근 판정법

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1. 개요

근 판정법은 급수의 수렴 여부를 판별하는 방법으로, 음이 아닌 실수 항의 급수에 적용된다. 급수의 각 항의 n제곱근의 상극한(C) 값을 계산하여, C < 1이면 급수는 수렴하고, C > 1이면 발산하며, C = 1인 경우에는 다른 방법을 사용해야 한다. 절대 수렴하는 경우에도 적용 가능하며, 코시가 개발하여 '코시 근 판정법'이라고도 불린다. 근 판정법은 비교 판정법을 통해 증명되며, 비 판정법보다 강력하다. 멱급수에도 적용할 수 있으며, 코시-아다마르 정리는 수렴 반경을 결정하는 데 사용된다.

근 판정법

판정법 종류

이름	근 판정법
다른 이름	코시 근 판정법, n제곱근 판정법
영어 이름	Root test

설명

내용	급수의 수렴 여부를 판정하는 방법
관련	비 판정법

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1. 개요
2. 정의
3. 증명
4. 비 판정법과의 관계
5. 예
6. 근 판정법의 확장
7. 역사

2. 정의

Root test^영어은 오귀스탱 루이 코시가 처음 개발하여 그의 교재 해석학 강의(1821)에 발표한 급수의 수렴 판정법이다. 그래서 코시 근 판정법 또는 코시의 근 판정법이라고도 불린다.

음이 아닌 실수 항의 급수 $\sum_{n=0}^{\infty}a_n$ ( $a_n\ge0\forall n\ge0$ )가 주어졌을 때,
: $C=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}\in[0,\infty]$
라고 하자. (이는 항상 존재한다.)

근 판정법에 따르면 다음이 성립한다.
* $C<1$ 이면, 급수는 수렴한다.
* $C>1$ 이면, 급수는 발산한다.
* $C=1$ 이면, 급수는 수렴할 수도, 발산할 수도 있다. 다른 방법을 사용하여야 한다.

만약 극한
: $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}\in[0,\infty]$
이 존재한다면, 이는 위에서 정의한 상극한과 일치한다. 이 경우에도 극한이 1인 경우 수렴 여부를 알 수 없다.

절대 수렴의 개념을 사용하여 적으면 다음과 같다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* $\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}$
* $\mathbb K$ -바나흐 공간 $(V,\lVert\rVert)$
* $V$ 항의 급수 $\sum_{n=0}^\infty a_n$ ( $a_n\in V$ )

또한,
: $C=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\lVert a_n\rVert}\in[0,\infty]$
라고 하자. (만약 $V=\mathbb K$ 라면, 노름은 절댓값이며, $\lVert a_n\rVert$ 는 $|a_n|$ 이다.)

이때, 근 판정법에 따르면 다음이 성립한다.
* 만약 $C<1$ 이라면, 급수는 절대 수렴한다.
* 만약 $C>1$ 이라면, 급수는 발산한다.
* 만약 $C=1$ 이라면, 급수가 절대 수렴할 수도, 조건 수렴할 수도, 발산할 수도 있다. 다른 방법을 사용하여야 한다.

3. 증명

급수 Σa_n의 수렴에 대한 증명은 비교 판정법의 응용이다.

만약 모든 n ≥ N (N은 고정된 자연수)에 대해 $\sqrt[n]$

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\le k < 1이면,

|a_n| \le k^n < 1

이다. 등비 급수

\sum_{n=N}^\infty k^n

가 수렴하므로, 비교 판정법에 의해

\sum_{n=N}^\infty |a_n|

도 수렴한다. 따라서 Σa_n은 절대 수렴한다.

만약 무한히 많은 n에 대해

\sqrt[n]

👆

좌우로 밀어서 보기

> 1이면, a_n은 0으로 수렴하지 않으므로, 급수는 발산한다.

따름 정리의 증명:
멱급수 Σa_n = Σc_n(z − p)ⁿ에 대해, 위에서 언급한 바와 같이, 만약 모든 n ≥ N에 대해 다음을 만족하는 N이 존재하면 급수는 수렴한다.

:

\sqrt[n]

👆

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= \sqrt[n]

👆

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< 1,

이것은

:

\sqrt[n]

👆

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\cdot|z - p| < 1

을 모든 n ≥ N에 대해 만족하는 것과 같으며, 이는 급수가 수렴하기 위해서는 모든 충분히 큰 n에 대해

|z - p| < 1/\sqrt[n]

👆

좌우로 밀어서 보기

을 만족해야 함을 의미한다. 이는

:

|z - p| < 1/\limsup_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[n]

👆

좌우로 밀어서 보기

},

와 동일하며, 따라서

R \le 1/\limsup_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[n]

👆

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}.이다. 이제 수렴이 가능한 유일한 다른 경우는

:

\sqrt[n]

👆

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= \sqrt[n]

👆

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= 1,

일 때이다 (1보다 큰 점에서는 발산하므로). 이는 구간 또는 원의 경계에 있는 점일 뿐이므로 수렴 반경을 변경하지 않으며, 따라서

:

R = 1/\limsup_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[n]

👆

좌우로 밀어서 보기

\sqrt[-n]{a_n}=\mathrm{e}^{-\frac{1}{n}\ln a_n}

이므로 다음을 얻는다.

:

\mathrm{e}^{-\frac{1}{n}\ln a_n}=1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{K-1}\frac{1}{\prod_{k=1}^i\ln_{(k)}(n)}+\frac{\rho_n}{n\prod_{k=1}^K\ln_{(k)}(n)}.

여기에서,

:

\ln a_n=-n\ln\left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{K-1}\frac{1}{\prod_{k=1}^i\ln_{(k)}(n)}+\frac{\rho_n}{n\prod_{k=1}^K\ln_{(k)}(n)}\right).

테일러 전개를 우변에 적용하면 다음과 같다.

:

\ln a_n=-1-\sum_{i=1}^{K-1}\frac{1}{\prod_{k=1}^i\ln_{(k)}(n)}-\frac{\rho_n}{\prod_{k=1}^K\ln_{(k)}(n)}+O\left(\frac{1}{n}\right).

따라서,

:

a_n=\begin{cases}\mathrm{e}^{-1+O(1/n)}\frac{1}{(n\prod_{k=1}^{K-2}\ln_{(k)}n)\ln^{\rho_n}_{(K-1)}n}, &K\geq2,\\\mathrm{e}^{-1+O(1/n)}\frac{1}{n^{\rho_n}}, &K=1.\end{cases}

(빈 곱은 1로 설정된다.)

최종 결과는 수렴에 대한 적분 판정법에서 따른다.

4. 비 판정법과의 관계

근 판정법은 비 판정법보다 강한 명제이다. 즉, 어떤 급수의 수렴 여부를 비 판정법을 통해 알 수 있다면, 근 판정법을 통해서도 알 수 있다. 이는 임의의 음이 아닌 실수의 수열 $(a_n)_{n=0}^\infty$ ( $a_n\ge0\forall n\ge0$ )에 대하여, 다음 부등식이 성립하기 때문이다.

: $\liminf_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\le\liminf_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}\le\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}\le\limsup_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$

5. 예

급수
: $\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^{\lfloor n/2 \rfloor}} = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \cdots$
를 생각해보자. 여기서 $\lfloor \rfloor$ 는 바닥 함수이다. 근 판정법을 사용하면, 항상 $a_{2n} = a_{2n+1}$ 이므로,
: $\begin{align}C&=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}\\&=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{2n}}\\&=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1/2^n}\\&=1/2\\&<1\end{align}$
이다. 따라서 이 급수는 수렴한다. 비 판정법, 라베 판정법, 베르트랑 판정법으로는 이 급수의 수렴 여부를 알 수 없다.

다른 예로,
: $\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{\lfloor n/2 \rfloor}}= 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \ldots$
에 근 판정법을 적용하면,
: $r= \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]$

👆

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= \limsup_{n\to\infty}\sqrt[2n]

👆

좌우로 밀어서 보기

= \limsup_{n\to\infty}\sqrt[2n]

👆

좌우로 밀어서 보기

=\frac{1}{\sqrt{2}}<1.
이므로 수렴한다.

이 예시는 근 판정법이 비율 판정법보다 강력하다는 것을 보여준다. 비율 판정법으로는 이 급수의 수렴 여부를 판단할 수 없는데,

n

이 짝수이면

a_{n+1}/a_n = 1

이고,

n

이 홀수이면

a_{n+1}/a_n = 1/2

이므로, 극한

\lim_{n\to\infty} |a_{n+1}/a_n|

은 존재하지 않기 때문이다.

6. 근 판정법의 확장

root test^영어의 확장은 다음과 같다.

$\mathbb K$ 가 실수체 R^라틴어이나 복소수체 C^라틴어이고, $(V,\lVert\rVert)$ 가 $\mathbb K$ -바나흐 공간일 때, $V$ 항의 급수 $\sum_{n=0}^\infty a_n$ ( $a_n\in V$ )에 대하여,
: $C=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\lVert a_n\rVert}\in[0,\infty]$
라고 하자. ( $V=\mathbb K$ 라면, 노름은 절댓값이며, $\lVert a_n\rVert$ 는 $|a_n|$ 이다.) 근 판정법에 따르면,
* 만약 $C<1$ 이라면, 급수는 절대 수렴한다.
* 만약 $C>1$ 이라면, 급수는 발산한다.
* 만약 $C=1$ 이라면, 급수가 절대 수렴할 수도, 조건 수렴할 수도, 발산할 수도 있다.

이는 원래 근 판정법보다 더 강력하다. 예를 들어, 두 번째 명제에서 급수가 "절대 수렴하지 않는다"고 하는 데 그치지 않고 조건 수렴도 불가능하다고 결론 내린다.

멱급수
: $f(z) = \sum_{n=0}^\infty c_n (z-p)^n$
에 근 판정법을 적용할 수 있다. 여기서 계수 c_n과 중심 p는 복소수이며, 변수 z는 복소 변수이다. 이 급수의 수렴반경 R은 코시-아다마르 정리에 의해
: $1/\limsup_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[n]$

👆

좌우로 밀어서 보기

}
이다.

양의 항을 가진 급수

\sum_{n=1}^\infty a_n

의 수렴/발산 판정법은 다음과 같다.

K\geq1

을 정수로 놓고,

\ln_{(K)}(x)

를 자연 로그의

K

번째 반복 함수라고 하자. 즉,

\ln_{(1)}(x)=\ln (x)

이며,

2\leq k\leq K

에 대해

\ln_{(k)}(x)=\ln_{(k-1)}(\ln (x))

이다.

n

이 클 때,

\sqrt[-n]{a_n}

이 다음과 같은 형태로 표현될 수 있다고 가정한다.
:

\sqrt[-n]{a_n}=1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{K-1}\frac{1}{\prod_{k=1}^i\ln_{(k)}(n)}+\frac{\rho_n}{n\prod_{k=1}^K\ln_{(k)}(n)}.

(빈 합은 0으로 가정)
*

\liminf_{n\to\infty}\rho_n>1

이면 급수는 수렴한다.
*

\limsup_{n\to\infty}\rho_n<1

이면 급수는 발산한다.
* 그렇지 않으면, 판정법은 결론을 내릴 수 없다.

7. 역사

프랑스의 수학자 오귀스탱 루이 코시가 처음 고안하였다. 근 판정법은 코시에 의해 처음 개발되었으며, 그는 자신의 교재 해석학 강의(1821)에서 이를 발표했다. 따라서, 코시 근 판정법 또는 코시의 근 판정으로도 알려져 있다.

이름	근 판정법
다른 이름	코시 근 판정법, n제곱근 판정법
영어 이름	Root test

설명

내용	급수의 수렴 여부를 판정하는 방법
관련	비 판정법