핵 (수학)

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예
5. 준동형 정리
6. 범주론
참조

1. 개요

핵(kernel)은 수학에서 구조 보존 사상의 핵심적인 개념으로, 사상의 종류와 구조에 따라 여러 가지로 정의된다.

기점을 갖지 않는 구조에서는 영 사상과의 동등자로, 기점을 갖는 구조에서는 공역의 기점의 원상으로 정의된다. 특히, 말체프 대수에서는 중립 원소를 보존하며, 핵이 자명할 경우 사상은 단사 함수가 된다. 두 정의는 서로 연관되어 있으며, 두 번째 정의는 첫 번째 정의의 특수한 경우로 볼 수 있다.

핵은 준동형 정리를 통해 사상의 상과 밀접한 관련을 가지며, 군, 환, 가군, 선형 사상 등 다양한 수학적 구조에서 정의되고 활용된다. 범주론에서는 핵을 일반화한 개념인 핵 쌍이 사용된다.

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핵 (수학)
대수학적 핵
정의
군 준동형 사상	두 군 사이의 군 준동형 사상 f: G → H에 대하여, 핵은 항등원 eH의 원상이다.
환 준동형 사상	두 환 사이의 환 준동형 사상 f: R → S에 대하여, 핵은 영원 0S의 원상이다.
가군 준동형 사상	두 가군 사이의 가군 준동형 사상 f: M → N에 대하여, 핵은 영벡터 0N의 원상이다.
표기법
기호	ker f, Ker f, 혹은 Kf
설명	준동형 사상 f의 핵
성질
군 준동형 사상	정규 부분군 G/ker f는 H의 부분군과 동형이다. (제1 동형 정리)
환 준동형 사상	아이디얼 R/ker f는 S의 부분환과 동형이다. (제1 동형 정리)
가군 준동형 사상	부분가군 M/ker f는 N의 부분가군과 동형이다. (제1 동형 정리)
예시
자명한 핵	단사 함수
영사상	군 G에서 자명군 {e}로 가는 사상
관련 개념
상	상 (대수학)
쌍대 개념	여핵 (대수학)

2. 정의

핵은 고려하는 구조에 따라 약간의 차이가 있지만, 크게 기점을 갖는 경우와 갖지 않는 경우로 나눌 수 있다.

기점을 갖는 구조: 핵은 공역의 기점에 대응되는 정의역의 원소들의 집합이다.
기점을 갖지 않는 구조: 핵은 함수에 의해 같은 값으로 사상되는 정의역 원소들의 쌍으로 구성된 집합이다.

두 경우 모두 핵이 자명하다는 것은, 핵이 항등 관계(기점을 갖지 않는 경우)이거나 기점만으로 이루어진 집합과 같다는 것(기점을 갖는 경우)을 의미한다.

2. 1. 기점을 갖지 않는 구조

A^영어와 B^영어를 같은 종류의 구조를 가진 집합, f^영어: A^영어 → B^영어를 구조를 보존하는 준동형이라고 할 때, 준동형 f^영어의 핵 Ker(f^영어)는 다음과 같이 정의된다.

:

\operatorname{Ker}f := \{(a_1,a_2) \in A \times A \mid f(a_1)=f(a_2)\}

이는 A^영어 × A^영어의 부분집합이다. 따라서, Ker(f^영어)는 정의역의 집합 A^영어에 대한 이항 관계를 정의한다. 이 관계는 (구조와 양립하는) 동치 관계가 된다. 핵 Ker(f^영어)가 '''자명'''하다는 것은 Ker(f^영어) = Δ(A^영어)임을 의미한다. 여기서, Δ(A^영어)는 대각선 집합 {(a^영어, a^영어) | a^영어 ∈ A^영어}이다. 이는 Ker(f^영어)가 정의하는 A^영어의 이항 관계가 항등 관계(equality)와 같다는 것을 의미한다.

2. 2. 기점을 갖는 구조

Malcev algebra^영어의 경우, 이 구성은 단순화될 수 있다. 모든 말체프 대수는 특별한 중립 원소를 가진다(벡터 공간의 경우 영 벡터, 가환군의 경우 항등원, 환 또는 가군의 경우 영원). 말체프 대수의 특징은 전체 동치 관계 ker ''f''를 중립 원소의 동치류로부터 복구할 수 있다는 것이다.

구체적으로, ''A''와 ''B''를 주어진 유형의 말체프 대수 구조라고 하고, ''f''를 ''A''에서 ''B''로의 해당 유형의 준동형사상이라고 하자. 만약 ''e''_''B''가 ''B''의 중립 원소라면, ''f''의 ''핵''은 단일 집합 {''e''_''B''}의 원상이다. 즉, ''f''에 의해 원소 ''e''_''B''에 매핑되는 ''A''의 모든 원소로 구성된 ''A''의 부분 집합이다. 핵은 일반적으로 ker ''f'' (또는 변형)로 표시된다. 기호로 표현하면 다음과 같다.

:

\operatorname{ker} f = \{a \in A : f(a) = e_{B}\} .

말체프 대수 준동형사상은 중립 원소를 보존하므로, ''A''의 항등원 ''e''_''A''는 핵에 속해야 한다. 준동형사상 ''f''는 그 핵이 단일 집합 {''e''_''A''}인 경우에만 단사이다.

아이디얼의 개념은 모든 말체프 대수로 일반화된다(벡터 공간의 경우 선형 부분 공간, 군의 경우 정규 부분군, 환의 경우 양쪽 아이디얼, 가군의 경우 부분 가군). 결과적으로 ker ''f''는 ''A''의 부분 대수가 아니지만 아이디얼이다. 그러면 의 몫 대수에 대해 말하는 것이 타당하다. 말체프 대수에 대한 제1 동형 정리에 따르면, 이 몫 대수는 자연스럽게 ''f''의 상(이는 ''B''의 부분 대수임)과 동형이다.

이것과 보다 일반적인 유형의 대수에 대한 합동 관계의 연결은 다음과 같다. 먼저, 핵-아이디얼은 핵-합동에 따른 중립 원소 ''e''_''A''의 동치류이다. 반대 방향을 위해서는 말체프 대수에서 몫의 개념이 필요하다(이는 군의 경우 양쪽의 나눗셈이고, 벡터 공간, 가군, 환의 경우 뺄셈이다). 이를 사용하여 ''A''의 원소 ''a''와 ''b''는 그 몫 ''a''/''b''가 핵-아이디얼의 원소인 경우에만 핵-합동에 따라 동치이다.

생각하는 구조에 따라 약간의 차이는 있지만, (범주론을 사용하지 않는) 집합과 사상의 언어 범주 내에서는 대략, 기점 (base point)이라고 불리는 특정 원소를 구조로 갖는 경우와 갖지 않는 경우의 두 종류로 크게 나눌 수 있다(여기서는 정확히는 기점만으로 이루어진 일원 집합이 범주론적 의미에서 영 대상이 되는 것을 제공해야 한다).

(''A'', ∗_''A''), (''B'', ∗_''B'')를 기점을 가진 같은 종류의 구조를 가진 집합으로 하고, ''f'' : ''A'' → ''B'', ''f''(∗_''A'') = ∗_''B''를 구조를 보존하는 준동형 사상이라고 하자. 이때, 준동형 사상 ''f''의 '''핵''' Ker(''f'')는 공역 ''B''의 기점 ∗_''B''의 원상, 즉

:

\operatorname{Ker}f := \{ a \in A \mid f(a) = *_B \}

로 정의되는 정의역 ''A''의 부분 집합이다. Ker(''f'')는 ''A''의 기점 ∗_''A''를 항상 포함하지만, 반대로 Ker(''f'')가 유일한 원소 ∗_''A''만을 가지는 집합 {∗_''A''}와 일치할 때, 핵 Ker(''f'')는 '''자명'''하다고 한다.

2. 3. 두 정의의 관계

기점을 가진 많은 대수계에서는 구조가 등질성을 가지며, 따라서 두 번째 정의에 따른 핵은 첫 번째 정의에서의 핵이 정하는 동치 관계와 같은 관계를 정의한다.^[1] 핵이 자명하다는 것은 Ker(''f'')가 항등 관계이거나, 기점을 갖는 구조에서는 Ker(''f'')가 기점만으로 이루어진 집합과 같다는 것을 의미한다.^[1]

3. 성질

준가법 범주(아벨 군의 모노이드 범주 위에서 풍성한 범주)에서, 두 사상의 동등자는 그 차의 핵과 같다.

: $\operatorname{eq}\{f,g\}=\ker(f-g)$

아벨 범주에서 모든 사상은 핵을 가지며, 모든 단사 사상은 정규 단사 사상이다. 구체적으로, 아벨 범주에서 모든 단사 사상은 그 여핵의 핵과 같으며, 모든 전사 사상은 그 핵의 여핵과 같다.^[1]

4. 예

왼쪽 가군의 범주에서 모든 사상(가군 준동형)은 핵을 갖는다. 구체적으로, $f\colon M\to N$ 의 핵 $\ker f\colon K\hookrightarrow M$ 는 포함 함수이며, $K=\{m\in M\colon f(m)=0_N\}$ 이다. $R\text{-Mod}$ 에서 모든 단사 사상은 정규 단사 사상인데, 이는 군이나 유사환과 달리 임의의 부분 가군에 대한 몫가군을 정의할 수 있기 때문이다.

특히, 선형대수학에서 $R$ 가 체일 경우, 체 위의 가군은 벡터 공간이며, 벡터 공간의 범주에서는 핵이 존재한다. 행렬은 유한 차원 벡터 공간 사이의 선형 변환을 정의하며, 행렬의 핵은 벡터 공간의 범주에서의 핵이다. 선형대수학에서 핵은 '''영공간'''(null space^영어)이라고 불리기도 한다.

유사환과 유사환 준동형의 범주 $\operatorname{Rng}$ 에서, 영 사상은 0 (덧셈 항등원)으로 가는 상수 함수이다. $\operatorname{Rng}$ 에서 모든 사상은 핵을 가지며, $f\colon R\to S$ 의 핵 $\ker f\colon\mathfrak k\to R$ 는 포함 함수이며, $\mathfrak k=\{g\in G\colon f(g)=0_H\}$ 이다. 이 경우, $\mathfrak k$ 는 $R$ 의 아이디얼을 이룬다.

유사환의 범주에서, 임의의 유사환 준동형 $f\colon R\to S$ 에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이다.

$f$ 는 정규 단사 사상이다.
$f$ 는 단사 함수이며, 그 상 $f(R)\subseteq S$ 는 $S$ 의 아이디얼이다.

(곱셈 단위원을 갖는) 환과 환 준동형의 범주

\operatorname{Ring}

에서 핵은 존재하지 않는다. 이는 아이디얼은 1을 포함하지 않을 수 있어 부분환을 이루지 못할 수 있기 때문이다.

동차 미분 방정식을 푸는 것은 특정 미분 연산자의 핵을 계산하는 것과 같다. 예를 들어,

x f''(x) + 3 f'(x) = f(x)

를 만족하는 자기 자신에 대한 두 번 미분 가능 함수 ''f''를 모두 찾기 위해, ''V''를 모든 두 번 미분 가능한 함수의 공간으로, ''W''를 모든 함수의 공간으로 하고, 다음의 선형 연산자 ''T''를 ''V''에서 ''W''로 정의한다.

:

(Tf)(x) = x f''(x) + 3 f'(x) - f(x)

여기서 ''f''는 ''V''에 있고 ''x''는 임의의 실수이다. 그러면 미분 방정식의 모든 해는 ker ''T''에 있다.

모노이드 M^영어, N^영어과 모노이드 준동형 ''f'' : ''M'' → ''N''에 대해, ''f''의 핵은 다음과 같이 정의된다.

:

\operatorname{ker} f = \left\{\left(m, m'\right) \in M \times M : f(m) = f\left(m'\right)\right\}.

''f''는 함수이므로, (''m'', ''m'') 형태의 원소는 핵에 속해야 한다. 준동형 ''f''는 핵이 대각 집합일 때에만 단사 함수이다.

4. 1. 군 준동형

''G''^영어와 ''H''^영어를 군이라 하고, ''f''를 ''G''에서 ''H''로의 군 준동형사상이라고 하자. 만약 ''e''_''H''가 ''H''의 항등원이라면, ''f''의 ''핵''은 {''e''_''H''}의 역상이다. 즉, ''G''의 원소 중 ''f''에 의해 ''e''_''H''로 매핑되는 모든 원소로 구성된 ''G''의 부분 집합이다.

핵은 일반적으로

\ker f

(또는 변형)로 표시된다. 기호로 나타내면 다음과 같다.

:

\ker f = \{g \in G : f(g) = e_{H}\} .

군 준동형사상은 항등원을 보존하므로, ''G''의 항등원 ''e''_''G''는 핵에 속해야 한다.

준동형사상 ''f''는 핵이 {''e''_''G''}일 경우에만 단사 함수이다. 만약 ''f''가 단사 함수가 아니라면, ''a'', ''b'' ∈ ''G'' 가 존재하여 ''a'' ≠ ''b'' 이고 ''f''(''a'') = ''f''(''b'') 가 성립한다. 따라서 ''f''(''a'')''f''(''b'')⁻¹ = ''e''_''H'' 이다. ''f''는 군 준동형사상이므로 역원과 군 연산이 보존되어 ''f''(''ab''⁻¹) = ''e''_''H'' 가 된다. 다시 말해, ''ab''⁻¹ ∈ ker ''f'' 이고, ker ''f''는 단일 집합이 아닐 것이다. 반대로, 핵의 서로 다른 원소는 단사성을 직접적으로 위반한다. 만약 ''g'' ≠ ''e''_''G'' ∈ ker ''f'' 인 원소가 존재한다면, ''f''(''g'') = ''f''(''e''_''G'') = ''e''_''H'' 이므로 ''f''는 단사 함수가 아닐 것이다.

\ker f

는 ''G''의 부분군이며 더 나아가 정규 부분군이다. 따라서, 이에 해당하는 몫군

G / \ker f

가 존재한다. 이는 군에 대한 제1 동형 정리에 의해 ''f''(''G'')와 동형이며, ''f''(''G'')는 ''f''에 의한 ''G''의 상 (또한 ''H''의 부분군)이다.

아벨 군의 특수한 경우에서는 앞의 섹션과 다른 점이 없다.

'''예시'''

''G''를 {0, 1, 2, 3, 4, 5}를 가진 순환군으로 하고, 모듈러 덧셈을 연산으로 한다. ''H''를 {0, 1}를 가진 순환군으로 하고 모듈러 덧셈을 연산으로 한다. 그리고 ''f''를 ''G''의 각 원소 ''g''를 ''H''에서 ''g'' 모듈로 2에 매핑하는 준동형사상이라고 하자. 그러면

\ker f = \{0, 2, 4\}

인데, 이 모든 원소들이 0_''H''에 매핑되기 때문이다. 몫군

G / \ker f

는 {0, 2, 4} 와 {1, 3, 5}를 갖는다. 이 몫군은 실제로 ''H''와 동형이다.

''G''^영어, ''H''^영어를 군이라 하고, ''G''^영어, ''H''^영어의 항등원을 각각 ''e''_''G'', ''e''_''H''라고 하자. 이 때, 군을 항등원을 기점으로 하는 대수계로 간주할 수 있으며, 군 준동형 ''f'': ''G''^영어 → ''H''^영어에 대해^[1]

:

\operatorname{Ker}f = \{g \in G \mid f(g) = e_H\}

^[1]

가 성립한다. 이는 ''G''^영어의 부분군, 특히 정규 부분군이 됨을 확인할 수 있다.^[1]

여기서, 정의역 ''G''^영어에서의 관계를 ''g''₁ ∼ ''g''₂로 정의하는데, 이는 ''g''₁⁻¹''g''₂ ∈ Ker(''f'') 일 때, 그리고 그 때에만 해당된다. 이는 Ker(''f'')가 ''G''^영어의 부분군이므로 동치 관계를 이룬다. 이때, ''g''₁⁻¹''g''₂ ∈ Ker(''f'')와 ''f''(''g''₁)⁻¹''f''(''g''₂) = ''f''(''g''₁⁻¹''g''₂) = ''e''_''H''가 동치이므로, ''g''₁ ∼ ''g''₂는 ''f''(''g''₁) = ''f''(''g''₂)일 때, 그리고 그 때에만 해당된다고 다시 말할 수 있다. 결국 이 관계는 ''G''^영어 × ''G''^영어의 부분 집합^[1]

:

K := \{(g_1,g_2) \in G \times G \mid f(g_1) = f(g_2)\}

^[1]

가 정의하는 관계와 동일하다는 것을 확인할 수 있다. 또한, Ker(''f'') = {''e''_''G''}인 의미에서 자명하다면, ''g''₁ ∼ ''g''₂는 ''g''₁ = ''g''₂와 동치이므로, 집합 ''K''가 정의하는 관계로서도 자명하다.^[1]

4. 2. 환과 가군의 준동형

R^영어, S^영어를 환, f^영어: R^영어 → S^영어를 환 준동형이라고 할 때, f^영어의 핵은 다음과 같다.

:

\operatorname{ker} f = \{r \in R : f(r) = 0_{S}\}

Ker(f^영어)는 R^영어의 아이디얼이 된다.

M^영어, N^영어을 R^영어-가군, f^영어: M^영어 → N^영어을 R^영어-가군 준동형이라고 할 때, f^영어의 핵은 다음과 같다.

:

\operatorname{Ker}f := \{m \in M \mid f(m)=0_N\}

Ker(f^영어)는 M^영어의 부분 R^영어-가군이다.

4. 3. 선형 사상

''V''와 ''W''를 체(또는 더 일반적으로는 환 위의 가군) 위의 벡터 공간이라고 하고, ''T''를 ''V''에서 ''W''로의 선형 사상이라고 하자. ''T''의 핵은 ''T''에 의해 ''W''의 영벡터 '''0'''_''W''로 사상되는 ''V''의 모든 원소로 구성된 부분 집합이다. 핵은 보통 ker ''T''로 표기한다.

:

\ker T = \{\mathbf{v} \in V : T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}_{W}\} .

선형 사상은 영벡터를 보존하므로, ''V''의 영벡터 '''0'''_''V''는 핵에 속해야 한다. 변환 ''T''는 그 핵이 영 공간으로 축소될 때에만 단사이다.

핵 ker ''T''는 항상 ''V''의 선형 부분 공간이다. 따라서, ''V'' / (ker ''T'')의 몫 공간에 대해 이야기하는 것이 의미가 있다. 벡터 공간에 대한 제1 동형 정리에 따르면, 이 몫 공간은 ''T''의 상(''W''의 부분 공간)과 자연 동형이다. 결과적으로, ''V''의 차원은 핵의 차원과 상의 차원의 합과 같다.

만약 ''V''와 ''W''가 유한 차원 벡터 공간이고 기저가 선택되었다면, ''T''는 행렬 ''M''으로 표현될 수 있으며, 핵은 동차 연립 일차 방정식 ''M'''''v''' = '''0'''을 풀어서 계산할 수 있다. 이 경우, ''T''의 핵은 ''M''의 행렬의 핵, 즉 ''M''의 "영 공간"으로 식별될 수 있다. 영 공간의 차원은 ''M''의 열의 수에서 ''M''의 계수를 뺀 값으로 주어지며, 이는 계수-퇴화차수 정리의 결과이다.

4. 4. 반군 준동형

S^영어, T^영어를 반군이라 하고, ''f'': ''S'' → ''T''를 반군 준동형이라고 할 때, ''f''의 핵은 다음과 같이 주어진다.

:

\operatorname{Ker}f :=\{(s_1, s_2)\in S\times S\mid f(s_1)=f(s_2)\}

5. 준동형 정리

''h'': ''S'' → ''T''를 준동형 사상이라고 하자. 정의역 ''S''를 핵 Ker(''h'')가 정의하는 동치 관계로 나눈 집합에는 자연스럽게 몫 구조가 들어간다. 이것을 Coim(''h'')라고 쓰고, 준동형 사상 ''h''의 '''여상'''(coimage)이라고 부른다.

준동형 사상 ''h'': ''S'' → ''T''의 여상 Coim(''h'')는 ''h''의 상 Im(''h'') = ''h''(''S'')과 동형이라는 명제를 '''준동형 정리'''라고 한다. ''S'', ''T''가 군, 환, 환 위의 가군 등일 때 준동형 정리가 성립한다.^[1]

6. 범주론

범주론에서의 핵은 아벨 대수의 핵을 일반화한 것이다. 핵을 합동 관계로 일반화한 범주론적 개념은 핵 쌍이다.

참조

_[1] 서적 2004
_[1] 서적 2002

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