투표의 역설

1. 개요

투표의 역설은 다수결 투표 방식에서 발생하는 모순으로, 13세기에 라몬 률에 의해 처음 발견되었고, 18세기 말 콩도르세 후작에 의해 재발견되었다. 이 역설은 다수결 원칙에 따라 투표 결과가 순환적인 모습을 보이며, 어떤 대안을 선택하든 다수의 유권자가 선호하는 다른 대안이 존재하여 논리적 모순에 빠질 수 있음을 보여준다. 콩도르세 역설은 유권자 선호도에 따라 발생 확률이 달라지며, 실제 선거에서는 드물게 나타난다. 이 역설은 의회 절차에서 결과 조작 가능성을 시사하며, 콩도르세 투표 방법과 같은 대안을 제시하기도 한다.

2. 역사

콩도르세의 역설은 13세기 카탈루냐의 철학자이자 신학자인 라몬 률이 교회 통치에 대한 연구를 하던 중 처음 발견했지만, 그의 연구는 21세기까지 분실되었다. 18세기 말, 수학자이자 정치 철학자인 콩도르세 후작이 이 역설을 재발견했다.

콩도르세의 발견은 애로우의 불가능성 정리의 핵심 결과를 확인했다는 것을 의미한다. 비록 애로우가 요구하는 조건보다 더 강력한 조건 하에서이긴 하지만, 콩도르세 사이클은 순위 투표 시스템이 다수결을 존중해야 하는 상황을 만들고, 이는 반드시 스포일러 효과를 갖게 된다.

3. 예시

콩도르세의 역설은 13세기 카탈루냐의 철학자이자 신학자인 라몬 률이 교회 통치에 대한 연구를 하던 중 처음 발견했지만, 그의 연구는 21세기까지 분실되었다. 18세기 말, 수학자이자 정치 철학자인 콩도르세 후작이 이 역설을 재발견했다.

콩도르세의 발견은 애로우의 불가능성 정리의 핵심 결과를 확인했다는 것을 의미한다. 비록 애로우가 요구하는 조건보다 더 강력한 조건에서이긴 하지만, 콩도르세 사이클은 순위 투표 시스템이 다수결을 존중해야 하는 상황을 만들고, 이는 반드시 스포일러 효과를 갖게 된다.

선인장 카운티의 유권자들은 농민당의 현직 카운티 행정관 알렉스를 태양광 패널당의 경쟁자 베아트리체보다 약 2대 1의 비율로 선호한다. 올해 세 번째 후보인 찰리가 무소속으로 출마했다. 찰리는 부유하고 직설적인 사업가로, 유권자들은 그에 대해 양극화된 견해를 가지고 있다. 유권자들은 다음과 같이 세 그룹으로 나뉜다.

* 찰리를 지지하는 그룹: 고등학교 미식축구팀을 구한 찰리를 존경하며, 찰리를 1위, 알렉스를 베아트리체보다 높게 평가한다(CAB).
* 찰리를 반대하는 그룹: 찰리의 사업 관행을 혐오하며, 찰리를 꼴찌로 평가하고, 알렉스를 베아트리체보다 높게 평가한다(ABC).
* 베아트리체를 지지하는 그룹: 태양광 패널당을 선호하여 농민당이 퇴출되기를 바라며, 찰리의 출마를 부차적인 일로 여긴다. 베아트리체를 1위, 알렉스를 꼴찌, 찰리를 두 번째로 평가한다(BCA).

다수의 유권자는 알렉스를 베아트리체보다 선호하고(A > B), 베아트리체를 찰리보다 선호하며(B > C), 찰리를 알렉스보다 선호한다(C > A). 이 세 가지 선호를 결합하면 A > B > C > A, 즉 콩도르세 순환이 발생한다.

3.1. 기본 예시

세 명의 후보 A, B, C와 세 명의 유권자가 있다고 가정한다.

C가 당선자로 선택된다면, 유권자 1과 2는 C보다 B를 선호하고, 유권자 3만이 B보다 C를 선호하므로, B가 대신 당선되어야 한다고 주장할 수 있다. 그러나 같은 논리로 A는 B보다, C는 A보다 선호된다 (각각 두 명 대 한 명). 따라서 사회의 선호도는 순환적인 모습을 보인다. A는 B보다, B는 C보다, C는 A보다 선호된다.

결과적으로 다수결의 원칙에 따르려는 모든 시도는 논리적인 모순으로 이어진다. 어떤 대안을 선택하든, 대부분의 유권자가 선호하는 또 다른 대안을 찾을 수 있다.

선택지가 A, B, C 세 개이고, 투표자가 갑, 을, 병 세 명이며, 세 명의 선호 순서가 아래와 같다고 가정한다.



먼저 다수결을 하면 각 투표자가 A, B, C에 각각 투표하기 때문에 답이 나오지 않는다. 그래서 각 선택지를 개별적으로 분석한다.

먼저 A와 C를 비교한다. C보다 A를 선호하는 사람은 갑뿐인데, A보다 C를 선호하는 사람은 을, 병 두 명이다. 따라서 A보다 C가 투표자 집단으로서 선호 순서가 높고, A는 선택되지 않는다. 다음으로 C와 B를 비교하면, C는 B보다 선호 순서가 낮다. 마찬가지로 B는 A보다 낮다. A는 C보다 낮으므로, 결국 끝없는 "A보다 C가 좋고, C보다 B가 좋고, B보다 A가 좋고, A보다 C가..."가 반복되어 답을 낼 수 없다.

이러한 모순을 "정치적"으로 해결하는 방법으로, 의도적으로 먼저 A와 B의 선택 투표를 실시하여 B를 제거한 후 A와 C를 비교하여 최종적으로 C를 선택하는 방법이 있다. 즉, 투표 절차의 결정권을 쥐고 있는 경우에는 결과를 조작할 수 있다.

3.2. 실제 시나리오 (미국 미니애폴리스 시의회 선거)

2021년 미니애폴리스 시의회 2구 선거에서는 녹색당 후보 캠 고든, 미네소타 민주-농민-노동당 후보 유스라 아랍, 무소속 민주적 사회주의 후보 로빈 원슬리 간의 좁은 순환적 무승부가 발생했다. 유권자들의 선호도는 비전이적이었는데, 아랍은 고든보다 선호되었고, 고든은 원슬리보다, 원슬리는 아랍보다 선호되어 명확한 승자가 없는 순환 패턴을 만들었다. 이 선거는 하향 단조성 역설뿐만 아니라 심슨의 역설과 유사한 역설도 보였다. 이 사례는 2004년부터 2022년까지 미국에서 치러진 189개의 순위 투표 데이터베이스에서 발견된 유일한 콩도르세 순환이었다.

4. 발생 가능성

콩도르세 역설이 발생할 확률은 유권자 행동 모델에 따라 달라진다.

* 무차별 문화 모델 (Impartial culture model): 유권자 선호가 후보자들 사이에 균등하게 분포된다고 가정한다. 이 경우, 세 후보자에 대한 콩도르세 역설 발생 확률은 약 8.77%이다. 후보자가 늘어날수록 확률은 더 높아진다.
* 집단 응집 모델 (Group coherence models): 무차별 익명 문화(IAC), 균일 문화(UC), 최대 문화 조건(MC) 등이 여기에 해당하며, 유권자 선호가 특정 집단에 따라 쏠리는 경향을 반영한다. 이 경우 역설 발생 확률은 무차별 문화 모델보다 낮다.
* 공간 모델 (Spatial model): 유권자와 후보자를 다차원 공간에 배치하여 선호를 나타낸다. 실제 순위 투표 선거 데이터에 가장 잘 부합하는 모델로 알려져 있으며, 유권자 수가 증가함에 따라 사이클 발생 확률이 0으로 감소한다.

경험적 연구에 따르면, 실제 선거에서 콩도르세 역설이 발생하는 경우는 드물다. 총 265개의 실제 선거를 다룬 연구에서는 9.4%의 발생 확률을 보였지만, 이는 역설 사례가 더 많이 보고되었을 가능성을 고려하면 높은 추정치일 수 있다. 선거 개혁 협회의 분석에서는 0.7%, 미국 전국 선거 연구 데이터 분석에서는 0.4%의 발생 확률을 보였다.

5. 시사점 및 영향

콩도르세 역설은 다수결 투표 방식이 가진 문제점을 보여준다. 의회에서 투표 순서에 따라 최종 결과가 달라질 수 있으며, 이는 의도적인 결과 조작으로 이어질 수 있다. 예를 들어, 인기 있는 법안에 '독소 조항' 수정안을 붙여 법안 통과를 막는 경우가 있다. 이러한 문제는 대한민국 정치에서도 나타날 수 있는데, 다당제 환경에서 연립 정부를 구성하거나 정당 간 정책 합의를 이루는 데 어려움을 겪을 수 있다.

콩도르세 역설은 '무관한 대안의 독립성' 공리를 위반한다. 즉, 관련 없는 후보의 존재가 선거 결과에 영향을 미치는 '스포일러 효과'를 낳을 수 있다. 예를 들어, 세 후보 A, B, C가 있고, 유권자들의 선호도가 다음과 같다고 가정해 보자.

이 경우, 다수결 투표로는 결론을 내릴 수 없다. A와 C를 비교하면 C가, C와 B를 비교하면 B가, B와 A를 비교하면 A가 선호되어 순환이 발생하기 때문이다.

이러한 상황에서 투표 순서를 조작하면 결과를 바꿀 수 있다. 예를 들어, 먼저 A와 B를 투표하여 B를 탈락시킨 후 A와 C를 비교하면 C가 최종 선택될 수 있다.

콩도르세 투표 방법은 모든 후보 간 일대일 대결을 통해 가장 선호되는 후보(콩도르세 승자)를 찾는다. 하지만 콩도르세 역설이 발생하면 콩도르세 승자가 존재하지 않아 당락을 결정할 수 없는 경우가 생긴다.

6. 콩도르세 투표 방법

콩도르세 방법은 모든 후보 간 일대일 비교를 통해 가장 선호되는 후보를 찾는 투표 방식이다. 콩도르세 승자는 다른 모든 후보와의 일대일 대결에서 승리하는 후보를 의미한다. 반대로, 콩도르세 패자는 다른 모든 후보와의 일대일 대결에서 패배하는 후보를 의미한다.

콩도르세 방법은 콩도르세 승자/패자 기준을 만족하지만, 투표의 역설이 발생하여 당락을 결정하지 못하는 경우가 있을 수 있다. 투표의 역설은 순환하는 사회적 선호 때문에 발생하며, 콩도르세 승자가 없는 상황을 초래한다. 즉, 다른 모든 후보를 상대로 일대일 선거에서 이기는 후보가 없는 것이다. 이러한 순환 모호성을 해결하기 위해 다양한 콩도르세 방법 변형이 존재한다. 예를 들어, 스미스 집합은 최소 후보 그룹으로, 이 그룹의 각 후보는 그룹 외부의 각 후보를 상대로 일대일 선거에서 승리할 수 있다. 스미스 효율적인 콩도르세 방법은 콩도르세 승자가 없을 때 항상 스미스 집합에서 누군가를 선출한다.

예를 들어, 선택지가 A, B, C 세 개이고, 투표자가 갑, 을, 병 세 명이며, 선호 순서가 다음과 같다고 가정해 보자.

다수결을 적용하면 각 투표자가 A, B, C에 각각 투표하여 답이 나오지 않는다. 각 선택지를 개별적으로 분석하면 다음과 같다.

* A와 C 비교: C보다 A를 선호하는 사람은 갑뿐이고, A보다 C를 선호하는 사람은 을, 병 두 명이다. 따라서 A는 C에게 패배한다.
* C와 B 비교: C는 B보다 선호 순서가 낮다.
* B와 A 비교: B는 A보다 선호 순서가 낮다.

결과적으로, "A보다 C가 좋고, C보다 B가 좋고, B보다 A가 좋고, A보다 C가..."와 같은 끝없는 순환이 발생하여 답을 낼 수 없다. 이러한 경우, 투표 절차를 조작하여 결과를 바꿀 수 있다. 예를 들어, 의도적으로 A와 B의 선택 투표를 먼저 실시하여 B를 제거한 후 A와 C를 비교하여 최종적으로 C를 선택하는 방식이 가능하다.

7. 대한민국 정치에 대한 함의

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