급수 (수학)

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1. 개요

급수는 수열의 항들을 형식적으로 더한 것으로, 수학에서 중요한 개념이다. 급수의 부분합 수열이 수렴하면 수렴급수, 그렇지 않으면 발산 급수라고 한다. 수렴급수의 합은 부분합의 극한으로 정의되며, 절대 수렴과 조건 수렴으로 나뉜다.

급수는 기하 급수, 조화 급수, 교대 급수 등 다양한 종류가 있으며, 수렴 여부를 판별하기 위해 여러 수렴 판정법이 사용된다. 함수를 항으로 갖는 함수항 급수는 점별 수렴과 균등 수렴의 개념을 가지며, 균등 수렴하는 함수항 급수는 여러 유용한 성질을 갖는다. 급수의 개념은 제논의 역설에서 시작되어 아르키메데스, 케랄라 학파, 오일러, 코시, 아벨 등을 거쳐 발전해왔다.

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2. 정의

수열 $(a_n)_{n=0}^\infty$ 에 대한 (무한) 급수 $\sum_{n=0}^\infty a_n$ 는 수열의 항들을 형식적으로 더한 것이다. 즉, 다음과 같다.
: $\sum_{n=0}^\infty a_n=a_0+a_1+a_2+\cdots$

급수는 처음 몇 개의 항, 줄임표, 일반항, 그리고 마지막 줄임표를 사용하여 표현하는 것이 일반적인데, 일반항은 n번째 항을 n의 함수로 표현한 것이다.
: $a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_n +\cdots \quad \text{ 또는 } \quad f(0) + f(1) + f(2) + \cdots + f(n) + \cdots.$

예를 들어, 오일러 수는 다음 급수를 사용하여 정의할 수 있다.
: $\sum_{n=0}^\infty \frac 1{n!}=1+1+\frac12 +\frac 16 +\cdots + \frac 1{n!}+\cdots,$
여기서 $n!$ 는 처음 $n$ 개의 양의 정수의 곱을 나타내며, $0!$ 은 관례적으로 $1$ 과 같다.

'무한 개의 항의 합'의 의미가 반드시 명확하지 않은 경우를 포함하여, 형식적인 의미에서의 (무한) 급수는 이 부분합으로 이루어진 열 자체로 이해된다. 다만, 이것은 그렇게 쓴다는 것일 뿐이며, 여기에 '총합'으로서의 의미가 있는 값을 연결하려면 명확한 이유가 필요하다. 0이 아닌 항이 무수히 많은 무한 수열에 대해서는, 실질적인 유한성은 반드시 기대할 수 없으므로, 총합의 명확한 정의는 극한과 수렴에 대해 생각해야 한다.

2.1. 부분합

수열 $(a_n)_{n=0}^\infty$ 에 대한 급수 $\sum_{n=0}^\infty a_n$ 의 부분합(partial sum^영어) $\sum_{n=0}^N a_n$ 은 처음 오는 유한 개의 항에 대한 합이다. 즉, 다음과 같다.
: $\sum_{n=0}^N a_n = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_N$

주어진 무한 수열에서 첫째 항부터 제 $N$ 항( $N$ 은 자연수)까지의 합
: $S_N := a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_N = \sum_{n=0}^N a_n$
을 수열 또는 급수 $\sum a_n$ 의 제 $N$ 부분합이라고 하며, 이들을 통칭하여 부분합이라고 한다.

부분합의 수열 $\left(\sum_{n=0}^N a_n\right)_{N=0}^\infty$ 이 수렴하면 이 급수를 수렴급수, 그렇지 않다면 발산 급수라고 한다. 수렴급수 $\sum_{n=0}^\infty a_n$ 의 합은 그 부분합의 극한이며, 이 역시 $\sum_{n=0}^\infty a_n$ 로 표기한다. 즉, 다음과 같다.
: $\sum_{n=0}^\infty a_n=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^N a_n$

부분합은 때때로 더 간단한 닫힌 형식으로 표현 가능하다. 예를 들어, 등차수열의 부분합은 다음과 같다.
: $s_n = \sum_{k=0}^{n} \left(a + kd\right)= a + (a + d) + (a + 2d) + \cdots + (a + nd)= (n+1)\bigl(a + \tfrac12 n d\bigr)$
등비수열의 부분합은 다음과 같다.
: $s_n = \sum_{k=0}^{n} ar^k = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^n = a\frac{1 - r^{n+1}}{1 - r}$ ( $r \neq 1$ 인 경우) 또는 $s_n = a(n+1)$ ( $r = 1$ 인 경우)

2.2. 수렴과 발산

부분합의 수열이 특정한 값으로 수렴할 때 급수가 수렴한다고 하며, 그 극한값을 급수의 합이라고 한다. 부분합의 수열이 수렴하지 않으면 급수가 발산한다고 한다. 엄밀히 말하면, 급수는 부분합의 수열이 극한을 가질 때 수렴한다고 한다.

수열 $(a_n)_{n=0}^\infty$ 에 대한 급수 $\sum_{n=0}^\infty a_n$ 의 부분합 $\sum_{n=0}^N a_n$ 은 처음 유한 개의 항에 대한 합이다. 부분합의 수열 $\textstyle\left(\sum_{n=0}^N a_n\right)_{N=0}^\infty$ 이 수렴하면 이 급수를 수렴급수, 그렇지 않다면 발산 급수라고 한다. $\sum_{n=0}^\infty |a_n|$ 도 수렴하는 수렴급수를 절대 수렴급수, 그렇지 않은 수렴급수를 조건 수렴급수라고 한다.

등비수열은 부분합을 가지는데,
$s_n = \sum_{k=0}^{n} ar^k = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^n = a\frac{1 - r^{n+1}}{1 - r}$
(단, $r \neq 1$ ). 만약 $r=1$ 인 경우, $s_n = a(n+1)$ 이다.

1부터 6개의 항까지의 부분합을 갖는 3개의 등비급수의 그림. 점선은 극한을 나타낸다.

수렴 급수의 예는 등비 급수이다.

1 + \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8} + \cdots + \frac{1}{2^k} + \cdots.

각 부분합

s_n

이

\sum_{k=0}^n \frac 1{2^k} = 2-\frac 1{2^n}.

임을 보일 수 있다. 따라서

\lim_{n \to \infty} \left(2-\frac 1{2^n}\right) =2,

급수는 수렴하고 2로 수렴한다.

반대로, 등비 급수

\sum_{k = 0}^\infty 2^k

는 실수에서 발산한다.

급수의 부분합 수열이 쉽게 계산되지 않고 직접 수렴을 평가할 수 없는 경우, 수렴 판정법을 사용하여 급수가 수렴하거나 발산함을 증명할 수 있다.

2.3. 여러 가지 첨수 급수

가산 무한 집합 I 및 자연수 집합과 I 사이의 일대일 대응 i : N → I가 주어졌다고 할 때, 함수 a: I → R에 대한 급수 ∑_i∈Ia_i는 다음과 같이 정의된다.

: ∑_i∈Ia_i = ∑_n=0^∞ a_{i_n}

이 정의가 유효하려면, 급수 ∑_i∈Ia_i의 합이 일대일 대응 i의 선택에 의존하지 않아야 한다. 만약 급수가 적어도 하나의 i에 대하여 절대 수렴한다면, 다른 모든 i에 대해서도 절대 수렴하며, ∑_i∈Ia_i의 합이 같다. 만약 급수가 적어도 하나의 i에 대하여 조건 수렴한다면, 리만 재배열 정리에 따라, 임의의 주어진 합을 갖도록 i를 취할 수 있다.

임의의 집합(특히 비가산 집합) I가 주어졌다고 하자. 모든 i∈I에 대해 a_i ≥ 0이라고 가정하면, 급수 ∑_i∈Ia_i를 다음과 같이 정의할 수 있다.

: ∑_i∈Ia_i = sup_{J⊂I,|J|<∞}∑_i∈Ja_i ≤ ∞

이때 집합 I′ = {i∈I : a_i ≠ 0}가 비가산 집합이면 ∑_i∈Ia_i = ∞이다.

즉 ∑_i∈Ia_i < ∞이라면

: I′ = ∪_n=0^∞{i∈I : a_i > 1/n}

이며

: |{i∈I : a_i > 1/n}| < n∑_i∈Ia_i < ∞ (∀n∈N)

이므로, I′이 가산 개 유한 집합의 합집합이 되어 가산 집합이 되기 때문이다. 이에 기초하여, 함수 a: I → [0, ∞]에 대한 급수 ∑_i∈Ia_i는 다음과 같이 가산 집합에 대한 정의로 귀결된다.

: ∑_i∈Ia_i = ∑_i∈I′a_i

3. 수렴 판정법

급수의 수렴 여부를 판별하는 여러 방법들이 존재한다. 주요 판정법은 다음과 같다:

* n항판정법: lim_n→∞ a_n = 0이 아니면, ∑a_n은 발산한다.
* 적분판정법: f 가 [1, ∞)에서 단조 감소하고 f (n) = a_n (n = 1, 2, ...)이면, ∑a_n과 ∫₁^∞ f (x)dx는 동시에 수렴하거나 동시에 발산한다.
* 코시 응집판정법: a_n이 음이 아니고 단조 감소하는 경우, ∑a_n과 ∑2^ka_2^k은 동시에 수렴하거나 동시에 발산한다.
* 가우스 판정법: 모든 항이 양수인 급수 ∑a_n에 대해, 어떤 양의 수 α가 존재하여 $\frac{a_n}{a_{n+1}}= 1 + \frac{\alpha}{n} + O\!\left( \frac{1}{n^2} \right)$ 로 표현될 수 있다면, ∑a_n은 α > 1일 때 수렴하고, α ≤ 1일 때 발산한다.

이 외에도 아벨 판정법, 디리클레 판정법, 디니 판정법 등 다양한 판정법이 존재한다.

3.1. 발산 판정법

제n항 판정법에 따르면, $\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0$ 이면 급수는 발산한다. 만약 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ 이면, 이 검정은 결론을 내릴 수 없다.

3.2. 비교 판정법

급수의 모든 항이 음이 아닌 실수일 때, 부분합의 수열은 감소하지 않는다. 따라서 음이 아닌 항을 가진 급수는 부분합의 수열이 유계일 때에만 수렴하며, 급수 또는 항의 절댓값에 대한 경계를 찾는 것은 급수의 수렴 또는 절대 수렴을 증명하는 효과적인 방법이다.

이러한 유형의 경계 전략은 일반적인 급수 비교 판정법의 기초가 된다.

* 직접 비교 판정: 급수 $\sum a_n$ 에 대해, $\sum b_n$ 가 어떤 양의 실수 $C$ 에 대해 $\left\vert a_n \right\vert \leq C \left\vert b_n \right\vert$ 이고 충분히 큰 $n$ 에 대한 절대 수렴 급수이면, $\sum a_n$ 도 절대 수렴한다. 만약 $\sum \left\vert b_n \right\vert$ 가 발산하고, 충분히 큰 모든 $n$ 에 대해 $\left\vert a_n \right\vert \geq \left\vert b_n \right\vert$ 이면, $\sum a_n$ 역시 절대 수렴하지 않지만, 예를 들어 $a_n$ 이 부호가 교대로 나타나는 경우 조건부 수렴할 수 있다.
* 극한 비교 판정: $\sum b_n$ 가 절대 수렴 급수이고 충분히 큰 $n$ 에 대해 $\left\vert \tfrac{a_{n+1}}{a_{n}} \right\vert \leq \left\vert \tfrac{b_{n+1}}{b_{n}} \right\vert$ 이면 $\sum a_n$ 역시 절대 수렴한다. 만약 $\sum \left| b_n \right|$ 가 발산하고, 충분히 큰 모든 $n$ 에 대해 $\left\vert \tfrac{a_{n+1}}{a_{n}} \right\vert \geq \left\vert \tfrac{b_{n+1}}{b_{n}} \right\vert$ 이면, $\sum a_n$ 역시 절대 수렴하지 않지만, 만약 $a_n$ 이 부호가 변하면 조건부 수렴할 수 있다.

비교 판정법:
:|a| < b (n = 1, 2, …)이 성립할 때, $\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ 을 우월 급수, $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 을 열등 급수라고 한다. 우월 급수가 수렴하면 열등 급수는 절대 수렴한다. (대우에 의해) 열등 급수가 발산하면 우월 급수도 발산한다.

3.3. 비율 판정법

기하 급수와 비교하여, 음이 아닌 항을 가진 급수나 일반 항을 가진 급수의 절대 수렴 여부를 판정하는 데 유용한 방법 중 하나가 비율 판정법이다. 충분히 큰 `n`에 대해 `\left\vert \tfrac{a_{n+1}}{a_{n}} \right\vert < C`인 상수 `C < 1`이 존재하면, 급수 `\sum a_{n}`은 절대 수렴한다. 비율이 `1`보다 작지만 `1`보다 작은 상수보다 크지 않으면 수렴할 수도 있지만, 이 판정법으로는 증명할 수 없다.

달랑베르의 비 판정법에 따르면, 연속하는 항의 비의 절댓값이 1보다 작은 극한을 갖는 급수는 절대 수렴하고, 반대로 1보다 큰 극한을 갖는 급수는 발산한다.

3.4. 근 판정법

근 판정법(Root test^영어)은 실수를 각 항으로 갖는 급수 ∑a의 수렴 여부를 판별하는 방법 중 하나이다. 이 판정법은 다음 극한값을 이용한다.

: $\limsup \sqrt[n]$

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여기서 "limsup"은 상극한을 의미한다. 근 판정법에 따르면,

* 이 값이 1보다 작으면 급수는 절대 수렴한다.
* 이 값이 1보다 크면 급수는 발산한다.

근 판정법은 기하 급수와의 비교를 통해 도출할 수 있으며, 비율 검정보다 더 강력한 판정법으로 알려져 있다.

3.5. 적분 판정법

$f(x)$ 가 구간 $[1,\infty)$ 에서 정의된 양의 단조 감소 함수이고, 모든 $n$ 에 대해 $a_n = f(n)$ 인 항을 갖는 급수에 대해, $\sum a_{n}$ 은 적분 $\int_{1}^{\infty} f(x) \, dx$ 가 유한할 때에만 수렴한다.

3.6. 코시 응집 판정법

Condensation de Cauchy^프랑스어라고도 불리는 코시 응집 판정법은, 항의 수열 $a_{n}$ 이 음이 아니고 감소하지 않으면, 두 급수 $\sum a_{n}$ 와 $\sum 2^{k} a_{(2^{k})}$ 가 모두 수렴하거나 모두 발산하는 것을 의미한다. 즉, 단조 감소하는 양항 급수의 수렴 여부를 판정하는 방법이다.

3.7. 교대급수 판정법

교대급수 판정법 또는 라이프니츠 판정법은 모든 $a_{n} > 0$ 에 대해 $\sum (-1)^{n} a_{n}$ 형식의 급수인 교대급수의 수렴성을 판정하는 방법이다.

수열 $a_{n}$ 이 단조 감소하면서 $0$ 으로 수렴하면 교대급수는 수렴한다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

이 판정법의 대표적인 예시는 교대 조화 급수이다.
$\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \over n} = 1 - {1 \over 2} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 5} - \cdots,$
교대 급수 판정법에 따라 위 급수는 수렴하며, 그 합은 $\ln 2$ 이다. 각 항의 절댓값을 취하여 만들어지는 급수는 조화 급수로 발산한다.

교대 급수 판정법은 디리클레 판정법의 특수한 경우로 볼 수 있다. $(a_{n})$ 이 0으로 수렴하는 감소하는 음이 아닌 실수 항의 수열이고, $(\lambda_n)$ 이 유계인 부분 합을 갖는 항의 수열이면, 급수 $\sum \lambda_n a_n$ 은 수렴한다. 여기서 $\lambda_n = (-1)^n$ 을 취하면 교대 급수 판정법을 얻을 수 있다.

교대 급수 판정법의 조건이 $S:=\sum_{m=0}^\infty(-1)^m u_m$ 에 의해 충족될 때, 정확한 오차 평가가 가능하다. 주어진 교대 급수 $S$ 의 부분 합 $s_n$ 을 $s_n:=\sum_{m=0}^n(-1)^m u_m$ 으로 설정하면, 다음 부등식이 성립한다.
$|S-s_n|\leq u_{n+1}.$
라이프니츠 판정법이 적용될 때, 잘라내기 오차(잉여항)를 엄밀하게 평가할 수 있다.

3.8. 디니 판정법

디니 판정법은 푸리에 급수의 수렴 판정법 중 하나이다.

4. 조건 수렴과 절대 수렴

절대 수렴(absolute convergence)은 급수의 각 항의 절댓값으로 이루어진 급수가 수렴하는 경우이다. 즉, 급수 $\sum_{n=0}^\infty a_n$ 에 대해 $\sum_{n=0}^\infty |a_n|$ 가 수렴하면 원래 급수는 절대 수렴한다. 예를 들어, 기하급수
: $\sum_{n=0}^\infty\left(-\frac12\right)^n=1-\frac12+\frac14-\cdots$
는 절댓값을 취한 급수
: $\sum_{n=0}^\infty\left(\frac12\right)^n=1+\frac12+\frac14+\cdots$
도 수렴하므로 절대 수렴급수이다.

조건 수렴(conditional convergence)은 원래 급수는 수렴하지만, 각 항의 절댓값으로 이루어진 급수는 발산하는 경우이다. 예를 들어, 교대급수
: $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n}=1-\frac12+\frac13-\cdots$
는 수렴하지만, 절댓값을 취한 조화급수
: $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac12+\frac13+\cdots$
는 발산하므로 조건 수렴급수이다.

절대 수렴하는 급수는 항상 수렴하며, 조건 수렴 급수는 항의 순서를 바꾸면 다른 값으로 수렴하거나 발산할 수 있다. 이러한 주장은 리만 재배열 정리의 내용이다. 예를 들어, 교대 조화 급수의 항들을 재배열하여 원래 급수의 각 양의 항이 원래 급수의 음의 항 2개 뒤에 오도록 하면,

$\begin{align}&1 - \frac12 - \frac14 + \frac13 - \frac16 - \frac18+ \frac15 - \frac1{10} - \frac1{12} + \cdots \\[3mu]&\quad = \left(1 - \frac12\right) - \frac14+ \left(\frac13 - \frac16\right) - \frac18+ \left(\frac15 - \frac1{10}\right) - \frac1{12} + \cdots \\[3mu]&\quad = \frac12 - \frac14 + \frac16 - \frac18+ \frac1{10} - \frac1{12} + \cdots \\[3mu]&\quad = \frac12 \left(1 - \frac12 + \frac13 - \frac14+ \frac15 - \frac16 + \cdots \right) ,\end{align}$
원래 급수의 $\tfrac12$ 배가 되어, 2의 자연 로그의 절반으로 수렴한다.

5. 여러 가지 급수

* 기하 급수는 각 항이 일정한 비율(공비)로 곱해지는 급수이다. 예를 들어 다음과 같다.
: $1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty{1 \over 2^n} = 2.$
:일반적으로 초항이 $a$ 이고 공비가 $r$ 인 기하 급수 $\sum_{n=0}^\infty a r^n,$ 는 $|r| < 1$ 인 경우에만 수렴하며, 이 경우 ${a \over 1 - r}$ 로 수렴한다.

* 조화 급수는 각 항이 자연수의 역수인 급수이다.
: $1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty {1 \over n}.$
:조화 급수는 발산하는 대표적인 예시이다.

* 교대 급수는 항의 부호가 번갈아 바뀌는 급수이다. 예를 들면 다음과 같다.
: $1 - {1 \over 2} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 5} - \cdots= \sum_{n=1}^\infty {\left(-1\right)^{n-1} \over n} = \ln(2),$
: (교대 조화 급수)
: $-1+\frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{1}{9} + \cdots= \sum_{n=1}^\infty \frac{\left(-1\right)^n}{2n-1} = -\frac{\pi}{4},$
: ( $\pi$ 의 라이프니츠 공식)

* 망원 급수
: $\sum_{n=1}^\infty \left(b_n-b_{n+1}\right)$ 는 수열 $b_n$ 이 $n$ 이 무한대로 갈 때 극한 $L$ 로 수렴하는 경우 수렴한다. 그러면 급수의 값은 $b_1 - L$ 이다.

* 산술 기하 급수는 등차 수열의 각 항과 등비 수열의 해당 항을 곱한 값들을 더하는 급수이다.
: $3 + {5 \over 2} + {7 \over 4} + {9 \over 8} + {11 \over 16} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty{(3+2n) \over 2^n}.$

* 디리클레 급수
: $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^p}$ 는 $p>1$ 에 대해 수렴하고 $p \leq 1$ 에 대해 발산하며, 이는 수렴에 대한 적분 검정법을 통해 수렴 검정법에서 설명할 수 있다. $p$ 의 함수로, 이 급수의 합은 리만 제타 함수이다.

* 초기하 급수:
: $_rF_s \left[ \begin{matrix}a_1, a_2, \dotsc, a_r \\ b_1, b_2, \dotsc, b_s \end{matrix}; z \right]:= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a_1)_n (a_2)_n \dotsb (a_r)_n}{(b_1)_n (b_2)_n \dotsb (b_s)_n \; n!} z^n$
: 및 그 일반화(예: 기본 초기하 급수 및 타원 초기하 급수)는 가적분계와 수리 물리학에 자주 나타난다.

* 멱급수는 다음과 같은 형태를 가지는 급수이다.
: $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n.$
:어떤 함수의 점 $c$ 에서의 테일러 급수는 많은 경우에 $c$ 의 근방에서 함수로 수렴하는 멱급수이다. 예를 들어, 다음 급수는
: $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$
:원점에서의 $e^x$ 의 테일러 급수이며 모든 $x$ 에 대해 수렴한다.

* 로랑 급수는 음수 지수를 갖는 항을 포함하여 거듭제곱 급수를 일반화한다. 로랑 급수는 다음과 같은 형태를 가진다.
: $\sum_{n=-\infty}^\infty a_n x^n.$

* 디리클레 급수는 다음과 같은 형태를 갖는 급수 중 하나이다.
: $\sum_{n=1}^\infty {a_n \over n^s},$
:여기서 $s$ 는 복소수이다. 예를 들어, 모든 $a_n$ 이 $1$ 과 같다면, 디리클레 급수는 리만 제타 함수가 된다.
: $\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}.$

* 삼각 급수는 항이 삼각 함수인 함수열을 말한다.
: $A_0 + \sum_{n=1}^\infty \left(A_n\cos nx + B_n \sin nx\right).$
:삼각 급수의 가장 중요한 예시는 함수의 푸리에 급수이다.

6. 급수의 연산

급수의 부분합은 때때로 더 간단한 닫힌 형식으로 표현될 수 있다. 예를 들어, 등차수열의 부분합은 다음과 같다.

:$ s_n = \sum_{k=0}^{n} \left(a + kd\right) = (n+1)\bigl(a + \tfrac12 n d\bigr) $

등비수열의 부분합은 다음과 같다.

:$ s_n = \sum_{k=0}^{n} ar^k = a\frac{1 - r^{n+1}}{1 - r} $ (단, $ r \neq 1 $)

만약 $ r = 1 $이면, $ s_n = a(n+1) $이다.

6.1. 급수의 덧셈과 스칼라 곱

두 급수 $a_0 + a_1 + a_2 + \cdots$ 와 $b_0 + b_1 + b_2 + \cdots$ 의 덧셈은 각 항별 합 $(a_0 + b_0) + (a_1 + b_1) + (a_2 + b_2) + \cdots \,$ 로 주어지며, 합 기호로 나타내면 다음과 같다.
$\sum_{k=0}^{\infty} a_k + \sum_{k=0}^{\infty} b_k = \sum_{k=0}^{\infty} (a_k + b_k).$
수렴하는 급수끼리 더하거나, 수렴하는 급수에 상수를 곱해도 여전히 수렴하며, 그 합은 각각의 급수의 합을 더하거나 곱한 것과 같다. 하나의 급수가 수렴하고 다른 급수가 발산하는 두 급수의 경우, 덧셈의 결과는 발산한다.

실수 또는 복소수의 급수의 경우, 급수 덧셈은 결합적, 교환적이다.

수열 $a_0 + a_1 + a_2 + \cdots$ 와 상수 $c$ 의 곱은 항별 곱 $ca_0 + ca_1 + ca_2 + \cdots$ 로 주어지며, 합계 표기법으로는 다음과 같다.

$c\sum_{k=0}^{\infty} a_k = \sum_{k=0}^{\infty} ca_k.$

실수와 복소수의 스칼라 곱은 결합 법칙, 교환 법칙, 가역성을 가지며, 수열의 덧셈에 대해 분배된다.

6.2. 급수의 곱

두 급수 $ a_0 + a_1 + a_2 + \cdots $와 $ b_0 + b_1 + b_2 + \cdots $의 곱셈으로 세 번째 급수 $ c_0 + c_1 + c_2 + \cdots $를 생성하는 것을 코시 곱이라고 하며, 합산 표기법으로 다음과 같이 쓸 수 있다.

: $ \biggl( \sum_{k=0}^{\infty} a_k \biggr) \cdot \biggl( \sum_{k=0}^{\infty} b_k \biggr) = \sum_{k=0}^{\infty} c_k = \sum_{k=0}^{\infty} \sum_{j=0}^{k} a_{j} b_{k-j} $

각 $ c_k = \sum_{j=0}^{k} a_{j} b_{k-j} = a_0 b_k + a_1 b_{k-1} + \cdots + a_{k-1} b_1 + a_k b_0 $이다. 여기서 급수 $ c_0 + c_1 + c_2 + \cdots $의 부분합의 수렴은 덧셈의 경우만큼 간단하게 확립되지 않는다. 그러나 두 급수 $ a_0 + a_1 + a_2 + \cdots $와 $ b_0 + b_1 + b_2 + \cdots $가 모두 절대 수렴 급수이면, 곱셈으로 얻어진 급수 또한 절대 수렴하며, 그 합은 곱해진 두 급수의 합의 곱과 같다.

: $ \lim_{n \rightarrow \infty} s_{c, n} = \left(\, \lim_{n \rightarrow \infty} s_{a, n} \right) \cdot \left(\, \lim_{n \rightarrow \infty} s_{b , n} \right) $

절대 수렴하는 실수와 복소수의 급수의 급수 곱셈은 결합 법칙, 교환 법칙을 따르며, 급수 덧셈에 대해 분배 법칙이 성립한다. 급수 덧셈과 함께, 급수 곱셈은 실수 또는 복소수의 절대 수렴 급수의 집합에 가환 환의 구조를 부여하며, 스칼라 곱셈과 함께 가환 대수의 구조를 부여한다. 이러한 연산은 또한 실수 또는 복소수의 모든 급수의 집합에 결합 대수의 구조를 부여한다.

7. 함수항 급수

함수를 항으로 갖는 급수를 함수항 급수()라고 부른다. 함수열 $\{f_n\}$ 에 대하여, 함수항 급수는
: $\sum_{n=0}^{\infty}f_n$
와 같이 나타낼 수 있다.

함수열 $\{f_n\}$ 은 변수 $x$ 의 값을 하나 정할 때마다 수열 $\{f_n(x)\}$ 를 주므로, 각 점에서의 부분합
: $S_N(x) := f_0(x) + f_1(x)+f_2(x)+\cdots+f_N(x) = \sum_{n=0}^{N}f_n(x)$
의 극한은 수열의 합의 의미에서의 급수이다.

함수항 급수의 수렴성은 점별 수렴과 균등 수렴으로 나눌 수 있으며, 균등 수렴은 점별 수렴보다 더 강한 수렴 개념이다. 함수항 급수가 균등 수렴할 경우, 연속 함수를 항으로 갖는 함수항 급수의 균등 수렴 극한은 다시 연속 함수가 된다. 또한, 적분 가능한 함수를 항으로 갖는 함수항 급수가 균등 수렴한다면, 그 극한 함수는 다시 적분 가능하며, 특히 항별 적분(integrable term by term^en-short)이 가능하다.
: $\int_E \sum_{n=0}^\infty f_n(x)\,dx = \sum_{n=0}^\infty \int_E f_n(x)\,dx$
매끄러운 함수를 항으로 갖는 함수항 급수의 균등 수렴 극한에 대한 항별 미분 가능성도 마찬가지이다. 수렴 멱급수의 수렴은 그 수렴역에서 균등하고, 각 항의 멱함수는 적분 가능하며 연속적으로 미분 가능하므로, 수렴 멱급수는 항별 적분 가능하며 항별 미분 가능하며, 그 원시 함수 및 도함수는 원래의 멱급수와 같은 수렴역을 갖는 멱급수로 얻어진다.

함수열의 수렴성과 마찬가지로, 함수항 급수의 다른 수렴성으로서 분포 수렴(법칙 수렴)이나 평균 수렴 등도 생각할 수 있다.

7.1. 점별 수렴과 균등 수렴

함수열의 실수 또는 복소수 값을 갖는 함수항 급수는 다음과 같이 정의된다.

: $\sum_{n=0}^\infty f_n(x)$

이 급수는 집합 에서 각 에 대해 실수 또는 복소수열로 수렴하면 점별 수렴하여 극한 로 수렴한다. 즉, 부분합

: $s_N(x) = \sum_{n=0}^N f_n(x)$

이 의 각 에 대해 이 무한대로 갈 때 로 수렴한다.

함수항 급수의 수렴에는 균등 수렴이라는 더 강력한 개념이 있다. 함수열은 $E$ 의 모든 점에서 함수 로 점별 수렴하고, 번째 부분합으로 극한을 근사할 때 점별 오차의 상한

: $\sup_{x \in E} \bigl|s_N(x) - f(x)\bigr|$

이 이 증가함에 따라 와 독립적으로 0으로 수렴하면 $E$ 에서 균등 수렴한다.

균등 수렴은 함수열의 항이 가지는 여러 성질들이 극한에서도 유지되기 때문에 중요하다. 예를 들어, 연속 함수열이 균등 수렴하면 극한 함수도 연속이다. 마찬가지로, 이 닫힌 유계 구간 에서 적분가능하고 균등 수렴하면, 함수열도 에서 적분 가능하며 항별로 적분할 수 있다. 균등 수렴을 판정하는 방법에는 바이어슈트라스 M-검정법, 아벨의 균등 수렴 검정법, 디니의 검정법, 코시 판정법 등이 있다.

측도론에서는 측도 0인 집합을 제외하고 점별 수렴하는 경우 거의 어디에나 수렴한다고 한다. 이 외에도 수렴 모드는 고려하는 함수 공간의 거리 공간 구조에 따라 달라진다. 예를 들어, 함수열이 집합 에서 극한 함수 로 평균 수렴한다는 것은 다음이 성립함을 의미한다.

: $\lim_{N \rightarrow \infty} \int_E \bigl|s_N(x)-f(x)\bigr|^2\,dx = 0.$

함수열 에 대해, 함수를 항으로 갖는 급수

: $\sum_{n=0}^{\infty}f_n$

를 함수항 급수(:en:function series)라고 부른다. 함수열 는 변수 의 값을 하나 정할 때마다 수열 를 주므로, 각 점에서의 부분합

: $S_N(x) := f_0(x) + f_1(x)+f_2(x)+\cdots+f_N(x) = \sum_{n=0}^{N}f_n(x)$

의 극한은 수열의 합이다. 함수열 는 적당한 집합 에 대해 인 임의의 에 대한 수열 이 수렴할 때, 위에서 점별 수렴한다고 한다. 이 때 에서의 값을

: $f(x):=\lim_{N\to\infty} S_N(x)$

로 정의하여 얻어지는 함수 를 함수열 의 극한 함수라고 한다. 만약 임의의 에 대해

: $|S_N(x) - f(x)| < \varepsilon$

를 만족하는 을 에 관계없이 일정하게 선택할 수 있다면, 함수항 급수 는 위에서 극한 함수 에 균등 수렴한다고 한다.

연속 함수의 균등 수렴 극한은 다시 연속 함수가 된다. 또한, 적분 가능한 함수를 항으로 갖는 함수항 급수가 균등 수렴하면, 그 극한 함수는 다시 적분 가능하며, 항별 적분이 가능하다.

: $\int_E \sum_{n=0}^\infty f_n(x)\,dx = \sum_{n=0}^\infty \int_E f_n(x)\,dx$

매끄러운 함수를 항으로 갖는 함수항 급수의 균등 수렴 극한에 대한 항별 미분 가능성도 유사하게 논의할 수 있다. 수렴 멱급수의 수렴은 그 수렴역에서 균등하고, 각 항의 멱함수는 적분 가능하며 연속적으로 미분 가능하므로, 수렴 멱급수는 항별 적분 및 미분이 가능하며, 그 원시 함수 및 도함수는 원래의 멱급수와 같은 수렴역을 갖는 멱급수로 얻어진다.

함수항 급수의 다른 수렴성으로는 분포 수렴(법칙 수렴)이나 평균 수렴 등이 있다.

7.2. 바이어슈트라스 M-판정법

함수항 급수의 균등 수렴을 판정하는 방법 중 하나이다.

8. 역사

제논의 역설에서 고대 그리스의 운동 철학에 대한 현대적 분석에서 무한 급수는 중요한 역할을 한다. 아킬레스와 거북이의 역설은 연속적인 운동이 실무한의 시간적 순간을 필요로 한다는 것을 보여주는데, 이는 논쟁의 여지가 있는 불합리였다. 아킬레스는 거북이를 뒤쫓지만, 경주 시작 시점의 거북이 위치에 도달했을 때, 거북이는 두 번째 위치에 도달해 있다. 아킬레스가 이 두 번째 위치에 도달했을 때, 거북이는 세 번째 위치에 있고, 이런 식으로 계속된다. 제논은 따라서 아킬레스가 거북이를 '결코' 따라잡을 수 없으며, 따라서 연속적인 운동은 환상일 수밖에 없다고 주장했다고 한다. 제논은 경주를 무한히 많은 하위 경주로 나누었고, 각 하위 경주는 유한한 양의 시간을 필요로 하므로 아킬레스가 거북이를 따라잡는 데 걸리는 총 시간은 급수로 주어진다. 역설의 순수하게 수학적이고 상상적인 측면의 해결책은 급수가 무한히 많은 항을 갖지만 유한한 합을 가지며, 이는 아킬레스가 거북이를 따라잡는 데 필요한 시간을 제공한다는 것이다.

그리스 수학자 아르키메데스는 오늘날에도 미적분학 분야에서 사용되는 방법으로 무한 급수의 첫 번째 알려진 합계를 만들었다. 그는 무한 급수의 합으로 포물선의 호 아래 넓이를 계산하기 위해 소진법을 사용했으며, π를 놀랍도록 정확하게 근사했다.

케랄라 학파의 수학자들은 1350년경에 무한 급수를 연구했다.

17세기에 제임스 그레고리는 새로운 십진법 체계에서 무한 급수에 대해 연구했고 여러 매클로린 급수를 출판했다. 1715년, 브룩 테일러는 존재하는 모든 함수에 대한 테일러 급수를 구성하는 일반적인 방법을 제공했다. 18세기의 레온하르트 오일러는 초기하 급수와 q-급수 이론을 개발했다.

무한 급수의 타당성에 대한 연구는 19세기에 가우스에서 시작된 것으로 여겨진다. 오일러는 이미 다음과 같은 초기하 급수를 고려했다.

$1 + \frac{\alpha\beta}{1\cdot\gamma}x + \frac{\alpha(\alpha+1)\beta(\beta+1)}{1 \cdot 2 \cdot \gamma(\gamma+1)}x^2 + \cdots$

가우스는 1812년에 이에 관한 논문을 발표했다. 이 논문은 수렴에 대한 더 간단한 기준과 나머지 항의 문제, 그리고 수렴 범위를 확립했다.

코시(1821)는 수렴에 대한 엄격한 검증을 주장했으며, 두 급수가 수렴한다고 해서 그 곱이 반드시 수렴하는 것은 아님을 보였고, 코시와 함께 효과적인 기준의 발견이 시작되었다. "수렴"과 "발산"이라는 용어는 그레고리(1668)에 의해 훨씬 전에 도입되었다. 레온하르트 오일러와 가우스는 다양한 기준을 제시했으며, 콜린 매클로린은 코시의 몇몇 발견을 예견했다. 코시는 복소 함수를 이러한 형식으로 전개하여 멱급수 이론을 발전시켰다.

아벨(1826)은 이항 급수에 관한 논문

$1 + \frac{m}{1!}x + \frac{m(m-1)}{2!}x^2 + \cdots$

에서 코시의 몇몇 결론을 수정하고, $m$ 과 $x$ 의 복소수에 대한 급수의 완전한 과학적 합계를 제시했다. 그는 수렴 문제에서 연속성의 문제를 고려할 필요성을 보여주었다.

코시의 방법은 일반적인 기준보다는 특수한 기준을 제시했으며, 이는 라베(1832)에게도 마찬가지이며, 그는 이 주제에 대한 최초의 정교한 연구를 수행했고, 드 모르간(1842년부터), 그의 로그 테스트는 뒤부아레몽(1873)과 프린스하임(1889)이 특정 영역 내에서 실패하는 것을 보여주었고, 베르트랑(1842), 보네(1843), 말름스텐(1846, 1847, 후자는 적분 없이), 스토크스(1847), 파우커(1852), 체비쇼프(1852), 그리고 아른트(1853)에게도 해당된다.

일반적인 기준은 쿠머(1835)에서 시작되었으며, 아이젠슈타인(1847), 바이어슈트라스의 다양한 함수 이론 기고, 디니(1867), 뒤부아레몽(1873) 및 많은 다른 사람들에 의해 연구되었다. 프린스하임의 논문(1889)은 가장 완벽한 일반 이론을 제시한다.

균등 수렴 이론은 코시(1821)에 의해 다루어졌으며, 그의 한계는 아벨에 의해 지적되었지만, 이를 성공적으로 다룬 최초의 인물은 자이델과 스토크스(1847–48)였다. 코시는 이 문제를 다시 다루면서(1853) 아벨의 비판을 인정하고, 스토크스가 이미 도출한 것과 동일한 결론에 도달했다. 토마에는 이 교리를 사용했지만(1866), 함수론의 요구에도 불구하고 균등 수렴과 비균등 수렴을 구별하는 것의 중요성을 인식하는 데는 큰 지연이 있었다.

수열은 수렴하지만 절대수렴하지 않으면 반수렴(또는 조건부 수렴)한다고 한다.

반수렴 수열은 푸아송(1823)에 의해 연구되었으며, 그는 또한 매클로린 공식의 나머지에 대한 일반적인 형태를 제시했다. 그러나 문제의 가장 중요한 해결책은 야코비(1834)에 의한 것으로, 그는 다른 관점에서 나머지에 접근하여 다른 공식을 도출했다. 이 식은 또한 말름스텐(1847)에 의해 연구되었고 다른 식이 주어졌다. 슐뢰밀히(1856) 또한 야코비의 나머지를 개선하고, 나머지와 베르누이 함수 사이의 관계를 보여주었다.

$F(x) = 1^n + 2^n + \cdots + (x - 1)^n.$

제노치(1852)는 이 이론에 더욱 기여했다.

초기 저술가 중에는 브론스키가 있었으며, 그의 "최고의 법칙"(1815)은 케일리(1873)가 이를 부각시키기 전까지 거의 알려지지 않았다.

푸리에 급수는 가우스, 아벨, 코시가 무한 급수의 이론을 연구하는 동시에 물리적 고려의 결과로 연구되었다. 야코프 베르누이 (1702)와 그의 형제 요한 베르누이 (1701), 그리고 그 이전의 비에트는 호의 사인과 코사인의 거듭제곱에서 배수 호의 사인과 코사인의 전개에 대한 급수를 다루었다. 오일러와 라그랑주는 푸앵소, 슈뢰터, 글레이셔, 쿠머와 마찬가지로 이 주제를 단순화했다.

푸리에 (1807)는 어떤 함수를 x의 배수의 사인 또는 코사인으로 전개하는 다른 문제를 스스로 설정했는데, 이 문제는 그의 열의 해석 이론 (1822)에 포함되었다. 오일러는 이미 급수의 계수를 결정하는 공식을 제시했다. 푸리에는 일반 정리를 주장하고 증명하려 한 최초의 사람이었다. 푸아송 (1820–23)도 다른 관점에서 이 문제에 접근했다. 그러나 푸리에는 그의 급수의 수렴 문제를 해결하지 못했고, 이는 코시 (1826)가 시도하고 디리클레 (1829)가 철저한 과학적 방식으로 처리하도록 남겨졌다 (푸리에 급수의 수렴 참조). 디리클레의 삼각 급수에 대한 연구 (크렐, 1829)는 리만 (1854), 하이네, 립시츠, 슐레플리, 뒤 부아-레이몽에 의해 비판과 개선의 대상이 되었다. 삼각 급수 및 푸리에 급수 이론에 기여한 다른 주요 인물로는 디니, 에르미트, 알팡, 크라우제, 바이어리 및 아펠이 있다.

고대 그리스에서는 기하 급수에 기초한 구진법에 의해 사각뿔의 체적(에우독소스), 포물선과 직선으로 둘러싸인 부분의 면적(아르키메데스) 등을 구하는 방법이 개발되었다.

함수를 급수에 의해 나타내는 방법론은 14세기 인도의 마다가바에 의한 역탄젠트 함수의 테일러 급수의 연구가 알려진 것 중 가장 오래된 것이다. 마다가바는 동시에 이 급수가 수렴하는 조건에 대해서도 언급했는데, 이는 수렴성의 논의라는 의미에서도 최초의 연구가 되었다.

조건 수렴의 개념은 1823년 푸아송의 연구에 처음 나타난다. 테일러 급수의 일반론은 브루크 테일러에 의해 1715년에 발표되었다. 푸리에 급수는 1822년 푸리에의 연구에, 디리클레 급수는 1839년 디리클레의 연구에서 처음 정의되었다.

무한의 항을 나타내기 위한 기호로 알려진 가장 오래된 것은 17세기 유럽 수학계에서 사용된 &c(x+y+z, &c가 현재 표기법으로 쓰는 x+y+z+…를 나타냄)이다. 이 외에 사용된 표기법으로는 x+y+z+&c, x+y+z+etc, x + y + z + . . . . ∼ 등이 있었다. 급수를 나타내는 기호로 대문자 시그마를 처음 사용한 것은 오일러(1775)였지만, 이 기호는 바로 널리 퍼지지 않았다.