구간

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 순서 볼록 집합
3. 성질
4. 표기법
5. 예시
6. 일반화
- 6.1. 전순서 집합 및 부분 순서 집합에서의 구간
7. 응용
- 7.1. 위상 대수
참조

1. 개요

구간은 원순서 집합의 두 원소 사이의 원소 집합으로, 열린 구간, 닫힌 구간, 반열린 구간 등이 있다. 실수 구간은 실수의 부분 집합이며, 끝점을 포함하는지 여부에 따라 열린 구간, 닫힌 구간, 반열린 구간으로 구분된다. 순서 볼록 집합은 임의의 두 원소를 포함하는 구간을 포함하는 집합이며, 전순서 집합에서는 구간과 순서 볼록 집합이 동일하다. 구간은 위상 대수, 위상환 등 다양한 수학 분야에서 활용되며, 실수, 복소수, 전순서 집합 등 다양한 공간에서 정의될 수 있다.

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구간
개요
영어	Interval
종류	닫힌구간 열린구간 반닫힌구간 반열린구간
정의
수학적 정의	두 실수 사이의 모든 실수의 집합
표현	[a, b] =
닫힌 구간	(a, b) =
속성
중간값 정리	구간 내의 모든 값은 구간 내에 존재한다.
연속성	함수의 연속성은 구간에서 정의될 수 있다.
일반화
순서론	순서론에서의 구간은 전순서 집합에서 정의된다.
같이 보기
관련 개념	구간 (순서론) 수치적 방법

2. 정의

원순서 집합 $(X,\lesssim)$ 에서, $a\lesssim b\not\lesssim a$ 는 $a 로 표기한다.$

원순서 집합 $(X,\lesssim)$ ^[25]의 두 원소 $a,b\in X$ 를 왼쪽·오른쪽 끝점으로 하는 구간은 다음과 같이 정의된다. (두 끝점에 대하여 $a 또는 a\lesssim b 를 요구하기도 한다.)$

'''열린구간''': $(a,b)=\{x\in X\colon a$
'''닫힌구간''': $[a,b]=\{x\in X\colon a\lesssim x\lesssim b\}$
'''반열린구간''': $(a,b]=\{x\in X\colon a 또는 [a,b)=\{x\in X\colon a\lesssim x$

원순서 집합

(X,\lesssim)

에서 한쪽 끝점만 주어지고 다른 끝점이 주어지지 않는 경우는 다음과 같다.

왼쪽 끝점 $a\in X$ 만 주어진 경우:
'''열린구간''': $(a,\infty)=\{x\in X\colon a$
'''반열린구간''': $[a,\infty)=\{x\in X\colon a\lesssim x\}$
오른쪽 끝점 $b\in X$ 만 주어진 경우:
'''열린구간''': $(-\infty,b)=\{x\in X\colon x$
'''반열린구간''': $(-\infty,b]=\{x\in X\colon x\lesssim b\}$

양쪽 끝점이 모두 주어지지 않는 (열린)구간은

X

전체이다.

$(-\infty,\infty)=X$

원순서 집합

(X,\lesssim)

에서, 한쪽 또는 양쪽 끝점이 주어지지 않는 구간은 새로운 최대 원소와 최소 원소를 추가하여 얻는 원순서 집합

X\sqcup\{-\infty,\infty\}

(

\forall x\in X\colon-\infty)의 두 원소를 두 끝점으로 하는 구간으로 나타낼 수 있다. 예를 들어, 모든 실수 구간은 두 확장된 실수 를 끝점으로 한다.

'''퇴화 구간'''은 원소가 하나뿐인 단일 집합 (즉,

[a, a]

형식의 구간)이다.^[6]

구간은 양 끝점(endpoint)과 각 끝점이 구간에 속하는지 여부에 따라 완전히 결정된다. 이는 실수의 최소 상계 속성의 결과이다.

2. 1. 순서 볼록 집합

원순서 집합

(X,\lesssim)

의 부분 집합

C\subseteq X

가 다음 조건을 만족시키면, '''순서 볼록 집합'''(order-convex set^영어)이라고 한다.

임의의 $a,b\in C$ 에 대하여, $[a,b]\subseteq C$

원순서 집합

(X,\lesssim)

의 부분 집합

Y\subseteq X

가 주어졌다고 하자.

Y

에 포함되는

X

의 순서 볼록 집합들은 포함 관계에 따라 부분 순서 집합을 이룬다. 그 극대 원소를

Y

의 '''순서 볼록 성분'''(order-convex component^영어)이라고 한다.^[26]^[27] 초른 보조정리에 따라,

Y

에 포함되는

X

의 임의의 순서 볼록 집합은 항상

Y

의 순서 볼록 성분에 포함되지만, 이러한 성분이 유일할 필요는 없다. 만약

X

가 전순서 집합이라면,

Y

의 순서 볼록 성분들은

Y

를 분할한다. 즉,

C\subseteq Y

인 순서 볼록 집합

C\subseteq X

를 포함하는 순서 볼록 성분은 유일하며, 이는 다음과 같다.

:

\{y\in Y\colon\exists c\in C\colon[\min\{c,y\},\max\{c,y\}]\subseteq Y\}

3. 성질

원순서 집합 $(X,\lesssim)$ 의 부분 집합 $C\subseteq X$ 가 다음 조건을 만족시키면, '''순서 볼록 집합'''(order-convex set^영어)이라고 한다.

임의의 $a,b\in C$ 에 대하여, $[a,b]\subseteq C$

모든 구간은 순서 볼록 집합이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

실수선

\mathbb R

의 부분 집합

I\subseteq\mathbb R

에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

$I$ 는 구간이다.
$I$ 는 볼록 집합이다.
$I$ 는 순서 볼록 집합이다.
$I=\varnothing$ 이거나, $I$ 는 연결 공간이다.
$I=\varnothing$ 이거나, $I$ 는 경로 연결 공간이다.
$I=\varnothing$ 이거나, $I$ 는 호 연결 공간이다.

보다 일반적으로, 선형 연속체

(L,\le)

의 부분 집합

S\subseteq L

에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.^[28]

$S$ 는 구간이다.
$S$ 는 순서 볼록 집합이다.
$S=\varnothing$ 이거나, $L$ 에 순서 위상을 가했을 때 $S$ 는 연결 공간이다.

실수 구간의 폐포는 다음과 같다.^[29]

:

\operatorname{cl}(a,b)=\operatorname{cl}(a,b]=\operatorname{cl}[a,b)=\operatorname{cl}[a,b]=[a,b]

:

\operatorname{cl}(a,+\infty)=\operatorname{cl}[a,+\infty)=[a,+\infty)

:

\operatorname{cl}(-\infty,a)=\operatorname{cl}(-\infty,a]=(-\infty,a]

:

\operatorname{cl}(-\infty,+\infty)=(-\infty,\infty)

격자

L

의 부분 집합

S\subseteq L

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$S$ 는 부분 격자이며, 순서 볼록 집합이다.
$S=I\cap F$ 인 순서 아이디얼 $I\subseteq L$ 과 필터 $F\subseteq L$ 이 존재한다.

4. 표기법

국제 표준 ISO 31-11에서는 구간을 나타내는 다음 표기법을 제시한다.

닫힌 구간:

:

[a, b] = \{x\in\mathbb{R} \mid a\le x\le b\}

열린 구간:

:

(a, b) = \{x\in\mathbb{R} \mid a < x < b\} = \mathopen{]}a,b\mathclose{[}

반열린 구간 (왼쪽 열림, 오른쪽 닫힘):

:

(a, b] = \{x\in\mathbb{R} \mid a < x\le b\} = \mathopen{]}a,b\mathclose{]}

반열린 구간 (왼쪽 닫힘, 오른쪽 열림):

:

[a, b) = \{x\in\mathbb{R} \mid a\le x < b\} = \mathopen{[}a,b\mathclose{[}

a = b

일 때,

(a, b)

,

[a, b)

,

(a, b]

는 공집합을 나타내며,

[a, b]

는 한 점 집합

\{a\}

를 나타낸다.

a > b

일 때는 네 종류 모두 공집합이 된다.^[9]

부르바키는 열린 구간을 나타내기 위해

\mathopen{]}a,b\mathclose{[}

표기법을 도입했다.

무한대를 사용하여 한쪽 끝점이 없는 구간을 나타낼 수 있다. 예를 들어,

(0, \infty)

는 양의 실수 집합을 나타낸다.

정수 구간은

⟦a, b⟧

또는

[a..b]

와 같은 표기법을 사용하기도 한다. 파스칼과 같은 일부 프로그래밍 언어에서는

[a..b]

를 사용하여 배열의 인덱스 범위를 지정하기도 한다.

5. 예시

단위 구간 (Unit interval^영어)
: $[0,1]=\{x\in\mathbb R\colon 0\le x\le 1\}$ 은 0보다 크거나 같고 1보다 작거나 같은 실수들의 집합이다.
양의 실수 집합
: $(0,\infty)=\{x\in\mathbb R\colon x>0\}$ 은 모든 양의 실수들의 집합이다.
유리수 집합에서의 구간과 순서 볼록 집합의 차이
: 유리수의 전순서 집합 $\mathbb Q$ 의 부분 집합 $\{x\in\mathbb Q\colon x^2<2\}\subseteq\mathbb Q$ 는 순서 볼록 집합이지만, ( $\sqrt 2$ 가 무리수이므로) $\mathbb Q$ 의 구간이 아니다.

6. 일반화

구간은 실수뿐만 아니라 다차원 공간으로 확장될 수 있다. 이러한 다차원 구간을 초직육면체 또는 상자라고 부른다.

2차원 구간: 각 변이 좌표축에 평행한 직사각형 영역이다. 각 구간의 길이가 같으면 정사각형 영역이 된다.
3차원 구간: 축에 평행한 직육면체 영역이다. 마찬가지로 각 구간의 길이가 같으면 정육면체 영역이 된다.

고차원에서는 n개 구간의 직교 집합으로 표현되는 n-차원 초입방체 또는 초직사각형이 된다.

복소수의 구간은 복소 평면 내에서 직사각형 또는 원형 영역으로 정의할 수 있다.^[22]

6. 1. 전순서 집합 및 부분 순서 집합에서의 구간

원순서 집합

(X,\lesssim)

의 부분 집합

C\subseteq X

가 임의의

a,b\in C

에 대하여

[a,b]\subseteq C

를 만족시키면 '''순서 볼록 집합'''(order-convex set^영어)이라고 한다.^[26] 모든 구간은 순서 볼록 집합이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

전순서 집합

(X,\lesssim)

의 부분 집합

A\subseteq X

가 모든

x,y\in A

와 모든

x\lesssim z\lesssim y

에 대해

z\in A

가 성립하는 경우 '''(순서-)볼록'''하다고 한다. 실수선과 달리, 전순서 집합의 볼록 집합은 구간일 필요는 없다. 예를 들어, 유리수의 전순서 집합

(\mathbb Q,\le)

에서 집합

:

\mathbb Q=\{x\in\mathbb Q \mid x^2<2\}

는 볼록하지만

\mathbb Q

의 구간은 아닌데, 그 이유는

\mathbb Q

에 2의 제곱근이 없기 때문이다.

원순서 집합

(X,\lesssim)

의 부분 집합

Y\subseteq X

이 주어졌다고 하자.

Y

에 포함되는

X

의 순서 볼록 집합들은 포함 관계에 따라 부분 순서 집합을 이룬다. 그 극대 원소를

Y

의 '''순서 볼록 성분'''(order-convex component^영어)이라고 한다.^[26]^[27] 초른 보조정리에 따라,

Y

에 포함되는

X

의 임의의 순서 볼록 집합은 항상

Y

의 순서 볼록 성분에 포함되지만, 이러한 성분이 유일할 필요는 없다. 만약

X

가 전순서 집합이라면,

Y

의 순서 볼록 성분들은

Y

를 분할한다.

(X,\lesssim)

를 전순서 집합이라고 하고,

Y\subseteq X

라고 하자.

Y

에 포함된

X

의 볼록 집합들은 포함 관계에 따라 포셋을 이룬다. 이 포셋의 극대 원소를

Y

의 '''볼록 성분'''이라고 한다.^[13]^[14] 초른 보조정리에 의해,

Y

에 포함된

X

의 모든 볼록 집합은

Y

의 어떤 볼록 성분에 포함되지만, 이러한 성분들이 유일할 필요는 없다. 전순서 집합에서는 이러한 성분이 항상 유일하다. 즉, 전순서 집합의 부분 집합의 볼록 성분은 분할을 이룬다.

실수 구간의 특징을 일반화하면 다음과 같다. 선형 연속체

(L,\le)

의 비어 있지 않은 부분 집합

I

에 대해 다음 조건은 동일하다.^[15]

집합 $I$ 는 구간이다.
집합 $I$ 는 순서 볼록 집합이다.
집합 $L$ 에 순서 위상을 부여했을 때 집합 $I$ 는 연결된 부분 집합이다.

격자

L

의 부분 집합

S

에 대해 다음 조건은 동일하다.

집합 $S$ 는 부분 격자이자 (순서) 볼록 집합이다.
$S=I\cap F$ 를 만족하는 이상 $I\subseteq L$ 과 필터 $F\subseteq L$ 이 존재한다.

7. 응용

일반 위상수학에서 구간과 관련된 개념은 다음과 같이 사용된다.

티호노프 공간: 모든 티호노프 공간은 닫힌 단위 구간 $[0,1]$ 의 곱공간에 삽입될 수 있다. 기저의 기수가 $\kappa$ 인 모든 티호노프 공간은 구간의 $\kappa$ 개 복사본의 곱 $[0,1]^\kappa$ 에 삽입될 수 있다.^[16]
완전 정규 공간: 전순서 집합에 순서 위상을 부여했을 때, 모든 집합이 완전 정규 공간임을 증명할 때 볼록 집합과 볼록 성분의 개념이 사용된다.^[14]^[13]

7. 1. 위상 대수

구간은 평면의 점과 연관될 수 있으며, 따라서 구간의 영역은 평면의 영역과 연관될 수 있다. 일반적으로 수학에서 구간은 실수 집합의 직접곱

\R \times \R

에서 가져온 순서쌍

(x, y)

에 해당하며,

y > x

로 가정하는 경우가 많다. 수학적 구조의 목적을 위해

y - x < 0

인 "역구간"도 허용된다.^[17] 모든 구간

[x, y]

의 집합은 덧셈과 곱셈이 성분별로 정의되는

\R

의 직합으로 형성된 위상환과 식별될 수 있다.

직합 대수

( \R \oplus \R, +, \times)

는 두 개의 아이디얼

\{ [x,0] : x \in R \}

및

\{ [0,y] : y \in R \}

을 갖는다. 이 대수의 항등원은 축약된 구간

[1, 1]

이다. 구간

[x, y]

가 아이디얼 중 하나에 속하지 않으면 곱셈 역원

[1/x, 1/y]

을 갖는다. 일반적인 위상을 부여받은 구간의 대수는 위상환을 형성한다. 이 환의 단위원은 이 경우 축 또는 아이디얼에 의해 결정되는 네 개의 사분면으로 구성된다. 이 그룹의 항등 성분은 제1사분면이다.

모든 구간은 중점을 중심으로 대칭 구간으로 간주될 수 있다. 1956년 M. 워무스(M Warmus)가 발표한 재구성에 따르면, "균형 구간"

[-x, x]

의 축이 점으로 축소되는 구간

[x, x]

의 축과 함께 사용된다. 직접 합

R \oplus R

대신, 구간의 환은 M. 워무스와 D. H. 레머(D. H. Lehmer)에 의해 다음을 통해 쌍곡선 수와 식별되었다.^[18]

:

z = \tfrac12(x + y) + \tfrac12(x - y)j,

여기서

j^2 = 1.

환 동형 사상에 해당하는 이 평면의 선형 매핑은 극 분해와 같은 일반적인 복소수 산술과 유사한 곱셈 구조를 평면에 제공한다.

참조

_[1] 서적 Network Optimization: Continuous and Discrete Methods https://books.google[...] Athena Scientific
_[2] 서적 The Way of Analysis https://books.google[...] Jones & Bartlett Publishers
_[3] 웹사이트 Interval https://mathworld.wo[...] 2020-08-23
_[4] 간행물 Interval and segment
_[5] 서적 Analysis I https://books.google[...] Springer
_[6] 서적 Mathematical Methods of Statistics https://books.google[...] Princeton University Press
_[7] 웹사이트 Interval and segment - Encyclopedia of Mathematics https://www.encyclop[...] 2016-11-12
_[8] 서적 Principles of Mathematical Analysis https://archive.org/[...] McGraw-Hill
_[9] 웹사이트 Why is American and French notation different for open intervals (''x'', ''y'') vs. ]''x'', ''y''[? http://hsm.stackexch[...] 2018-04-28
_[10] 저널 Wavelet theory as {{mvar|p}}-adic spectral analysis http://mi.mathnet.ru[...] 2012-04-05
_[11] 문서 Complex interval arithmetic and its applications https://books.google[...]
_[12] 서적 Independence, additivity, uncertainty Springer 2003
_[13] 저널 Monotonically normal spaces 1973
_[14] 저널 A direct proof that a linearly ordered space is hereditarily collection-wise normal 1970
_[15] 서적 Topology http://www.pearsonhi[...] Prentice Hall
_[16] 서적 General topology Heldermann Verlag 1989
_[17] 문서 Review of "Interval analysis in the extended interval space" by Edgar Kaucher http://www.ams.org/m[...] Kaj Madsen 1979
_[18] 문서 Review of "Calculus of Approximations" http://www.ams.org/m[...] D. H. Lehmer 1956
_[19] 서적 無限小解析の基礎東京図書
_[20] 서적 Set Theory North-Holland
_[21] URL http://hsm.stackexchange.com/a/193
_[22] 문서 Complex interval arithmetic and its applications https://books.google[...]
_[23] 문서 Review of "Interval analysis in the extended interval space" by Edgar Kaucher http://www.ams.org/m[...] Kaj Madsen 1979
_[24] 문서 Review of "Calculus of Approximations" http://www.ams.org/m[...] D. H. Lehmer 1956
_[25] 서적
_[26] 저널
_[27] 저널
_[28] 서적 http://www.pearsonhi[...]
_[29] 서적

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