코시-아다마르 정리

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1. 개요

코시-아다마르 정리는 복소수 수열의 거듭제곱 급수의 수렴반경을 결정하는 정리이다. 이 정리는 수렴반경 R을 급수 계수의 상극한을 사용하여 다음과 같이 나타낸다: 1/R = limsup(n→∞) |c_n|^(1/n). 다변수 복소 변수에 대한 확장도 존재하며, 이는 다변수 멱급수의 수렴 반경을 결정하는 데 사용된다. 이 정리는 극한 계산을 용이하게 하는 따름정리를 포함하며, 급수 계수의 비율의 극한을 사용하여 수렴반경을 계산할 수 있게 한다.

코시-아다마르 정리

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1. 개요
2. 공식화
- 2.1. 증명
- 2.2. 따름정리
3. 다변수 복소 변수에 대한 정리
- 3.1. 증명

2. 공식화

코시-아다마르 정리는 다음과 같이 공식화할 수 있다. 복소수 수열 {c_n}에 대한 거듭제곱 급수

: $\sum_{k=1}^{\infty} c_kz^k$

의 수렴 반경 R은 다음 식으로 주어진다.

: $\frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]$

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좀 더 일반적인 경우, 복소변수 z에 대한 형식적 멱급수

:

f(z) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (z-a)^{n}

(여기서

a, c_n \in \Complex.

)

에서 점 a에서 f의 수렴반경

R

은 다음과 같이 주어진다.

:

\frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} \left( | c_{n} |^{1/n} \right)

여기서 lim sup는 상극한을 나타내며, n번째 위치 이후 수열 값의 상한의 극한, 즉 n이 무한대로 접근할 때의 극한이다.

2.1. 증명

$a_n := c_nz^n$ 으로 두고 근 판정법을 적용하면 다음과 같이 바로 증명할 수 있다.

: $\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]$

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= |z| \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]

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= \frac

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{R}.

일반성을 잃지 않고

a=0

이라고 가정한다. 먼저 거듭제곱 급수

\sum_n c_n z^n

이

|z| 에서 수렴함을 보이고, 그 다음 |z|>R 에서 발산함을 보이겠다.

먼저

|z| 이라고 가정한다. t=1/R 이 0 또는 \pm\infty 가 아니라고 하자. 임의의 \varepsilon > 0 에 대해, \sqrt[n]

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\geq t+\varepsilon을 만족하는

n

은 유한 개만 존재한다. 이제

|c_n| \leq (t+\varepsilon)^n

은 유한 개의

c_n

을 제외한 모든

c_n

에 대해 성립하므로,

|z| < 1/(t+\varepsilon)

이면 급수

\sum_n c_n z^n

은 수렴한다. 이것으로 첫 번째 부분을 증명했다.

반대로,

\varepsilon > 0

에 대해

|c_n|\geq (t-\varepsilon)^n

은 무한히 많은

c_n

에 대해 성립하므로, 만약

|z|=1/(t-\varepsilon) > R

이면, 급수의 n번째 항이 0으로 수렴하지 않기 때문에 급수가 수렴할 수 없음을 알 수 있다.

2.2. 따름정리

극한 계산을 용이하게 하는 따름정리를 유도할 수 있다. 수열의 비와 근 사이에 성립하는 다음의 일반적인 부등식을 고려하면 다음과 같다.

: $\liminf_{n \to \infty} |\frac{c_{n+1}}{c_n}| \le \liminf_{n \to \infty} \sqrt[n]$

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\le \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]

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\le \limsup_{n \to \infty} |\frac{c_{n+1}}{c_n}|

다음 극한이 존재할 경우,

:

\lim_{n \to \infty} |\frac{c_{n+1}}{c_n}|

위 부등식에서 바깥의 두 상극한과 하극한이 같아져서 네 식이 모두 같아지므로 코시-아다마르 정리에 의해 다음이 성립한다.

:

\frac{1}{R} = \lim_{n \to \infty} |\frac{c_{n+1}}{c_n}|.

3. 다변수 복소 변수에 대한 정리

$\alpha$ 를 자연수로 구성된 n차원 벡터, 즉 $\alpha = (\alpha_1, \cdots, \alpha_n) \in \N^n$ 로 정의하고, $\|\alpha\| = \alpha_1 + \cdots + \alpha_n$ 라고 하자. 그러면 함수 $f(x)$ 는 수렴 반경 $\rho = (\rho_1, \cdots, \rho_n) \in \R^n$ 을 가지며, $\rho^\alpha = \rho_1^{\alpha_1} \cdots \rho_n^{\alpha_n}$ 일 때 다음 식이 성립한다.

: $\limsup_{\|\alpha\|\to\infty} \sqrt[\|\alpha\|]{|c_\alpha|\rho^\alpha}=1$

이는 아래의 다변수 멱급수에 적용된다.

: $\sum_{\alpha\geq0}c_\alpha(z-a)^\alpha := \sum_{\alpha_1\geq0,\ldots,\alpha_n\geq0}c_{\alpha_1,\ldots,\alpha_n}(z_1-a_1)^{\alpha_1}\cdots(z_n-a_n)^{\alpha_n}.$

3.1. 증명

$z = a + t\rho$ ( $z_i = a_i + t\rho_i$ )로 놓는다. 그러면
: $\sum_{\alpha \geq 0} c_\alpha (z - a)^\alpha = \sum_{\alpha \geq 0} c_\alpha \rho^\alpha t^{\|\alpha\|} = \sum_{\mu \geq 0} \left( \sum_{\|\alpha\| = \mu} |c_\alpha| \rho^\alpha \right) t^\mu.$
이것은 |t| < 1에서 수렴하고 |t| > 1에서 발산하는 하나의 변수 $t$ 에 대한 거듭제곱 급수이다. 따라서 하나의 변수에 대한 코시-아다마르 정리에 의해
: $\limsup_{\mu \to \infty} \sqrt[\mu]{\sum_{\|\alpha\| = \mu} |c_\alpha| \rho^\alpha} = 1.$
$|c_m| \rho^m = \max_{\|\alpha\| = \mu} |c_\alpha| \rho^\alpha$ 로 놓으면 추정치를 얻는다.
: $|c_m| \rho^m \leq \sum_{\|\alpha\| = \mu} |c_\alpha| \rho^\alpha \leq (\mu + 1)^n |c_m| \rho^m.$
$\sqrt[\mu]{(\mu + 1)^n} \to 1$ 는 $\mu \to \infty$ 이므로
: $\sqrt[\mu]{|c_m| \rho^m} \leq \sqrt[\mu]{\sum_{\|\alpha\| = \mu} |c_\alpha| \rho^\alpha} \leq \sqrt[\mu]{|c_m| \rho^m} \implies \sqrt[\mu]{\sum_{\|\alpha\| = \mu} |c_\alpha| \rho^\alpha} = \sqrt[\mu]{|c_m| \rho^m} \qquad (\mu \to \infty).$
따라서
: $\limsup_{\|\alpha\|\to\infty} \sqrt[\|\alpha\|]{|c_\alpha|\rho^\alpha} = \limsup_{\mu \to \infty} \sqrt[\mu]{|c_m| \rho^m} = 1.$