테이트-샤파레비치 군

1. 개요

테이트-샤파레비치 군은 대수적 수론에서 사용되는 군으로, 유리수 계수를 갖는 유리 방정식에 대한 하세 원리의 위반 정도를 측정한다. 기하학적으로는 체 K의 모든 자리 v에 대해 Kv-유리점을 가지지만 K-유리점은 가지지 않는 아벨 다양체의 동차 공간으로 생각할 수 있다. 테이트-샤파레비치 추측은 이 군이 유한하다는 추측이며, 칼 루빈과 빅토르 콜리바긴에 의해 일부 타원 곡선에 대해 증명되었다. 캐셀스-테이트 쌍은 테이트-샤파레비치 군과 관련된 쌍선형 쌍이며, 그 성질과 관련하여 다양한 연구가 진행되고 있다.

2. 테이트–샤파레비치 군의 정의 및 원소

테이트-샤파레비치 군의 자명하지 않은 원소는 기하학적으로 K^영어의 모든 자리 v^영어에 대해 K_v^영어-유리점을 갖지만 K^영어-유리점은 갖지 않는 A^영어의 동차 공간으로 생각할 수 있다. 따라서 이 군은 체 K^영어를 계수로 하는 유리 방정식에 대해 하세 원리(지역-전역 원리)가 얼마나 성립하지 않는지를 측정한다.

칼-에릭 린드(Carl-Erik Lind)는 종수 1인 곡선 $x^4\; -\; 17\; =\; 2\; y^2$이 실수체와 모든 p^영어진수체 위에서 해를 갖지만 유리점을 갖지 않음을 보여 이러한 동차 공간의 예를 제시했다. 에른스트 셀머(Ernst Selmer)는 $3\; x^3\; +\; 4\; y^3\; +\; 5\; z^3\; =\; 0$을 비롯한 더 많은 예를 제시했다.

아벨 다양체에서 주어진 유한 차수 n^영어의 점으로 구성된 유한 군 스킴에 대한 테이트-샤파레비치 군은 셀머 군과 밀접하게 관련되어 있다.

2.1. 테이트-샤파레비치 군의 정의

기하학적으로, 테이트-샤파레비치 군의 자명하지 않은 원소는 K^영어의 모든 자리 v^영어에 대해 K_v^영어-유리점을 갖지만 K^영어-유리점은 갖지 않는 A^영어의 동차 공간으로 생각할 수 있다. 따라서 이 군은 체 K^영어를 계수로 하는 유리 방정식에 대해 하세 원리(지역-전역 원리)가 유지되지 않는 정도를 측정한다. 카를 에릭 린드(Carl-Erik Lind)는 종수 1 곡선 $x^4\; -\; 17\; =\; 2\; y^2$이 실수체와 모든 p^영어진수체 위에서 해를 갖지만 유리점을 갖지 않음을 보여줌으로써 그러한 동차 공간의 예를 보였다. 에른스트 셀머(Ernst Selmer)는 $3\; x^3\; +\; 4\; y^3\; +\; 5\; z^3\; =\; 0$를 비롯하여 더 많은 예를 제시했다.

특수한 경우로, 아벨 다양체에서 주어진 유한 차수 n^영어의 점으로 구성된 유한 군 스킴에 대한 테이트-샤파레비치 군은 셀머 군과 밀접한 관련이 있다.

2.2. 테이트-샤파레비치 군의 원소

기하학적으로, 테이트-샤파레비치 군의 자명하지 않은 원소는 K의 모든 자리 v에 대해 K_v-유리점을 갖지만 K-유리점은 갖지 않는 A의 동차 공간으로 생각할 수 있다. 따라서 이 군은 체 K를 계수로 하는 유리 방정식에 대해 하세 원리가 얼마나 성립하지 않는지를 측정한다. 칼-에릭 린드(Carl-Erik Lind)는 종수 1인 곡선 $x^4\; -\; 17\; =\; 2\; y^2$이 실수체와 모든 p진수체 위에서 해를 갖지만 유리점을 갖지 않음을 보여주어 이러한 동차 공간의 예를 제시했다. 에른스트 셀머(Ernst Selmer)는 $3\; x^3\; +\; 4\; y^3\; +\; 5\; z^3\; =\; 0$을 비롯한 더 많은 예를 제시했다.

아벨 다양체에서 주어진 유한 차수 n의 점으로 구성된 유한 군 스킴에 대한 테이트-샤파레비치 군은 셀머 군과 밀접하게 관련되어 있다.

2.3. 셀머 군과의 관계

아벨 다양체에서 주어진 유한 차수 의 점으로 구성된 유한 군 스킴에 대한 테이트-샤파레비치 군은 셀머 군과 밀접하게 관련되어 있다.

테이트-샤파레비치 군의 자명하지 않은 원소는 기하학적으로 의 모든 자리 에 대해 -유리점을 가지지만 -유리점은 없는 의 균질 공간으로 생각할 수 있다. 따라서 이 군은 의 계수를 가진 유리 방정식에 대해 하세 원리가 실패하는 정도를 측정한다. 칼-에릭 린드는 이러한 균질 공간의 예시를 제시했는데, 형태의 종수 1 곡선이 실수와 모든 -진수 체에서 해를 가지지만 유리점을 갖지 않는다는 것을 보였다. 에른스트 S. 셀머는 과 같은 더 많은 예시를 제시했다.

3. 테이트-샤파레비치 추측

테이트-샤파레비치 추측은 테이트-샤파레비치 군이 유한할 것이라는 추측이다. 칼 루빈은 복소수 곱셈을 갖는 랭크가 최대 1인 일부 타원 곡선에 대해 이를 증명했다. 빅토르 콜리바긴은 이를 해석적 랭크가 최대 1인 유리수 위의 모듈러 타원 곡선으로 확장했다(모듈러성 정리에 의해 모듈러성 가정이 항상 성립함이 밝혀졌다). 니콜라예프의 정리 1.1은 수체 위의 단순 아벨 다양체를 다룬다.

테이트-샤파레비치 군이 비틀림군임이 알려져 있으므로, 이 추측은 이 군이 유한 생성 아벨 군임을 주장하는 것과 동등하다.

3.1. 추측의 의미와 중요성

테이트-샤파레비치 추측은 테이트-샤파레비치 군이 유한하다는 추측이다. 칼 루빈은 복소 곱셈을 사용하여 최대 1의 유리점군 계수를 갖는 일부 타원 곡선에 대해 이를 증명했다. 빅토르 A. 콜리바긴은 이것을 최대 1의 해석적 랭크의 유리수에 대한 모듈러 타원 곡선으로 확장했다(나중에 모듈러성 정리는 모듈러성 가정이 항상 유지됨을 보여주었다).

테이트-샤파레비치 군이 비틀림군임이 알려져 있다. 따라서 이 추측은 이 군이 유한 생성 아벨 군임을 주장하는 것과 동등하다.

3.2. 칼 루빈과 빅토르 콜리바긴의 증명

칼 루빈은 허수 곱셈을 갖는, 랭크가 1 이하인 어떤 타원 곡선에 대해 테이트-샤파레비치 군이 유한하다는 것을 증명했다. 빅토르 콜리바긴은 이를 해석적 랭크가 1 이하인 유리수체 위의 모듈러 타원 곡선으로 확장했다(이후 증명된 모듈러성 정리에 의해, 모듈러성의 가정은 항상 만족된다).

3.3. 추가 연구 및 미해결 문제

테이트-샤파레비치 추측은 테이트-샤파레비치 군이 유한하다는 추측이다. 칼 루빈은 복소 곱셈을 사용하여 최대 1의 유리점군 계수를 갖는 일부 타원 곡선에 대해 이를 증명했다. 빅토르 A. 콜리바긴은 이것을 최대 1의 해석적 랭크의 유리수에 대한 모듈러 타원 곡선으로 확장했다(나중에 모듈러성 정리는 모듈러성 가정이 항상 유지됨을 보여주었다).

테이트-샤파레비치 군이 비틀림군임이 알려져 있다. 따라서 이 추측은 이 군이 유한 생성 아벨 군임을 주장하는 것과 동등하다.

4. 캐셀스–테이트 쌍

캐셀스-테이트 쌍은 아벨 다양체 A와 그 쌍대 Â에 대해 정의되는 쌍선형 쌍이다. 캐셀스는 타원곡선에 대해 이러한 쌍을 도입하였는데, 이때 A는 Â로 식별될 수 있고 쌍은 교대 형식이다. 이 형식의 핵은 나눌 수 있는 원소로 이루어진 부분군으로, 테이트-샤파레비치 추측이 참이라면 자명 부분군이다. 테이트는 테이트 쌍대성의 변형으로 일반 아벨 다양체로 쌍을 확장했다. A에 대한 극화의 선택은 A에서 Â로 가는 사상을 제공하며, 이는 Ш(A)에 대한 쌍선형 페어링을 유도하지만, 타원 곡선의 경우와 달리 이것은 교대적이거나 반대칭일 필요가 없다.

타원 곡선의 경우, 캐셀스는 쌍이 교대적임을 보여주었고, 그 결과 Ш의 차수가 유한하면 제곱수가 된다. 좀 더 일반적인 아벨 다양체의 경우, Ш의 차수가 유한할 때마다 제곱수라고 수년 동안 때때로 잘못 믿어졌다. 이 실수는 테이트의 결과 중 하나를 잘못 인용한 스위너톤다이어의 논문에서 비롯되었다. 푸넨과 스톨은 테이트-샤파레비치 군이 차수가 2인 유리수에 대한 특정 종수 2 곡선의 야코비 다양체와 같이 차수가 제곱수의 두 배인 몇 가지 예를 제공했다. 스테인은 거듭제곱이 차수를 나누는 홀수 소수는 홀수라는 예를 제시했다. 만약 아벨 다양체가 주극화를 갖는다면, Ш의 형태는 반대칭이며, 이것은 Ш의 차수가 제곱수이거나 (유한한 경우) 제곱수의 두 배라는 것을 의미한다. 유리수 약수(타원 곡선의 경우와 같이)이면 형식이 교대적이 되고 Ш의 차수는 제곱수이다(유한한 경우).

최근 연구에서, Konstantinous는 모든 제곱 인수가 없는 수 n에 대해 위에 정의된 아벨 다양체 A와 m이 존재하여 임을 보였다. 특히 Konstantinous의 예에서 Ш는 유한하며, 이러한 예는 스테인의 추측을 확인한다. 따라서 제곱수를 제외하면 모든 정수가 Ш의 차수가 될 수 있다.

4.1. 캐셀스-테이트 쌍의 정의

캐셀스-테이트 쌍(Cassels–Tate pairing)은 아벨 다양체 와 그 쌍대 에 대해 정의되는 쌍선형 쌍 이다. 캐셀스는 타원곡선에 대해 이러한 쌍을 도입하였는데, 이때 는 로 식별될 수 있고 쌍은 교대 형식이다. 이 형식의 핵은 나눌 수 있는 원소로 이루어진 부분군으로, 테이트-샤파레비치 추측이 참이라면 자명 부분군이다. 테이트는 쌍을 테이트 쌍대성의 변형으로 일반 아벨 다양체로 확장했다. 에 대한 극화의 선택은 에서 로 가는 사상을 제공하며, 이는 값을 갖는 에 대한 쌍선형 페어링을 유도하지만, 타원 곡선의 경우와 달리 이것은 교대적이거나 반대칭 대칭일 필요가 없다.

타원 곡선의 경우, 캐셀스는 쌍이 교대적임을 보여주었고, 그 결과 의 차수가 유한하면 제곱수가 된다. 좀 더 일반적인 아벨 다형체의 경우, 의 차수가 유한할 때마다 제곱이라고 수년 동안 때때로 잘못 믿어졌다. 이 실수는 테이트의 결과 중 하나를 잘못 인용한 스위너톤다이어의 논문에서 비롯되었다. 푸넨(Poonen)과 스톨(Stoll)은 테이트-샤파레비치 군이 차수가 2인 유리수에 대한 특정 종수 2 곡선의 야코비 다양체와 같이 차수가 제곱의 두 배인 몇 가지 예를 제공했다. 스테인(Stein)은 거듭제곱이 차수를 나누는 홀수 소수는 홀수라는 예를 제시했다. 만약 아벨 다형체가 주극화를 갖는다면, 의 형태는 반대칭 대칭이며, 이것은 의 차수가 제곱수이거나 (유한한 경우) 제곱수의 두 배라는 것을 의미한다. 유리수 약수(타원 곡선의 경우와 같이)이면 형식이 교대적이고 의 차수는 제곱수이다(유한한 경우).

4.2. 캐셀스-테이트 쌍의 성질

캐셀스-테이트 쌍은 아벨 다양체 A와 그 쌍대 Â에 대해 정의되는 쌍선형 쌍이다. 캐셀스는 타원곡선에 대해 이러한 쌍을 도입하였는데, 이때 A는 Â로 식별될 수 있고 쌍은 교대 형식이다. 이 형식의 핵은 나눌 수 있는 원소로 이루어진 부분군으로, 테이트-샤파레비치 추측이 참이라면 자명 부분군이다. 테이트는 쌍을 테이트 쌍대성의 변형으로 일반 아벨 다양체로 확장했다. A에 대한 극화의 선택은 A에서 Â로 가는 사상을 제공하며, 이는 Ш(A)에 대한 쌍선형 페어링을 유도하지만, 타원 곡선의 경우와 달리 이것은 교대적이거나 반대칭일 필요가 없다.

타원 곡선의 경우, 캐셀스는 쌍이 교대적임을 보여주었고, 그 결과 Ш의 차수가 유한하면 제곱수가 된다. 좀 더 일반적인 아벨 다양체의 경우, Ш의 차수가 유한할 때마다 제곱수라고 수년 동안 때때로 잘못 믿어졌다. 이 실수는 테이트의 결과 중 하나를 잘못 인용한 스위너톤다이어의 논문에서 비롯되었다. 푸넨(Poonen)과 스톨(Stoll)은 테이트-샤파레비치 군이 차수가 2인 유리수에 대한 특정 종수 2 곡선의 야코비 다양체와 같이 차수가 제곱수의 두 배인 몇 가지 예를 제공했다. 스테인은 거듭제곱이 차수를 나누는 홀수 소수는 홀수라는 예를 제시했다. 만약 아벨 다양체가 주극화를 갖는다면, Ш의 형태는 반대칭이며, 이것은 Ш의 차수가 제곱수이거나 (유한한 경우) 제곱수의 두 배라는 것을 의미한다. 유리수 약수(타원 곡선의 경우와 같이)이면 형식이 교대적이 되고 Ш의 차수는 제곱수이다(유한한 경우).

4.3. 테이트-샤파레비치 군과의 관계

캐슬스-테이트 쌍은 아벨 다양체 $A$와 그 쌍대 $\hat A$에 대해 정의되는 쌍선형 쌍이다. 캐슬스는 타원 곡선의 경우에 이 쌍을 도입했다. 이 경우, $A$와 $\hat A$는 동일시될 수 있으므로, 이 쌍은 교대 형식이다. 이 형식의 핵은 가분적인 원소로 이루어진 부분군이며, 테이트-샤파레비치 추측이 옳다면 이것은 자명한 군이다. 테이트는 이 쌍을 테이트 쌍대성의 변형으로 일반적인 아벨 다양체로 확장했다. $A$의 편극을 선택하면 $A$에서 $\hat A$로의 사상이 정해져, 이것이 $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$에 값을 갖는 Ш($A$) 상의 쌍선형 쌍을 유도한다. 타원 곡선의 경우와는 달리, 이것은 교대적이지 않으며 왜대칭도 아닐 수 있다.

캐슬스는 타원 곡선의 경우에 이 페어링은 교대적임을 보였다. 이로부터, Ш의 위수가 유한하다면 그것은 제곱수임을 알 수 있다. 일반적인 아벨 다양체에 대해, Ш의 위수가 유한하다면 그것은 제곱수일 것이라고 오랫동안 잘못 믿어졌다. 이는 테이트의 결과의 한 가지 인용 방식을 오해한 스위너톤다이어에서 비롯된다. 푸넨(Poonen)과 스톨(Stoll)은 위수가 제곱수의 2배인 예를 몇 가지 제시했다. 유리수체 상의 종수가 2인 어떤 곡선의 야코비 다양체에서 그 테이트-샤파레비치 군의 위수가 2인 것 등이다. 스타인(Stein)은 위수를 나누는 홀수 소수의 지수가 홀수인 예를 제시했다. 아벨 다양체가 주편극을 가지면 Ш 상의 이 형식은 왜대칭이다. 이는 Ш의 위수는 (유한하다면) 제곱수 또는 제곱수의 2배임을 의미한다. 또한, 주편극이 (타원 곡선의 경우처럼) 유리 인자에서 기인하는 경우에는, 이 형식은 교대적이며, Ш의 위수는 (유한하다면) 제곱수이다.

5. 한국의 연구 동향 (선택 사항)

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