큐-포흐하머 기호

1. 개요

큐-포흐하머 기호는 다음과 같이 정의되는 수학적 기호이다. 이 기호는 유한 곱과 무한 곱 형태로 표현되며, 특히 오일러 피 함수와 밀접한 관련이 있다. 큐-포흐하머 기호는 표기법과 변환식을 가지며, 다양한 항등식을 만족한다. 또한, 조합론적 해석을 통해 분할의 열거와 관련되며, q-유사체, q-팩토리얼, q-이항 계수, q-감마 함수 등의 개념으로 확장된다. 큐-포흐하머 기호와 관련된 q-유사체들은 특정 극한에서 일반적인 수학적 개념으로 수렴하며, 다른 q-함수들과의 관계를 통해 다양한 수학 분야에서 활용된다.

2. 정의

q-포흐하머 기호는 다음과 같이 정의된다.
:$(a;q)\_n\; =\; \backslash prod\_\{k=0\}^\{n-1\}\; (1-aq^k)=(1-aq^0)(1-aq^1)(1-aq^2)\backslash cdots(1-aq^\{n-1\})$
:$(a;q)\_0\; =\; 1$
무한 q-포흐하머 기호는 다음과 같이 정의된다.
:$(a;q)\_\backslash infty\; =\; \backslash prod\_\{k=0\}^\{\backslash infty\}\; (1-aq^k)$
특히, $\backslash phi(q)\; =\; (q;q)\_\backslash infty=\backslash prod\_\{k=1\}^\backslash infty\; (1-q^k)$는 오일러 피 함수로 알려져 있으며, 조합론, 정수론 및 모듈러 형식 이론에서 중요한 역할을 한다.
유한 곱은 무한 곱으로 표현할 수 있다.
:$(a;q)\_n\; =\; \backslash frac\{(a;q)\_\backslash infty\}\; \{(aq^n;q)\_\backslash infty\},$
이것은 정의를 음의 정수 n까지 확장한다. 따라서, 음이 아닌 n에 대해 다음이 성립한다.
:$(a;q)\_\{-n\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{(aq^\{-n\};q)\_n\}=\backslash prod\_\{k=1\}^n\; \backslash frac\{1\}\{(1-a/q^k)\}$
:$(a;q)\_\{-n\}\; =\; \backslash frac\{(-q/a)^n\; q^\{n(n-1)/2\}\}\; \{(q/a;q)\_n\}.$
밑(base^영어)이 문자 $q$인 경우에는 생략하는 경우가 있다.
:$\backslash begin\{align\}$
&(a)_n=(a;q)_n\\
&(q)_n=(q;q)_n\\
\end{align}
여러 개의 q-포흐하머 기호가 나열될 때는 합성하는 경우가 있다.
:$\backslash begin\{align\}$
&(a,b,c)_n=(a,b,c;q)_n:=(a;q)_n(b;q)_n(c;q)_n\\
\end{align}

3. 표기법 및 변환식

밑(base)이 q인 경우, q를 생략하고 $(a)\_n\; =\; (a;q)\_n$과 같이 표기하기도 한다. 여러 개의 q-포흐하머 기호가 나열될 때는 $(a,b,c)\_n=(a,b,c;q)\_n:=(a;q)\_n(b;q)\_n(c;q)\_n$과 같이 합성하여 표기한다. 다음 변환식이 성립한다.

:$\backslash begin\{align\}(aq^\{-n+1\};q)\_n$
&=\prod_{k=0}^{n-1}(1-aq^{-n+1+k})\\
&=(-a)^nq^{-n(n-1)/2}\prod_{k=0}^{n-1}\left(1-\frac{q^{n-1-k}}{a}\right)\\
&=(-a)^nq^{-n(n-1)/2}\prod_{k=0}^{n-1}\left(1-\frac{q^{k}}{a}\right)\qquad(n-1-k{\mapsto}n)\\
&=(-a)^nq^{-n(n-1)/2}\left(\dfrac{1}{a};q\right)_n
\end{align}

4. 항등식

유한 곱은 무한 곱으로 표현할 수 있다. 음이 아닌 정수 n에 대해 다음이 성립한다.
:$(a;q)\_n\; =\; \backslash frac\{(a;q)\_\backslash infty\}\; \{(aq^n;q)\_\backslash infty\},$
q-포흐하머 기호는 많은 수의 q-급수 항등식, 특히 무한 급수 전개의 주제이다. 다음은 q-이항 정리의 특수한 경우이다.
:$(x;q)\_\backslash infty\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{(-1)^n\; q^\{n(n-1)/2\}\}\{(q;q)\_n\}\; x^n$
:$\backslash frac\{1\}\{(x;q)\_\backslash infty\}=\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{x^n\}\{(q;q)\_n\},$
:$\backslash frac\{(ax;q)\_\backslash infty\}\{(x;q)\_\backslash infty\}\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{(a;q)\_n\}\{(q;q)\_n\}\; x^n.$
프리드리히 카르펠레비치는 다음 항등식을 발견했다.
:

5. 조합론적 해석

$(a;q)\_\backslash infty^\{-1\}\; =\; \backslash prod\_\{k=0\}^\{\backslash infty\}\; (1-aq^k)^\{-1\}$에서 $q^m\; a^n$의 계수는 최대 n개의 부분으로 m을 분할하는 경우의 수이다.

이는 분할의 공액에 의해, 크기가 최대 n인 부분으로 m을 분할하는 경우의 수와 같다.

$(-a;q)\_\backslash infty\; =\; \backslash prod\_\{k=0\}^\{\backslash infty\}\; (1+aq^k)$에서 $q^m\; a^n$의 계수는 m을 n 또는 n-1개의 서로 다른 부분으로 분할하는 경우의 수이다.

이러한 분할에서 n − 1개의 부분을 가진 삼각 분할을 제거하면, 최대 n개의 부분을 가진 임의의 분할이 남는다. 이는 n 또는 n − 1개의 서로 다른 부분으로의 분할 집합과, n − 1개의 부분을 가진 삼각 분할과 최대 n개의 부분을 가진 분할로 구성된 쌍의 집합 간의 가중치를 보존하는 전단사를 제공한다.

함수 $(q)\_\{\backslash infty\}\; :=\; (q;\; q)\_\{\backslash infty\}$의 역수는 분할 함수 $p(n)$의 생성 함수로 나타난다.

6. q-유사체

q-급수는 급수의 일종으로, 계수가 q의 함수이며, 일반적으로 $(a;\; q)\_\{n\}$의 식으로 표현된다. 초기의 결과는 오일러, 가우스, 코시에 의해 이루어졌다. 체계적인 연구는 에두아르트 하이네(1843)부터 시작되었다.

n의 q-유사체는 q-괄호 또는 q-수라고도 하며 다음과 같이 정의된다.

:$$[n]\_q=\backslash frac\{1-q^n\}\{1-q\}.$$

q-브래킷(q-bracket)은 정수, 실수, 복소수 등과 같은 q-유사를 나타내는 기호이다.

:$[n]=[n]\_q:=\backslash frac\{1-q^n\}\{1-q\}=\backslash sum\_\{k=0\}^\{n-1\}q^k.$

이로부터 팩토리얼의 q-유사체인 q-팩토리얼을 다음과 같이 정의할 수 있다.

:$$$$
\begin{align}
\left[n\right]!_q & = \prod_{k=1}^n [k]_q = [1]_q \cdot [2]_q \cdots [n-1]_q \cdot [n]_q \\
& = \frac{1-q}{1-q} \frac{1-q^2}{1-q} \cdots \frac{1-q^{n-1}}{1-q} \frac{1-q^n}{1-q} \\
& = 1 \cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots + q^{n-2}) \cdot (1+q+\cdots + q^{n-1}) \\
& = \frac{(q;q)_n}{(1-q)^n} \\
\end{align}


q-factorial^영어은 팩토리얼의 q-유사이다.

이 숫자들은 다음과 같은 의미에서 유사체이다.

:$$\backslash lim\_\{q\backslash rightarrow\; 1\}[n]\_q\; =\; n,$$

:$$\backslash lim\_\{q\backslash rightarrow\; 1\}[n]!\_q\; =\; n!.$$

q가 소수 거듭제곱이고 V가 q개의 원소를 가진 체에 대한 n-차원 벡터 공간일 때, q-유사체 $[n]!\_q$는 V의 완전한 깃발의 수, 즉, $V\_i$가 차원 i를 갖는 부분 공간의 수열 $V\_1\; \backslash subset\; V\_2\; \backslash subset\; \backslash cdots\; \backslash subset\; V\_n\; =\; V$의 수이다.

음의 정수 q-괄호의 곱은 다음과 같이 q-팩토리얼로 표현할 수 있다.

:$$\backslash prod\_\{k=1\}^n\; [-k]\_q\; =\; \backslash frac\{(-1)^n\backslash ,[n]!\_q\}\{q^\{n(n+1)/2\}\}$$

q-팩토리얼로부터, 가우스 이항 계수라고도 하는 q-이항 계수를 다음과 같이 정의할 수 있다.

:$$$$
\begin{bmatrix}
n\\
k
\end{bmatrix}_q
=
\frac{[n]!_q}{[n-k]!_q [k]!_q},


q-binomial coefficient^영어는 이항 계수의 q-유사이다.

:$\backslash begin\{bmatrix\}n\backslash \backslash k\backslash end\{bmatrix\}\_q:=\backslash frac\{[n]\_q!\}\{[n-k]\_q![k]\_q!\}=\backslash frac\{(q;q)\_n\}\{(q;q)\_\{n-k\}(q;q)\_k\}.$

또한 q-다항 계수를 다음과 같이 정의할 수 있다.

:$$$$
\begin{bmatrix}
n\\
k_1, \ldots ,k_m
\end{bmatrix}_q
=
\frac{[n]!_q}{[k_1]!_q \cdots [k_m]!_q},


여기서 인수 $k\_1,\; \backslash ldots,\; k\_m$은 $$
\sum_{i=1}^m k_i = n
을 만족하는 음이 아닌 정수이다. 위의 계수는
$$
V_1 \subset \dots \subset V_m

의 깃발 수를 셉니다. $$
\dim V_i = \sum_{j=1}^i k_j
인, q개의 원소를 가진 체에 대한 n-차원 벡터 공간의 부분 공간.

극한 $q\backslash to\; 1$은 각 $s\_i$가 $k\_i$번 나타나는 n개의 서로 다른 기호 $\backslash \{s\_1,\backslash dots,s\_m\backslash \}$에서 단어를 세는 일반적인 다항 계수 $\{n\backslash choose\; k\_1,\backslash dots\; ,k\_m\}$를 제공한다.

또한 q-감마 함수라고 하는 q-감마 함수를 얻을 수 있으며, 다음과 같이 정의된다.

:$$\backslash Gamma\_q(x)=\backslash frac\{(1-q)^\{1-x\}\; (q;q)\_\backslash infty\}\{(q^x;q)\_\backslash infty\}$$

이것은 q가 단위 원 내부에서 1에 접근함에 따라 일반 감마 함수로 수렴한다.

:$$\backslash Gamma\_q(x+1)=[x]\_q\backslash Gamma\_q(x)$$

모든 x에 대해, 그리고

:$$\backslash Gamma\_q(n+1)=[n]!\_q$$

n의 음이 아닌 정수 값에 대해. 또는 이것은 실수 체계로의 q''-팩토리얼 함수의 확대로 간주될 수 있다.

6.1. q-이항 계수의 성질

모든 $0\; \backslash leq\; m\; \backslash leq\; n$에 대해, $\backslash begin\{bmatrix\}\; n\; \backslash \backslash \; m\; \backslash end\{bmatrix\}\_q\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}\; n\; \backslash \backslash \; n-m\; \backslash end\{bmatrix\}\_q$이다.

다음과 같은 점화식을 확인할 수 있다.

$$$$
\begin{align}
\begin{bmatrix}
n+1\\
k
\end{bmatrix}_q
& =
\begin{bmatrix}
n\\
k
\end{bmatrix}_q
+
q^{n-k+1}
\begin{bmatrix}
n\\
k-1
\end{bmatrix}_q \\
& =
\begin{bmatrix} n \\ k-1 \end{bmatrix}_q + q^k \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix}_q.
\end{align}


이 점화식으로부터 $q$-이항 정리의 다음 변형을 유도할 수 있다.

$$$$
\begin{align}
(z; q)_n & = \sum_{j=0}^n \begin{bmatrix} n \\ j \end{bmatrix}_q (-z)^j q^{\binom{j}{2}} = (1-z)(1-qz) \cdots (1-z q^{n-1}) \\
(-q; q)_n & = \sum_{j=0}^n \begin{bmatrix} n \\ j \end{bmatrix}_{q^2} q^j \\
(q; q^2)_n & = \sum_{j=0}^{2n} \begin{bmatrix} 2n \\ j \end{bmatrix}_q (-1)^j \\
\frac{1}{(z; q)_{m+1}} & = \sum_{n \geq 0} \begin{bmatrix} n+m \\ n \end{bmatrix}_q z^n.
\end{align}

6.2. q-유사체의 극한

n의 q-유사체는 q-괄호 또는 q-수라고 하며, 그 극한은 다음과 같다.
$\backslash lim\_\{q\backslash rightarrow\; 1\}[n]\_q\; =\; n$

팩토리얼의 q-유사체인 q-팩토리얼의 극한은 다음과 같다.
$\backslash lim\_\{q\backslash rightarrow\; 1\}[n]!\_q\; =\; n!$

q-다항 계수의 극한은 일반적인 다항 계수 $\{n\backslash choose\; k\_1,\backslash dots\; ,k\_m\}$를 제공한다.

q-감마 함수는 다음과 같이 정의된다.
$$\backslash Gamma\_q(x)=\backslash frac\{(1-q)^\{1-x\}\; (q;q)\_\backslash infty\}\{(q^x;q)\_\backslash infty\}$$
이 함수는 q''가 1에 접근할 때 일반 감마 함수로 수렴한다.

7. 다른 q-함수와의 관계

n의 q-유사체는 q-괄호 또는 q-수라고도 하며 다음과 같이 정의된다.

:$$[n]\_q=\backslash frac\{1-q^n\}\{1-q\}.$$

이로부터 팩토리얼의 q-유사체인 q-팩토리얼을 다음과 같이 정의할 수 있다.

:$$$$
\begin{align}
\left[n\right]!_q & = \prod_{k=1}^n [k]_q = [1]_q \cdot [2]_q \cdots [n-1]_q \cdot [n]_q \\
& = \frac{1-q}{1-q} \frac{1-q^2}{1-q} \cdots \frac{1-q^{n-1}}{1-q} \frac{1-q^n}{1-q} \\
& = 1 \cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots + q^{n-2}) \cdot (1+q+\cdots + q^{n-1}) \\
& = \frac{(q;q)_n}{(1-q)^n} \\
\end{align}


이 숫자들은 다음 극한값과 같이 유사체이다.

:$$\backslash lim\_\{q\backslash rightarrow\; 1\}[n]\_q\; =\; n,$$

:$$\backslash lim\_\{q\backslash rightarrow\; 1\}[n]!\_q\; =\; n!.$$

극한 값 n!은 n-원소 집합 S의 순열을 세며, $E\_i$가 정확히 i개의 원소를 포함하는, $E\_1\; \backslash subset\; E\_2\; \backslash subset\; \backslash cdots\; \backslash subset\; E\_n\; =\; S$와 같은 중첩 집합의 수열을 센다. q가 소수 거듭제곱이고 V가 q개의 원소를 가진 체에 대한 n-차원 벡터 공간일 때, q-유사체 $[n]!\_q$는 V의 완전한 깃발의 수, 즉, $V\_i$가 차원 i를 갖는 부분 공간의 수열 $V\_1\; \backslash subset\; V\_2\; \backslash subset\; \backslash cdots\; \backslash subset\; V\_n\; =\; V$의 수이다. 중첩 집합의 수열은 원소 1개인 체에 대한 깃발로 간주할 수 있다.

음의 정수 q-괄호의 곱은 다음과 같이 q-팩토리얼로 표현할 수 있다.

:$$\backslash prod\_\{k=1\}^n\; [-k]\_q\; =\; \backslash frac\{(-1)^n\backslash ,[n]!\_q\}\{q^\{n(n+1)/2\}\}$$

q-팩토리얼로부터, 가우스 이항 계수라고도 하는 q-이항 계수를 다음과 같이 정의할 수 있다.

:$$$$
\begin{bmatrix}
n\\
k
\end{bmatrix}_q
=
\frac{[n]!_q}{[n-k]!_q [k]!_q},


이러한 계수의 삼각형은 모든 $0\; \backslash leq\; m\; \backslash leq\; n$에 대해 다음과 같은 의미에서 대칭이다.

:$\backslash begin\{bmatrix\}\; n\; \backslash \backslash \; m\; \backslash end\{bmatrix\}\_q\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}\; n\; \backslash \backslash \; n-m\; \backslash end\{bmatrix\}\_q$

또한 다음을 확인할 수 있다.

:$$$$
\begin{align}
\begin{bmatrix}
n+1\\
k
\end{bmatrix}_q
& =
\begin{bmatrix}
n\\
k
\end{bmatrix}_q
+
q^{n-k+1}
\begin{bmatrix}
n\\
k-1
\end{bmatrix}_q \\
& =
\begin{bmatrix} n \\ k-1 \end{bmatrix}_q + q^k \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix}_q.
\end{align}


이전의 점화 관계로부터 $q$-이항 정리의 다음 변형이 이러한 계수로 다음과 같이 확장된다.

:$$$$
\begin{align}
(z; q)_n & = \sum_{j=0}^n \begin{bmatrix} n \\ j \end{bmatrix}_q (-z)^j q^{\binom{j}{2}} = (1-z)(1-qz) \cdots (1-z q^{n-1}) \\
(-q; q)_n & = \sum_{j=0}^n \begin{bmatrix} n \\ j \end{bmatrix}_{q^2} q^j \\
(q; q^2)_n & = \sum_{j=0}^{2n} \begin{bmatrix} 2n \\ j \end{bmatrix}_q (-1)^j \\
\frac{1}{(z; q)_{m+1}} & = \sum_{n \geq 0} \begin{bmatrix} n+m \\ n \end{bmatrix}_q z^n.
\end{align}


q-다항 계수는 다음과 같이 정의된다.

:$$$$
\begin{bmatrix}
n\\
k_1, \ldots ,k_m
\end{bmatrix}_q
=
\frac{[n]!_q}{[k_1]!_q \cdots [k_m]!_q},


여기서 인수 $k\_1,\; \backslash ldots,\; k\_m$은 $$
\sum_{i=1}^m k_i = n
을 만족하는 음이 아닌 정수이다. 위의 계수는 $$
V_1 \subset \dots \subset V_m
의 깃발 수를 세며, $$
\dim V_i = \sum_{j=1}^i k_j
인, q개의 원소를 가진 체에 대한 n-차원 벡터 공간의 부분 공간이다.

극한 $q\backslash to\; 1$은 각 $s\_i$가 $k\_i$번 나타나는 n개의 서로 다른 기호 $\backslash \{s\_1,\backslash dots,s\_m\backslash \}$에서 단어를 세는 일반적인 다항 계수 $\{n\backslash choose\; k\_1,\backslash dots\; ,k\_m\}$를 제공한다.

q-감마 함수는 다음과 같이 정의된다.

:$$\backslash Gamma\_q(x)=\backslash frac\{(1-q)^\{1-x\}\; (q;q)\_\backslash infty\}\{(q^x;q)\_\backslash infty\}$$

이것은 q가 단위 원 내부에서 1에 접근함에 따라 일반 감마 함수로 수렴한다. 그리고 모든 x에 대해,

:$$\backslash Gamma\_q(x+1)=[x]\_q\backslash Gamma\_q(x)$$

이며, n의 음이 아닌 정수 값에 대해,

:$$\backslash Gamma\_q(n+1)=[n]!\_q$$

이다. 이는 q''-팩토리얼 함수의 실수 체계로의 확대이다.