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큐-포흐하머 기호

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목차

1. 개요

큐-포흐하머 기호는 다음과 같이 정의되는 수학적 기호이다. 이 기호는 유한 곱과 무한 곱 형태로 표현되며, 특히 오일러 피 함수와 밀접한 관련이 있다. 큐-포흐하머 기호는 표기법과 변환식을 가지며, 다양한 항등식을 만족한다. 또한, 조합론적 해석을 통해 분할의 열거와 관련되며, q-유사체, q-팩토리얼, q-이항 계수, q-감마 함수 등의 개념으로 확장된다. 큐-포흐하머 기호와 관련된 q-유사체들은 특정 극한에서 일반적인 수학적 개념으로 수렴하며, 다른 q-함수들과의 관계를 통해 다양한 수학 분야에서 활용된다.

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큐-포흐하머 기호
개요
유형특수 함수, q-아날로그
분야조합론, 수론, 기본초월함수
정의
기호(a; q)n
정의(a; q)n = ∏k=0n-1 (1 - aqk) = (1 - a)(1 - aq)(1 - aq2) ⋯ (1 - aqn-1) (n > 0)
(a; q)0 = 1
(a; q)∞ = ∏k=0∞ (1 - aqk)
성질
항등식(a; q)n = (a; q)∞ / (aqn; q)∞
q-이항 정리∏k=0∞ (1 + azqk) = ∑n=0∞ (q 1/2 n(n-1) / (q; q)n) zn
q-지수 함수|e|q(x) = ∑n=0∞ (xn / (q; q)n) = 1 / ((1 - x)(1 - qx)(1 - q2x)⋯)

2. 정의

q-포흐하머 기호는 다음과 같이 정의된다.

:(a;q)_n = \prod_{k=0}^{n-1} (1-aq^k)=(1-aq^0)(1-aq^1)(1-aq^2)\cdots(1-aq^{n-1})

:(a;q)_0 = 1

무한 q-포흐하머 기호는 다음과 같이 정의된다.

:(a;q)_\infty = \prod_{k=0}^{\infty} (1-aq^k)

특히, \phi(q) = (q;q)_\infty=\prod_{k=1}^\infty (1-q^k)는 오일러 피 함수로 알려져 있으며, 조합론, 정수론 및 모듈러 형식 이론에서 중요한 역할을 한다.

유한 곱은 무한 곱으로 표현할 수 있다.

:(a;q)_n = \frac{(a;q)_\infty} {(aq^n;q)_\infty},

이것은 정의를 음의 정수 ''n''까지 확장한다. 따라서, 음이 아닌 ''n''에 대해 다음이 성립한다.

:(a;q)_{-n} = \frac{1}{(aq^{-n};q)_n}=\prod_{k=1}^n \frac{1}{(1-a/q^k)}

:(a;q)_{-n} = \frac{(-q/a)^n q^{n(n-1)/2}} {(q/a;q)_n}.

밑(base영어)이 문자 q인 경우에는 생략하는 경우가 있다.

:\begin{align}

&(a)_n=(a;q)_n\\

&(q)_n=(q;q)_n\\

\end{align}

여러 개의 q-포흐하머 기호가 나열될 때는 합성하는 경우가 있다.

:\begin{align}

&(a,b,c)_n=(a,b,c;q)_n:=(a;q)_n(b;q)_n(c;q)_n\\

\end{align}

3. 표기법 및 변환식

밑(base)이 q인 경우, q를 생략하고 (a)_n = (a;q)_n과 같이 표기하기도 한다. 여러 개의 q-포흐하머 기호가 나열될 때는 (a,b,c)_n=(a,b,c;q)_n:=(a;q)_n(b;q)_n(c;q)_n과 같이 합성하여 표기한다. 다음 변환식이 성립한다.

:\begin{align}(aq^{-n+1};q)_n

&=\prod_{k=0}^{n-1}(1-aq^{-n+1+k})\\

&=(-a)^nq^{-n(n-1)/2}\prod_{k=0}^{n-1}\left(1-\frac{q^{n-1-k}}{a}\right)\\

&=(-a)^nq^{-n(n-1)/2}\prod_{k=0}^{n-1}\left(1-\frac{q^{k}}{a}\right)\qquad(n-1-k{\mapsto}n)\\

&=(-a)^nq^{-n(n-1)/2}\left(\dfrac{1}{a};q\right)_n

\end{align}

4. 항등식

유한 곱은 무한 곱으로 표현할 수 있다. 음이 아닌 정수 ''n''에 대해 다음이 성립한다.

:(a;q)_n = \frac{(a;q)_\infty} {(aq^n;q)_\infty},

''q''-포흐하머 기호는 많은 수의 ''q''-급수 항등식, 특히 무한 급수 전개의 주제이다. 다음은 q-이항 정리의 특수한 경우이다.

:(x;q)_\infty = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n q^{n(n-1)/2}}{(q;q)_n} x^n

:\frac{1}{(x;q)_\infty}=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{(q;q)_n},

:\frac{(ax;q)_\infty}{(x;q)_\infty} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a;q)_n}{(q;q)_n} x^n.

프리드리히 카르펠레비치는 다음 항등식을 발견했다.

:\frac{(q;q)_{\infty}}{(z;q)_{\infty}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}q^{n(n+1)/2}}{(q;q)_n(1-zq^{-n})}, \ |z|<1.

5. 조합론적 해석

(a;q)_\infty^{-1} = \prod_{k=0}^{\infty} (1-aq^k)^{-1}에서 q^m a^n의 계수는 최대 ''n''개의 부분으로 ''m''을 분할하는 경우의 수이다.[1]

이는 분할의 공액에 의해, 크기가 최대 ''n''인 부분으로 ''m''을 분할하는 경우의 수와 같다.

(-a;q)_\infty = \prod_{k=0}^{\infty} (1+aq^k)에서 q^m a^n의 계수는 ''m''을 ''n'' 또는 ''n''-1개의 서로 다른 부분으로 분할하는 경우의 수이다.[1]

이러한 분할에서 ''n'' − 1개의 부분을 가진 삼각 분할을 제거하면, 최대 ''n''개의 부분을 가진 임의의 분할이 남는다. 이는 ''n'' 또는 ''n'' − 1개의 서로 다른 부분으로의 분할 집합과, ''n'' − 1개의 부분을 가진 삼각 분할과 최대 ''n''개의 부분을 가진 분할로 구성된 쌍의 집합 간의 가중치를 보존하는 전단사를 제공한다.

함수 (q)_{\infty} := (q; q)_{\infty}의 역수는 분할 함수 p(n)의 생성 함수로 나타난다.[1]

6. q-유사체

''q''-급수는 급수의 일종으로, 계수가 ''q''의 함수이며, 일반적으로 (a; q)_{n}의 식으로 표현된다.[2] 초기의 결과는 오일러, 가우스, 코시에 의해 이루어졌다. 체계적인 연구는 에두아르트 하이네(1843)부터 시작되었다.[3]

''n''의 ''q''-유사체는 '''''q''-괄호''''' 또는 '''''q''-수'''''라고도 하며 다음과 같이 정의된다.

:[n]_q=\frac{1-q^n}{1-q}.

q-브래킷(q-bracket)은 정수, 실수, 복소수 등과 같은 q-유사를 나타내는 기호이다.[9]

:[n]=[n]_q:=\frac{1-q^n}{1-q}=\sum_{k=0}^{n-1}q^k.

이로부터 팩토리얼의 ''q''-유사체인 '''''q''-팩토리얼'''''을 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

\begin{align}

\left[n\right]!_q & = \prod_{k=1}^n [k]_q = [1]_q \cdot [2]_q \cdots [n-1]_q \cdot [n]_q \\

& = \frac{1-q}{1-q} \frac{1-q^2}{1-q} \cdots \frac{1-q^{n-1}}{1-q} \frac{1-q^n}{1-q} \\

& = 1 \cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots + q^{n-2}) \cdot (1+q+\cdots + q^{n-1}) \\

& = \frac{(q;q)_n}{(1-q)^n} \\

\end{align}



q-factorial영어은 팩토리얼의 q-유사이다.[8][10]

이 숫자들은 다음과 같은 의미에서 유사체이다.

:\lim_{q\rightarrow 1}[n]_q = n,

:\lim_{q\rightarrow 1}[n]!_q = n!.

''q''가 소수 거듭제곱이고 ''V''가 ''q''개의 원소를 가진 체에 대한 ''n''-차원 벡터 공간일 때, ''q''-유사체 [n]!_q는 ''V''의 완전한 깃발의 수, 즉, V_i가 차원 ''i''를 갖는 부분 공간의 수열 V_1 \subset V_2 \subset \cdots \subset V_n = V의 수이다.[1]

음의 정수 ''q''-괄호의 곱은 다음과 같이 ''q''-팩토리얼로 표현할 수 있다.

:\prod_{k=1}^n [-k]_q = \frac{(-1)^n\,[n]!_q}{q^{n(n+1)/2}}

''q''-팩토리얼로부터, 가우스 이항 계수라고도 하는 ''q''-이항 계수를 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

\begin{bmatrix}

n\\

k

\end{bmatrix}_q

=

\frac{[n]!_q}{[n-k]!_q [k]!_q},



q-binomial coefficient영어는 이항 계수의 q-유사이다.[8][11]

:\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}_q:=\frac{[n]_q!}{[n-k]_q![k]_q!}=\frac{(q;q)_n}{(q;q)_{n-k}(q;q)_k}.

또한 ''q''-다항 계수를 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

\begin{bmatrix}

n\\

k_1, \ldots ,k_m

\end{bmatrix}_q

=

\frac{[n]!_q}{[k_1]!_q \cdots [k_m]!_q},



여기서 인수 k_1, \ldots, k_m은

\sum_{i=1}^m k_i = n

을 만족하는 음이 아닌 정수이다. 위의 계수는



V_1 \subset \dots \subset V_m



의 깃발 수를 셉니다.

\dim V_i = \sum_{j=1}^i k_j

인, ''q''개의 원소를 가진 체에 대한 ''n''-차원 벡터 공간의 부분 공간.

극한 q\to 1은 각 s_i가 k_i번 나타나는 ''n''개의 서로 다른 기호 \{s_1,\dots,s_m\}에서 단어를 세는 일반적인 다항 계수 {n\choose k_1,\dots ,k_m}를 제공한다.

또한 ''q''-감마 함수라고 하는 q-감마 함수를 얻을 수 있으며, 다음과 같이 정의된다.

:\Gamma_q(x)=\frac{(1-q)^{1-x} (q;q)_\infty}{(q^x;q)_\infty}

이것은 ''q''가 단위 원 내부에서 1에 접근함에 따라 일반 감마 함수로 수렴한다.

:\Gamma_q(x+1)=[x]_q\Gamma_q(x)

모든 ''x''에 대해, 그리고

:\Gamma_q(n+1)=[n]!_q

''n''의 음이 아닌 정수 값에 대해. 또는 이것은 실수 체계로의 ''q''-팩토리얼 함수의 확대로 간주될 수 있다.

6. 1. q-이항 계수의 성질

모든 0 \leq m \leq n에 대해, \begin{bmatrix} n \\ m \end{bmatrix}_q = \begin{bmatrix} n \\ n-m \end{bmatrix}_q이다.[4]

다음과 같은 점화식을 확인할 수 있다.



\begin{align}

\begin{bmatrix}

n+1\\

k

\end{bmatrix}_q

& =

\begin{bmatrix}

n\\

k

\end{bmatrix}_q

+

q^{n-k+1}

\begin{bmatrix}

n\\

k-1

\end{bmatrix}_q \\

& =

\begin{bmatrix} n \\ k-1 \end{bmatrix}_q + q^k \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix}_q.

\end{align}

[5]

이 점화식으로부터 q-이항 정리의 다음 변형을 유도할 수 있다.[5]



\begin{align}

(z; q)_n & = \sum_{j=0}^n \begin{bmatrix} n \\ j \end{bmatrix}_q (-z)^j q^{\binom{j}{2}} = (1-z)(1-qz) \cdots (1-z q^{n-1}) \\

(-q; q)_n & = \sum_{j=0}^n \begin{bmatrix} n \\ j \end{bmatrix}_{q^2} q^j \\

(q; q^2)_n & = \sum_{j=0}^{2n} \begin{bmatrix} 2n \\ j \end{bmatrix}_q (-1)^j \\

\frac{1}{(z; q)_{m+1}} & = \sum_{n \geq 0} \begin{bmatrix} n+m \\ n \end{bmatrix}_q z^n.

\end{align}


6. 2. q-유사체의 극한

''n''의 ''q''-유사체는 '''''q''-괄호''''' 또는 '''''q''-수'''''라고 하며, 그 극한은 다음과 같다.

\lim_{q\rightarrow 1}[n]_q = n[4]

팩토리얼의 ''q''-유사체인 '''''q''-팩토리얼'''''의 극한은 다음과 같다.

\lim_{q\rightarrow 1}[n]!_q = n![4]

''q''-다항 계수의 극한은 일반적인 다항 계수 {n\choose k_1,\dots ,k_m}를 제공한다.

q-감마 함수는 다음과 같이 정의된다.

\Gamma_q(x)=\frac{(1-q)^{1-x} (q;q)_\infty}{(q^x;q)_\infty}

이 함수는 ''q''가 1에 접근할 때 일반 감마 함수로 수렴한다.

7. 다른 q-함수와의 관계

''n''의 ''q''-유사체는 '''''q''-괄호''''' 또는 '''''q''-수'''''라고도 하며 다음과 같이 정의된다.[4]

:[n]_q=\frac{1-q^n}{1-q}.

이로부터 팩토리얼의 ''q''-유사체인 '''''q''-팩토리얼'''''을 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

\begin{align}

\left[n\right]!_q & = \prod_{k=1}^n [k]_q = [1]_q \cdot [2]_q \cdots [n-1]_q \cdot [n]_q \\

& = \frac{1-q}{1-q} \frac{1-q^2}{1-q} \cdots \frac{1-q^{n-1}}{1-q} \frac{1-q^n}{1-q} \\

& = 1 \cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots + q^{n-2}) \cdot (1+q+\cdots + q^{n-1}) \\

& = \frac{(q;q)_n}{(1-q)^n} \\

\end{align}



이 숫자들은 다음 극한값과 같이 유사체이다.

:\lim_{q\rightarrow 1}[n]_q = n,

:\lim_{q\rightarrow 1}[n]!_q = n!.

극한 값 ''n''!은 ''n''-원소 집합 ''S''의 순열을 세며, E_i가 정확히 ''i''개의 원소를 포함하는, E_1 \subset E_2 \subset \cdots \subset E_n = S와 같은 중첩 집합의 수열을 센다.[4] ''q''가 소수 거듭제곱이고 ''V''가 ''q''개의 원소를 가진 체에 대한 ''n''-차원 벡터 공간일 때, ''q''-유사체 [n]!_q는 ''V''의 완전한 깃발의 수, 즉, V_i가 차원 ''i''를 갖는 부분 공간의 수열 V_1 \subset V_2 \subset \cdots \subset V_n = V의 수이다.[1] 중첩 집합의 수열은 원소 1개인 체에 대한 깃발로 간주할 수 있다.

음의 정수 ''q''-괄호의 곱은 다음과 같이 ''q''-팩토리얼로 표현할 수 있다.

:\prod_{k=1}^n [-k]_q = \frac{(-1)^n\,[n]!_q}{q^{n(n+1)/2}}

''q''-팩토리얼로부터, 가우스 이항 계수라고도 하는 ''q''-이항 계수를 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

\begin{bmatrix}

n\\

k

\end{bmatrix}_q

=

\frac{[n]!_q}{[n-k]!_q [k]!_q},



이러한 계수의 삼각형은 모든 0 \leq m \leq n에 대해 다음과 같은 의미에서 대칭이다.

:\begin{bmatrix} n \\ m \end{bmatrix}_q = \begin{bmatrix} n \\ n-m \end{bmatrix}_q

또한 다음을 확인할 수 있다.

:

\begin{align}

\begin{bmatrix}

n+1\\

k

\end{bmatrix}_q

& =

\begin{bmatrix}

n\\

k

\end{bmatrix}_q

+

q^{n-k+1}

\begin{bmatrix}

n\\

k-1

\end{bmatrix}_q \\

& =

\begin{bmatrix} n \\ k-1 \end{bmatrix}_q + q^k \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix}_q.

\end{align}



이전의 점화 관계로부터 q-이항 정리의 다음 변형이 이러한 계수로 다음과 같이 확장된다.[5]

:

\begin{align}

(z; q)_n & = \sum_{j=0}^n \begin{bmatrix} n \\ j \end{bmatrix}_q (-z)^j q^{\binom{j}{2}} = (1-z)(1-qz) \cdots (1-z q^{n-1}) \\

(-q; q)_n & = \sum_{j=0}^n \begin{bmatrix} n \\ j \end{bmatrix}_{q^2} q^j \\

(q; q^2)_n & = \sum_{j=0}^{2n} \begin{bmatrix} 2n \\ j \end{bmatrix}_q (-1)^j \\

\frac{1}{(z; q)_{m+1}} & = \sum_{n \geq 0} \begin{bmatrix} n+m \\ n \end{bmatrix}_q z^n.

\end{align}



''q''-다항 계수는 다음과 같이 정의된다.

:

\begin{bmatrix}

n\\

k_1, \ldots ,k_m

\end{bmatrix}_q

=

\frac{[n]!_q}{[k_1]!_q \cdots [k_m]!_q},



여기서 인수 k_1, \ldots, k_m은

\sum_{i=1}^m k_i = n

을 만족하는 음이 아닌 정수이다. 위의 계수는

V_1 \subset \dots \subset V_m

의 깃발 수를 세며,

\dim V_i = \sum_{j=1}^i k_j

인, ''q''개의 원소를 가진 체에 대한 ''n''-차원 벡터 공간의 부분 공간이다.

극한 q\to 1은 각 s_i가 k_i번 나타나는 ''n''개의 서로 다른 기호 \{s_1,\dots,s_m\}에서 단어를 세는 일반적인 다항 계수 {n\choose k_1,\dots ,k_m}를 제공한다.

q-감마 함수는 다음과 같이 정의된다.

:\Gamma_q(x)=\frac{(1-q)^{1-x} (q;q)_\infty}{(q^x;q)_\infty}

이것은 ''q''가 단위 원 내부에서 1에 접근함에 따라 일반 감마 함수로 수렴한다. 그리고 모든 ''x''에 대해,

:\Gamma_q(x+1)=[x]_q\Gamma_q(x)

이며, ''n''의 음이 아닌 정수 값에 대해,

:\Gamma_q(n+1)=[n]!_q

이다. 이는 ''q''-팩토리얼 함수의 실수 체계로의 확대이다.

참조

[1] 웹사이트 What is a q-series? http://www.math.uiuc[...]
[2] 간행물 What is a ''q''-series? http://www.math.uiuc[...] Ramanujan Mathematical Society
[3] 웹사이트 Untersuchungen über die Reihe https://gdz.sub.uni-[...] J. Reine Angew. Math. 1847
[4] 서적 Enumerative Combinatorics Cambridge University Press
[5] 서적 NIST Handbook of Mathematical Functions http://dlmf.nist.gov[...] 2010
[6] 웹사이트 Wolfram Mathworld: q-Pochhammer Symbol http://mathworld.wol[...]
[7] 서적 Special functions Cambridge university press
[8] 서적 Basic hypergeometric series Cambridge university press
[9] 웹사이트 Wolfram Mathworld: q-Bracket http://mathworld.wol[...]
[10] 웹사이트 Wolfram Mathworld: q-Factorial http://mathworld.wol[...]
[11] 웹사이트 Wolfram Mathworld: q-Binomial Coefficient http://mathworld.wol[...]


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