복소 곱셈

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1. 개요

복소 곱셈은 타원 곡선 자기준동형환이 허수 이차 수체의 순서와 동형일 때, 해당 타원 곡선이 갖는 성질을 의미한다. 복소 곱셈을 갖는 타원 곡선은 가우스 정수환으로 나눈 복소 평면과 같이 다양한 형태로 나타나며, 크로네커는 이러한 타원 곡선이 허수 이차 수체의 아벨 확장을 생성한다고 추측했다. 이 추측은 힐베르트의 열두 번째 문제와 관련이 있으며, 특이 모듈러스, 라마누잔 상수 등과 연결되어 연구된다.

복소 곱셈

개요

분야	수론
하위 분야	타원곡선론
관련 분야	류베르빌 수론, 복소수 곱셈, 류수체론, 이데알류군

역사적 맥락

기원	가우스의 이차 형식 이론
발전	크로네커의 "청년 시절의 꿈"

주요 개념

핵심 개념	타원곡선, 복소수 곱셈, 모듈러 함수, 류베르빌 수
역할	주어진 타원곡선에 대해 수론적 성질을 연구하는데 사용됨

주요 결과

주요 결과	지겔 정리, 슈타르크-히그너 정리

응용

사용 분야	암호학, 정수론

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1. 개요
2. 전개
3. 복소 곱셈을 갖는 타원 곡선의 예
- 3.1. 바이어슈트라스 타원 함수를 이용한 정의
4. 자기준동형환의 구조
5. 크로네커의 청춘의 꿈과 아벨 확대
6. 특이 모듈러스
7. 라마누잔 상수와 관련된 결과

2. 전개

타원 곡선 $E$ 의 자기준동형환 $\operatorname{End}(E)$ 는 원점(군 구조의 항등원)을 보존하는 정칙 함수(regular map)들의 집합이다. 이는 덧셈과 합성에 따라 환을 이룬다.

타원 곡선의 자기준동형환은 항상 정수의 환 $\mathbb Z$ 와 동형인 부분환 $i\colon\mathbb Z\hookrightarrow\operatorname{End}(E)$ 를 가진다. 이는 다음과 같다.
: $i(n)\colon p\in E\mapsto np$
여기서 $np$ 는 타원곡선의 군 구조에 따른 것이다.

만약 $\operatorname{End}(E)$ 가 어떤 허수 이차 수체 $\mathbb Q[\sqrt{-d}]$ 의 순서(order)와 동형이라면, $E$ 가 $\mathbb Q[\sqrt{-d}]$ 에 대한 복소 곱셈을 갖는다고 한다.

정의 필드가 유한체일 때, 타원 곡선에는 항상 프로베니우스 사상에서 비롯되는 자명하지 않은 자기 사상이 존재하므로, 모든 그러한 곡선은 복소 곱셈을 갖는다. 그러나 기저 필드가 수체일 때, 복소 곱셈은 예외적이다. 일반적으로 복소 곱셈의 경우가 호지 추측에 대해 해결하기 가장 어렵다는 것이 알려져 있다.

3. 복소 곱셈을 갖는 타원 곡선의 예

가우스 정수환 Z[i]에 의한 복소 평면의 몫공간은 복소 곱셈을 갖는 타원 곡선의 예시이다. 이 타원 곡선의 자기준동형환(endomorphism ring)은 가우스 정수환과 동형이다.

복소수 상의 타원 곡선은 격자 Λ로 복소 평면을 나눈 몫으로 얻어지며, 여기서 두 기본 주기 ω1과 ω2가 뻗어 있다. 격자 1/4 Λ이 Λ을 포함하는 것과 일치하는 4-꼬임도 표시된다. — 복소수 상의 타원 곡선은 격자 Λ로 복소 평면을 나눈 몫으로 얻어지며, 여기서 두 기본 주기 ω₁과 ω₂가 뻗어 있다. 격자 1/4 Λ이 Λ을 포함하는 것과 일치하는 4-꼬임도 표시된다.

보다 일반적으로, 허수 이차 수체

\mathbb Q[\sqrt{-d}]

의 순서

O\subset\mathbb Q[\sqrt{-d}]

에 대해, 복소 평면을

O

에 의한 격자로 나눈 몫공간은

O

에 대한 복소 곱셈을 갖는 타원 곡선이 된다.

이러한 타원 곡선은

Y^2 = 4X^3 - aX

(

a

는 복소수) 형태로 표현 가능하며, 이는 두 개의 켤레 4차 자기 동형 사상을 갖는다. 이는 바이어슈트라스 타원 함수에서 i의 작용과 일치한다.

크로네커는

K

의 모든 아벨 확장은 복소 곱셈을 갖는 적절한 타원 곡선의 (근) 방정식에 의해 얻어질 수 있다고 추측했으며, 이는 크로네커의 유겐트라움으로 알려져 있다. 이것은 현재까지 실제로 해결된 힐베르트의 열두 번째 문제의 몇 안 되는 경우 중 하나이다.

3.1. 바이어슈트라스 타원 함수를 이용한 정의

4. 자기준동형환의 구조

타원 곡선의 자기 사상환은 정수 Z, 허수 이차 수체의 order, 또는 Q 위의 결정적인 사원수 대수의 order 중 하나의 형태를 갖는다.

유한체 위에 정의된 타원 곡선은 항상 프로베니우스 사상이라는 비자명한 자기준동형을 가지므로, 복소 곱셈을 갖는 것이 일반적이다. 그러나 수체 위에 정의된 타원 곡선의 경우, 복소 곱셈을 갖는 것은 예외적인 경우에 해당하며, 이 경우 호지 추측을 푸는 것이 매우 어렵다.

5. 크로네커의 청춘의 꿈과 아벨 확대

크로네커의 청춘의 꿈(독일어: Kronecker Jugendtraum)은 허수 이차 수체의 최대 아벨 확대가 복소 곱셈을 갖는 타원 곡선의 유한 차수 점들의 좌표로 생성된다는 추측이다. 이는 유리수체의 최대 아벨 확장이 원분체의 원주 상의 점들의 좌표로 생성된다는 사실과 유사하다.

레오폴트 크로네커는 타원 함수의 비틀림 점에서의 값들이 허수 이차체에 대한 모든 아벨 확장을 생성하기에 충분할 것이라고 가정했는데, 이는 몇몇 경우에서 아이젠슈타인과 심지어 가우스까지 거슬러 올라가는 아이디어였다. 크로네커는 1880년 3월 15일 리하르트 데데킨트에게 보낸 서신에서 다음과 같이 적었다.

K가 유수체 H를 갖는 허수 이차체이고, E가 H 위에서 정의된 K의 정수로 복소 곱셈을 갖는 타원 곡선일 때, K의 최대 아벨 확대는 H 위의 E의 어떤 바이어슈트라스 모델의 유한 위수 점의 x-좌표에 의해 생성된다.

크로네커의 청춘의 꿈을 허수 이차 수체 말고도 다른 수체로 확장시키는 것이 힐베르트의 12번째 문제이다. 시무라 상호 법칙을 통해 유리수체의 아벨 확장이 1의 멱근 방법으로 구성될 수 있음을 보이며, 류체론을 더욱 명백하게 만들었다.

크로네커의 아이디어에 대한 많은 일반화가 모색되었지만, 이는 랑글란즈 철학의 주요 흐름과는 다소 벗어나 있으며, 현재 알려진 확정적인 진술은 없다.

6. 특이 모듈러스

복소 곱셈을 갖는 타원 곡선의 주기 비율에 해당하는 상반 평면의 점 τ는 허수 이차 수이다. 이러한 점에서의 j-불변량 j(τ)를 특이 모듈러스(singular modulus^영어)라고 한다. 특이 모듈러스 j(τ)는 항상 대수적 수이며, j-불변량이 대수적인 상반 평면의 점은 특이 모듈러스에 해당한다. 여기서 '특이'는 특이 곡선을 지칭하기보다는 자명하지 않은 자기 준동형 사상을 갖는 속성을 지칭하는 이전 용어에서 유래되었다.

허수 이차체 K의 정수환의 아이디얼 a에 대한 특이 모듈러스 j(a)는 실수 대수적 정수이며, K의 힐베르트 유수체 H를 생성한다. 체 확대 [H:K]의 차수는 K의 유수와 같으며, H/K는 K의 아이디얼 유수군과 동형인 갈루아 군을 갖는 갈루아 확대이다. 유수군은 [b] : j(a) → j(ab)에 의해 값 j(a)에 작용한다.

특히, K가 유수가 1이면, j(a) = j(O)는 유리 정수이다. 예를 들어, j(Z[i]) = j(i) = 1728이다.

7. 라마누잔 상수와 관련된 결과

라마누잔 상수는 초월수이며, $e^{\pi \sqrt{163}} = 262537412640768743.99999999999925007\dots$ 혹은 $e^{\pi \sqrt{163}} = 640320^3+743.99999999999925007\dots$ 와 같이 정수에 매우 근접한 값을 갖는다. 이는 수학적 우연이 아니며, 복소 곱셈 이론, 모듈 형식, 그리고 $\mathbf{Z}\left[ \frac{1+\sqrt{-163}}{2}\right]$ 가 고유 인수 분해 정역이라는 사실로 설명된다. 여기서 $(1+\sqrt{-163})/2$ 는 α² = α - 41을 만족하며, S[α]는 α와 S를 포함하는 가장 작은 환을 나타낸다.

$e^{\pi \sqrt{163}} = 12^3(231^2-1)^3+743.99999999999925007\dots$ 와 같이 표현할 수도 있는데, 이는 특정 아이젠슈타인 급수의 구조에 기인하며, 다른 헤그너 수에 대해서도 유사한 표현이 존재한다.