부터, D_r ∪ C_r 상에서 |g(z)| < 1 / r이 성립한다.

r을 임의로 1에 접근시키는 것을 고려하면, D 내의 임의의 점에서 |g(z)|는 1을 초과할 수 없다는 것을 알 수 있다. 만약 D 내의 어떤 점 z에서 |g(z) | > 1이 되었다고 가정하면, D_r이 z을 포함하고, |g(z) | > 1 / r이 되도록 r을 선택할 수 있으므로 모순이 발생한다. 따라서

:

\forall z \in D, \ |g(z) | \le 1

이 성립한다. 이것을 바꿔 말하면

:

\forall z \in D, \ |f(z) | \le |z|

이다.

후반부를 증명하기 위해, D - {0}의 어떤 점 z에서 |f(z) | = |z |이면, |g(z) | = 1이다. 또는 |f '(0) | = 1이면 g(0) = f '(0)이므로 |g(0) | = 1이다. 어느 경우든, 전반부의 증명으로부터 D 상에서 |g(z)| ≤ 1이므로, 최대 절댓값 원리로부터 g(z)는 D에서 |g(z)| = 1을 만족하는 상수이다.
이것을 a라고 두면 f(z) = az이고, 정리의 주장과 같다.

4.2. 단위 원판 위의 쌍정칙 함수의 분류

열린 단위 원판 $\operatorname B(0,1)\subseteq\mathbb C$ 위의 쌍정칙 함수 $f\colon\operatorname B(0,1)\to\operatorname B(0,1)$ 는 뫼비우스 변환이며, 다음과 같은 꼴이다.

: $f(z)=a\frac{z-z_0}{1-\overline{z_0}z}\qquad\forall z\in\operatorname B(0,1)$

여기서 $a,z_0\in\mathbb C$ 는 $|a|=1$ 이며 $|z_0|<1$ 인 상수이다.

게오르크 피크의 이름을 딴 슈바르츠-피크 정리는 슈바르츠 보조정리의 변형으로, 단위 원판의 해석적 자기 동형 사상, 즉 단위 원판을 자기 자신으로 사상하는 전단사 정칙 함수를 특징짓는다.

이 정리에 따르면 $f: \mathbf{D}\to\mathbf{D}$ 가 정칙 함수일 때, 모든 $z_1,z_2\in\mathbf{D}$ 에 대해 다음이 성립한다.

: $\left|\frac{f(z_1)-f(z_2)}{1-\overline{f(z_1)}f(z_2)}\right| \le \left|\frac{z_1-z_2}{1-\overline{z_1}z_2}\right|$

또한, 모든 $z\in\mathbf{D}$ 에 대해 다음이 성립한다.

: $\frac{\left|f'(z)\right|}{1-\left|f(z)\right|^2} \le \frac{1}{1-\left|z\right|^2}.$

여기서

: $d(z_1,z_2)=\tanh^{-1} \left|\frac{z_1-z_2}{1-\overline{z_1}z_2}\right|$

는 푸앵카레 거리에서 점 $z_1$ , $z_2$ 사이의 거리이며, 2차원 쌍곡 기하학의 푸앵카레 원반 모형에서 정의되는 거리이다. 슈바르츠-피크 정리는 요약하자면 단위 원판에서 자기 자신으로의 정칙 함수가 푸앵카레 거리에서 점 사이의 거리를 "감소"시킨다고 설명한다. 만약 위 두 부등식 중 하나에서 등호가 성립하면, $f$ 는 단위 원판의 해석적 자기 동형 사상이며, 뫼비우스 변환으로 주어진다.

상반평면 $\mathbf{H}$ 에 대한 유사한 명제는 다음과 같다.

$f:\mathbf{H}\to\mathbf{H}$ 가 정칙 함수이면, 모든 $z_1,z_2\in\mathbf{H}$ 에 대해 다음이 성립한다.

: $\left|\frac{f(z_1)-f(z_2)}{\overline{f(z_1)}-f(z_2)}\right|\le \frac{\left|z_1-z_2\right|}{\left|\overline{z_1}-z_2\right|}.$

이는 케일리 변환 $W(z) = (z-i)/(z+i)$ 을 이용하여 상반평면 $\mathbf{H}$ 을 단위 원판 $\mathbf{D}$ 으로 등각적으로 사상한 후, 슈바르츠-피크 정리를 적용하면 얻을 수 있다.

또한, 모든 $z\in\mathbf{H}$ 에 대해 다음이 성립한다.

: $\frac{\left|f'(z)\right|}{\text{Im}(f(z))} \le \frac{1}{\text{Im}(z)}.$

만약 이 명제에서 등호가 성립하면, $f$ 는 실수 계수를 갖는 뫼비우스 변환이다.

4.2.1. 단위 원판 위의 쌍정칙 함수의 분류 증명

이는 슈바르츠 보조정리로부터 간단히 증명된다. 함수 $\varphi_{f(0)}\colon\operatorname B(0,1)\to\operatorname B(0,1)$ 를 다음과 같이 정의하자.

: $\varphi_{f(0)}(z)=\frac{z-f(0)}{1-\overline{f(0)}z}\qquad\forall z\in\operatorname B(0,1)$

이는 $\operatorname B(0,1)$ 위의 쌍정칙 함수이며, $\varphi_{f(0)}(f(0))=0$ 이다. 따라서,

: $g=\varphi_{f(0)}\circ f\colon\operatorname B(0,1)\to\operatorname B(0,1)$

는 $\operatorname B(0,1)$ 위의 쌍정칙 함수이며, $g(0)=0$ 이다. 슈바르츠 보조정리에 의하여,

: $1\le\frac 1$

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=|g'(0)|\le 1

이므로,

|g'(0)|=1

이다. 따라서, 임의의

z\in\operatorname B(0,1)

에 대하여

g(z)=az

인

a\in\mathbb C

가 존재하며,

|a|=1

이다. 즉,

z\in\operatorname B(0,1)

에 대하여,

:

f(z)=\varphi_{f(0)}^{-1}(g(z))=a\frac{z+f(0)a^{-1}}{1+\overline{f(0)}az}

이다. 즉,

z_0=-f(0)a^{-1}

를 취하면 된다.

5. 역사

독일의 수학자 헤르만 아만두스 슈바르츠의 이름을 따서 명명되었다.

유형	수학적 보조정리
분야	복소해석학
이름의 유래	헤르만 아만두스 슈바르츠

설명

내용	복소평면의 단위 원판에서 정의되고, 원점을 고정하는 정칙 함수는 슈바르츠 부등식을 만족하며, 등호가 성립하는 경우는 회전 변환이다.
응용	리만 사상 정리 증명에 사용된다.