부등식

1. 개요

부등식은 두 수 또는 식의 크고 작음을 나타내는 수학적 표현이다. 실수 집합에서 두 실수 a, b에 대한 부등식은 a ≠ b, a > b, a < b, a ≥ b, a ≤ b의 형태로 나타낼 수 있으며, 모든 변수의 값에 대해 항상 성립하는 절대 부등식과 특정 범위에서만 성립하는 조건 부등식으로 구분된다. 부등식은 토머스 해리엇에 의해 기호 >와 <가 도입되었으며, 여러 종류의 표기법과 성질을 가지며, 수직선 상에서 다양한 성질을 따른다. 또한, 코시-슈바르츠 부등식, 거듭제곱 부등식 등과 같은 다양한 유형의 부등식이 존재하며, 수학자들은 이러한 부등식을 사용하여 양의 범위를 정하기도 한다.

2. 정의

실수 집합 $\backslash R$에서, 두 실수 $a,b\backslash in\backslash R$에 대한 부등식은 다음과 같다.

절대 부등식은 모든 변수의 값에 대하여 항상 성립하는 부등식이다. 조건 부등식은 특정한 범위의 변수의 값 아래에서만 성립하는 부등식이다. 어떤 부등식이 절대 부등식인 것을 보이는 과정을 그 부등식에 대한 증명이라고 한다. 어떤 부등식이 성립할 조건을 구하는 과정을 그 부등식에 대한 풀이라고 한다.

예를 들어, 실수 부등식 $3x+3>0$이 성립할 필요충분조건은 $x>-1$이므로, 이는 조건 부등식이다. 실수 부등식 $x^2+y^2\backslash ge2xy$가 성립할 필요 충분 조건은 $x,y\backslash in\backslash R$이므로, 이는 절대 부등식이다.

* a < b는 a가 b보다 작다는 것을 의미한다.
* a > b는 a가 b보다 크다는 것을 의미한다.

어느 경우든 a는 b와 같지 않다. 이러한 관계는 엄격한 부등식이라고 알려져 있으며, 이는 a가 b보다 엄격하게 작거나 엄격하게 크다는 것을 의미한다. 등호는 제외된다.

엄격한 부등식과 대조적으로, 엄격하지 않은 두 가지 유형의 부등식 관계가 있다.

* a ≤ b는 a가 b 보다 작거나 같다는 것을 의미한다 (또는 동등하게, 최대 b, 또는 b보다 크지 않음).
* a ≥ b는 a가 b 보다 크거나 같다는 것을 의미한다 (또는 동등하게, 최소한 b, 또는 b보다 작지 않음).

"~보다 크지 않음" 관계는 $a\; \backslash ngtr\; b$로도 나타낼 수 있다. "~보다 작지 않음"도 마찬가지로 $a\; \backslash nless\; b$와 같다.

a ≠ b는 a가 b와 같지 않다는 것을 의미한다. 이 부등식은 때때로 엄격한 부등식의 한 형태로 간주된다. 그것은 어느 쪽이 더 크다고 말하지 않는다.

미지수를 포함하는 부등식은 방정식과 유사한 개념을 가진다. 즉, 변수에 값을 대입했을 때, 올바른 평가를 제공하는 값을 부등식의 해라고 부르며, 부등식의 해가 되는 값을 모두 구하는 것을 부등식을 푼다라고 한다.

또한, 미지수를 포함하는 부등식이 주어졌을 때, 대부분의 경우 임의의 값이 해가 되는 것은 아니며, 따라서 부등식이 미지의 수에 관한 조건을 정하는 것이라고 이해된다. 임의의 값에 대해 부등식이 성립하는 것은 아님을 강조할 때에는 조건부 부등식이라고 부르기도 한다. 이에 반해 방정식에 대한 항등식에 해당하는 것, 즉 임의의 값에 대해 성립하는 부등식은 절대 부등식이라고 불린다.

* 예: x + 1 > 1 (이 경우, x가 0보다 크다는 조건이 제시된다)
* 절대 부등식의 예: x² + 1 > 0 (단, x는 실수를 값으로 갖는 변수)

부등식 기호에는 다음과 같은 것들이 있다.
* ＞: 크다, 초과
* ≧ (≥): 크거나 같음, 이상
* ＜: 작다, 미만
* ≦ (≤): 작거나 같음, 이하

이것들을 이용하여, 예를 들어 x가 100 이상이고 1000 미만인 것은 100 ≦ x < 1000으로 표현된다. 또한, a ≦ 100 이고 a ≧ 100 이라면 a = 100이라고 결론 내릴 수 있다.

"≧" 나 "≦" 처럼 두 줄을 사용하는 표기는 일본에서 자주 사용되지만, 세계적으로는 "≥" 나 "≤"가 사용된다.

3. 표기법

토머스 해리엇(Thomas Harriot^영어)이 기호 ‘>’ 및 ‘<’를 도입하였다. 부등식에는 여러 가지 종류가 있으며, 이를 나타내기 위해 다양한 표기법이 사용된다.

* a < b는 a가 b보다 작다는 것을 의미한다.
* a > b는 a가 b보다 크다는 것을 의미한다.

위의 두 경우 모두 a는 b와 같지 않다. 이러한 관계는 엄격한 부등식이라고 하며, a가 b보다 엄격하게 작거나 크다는 것을 의미한다. 즉, 등호는 성립하지 않는다.

엄격한 부등식 외에, 등호가 포함될 수 있는 부등식 관계도 두 가지 있다.

* a ≤ b (또는 a ⩽ b, a ≦ b)는 a가 b 보다 작거나 같다는 것을 의미한다. (b보다 크지 않다고 표현할 수도 있다.)
* a ≥ b (또는 a ⩾ b, a ≧ b)는 a가 b 보다 크거나 같다는 것을 의미한다. (b보다 작지 않다고 표현할 수도 있다.)

17세기와 18세기에는 부등식을 나타내기 위해 개인적인 표기법이나 타이프라이팅 기호가 사용되었다. 예를 들어, 1670년에 존 월리스는 < 및 > 기호 위에 단일 수평 막대를 사용했다.

1734년에는 피에르 부게르가 ≦ 및 ≧ 기호를 처음 사용했다. 이후, 수학자들은 부게르의 기호를 ≤ (단일 수평 막대) 또는 ⩽ (기울어진 형태)로 단순화했다.

~보다 크지 않음 관계는 > 기호에 "아님"을 뜻하는 슬래시(/)를 겹쳐 쓴 $a\; \backslash ngtr\; b$로 나타낼 수 있다. ~보다 작지 않음도 마찬가지로 $a\; \backslash nless\; b$와 같이 표현할 수 있다.

a ≠ b는 a가 b와 같지 않다는 것을 의미하며, 때로는 이 역시 엄격한 부등식의 한 형태로 간주된다. 이 표현은 어느 쪽이 더 큰지는 나타내지 않으며, a와 b가 순서 집합의 원소일 필요도 없다.

공학 분야에서는 어떤 양이 다른 양보다 "훨씬 크다"는 것을 나타내기 위해 덜 공식적인 표기법을 사용하기도 한다. 이는 보통 여러 크기 순서만큼 큰 경우를 의미한다.

* a ≪ b는 a가 b보다 훨씬 작다는 것을 의미한다.
* a ≫ b는 a가 b보다 훨씬 크다는 것을 의미한다.

이는 근사에서 작은 값을 무시해도 정확도에 큰 영향을 주지 않는 경우에 사용된다. (예: 물리학의 초상대론적 극한)

위에 제시된 모든 부등식 기호에서, 서로 마주보는 기호 쌍( < 와 >, ≤ 와 ≥ 등)은 대칭이다. 예를 들어 a < b와 b > a는 같은 의미이다.

4. 수직선 상의 성질

실수 a, b, c에 대해 부등식은 다음과 같은 성질을 가진다. 이러한 성질은 비엄격 부등식(≤ 및 ≥)을 엄격 부등식(< 및 >)으로 바꾸어도 성립한다. 단, 함수를 적용하는 경우에는 '엄격한' 단조 함수로 제한한다.

* 관계 ≤ 와 ≥는 서로 역관계이다. 즉, a ≤ b 와 b ≥ a는 같다.
* 추이율:
* a ≤ b 이고 b ≤ c 이면, a ≤ c 이다.
* 전제 중 하나라도 엄격한 부등식이면 결론은 엄격한 부등식이 된다.
* a ≤ b 이고 b < c 이면, a < c 이다.
* a < b 이고 b ≤ c 이면, a < c 이다.
* 덧셈과 뺄셈: 부등식의 양변에 같은 수 c를 더하거나 빼도 부등호는 바뀌지 않는다.
* a ≤ b이면, a + c ≤ b + c이고 a − c ≤ b − c이다.
* 실수는 덧셈에 대해 순서군을 이룬다.
* 곱셈과 나눗셈:
* a ≤ b이고 c > 0이면, ac ≤ bc이고 a/c ≤ b/c이다.
* a ≤ b이고 c < 0이면, ac ≥ bc이고 a/c ≥ b/c이다.
* 양수를 곱하거나 나누면 부등호가 유지되지만, 음수를 곱하거나 나누면 부등호가 반대가 된다. 이는 순서체에서 일반적으로 성립한다.
* 덧셈 역원:
* a ≤ b이면, −a ≥ −b이다.
* 곱셈 역원: a와 b가 모두 양수이거나 모두 음수일 때,
* a ≤ b이면, ≥ 이다.
* 단조 함수:
* 단조 증가 함수를 부등식 양쪽에 적용하면 부등호가 유지된다.
* 단조 감소 함수를 부등식 양쪽에 적용하면 부등호가 반대가 된다.
* 덧셈 역원과 곱셈 역원 규칙은 단조 감소 함수 적용의 예이다.

몇 가지 예시는 다음과 같다.
* a, b가 양의 실수일 때, n > 0 (또는 −n < 0)에 대해:
* 0 ≤ a ≤ b ⇔ 0 ≤ aⁿ ≤ bⁿ
* 0 ≤ a ≤ b ⇔ a⁻ⁿ ≥ b⁻ⁿ ≥ 0.
* a, b가 양의 실수일 때:
* 0 < a ≤ b ⇔ ln(a) ≤ ln(b) (ln은 자연 로그)
* 0 < a < b ⇔ ln(a) < ln(b)

방정식과 달리 부등식은 부등호의 방향이 중요하며, 연산에 따라 방향이 바뀔 수 있다. 음수를 곱하거나 나눌 때는 부등호 방향이 바뀌는 것에 주의해야 한다. 변수나 문자식의 곱셈/나눗셈은 양수/음수 여부에 따라 경우를 나누어 계산해야 한다.

실수의 크기에 관한 부등식은 다음과 같이 정리할 수 있다.

위 표에서 1, 2, 3, 4는 부등호 기호의 정의이고, 5, 6, 7은 순서의 공리로서 추상화되는 성질이다. 5, 6, 7은 실수의 크기 관계가 순서 관계임을 나타낸다. 8, 9, 10은 순서가 체 연산과 적합하며, 실수 전체가 순서체를 이룬다는 것을 보여준다.

5. 형식적인 정의와 일반화

부분 순서는 집합 P에 대한 이항 관계 ≤이며, 반사 관계, 반대칭 관계, 추이 관계를 만족한다. 즉, P에 있는 모든 a, b, c에 대해 다음 세 가지 조건을 만족해야 한다.

* a ≤ a (반사율)
* 만약 a ≤ b이고 b ≤ a이면, a = b (반대칭성)
* 만약 a ≤ b이고 b ≤ c이면, a ≤ c (추이성)

부분 순서가 있는 집합을 부분 순서 집합이라고 부른다. 이것은 모든 종류의 순서가 만족해야 하는 가장 기본적인 공리이다.

엄격한 부분 순서는 다음을 만족하는 관계 < 이다.

* a <⃥ a (비반사성)
* 만약 a < b이면, b <⃥ a (비대칭성)
* 만약 a < b이고 b < c이면, a < c (추이성)

추가적인 공리를 추가하여 일부 부분 순서의 유형을 지정할 수 있다.

* 전순서: P에 있는 모든 a와 b에 대해, a ≤ b 또는 b ≤ a.
* 조밀 순서: P에 있는 모든 a와 b에 대해 a < b인 경우, a < c < b를 만족하는 P에 있는 c가 존재한다.
* 최소 상계 성질: 상계를 갖는 P의 모든 비어 있지 않은 부분 집합은 P에서 최소 상계(상한)를 갖는다.

순서체(F, +, ×)는 체이고, ≤가 F에 대한 전순서일 때, 다음 조건을 만족한다.

* a ≤ b는 a + c ≤ b + c를 함의한다.
* 0 ≤ a이고 0 ≤ b이면 0 ≤ a × b이다.

유리수체^한국어, +, ×, ≤)와 실수체^한국어, +, ×, ≤)는 모두 순서체이지만, −1이 i의 제곱이므로 복소수체^한국어, +, ×, ≤)를 순서체로 정의할 수 없다.

R은 순서체일 뿐만 아니라 상한 공리도 갖는다. 사실, R은 그 성질을 가진 유일한 순서체로 정의될 수 있다.

6. 연쇄 표기법

a < b < c는 "a < b이고 b < c"임을 의미하며, 추이율에 의해 a < c도 성립한다. 위 규칙에 따라 세 항에 같은 숫자를 더하거나 빼거나, 0이 아닌 같은 숫자로 곱하거나 나누는 것이 가능하다. 단, 곱하거나 나누는 숫자가 음수일 경우에는 모든 부등호의 방향을 바꿔야 한다. 따라서, a < b + e < c는 a − e < b < c − e와 같다.

이 표기법은 항의 개수를 늘려 일반화할 수 있다. 예를 들어 a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ an은 i = 1, 2, ..., n − 1에 대해 ai ≤ ai+1임을 의미한다. 추이율에 의해, 이 조건은 1 ≤ i ≤ j ≤ n인 모든 i, j에 대해 ai ≤ aj인 것과 같다.

연쇄 표기법을 사용해 부등식을 풀 때, 각 항을 독립적으로 평가하는 것이 가능하며 때로는 반드시 그렇게 해야 한다. 예를 들어 부등식 4x < 2x + 1 ≤ 3x + 2를 풀기 위해 덧셈이나 뺄셈을 이용해 부등식의 어느 한 부분에서 x를 আলাদা(고립)시킬 수는 없다. 대신 부등식을 독립적으로 풀어 x < 1/2 와 x ≥ −1을 얻고, 이 둘을 결합하여 최종 해 −1 ≤ x < 1/2를 얻어야 한다.

때때로 연쇄 표기법은 서로 다른 방향의 부등식과 함께 사용되기도 하는데, 이 경우 인접한 항 사이 부등식의 논리곱을 의미한다. 예를 들어 지그재그 포셋의 정의는 a₁ < a₂ > a₃ < a₄ > a₅ < a₆ > ... 와 같이 표현된다. 혼합 연쇄 표기법은 <, =, ≤ 와 같이 호환 가능한 관계에서 더 자주 사용된다. 예를 들어 a < b = c ≤ d는 a < b, b = c, c ≤ d''를 의미한다. 이러한 표기법은 파이썬 등 몇몇 프로그래밍 언어에 존재한다. 반면 C와 같이 비교 결과 유형에 순서를 제공하는 프로그래밍 언어에서는 동일한 유형의 연쇄 표기법도 완전히 다른 의미를 가질 수 있다.

7. 날카로운 부등식

전칭 명제 부등식 φ는 모든 유효한 전칭 명제 부등식 ψ에 대해, ψ ⇒ φ가 성립하면, ψ ⇔ φ 또한 성립할 경우 날카로운 부등식이라고 한다. 예를 들어, 부등식 ∀a ∈ R. a² ≥ 0은 날카로운 부등식인 반면, 부등식 ∀a ∈ R. a² ≥ −1은 날카롭지 않다.

8. 평균 사이의 부등식

평균 간에는 여러 부등식이 존재한다. 예를 들어, 모든 양수 a₁, a₂, ..., a_n에 대해 다음 부등식이 성립한다.

:$H\backslash le\; G\backslash le\; A\backslash le\; Q$

여기서 각 기호는 수열의 다음 평균을 나타낸다.

* 조화 평균: $H\; =\; \backslash frac\{n\}\{\backslash frac\{1\}\{a\_1\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{a\_2\}\; +\; \backslash cdots\; +\; \backslash frac\{1\}\{a\_n\}\}$
* 기하 평균: $G\; =\; \backslash sqrt[n]\{a\_1\; \backslash cdot\; a\_2\; \backslash cdots\; a\_n\}$
* 산술 평균: $A\; =\; \backslash frac\{a\_1\; +\; a\_2\; +\; \backslash cdots\; +\; a\_n\}\{n\}$
* 제곱 평균: $Q\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{a\_1^2\; +\; a\_2^2\; +\; \backslash cdots\; +\; a\_n^2\}\{n\}\}$

9. 코시-슈바르츠 부등식

내적 공간의 모든 벡터 u와 v에 대해 다음 부등식이 성립한다.

:$$|\backslash langle\; \backslash mathbf\{u\},\backslash mathbf\{v\}\backslash rangle|\; ^2\; \backslash leq\; \backslash langle\; \backslash mathbf\{u\},\backslash mathbf\{u\}\backslash rangle\; \backslash cdot\; \backslash langle\; \backslash mathbf\{v\},\backslash mathbf\{v\}\backslash rangle,$$

여기서 $\backslash langle\backslash cdot,\backslash cdot\backslash rangle$는 내적을 나타낸다. 내적의 예로는 실수 및 복소 점곱이 있다. 유클리드 공간 Rⁿ에서 표준 내적을 사용하면, 코시-슈바르츠 부등식은 다음과 같이 표현된다.

:$$\backslash biggl(\backslash sum\_\{i=1\}^n\; u\_i\; v\_i\backslash biggr)^2\backslash leq\; \backslash biggl(\backslash sum\_\{i=1\}^n\; u\_i^2\backslash biggr)\; \backslash biggl(\backslash sum\_\{i=1\}^n\; v\_i^2\backslash biggr).$$

10. 거듭제곱 부등식

거듭제곱 부등식은 a^b 형태의 항을 포함하는 부등식으로, 여기서 a와 b는 실수, 양수 또는 변수 표현식이다. 이들은 종종 수학 올림피아드 문제에 등장한다.

다음은 거듭제곱 부등식의 예시이다.

* 임의의 실수 x에 대해,
::$e^x\; \backslash ge\; 1+x.$
* 만약 x > 0이고 p > 0이면,
::$\backslash frac\{x^p\; -\; 1\}\{p\}\; \backslash ge\; \backslash ln(x)\; \backslash ge\; \backslash frac\{1\; -\; \backslash frac\{1\}\{x^p\}\}\{p\}.$
:p → 0의 극한에서, 상한과 하한은 ln(x)로 수렴한다.
* 만약 x > 0이면,
::$x^x\; \backslash ge\; \backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{e\}\backslash right)^\backslash frac\{1\}\{e\}.$
* 만약 x > 0이면,
::$x^\{x^x\}\; \backslash ge\; x.$
* 만약 x, y, z > 0이면,
::$\backslash left(x+y\backslash right)^z\; +\; \backslash left(x+z\backslash right)^y\; +\; \backslash left(y+z\backslash right)^x\; >\; 2.$
* 임의의 서로 다른 실수 a와 b에 대해,
::$\backslash frac\{e^b-e^a\}\{b-a\}\; >\; e^\{(a+b)/2\}.$
* 만약 x, y > 0이고 0 < p < 1이면,
::$x^p+y^p\; >\; \backslash left(x+y\backslash right)^p.$
* 만약 x, y, z > 0이면,
::$x^x\; y^y\; z^z\; \backslash ge\; \backslash left(xyz\backslash right)^\{(x+y+z)/3\}.$
* 만약 a, b > 0이면,
::$a^a\; +\; b^b\; \backslash ge\; a^b\; +\; b^a.$
* 만약 a, b > 0이면,
::$a^\{ea\}\; +\; b^\{eb\}\; \backslash ge\; a^\{eb\}\; +\; b^\{ea\}.$
* 만약 a, b, c > 0이면,
::$a^\{2a\}\; +\; b^\{2b\}\; +\; c^\{2c\}\; \backslash ge\; a^\{2b\}\; +\; b^\{2c\}\; +\; c^\{2a\}.$
* 만약 a, b > 0이면,
::$a^b\; +\; b^a\; >\; 1.$

11. 유명한 부등식

* 코시-슈바르츠 부등식
* 삼각 부등식
* 산술-기하 평균 부등식
* 마르코프 부등식
* 체비쇼프 부등식
* 민코프스키 부등식
* 횔더 부등식
* 아즈마 부등식
* 베르누이 부등식
* 벨 부등식
* 불 부등식
* 체르노프 부등식
* 크라메르-라오 부등식
* 호프딩 부등식
* 젠센 부등식
* 콜모고로프 부등식
* 네스비트 부등식
* 페도 부등식
* 푸앵카레 부등식
* 사무엘슨 부등식
* 소볼레프 부등식
* 맥클로린 부등식
* 뉴턴 부등식
* 무어헤드 부등식
* 영 부등식
* 베셀 부등식
* 하르나크 부등식
* 슈어 부등식
* 깁스 부등식
* 크래프트 부등식
* 맥밀런 부등식
* 푸앵카레 부등식
* 헤프딩 부등식
* 섀넌-스텀 부등식
* 치사르-쿨백-핀스커 부등식
* 블래크먼-스텀 부등식
* 스텀 부등식
* 그로스 부등식

12. 복소수와 부등식

복소수 집합 $\backslash mathbb\{C\}$는 덧셈과 곱셈 연산을 가지는 체이지만, $(\backslash Complex,\; +,\; \backslash times,\; \backslash leq)$가 순서체가 되도록 하는 부등호 관계를 정의하는 것은 불가능하다. $(\backslash mathbb\{C\},\; +,\; \backslash times,\; \backslash leq)$를 순서체로 만들기 위해서는 다음 두 가지 속성을 만족해야 한다.

* 만약 $a\; \backslash leq\; b$이면, $a\; +\; c\; \backslash leq\; b\; +\; c$이다.
* 만약 $0\; \backslash leq\; a$이고 $0\; \backslash leq\; b$이면, $0\; \backslash leq\; ab$이다.

$\backslash leq$는 전순서이므로, 임의의 수 $a$에 대해 $0\; \backslash leq\; a$ 또는 $a\; \backslash leq\; 0$이다 (이 경우 위의 첫 번째 속성은 $0\; \backslash leq\; -a$를 의미한다). 어느 경우든 $0\; \backslash leq\; a^2$이다. 이는 $i^2\; >\; 0$이고 $1^2\; >\; 0$임을 의미하며, 따라서 $-1\; >\; 0$이고 $1\; >\; 0$임을 의미한다. 이는 $(-1\; +\; 1)\; >\; 0$, 즉 모순이다.

그러나 첫 번째 속성 (즉, "만약 $a\; \backslash leq\; b$이면, $a\; +\; c\; \backslash leq\; b\; +\; c$")만 만족하도록 연산 $\backslash leq$를 정의할 수 있다. 때때로 사전식 순서 정의가 사용된다.

* $a\; \backslash leq\; b$는 다음을 의미한다.
* Re(a) < Re(b) 이거나,
* Re(a) = Re(b) 이고 Im(a) ≤ Im(b)

이 정의에 대해 $a\; \backslash leq\; b$가 $a\; +\; c\; \backslash leq\; b\; +\; c$를 의미한다는 것을 쉽게 증명할 수 있다.

13. 부등식 체계

선형 부등식 체계는 푸리에-모츠킨 소거법을 통해 단순화할 수 있다.

원통 대수적 분해는 다항식 방정식 및 부등식 체계가 해를 갖는지 검사하고, 해가 존재할 경우 이를 설명할 수 있는 알고리즘이다. 이 알고리즘의 복잡성은 변수의 수에 대해 이중 지수 함수이다. 특정 경우에 더 효율적인 알고리즘을 설계하는 것은 활발한 연구 분야이다.

14. 교육 수학에서의 부등식

교육 수학에서 다루는 부등식은 실수의 대소 관계에 관한 것이다.

* > : 크다, 초과. 좌변이 우변보다 크다는 것을 나타낸다.
* ≥ : 크거나 같음, 이상. 좌변이 우변보다 크거나 같다는 것을 나타낸다.
* < : 작다, 미만. 좌변이 우변보다 작다는 것을 나타낸다.
* ≤ : 작거나 같음, 이하. 좌변이 우변보다 작거나 같다는 것을 나타낸다.

이를 이용하여, 예를 들어 x가 100 이상이고 1000 미만인 것은 100 ≤ x < 1000으로 표현된다. 또한, a ≤ 100 이고 a ≥ 100 이라면 a = 100이라고 결론 내릴 수 있다.

"≧" 나 "≦" 처럼 두 줄을 사용하는 표기는 일본에서 자주 사용되지만, 세계적으로는 "≥" 나 "≤"가 사용된다.

실수 a에 대해 a ≤ b가 되는 실수 b를 구하는 것을 a를 b로 위에서 평가한다 또는 위에서 억제한다라고 한다. 반면에 a ≥ b가 되는 실수 b를 구하는 것을 a를 b로 아래에서 평가한다 또는 아래에서 억제한다라고 한다. 또한 실수 값 함수 f(x)에 대해 f(x) ≤ g(x)가 모든 x에 대해 성립하는 실수 값 함수 g(x)를 구하는 것도 위에서 평가한다 또는 위에서 억제한다고 한다. 마찬가지로 아래에서 평가한다 또는 아래에서 억제한다는 표현도 사용된다. 이러한 평가는 그 목적에 맞는 한, 가능한 한 간단한 것을 찾아 선택하지만, 그것에는 경험이나 역량이 요구된다.

15. 부등식의 성질

실수의 크기에 관한 부등식은 다음과 같은 성질을 갖는다.

* a ≦ b ⇔ b ≧ a
* a < b ⇔ b > a
* a ≦ b ⇔ a = b 또는 a < b
* a ≧ b ⇔ a = b 또는 a > b
* a ≦ a, a ≧ a
* a ≦ b 이고 b ≦ a 이면 a = b
* a ≦ b 이고 b ≦ c 이면 a ≦ c
* a ≦ b 이고 c ≦ d 이면 a + c ≦ b + d
* a ≦ b 이면 -b ≦ -a
* 0 < a, b 이면 0 ≦ ab

위에서 1, 2, 3, 4는 부등호 기호의 약속이다. 5, 6, 7은 순서의 공리로 추상화되는 성질이다. 즉, 5, 6, 7은 실수의 크기 관계가 순서 관계임을 나타낸다. 8, 9, 10이 성립하는 것은 순서가 체 연산과 적합하며, 실수 전체가 순서체를 이룬다는 것을 의미한다.

부등식의 양변에 같은 값을 더해도 결과는 변하지 않는다. 따라서 방정식과 마찬가지로, 부등식도 이항을 통해 동치인 형태로 변형할 수 있다.

부등식의 양변에 같은 상수 c를 더하거나 빼도 된다. 즉, 임의의 실수 a, b, c에 대해 다음이 성립한다.

* a ≤ b이면, a + c ≤ b + c이고 a − c ≤ b − c이다.

이는 부등식 관계가 덧셈(또는 뺄셈)에 대해 유지되며, 실수가 덧셈에 대해 순서군을 이룬다는 것을 뜻한다.

양변에 같은 수를 더하거나 빼는 경우에는 부등호 방향이 유지되지만, 양변에 같은 음수를 곱하거나 나누는 경우에는 부등호 방향이 반대로 바뀐다. 곱셈과 나눗셈 관련 성질은 모든 실수 a, b와 0이 아닌 c에 대해 다음과 같다.

* a ≤ b이고 c > 0이면, ac ≤ bc이고 a/c ≤ b/c이다.
* a ≤ b이고 c < 0이면, ac ≥ bc이고 a/c ≥ b/c이다.

즉, 부등식 관계는 양의 상수와의 곱셈과 나눗셈에서는 유지되지만, 음의 상수가 곱해지거나 나누어질 때는 반대로 바뀐다.

곱셈/나눗셈의 대상이 변수이거나 문자식처럼 양수인지 음수인지 불확실한 경우에는 경우를 나누어 계산해야 한다.

16. 주요 부등식

* 코시-슈바르츠 부등식
* 삼각 부등식
* 산술-기하 평균 부등식
* 마르코프 부등식
* 체비쇼프 부등식
* 민코프스키 부등식
* 연립 부등식
* 횔더 부등식
* 일차 부등식
** 선형 계획법
* 이차 부등식
* 산술-기하 평균
* 맥클로린 부등식
* 뉴턴 부등식
* 젠센 부등식
* 영 부등식
* 베셀 부등식
* 소볼레프 부등식
* 하르나크 부등식
* 슈어 부등식
* 깁스 부등식
* 크래프트 부등식
* 헤프딩 부등식
* 벨 부등식