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애로의 불가능성 정리

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목차

1. 개요

애로의 불가능성 정리는 3개 이상의 선택지가 있을 때, 몇 가지 공정한 사회 선택 조건을 모두 만족하는 사회 후생 함수가 존재하지 않는다는 정리이다. 이 정리는 1950년 케네스 애로에 의해 증명되었으며, 사회 선택 이론 분야의 발전에 기여했다. 애로의 불가능성 정리는 약한 파레토, 무관한 대안으로부터의 독립성(IIA), 비독재성의 세 가지 조건을 모두 만족하는 사회 후생 함수는 존재하지 않는다는 것을 보여준다. 이 정리는 투표 시스템 설계에 중요한 시사점을 가지며, 특히 순위 투표 시스템의 한계를 보여준다. 다수결 방식, 단봉형 선호, 평점 투표 등 IIA를 완화하거나 다른 접근 방식을 통해 이 정리가 갖는 문제를 해결하려는 시도가 이루어지고 있다.

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애로의 불가능성 정리
지도
기본 정보
분야사회선택이론
창시자케네스 애로
발표 연도1950년, 1951년
관련 개념코르동 규칙, 사회적 선호도, 후생경제학, 랭킹 투표, 선택 이론
내용
핵심 내용모든 선호도에 대해 합리적이고 공정한 집단적 선호도를 얻는 것이 불가능함을 증명하는 정리
몇 가지 기본적인 공리적 조건을 만족하는 사회적 선호 함수는 존재하지 않음.
주요 공리**무제한 영역:** 모든 가능한 개인 선호도 프로필이 허용되어야 함.
**비독재성:** 사회적 선호는 단 한 사람의 개인 선호에 의해 결정되어서는 안 됨.
**파레토 효율성:** 모든 개인이 어떤 대안을 다른 대안보다 선호하면, 사회적으로도 마찬가지로 선호해야 함.
**선택과 무관한 대안 독립성 (IIA):** 두 대안 사이의 사회적 선호는 그 외 다른 대안에 대한 개인의 선호도에 영향을 받아서는 안 됨.
의미 및 영향
주요 함의민주적 의사 결정 과정의 근본적인 어려움을 보여줌.
완벽한 투표 시스템 설계의 불가능성을 시사.
사회적 선택 이론의 발전에 큰 영향을 미침.
논쟁점공리적 조건의 적절성에 대한 논쟁.
현실적 투표 시스템에 대한 적용 가능성 논의.
일반화된 정리일반 가능성 정리
관련 이론깁바드 정리
사회적 선택 이론
불가능성 정리
참고 문헌
주요 저서케네스 애로, 사회적 선택과 개인 가치(1951)

2. 정의

케네스 애로는 n명(n은 유한)의 개인으로 구성된 사회 구성원 전체의 선호 관계 \succeq_i의 열("'''선호 프로파일'''") (\succeq_1, \ldots, \succeq_n)를 독립 변수로 하고, "'''사회적 선호'''"라고 불리는 선호 관계 \succeq를 종속 변수로 하는 함수를 생각하여, 그것을 "'''사회후생함수'''"('''선호 집계 규칙''')이라고 불렀다.[1] 여기서 사회적 선호 \succeq는 다음 두 가지 공리를 만족한다고 가정한다. (단, x \succeq y는 선택지 x가 y 이상으로 랭크된다(선호된다)는 것을 나타냄. \succeq는 수의 부등호와 다름.)


  • 완비성: 임의의 두 선택지 x, y에 대해, x\succeq y 또는 y\succeq x가 성립한다. 즉, x가 y 이상으로 바람직하거나, y가 x 이상으로 바람직한 어느 한쪽이다. (전자가 성립할 때만 x\succ y라고 쓰고, x가 y보다 선호된다는 것을 나타낸다. 후자가 성립할 때(y\succ x)는 y가 x보다 선호된다. 둘 다 성립할 때는 x와 y는 무차별이라고 한다. "반사성", 즉 임의의 선택지 x에 대해 x \succeq x가 성립하는 것은 완비성으로부터 유도된다.)
  • 추이성: 임의의 세 선택지 x, y, z에 대해, x\succeq y이고 y\succeq z이면 x\succeq z가 된다. 즉, x가 y 이상으로 바람직하고, y가 z 이상으로 바람직하면, x는 z 이상으로 바람직하다.


선호 관계가 이들 두 공리를 만족하면, 선택지가 몇 개 있더라도 유한개이기만 하면 가장 좋은 선택지(하나뿐이라는 보장은 없음)를 선택할 수 있다. 그런 의미에서 이러한 선호 관계는 "합리성"을 가진다고 말할 수 있다.

애로는 사회후생함수가 아래 4가지 조건(이들도 종종 "공리"라고 불림)을 만족하는 것이 공정한 선거 제도에 있어 필수적이라고 했다.

  • '''비독재성''': 사회적 선호 함수는 복수의 투표자의 의지를 반영해야 한다. 단순히 누군가 한 명의 의지를 모방하는 것만으로는 안 된다.
  • '''정의역의 비제한성'''(보편성): 개인의 선호를 조합한 어떠한 집합에 대해서도 사회적 선호 함수는 사회적 선택의 유일하고 완전한 순서 매김을 출력해야 한다. 따라서 사회적으로 완전한 선호의 순서 매김을 출력할 수 있어야 하며, 투표자의 선호가 동일한 경우 동일한 결과를 결정론적으로 내놓을 수 있어야 한다.
  • '''무관한 대안으로부터의 독립성'''(IIA): 선택지 x와 y에 관한 사회적 선호가 그 두 선택지에 대한 개인의 선호만으로 결정된다. 또 일반적으로 개인의 선호가 다른 "무관한" 선택지 z(특정 부분 집합의 바깥에 있는 것)에 대해 변화하더라도 원래 부분 집합에 관한 사회적 선호가 영향받지 않는다. 예를 들어 후보자가 2명인 선거에 제3의 후보가 추가되더라도 그 제3의 후보가 이기는 경우를 제외하고는 선거 결과가 영향을 받지 않는다.
  • '''파레토 효율성'''(전회일치성): 사회의 모든 사람의 선호가 "x는 y보다 바람직하다"고 일치하는 경우, 사회적 선호도 "x는 y보다 바람직하다"가 된다.(즉, "모든 개인 i에 대해 x\succ_i y"이면 x \succ y가 된다)


1952년 초판에서는 파레토 효율성 대신 단조성(사회와 개인의 가치관의 정상관계)과 비부과성(주권재민) 두 가지 조건이 제시되어 총 5조건이었다. 1963년판의 4가지 조건이 약하기 때문에 더 일반적이다. 단조성, 비부과성, IIA의 세 가지를 합치면 파레토 효율성이 유도되지만, 파레토 효율성(그 자체가 비부과성을 가짐)과 IIA를 합쳐도 단조성은 유도되지 않는다.

2. 1. 개인과 대안

애로의 불가능성 정리에서 사회 후생 함수는 사회 구성원들의 의제에 대한 여러 대안들의 선호로부터 사회 전체의 선호를 도출하는 과정을 모형화한다. 처음 몇 자연수들의 집합 I=\{1,2,\dotsc,n\}이 주어졌을 때, 이 집합의 원소를 '''개인'''(individual영어)이라고 부른다. 이는 사회를 구성하는 n명의 사람들을 나타낸다. 임의의 집합 A의 원소는 '''대안'''(alternative영어)이라고 부르며, a,b,c 등으로 표기한다. 이는 사회 의제에서 선택 가능한 모든 방안들로 해석할 수 있다.[15]

2. 2. 선호 순서

사회 선택 이론에서 대안들의 집합 A 위의 원전순서 R는 '''선호 순서'''(preference order영어)라고 불린다. R는 A 위의 이항 관계이며, (b,a) \in R를 a \gtrsim_R b로 표기할 때, 다음 두 조건을 만족시킨다.

  • (완전성, completeness영어) a \gtrsim_R b이거나 b \gtrsim_R a이다.
  • (이행성, transitivity영어) 만약 a \gtrsim_R b이고 b \gtrsim_R c이면, a \gtrsim_R c이다.


선호 순서는 개인이나 사회가 주어진 대안들을 어떤 순서로 선호하는지를 나타낸다. a \gtrsim_R b는 R에서 a가 b보다 더 선호되거나, a와 b가 똑같이 선호됨을 나타낸다. 만약 a \gtrsim_R b이고 b \gtrsim_R a이면, a \sim_R b로 적으며, R에서 a와 b가 똑같이 선호된다고 한다. 만약 a \gtrsim_R b이지만 a \not\sim_R b이면, a >_R b로 적으며, R에서 a가 b보다 선호된다고 한다.

완전성에 따르면, 주어진 선호 순서에서 두 대안은 똑같이 선호되거나, 하나가 다른 하나보다 더 선호된다. 이행성에 따르면, 만약 선호 순서 R에서 a가 b보다 선호되고 b가 c보다 선호되면, a는 c보다 선호된다. 즉, 완전성과 이행성 조건은 개인 또는 사회가 주어진 대안들에 대하여 취할 수 있는 태도가 충분히 "합리적"일 것을 요구한다.

A 위의 선호 순서의 집합을 \mathcal{R}(A)로 표기한다. 만약 선호 순서 R에서 똑같이 선호되는 두 대안이 항상 같은 대안이라면, R는 전순서가 된다. 선호 전순서의 집합은 \mathcal{R}_{to}(A)로 표기한다.

예를 들어, A = \{x, y, z\}가 세 개의 대안으로 이루어졌다면, 총 13개의 선호 순서는 다음과 같다(이 가운데 1~6번째가 전순서이다).

\# x > y > z

\# x > z > y

\# y > x > z

\# y > z > x

\# z > x > y

\# z > y > x

\# x > y \sim z

\# y > x \sim z

\# z > x \sim y

\# y \sim z > x

\# x \sim z > y

\# x \sim y > z

\# x \sim y \sim z

애로의 불가능성 정리의 맥락에서, 시민들은 서수적 선호도를 갖는다고 가정한다. 즉, 후보들의 순위를 매긴다. 만약 A와 B가 서로 다른 후보 또는 대안이라면, A \succ B는 A가 B보다 선호된다는 것을 의미한다. 개인적 선호도(또는 투표용지)는 순서의 직관적인 속성을 만족해야 한다. 예를 들어, 추이적이어야 한다. — A \succeq B이고 B \succeq C라면, A \succeq C이다.

2. 3. 선호 프로필

곱집합 \mathcal R(A)^n은 n개의 선호 순서의 튜플 (R_1,R_2,\dotsc,R_n)들의 집합이다. 원소 (R_1,R_2,\dotsc,R_n)\in\mathcal R(A)^n는 n명의 개인의 선호 순서들의 조합이며, 이를 '''선호 프로필'''(preference profile영어)이라고 부른다.[1] 선호 프로필의 i번째 성분 R_i는 i번째 개인의 선호 순서를 나타낸다. \mathcal R_{\operatorname{to}}(A)^n은 \mathcal R(A)^n의 부분 집합이며, 모든 성분이 전순서인 선호 프로필들로 구성된다.

투표자들의 선호도의 N-튜플 (R_1, \ldots, R_N) \in \Pi(A)^N를 ''선호도 프로필''이라고 한다.[1]

애로는 n명(n은 유한)의 개인으로 구성된 사회 구성원 전체의 선호 관계 \succeq_i 의 열("'''선호 프로파일'''") (\succeq_1, \ldots, \succeq_n) 를 독립 변수로 하고, "'''사회적 선호'''"라고 불리는 선호 관계 \succeq 를 종속 변수로 하는 함수를 생각하여, 그것을 "'''사회후생함수'''"('''선호 집계 규칙''')이라고 불렀다.

2. 4. 사회 후생 함수

사회 후생 함수(social welfare function영어, 약자 SWF)는 선호 프로필의 집합에서 선호 순서의 집합으로 가는 함수 f\colon\mathcal R(A)^n\to\mathcal R(A)로 정의된다. 이는 모든 개인의 선호 순서들의 조합 (R_1,R_2,\dotsc,R_n)으로부터 사회의 선호 순서 f(R_1,R_2,\dotsc,R_n)를 결정하는 규칙을 나타내며, 집합적 의사 결정 제도를 모형화한다. 애로의 불가능성 정리는 사회 선택이 개인의 선택을 잘 반영함을 나타내는 일련의 조건들을 만족시키는 의사 결정 제도가 존재하지 않는다고 단언한다. 이 가운데 다음 조건은 이미 사회 후생 함수의 정의에 암시되어 있다.[14]

  • (무제한적 정의역, unrestricted domain영어) 사회 후생 함수의 정의역은 모든 선호 프로필을 원소로 포함한다. 즉, 어떤 개인 선호 순서들의 조합에 대해서도 유일한 사회 선호 순서를 산출한다.


케네스 애로는 1950년에 그의 정리를 증명하여, 사회의 선호도와 신념을 집계하는 메커니즘을 연구하는 복지 경제학의 한 분야인 현대 사회 선택 이론 분야를 개척했다.[14] 이러한 연구 메커니즘은 시장, 투표 시스템, 헌법 또는 심지어 도덕 또는 윤리적 틀이 될 수 있다.[5]

A를 대안들의 집합이라고 하자. A에 대한 투표자의 선호도는 A에 대한 완전하고 추이적인 이항 관계(때때로 전순서라고 함)이다. 즉, 다음을 만족하는 A \times A의 부분집합 R이다.

# (추이성) 만약 (\mathbf{a}, \mathbf{b})가 R에 있고 (\mathbf{b}, \mathbf{c})가 R에 있다면, (\mathbf{a}, \mathbf{c})는 R에 있다.

# (완전성) (\mathbf{a}, \mathbf{b}) 또는 (\mathbf{b}, \mathbf{a}) 중 적어도 하나는 R에 있어야 한다.

(\mathbf{a}, \mathbf{b})가 R에 있다는 것은 대안 \mathbf{a}가 대안 \mathbf{b}보다 선호된다는 것을 의미한다. 이러한 상황은 종종 \mathbf{a} \succ \mathbf{b} 또는 \mathbf{a}R\mathbf{b}로 표시된다. A에 대한 모든 선호도의 집합을 \Pi(A)로 나타내자. N을 양의 정수라고 하자. 순서(순위)적 사회후생함수는[1] 다음과 같은 함수이다.

: \mathrm{F} : \Pi(A)^N \to \Pi(A)

이는 투표자들의 선호도를 A에 대한 단일 선호도로 집계한다. 투표자들의 선호도의 N-튜플 (R_1, \ldots, R_N) \in \Pi(A)^N를 '선호도 프로필'이라고 한다.

'''애로의 불가능성 정리''': 대안이 3개 이상인 경우, 아래에 나열된 세 가지 조건을 모두 만족하는 사회후생함수는 존재하지 않는다.[21]

  • 파레토 효율성: 대안 \mathbf{a}가 모든 순서 R_1, \ldots, R_N에 대해 \mathbf{b}보다 선호되는 경우, \mathbf{a}는 F(R_1, R_2, \ldots, R_N)에 의해 \mathbf{b}보다 선호된다.[1]
  • 비독재: 항상 자신의 선호도가 우세한 개인 i는 없다. 즉, 모든 (R_1, \ldots, R_N) \in \Pi(A)^N와 모든 \mathbf{a} 및 \mathbf{b}에 대해, \mathbf{a}가 R_i에 의해 \mathbf{b}보다 선호될 때 \mathbf{a}는 F(R_1, R_2, \ldots, R_N)에 의해 \mathbf{b}보다 선호되지 않는 i \in \{1, \ldots, N\}가 없다.[1]
  • 무관한 대안의 독립성: 모든 개인 i에 대해 대안 \mathbf{a}와 \mathbf{b}가 R_i에서와 S_i에서 동일한 순서를 가지는 두 개의 선호도 프로필 (R_1, \ldots, R_N)와 (S_1, \ldots, S_N)에 대해, 대안 \mathbf{a}와 \mathbf{b}는 F(R_1, \ldots, R_N)에서와 F(S_1, \ldots, S_N)에서 동일한 순서를 갖는다.[1]


애로는 n명(n은 유한)의 개인으로 구성된 사회 구성원 전체의 선호 관계 \succeq_i 의 열("'''선호 프로파일'''") (\succeq_1, \ldots, \succeq_n) 를 독립 변수로 하고, "'''사회적 선호'''"라고 불리는 선호 관계 \succeq 를 종속 변수로 하는 함수를 생각하여, 그것을 "'''사회후생함수'''"('''선호 집계 규칙''')이라고 불렀다. 여기서 사회적 선호 \succeq 는 다음 두 가지 공리를 만족한다고 가정한다. (단, x \succeq y는 선택지 x가 y 이상으로 랭크된다(선호된다)는 것을 나타냄; \succeq는 수의 부등호와 다름; 기호 \succeq 대신 "관계"(relation)를 나타내는 R의 문자가 사용되는 경우도 많음):

  • 완비성: 임의의 두 선택지 x, y에 대해, x\succeq y 또는 y\succeq x가 성립한다. 즉, x가 y 이상으로 바람직하거나, y가 x 이상으로 바람직한 어느 한쪽이다. (전자가 성립할 때만 x\succ y라고 쓰고, x가 y보다 선호된다는 것을 나타낸다. 후자가 성립할 때(y\succ x)는 y가 x보다 선호된다. 둘 다 성립할 때는 x와 y는 무차별이라고 한다. 기호 \succ 대신 "더 선호한다"(prefer)를 나타내는 P의 문자가 사용되는 경우도 많다. 그리고 "반사성" 즉, 임의의 선택지 x에 대해 x \succeq x가 성립하는 것은 완비성으로부터 유도된다.)
  • 추이성: 임의의 세 선택지 x, y, z에 대해, x\succeq y이고 y\succeq z이면 x\succeq z가 된다. 즉, x가 y 이상으로 바람직하고, y가 z 이상으로 바람직하면, x는 z 이상으로 바람직하다.


선호 관계가 이들 두 공리를 만족하면, 선택지가 몇 개 있더라도 유한개이기만 하면 가장 좋은 선택지(하나뿐이라는 보장은 없음)를 선택할 수 있다. 그런 의미에서 이러한 선호 관계는 "합리성"을 가진다고 말할 수 있다.

그리고 애로는 사회후생함수가 아래 4가지 조건(이들도 종종 "공리"라고 불림)을 만족하는 것이 공정한 선거 제도에 있어 필수적이라고 했다.

  • '''비독재성''': 사회적 선호 함수는 복수의 투표자의 의지를 반영해야 한다. 단순히 누군가 한 명의 의지를 모방하는 것만으로는 안 된다.
  • '''정의역의 비제한성'''(보편성). 개인의 선호를 조합한 어떠한 집합에 대해서도 사회적 선호 함수는 사회적 선택의 유일하고 완전한 순서 매김을 출력해야 한다. 따라서 사회적으로 완전한 선호의 순서 매김을 출력할 수 있어야 하며, 투표자의 선호가 동일한 경우 동일한 결과를 결정론적으로 내놓을 수 있어야 한다.
  • '''무관한 대안으로부터의 독립성'''(IIA). 선택지 x와 y에 관한 사회적 선호가 그 두 선택지에 대한 개인의 선호만으로 결정되는 것. 또 일반적으로 개인의 선호가 다른 "무관한" 선택지 z(특정 부분 집합의 바깥에 있는 것)에 대해 변화하더라도 원래 부분 집합에 관한 사회적 선호가 영향받지 않는 것. 이것은 예를 들어 후보자가 2명인 선거에 제3의 후보가 추가되더라도 그 제3의 후보가 이기는 경우를 제외하고는 선거 결과가 영향을 받지 않는다는 것이다.
  • '''파레토 효율성'''(전회일치성). 사회의 모든 사람의 선호가 "x는 y보다 바람직하다"고 일치하는 경우, 사회적 선호도 "x는 y보다 바람직하다"가 된다. (즉, "모든 개인 i에 대해 x\succ_i y"이면 x \succ y가 된다)


참고로, 이상의 4조건은 1963년에 발표된 제2판에 기초한다. 1952년 초판에서는 파레토 효율성 대신 다음 두 가지 조건이 제시되어 총 5조건이었다.

  • '''단조성'''(사회와 개인의 가치관의 정상관계): 만약 어떤 개인이 어떤 선택지의 평가를 높여 선호 순위를 바꾸었다면 사회적 선호 순위도 같은 선택지의 순위를 올리거나 또는 변화 없이 되고, 순위를 도리어 내리는 결과가 되지 않는 것. 어떤 개인도 선택지의 평가를 "올리는" 것으로 도리어 손해를 보는 일은 없다는 것.
  • '''비부과성'''(주권재민): 가능한 모든 사회적 선호 순위는 어떤 개인적인 선호 순위에 대응하는 것. 이것은 사회후생함수가 전사임을 의미한다. 값 공간의 크기는 무제한이다.


1963년판 쪽이 조건이 약하기 때문에 더 일반적이다. 단조성, 비부과성, IIA의 세 가지를 합치면 파레토 효율성이 유도되지만, 파레토 효율성(그 자체가 비부과성을 가짐)과 IIA를 합쳐도 단조성은 유도되지 않는다.

2. 5. 애로의 불가능성 정리의 조건

Arrow's impossibility theorem|애로의 불가능성 정리영어에 따르면, 대안의 수가 3개 이상일 때, 다음 세 조건을 모두 만족시키는 사회 후생 함수는 존재하지 않는다.

  • (약한 파레토, weak Pareto영어) 모든 개인의 선호에서 a가 b보다 선호되면, 사회적 선호에서도 a가 b보다 선호된다. 즉, 모든 개인이 어떤 두 대안에 대하여 만장일치를 이뤘다면, 사회 선호는 이를 존중한다. (그러나 모두가 a와 b를 똑같이 선호하더라도 사회는 a와 b를 똑같이 선호하지 않을 수 있다. 또한 모두의 선호가 a≥b를 만족시키더라도 사회 선호는 이를 만족시키지 않을 수 있다.)[14]
  • (무관한 대안들로부터의 독립, independence of irrelevant alternatives영어, 약자 IIA) 두 대안의 사회 선호 순위는 오직 그 두 대안에 대한 각 개인의 선호 순위에만 의존한다. 즉, 두 선호 프로필에서 각 개인의 a와 b에 대한 상대적 선호 순위가 동일하다면, 사회적 선호에서도 a와 b의 상대적 순위는 동일하다.[14]
  • (비독재성, non-dictatorship영어) 사회 선호를 한 개인이 좌지우지할 수 없다. 즉, 특정 개인의 선호가 항상 사회적 선호와 일치하는 경우는 없다.[14]
  • (독재자, dictator영어) 특정 개인의 선호가 항상 사회적 선호가 되는 것을 의미한다. (그러나 그 개인이 똑같이 선호하는 두 대안이 사회에서도 똑같이 선호될 필요는 없다.)


애로의 불가능성 정리는 다음과 같은 기본적인 가정을 전제로 한다.[15]

  • '''제한 없는 정의역''' — 사회적 선택 함수는 가능한 모든 결과의 순위에 대해 전사 함수여야 하며, 부분 함수가 아니어야 한다.
  • 즉, 시스템은 항상 어떤 선택을 해야 하며, 유권자들이 특이한 의견을 가질 때 단순히 "포기"할 수 없다.
  • 이 가정이 없다면, 다수결 원칙은 콘도르세 순환이 있을 때마다 "포기"함으로써 애로의 공리를 만족한다.[9]
  • '''독재가 아님''' — 시스템은 단 한 명의 유권자의 투표에만 의존하지 않는다.[2]
  • 이것은 ''익명성''(일인일표)을 약화시켜 유권자를 불평등하게 대우하는 규칙을 허용한다.
  • 본질적으로, ''사회적'' 선택은 한 명 이상의 사람의 의견에 따라 달라지는 선택으로 정의된다.[2]
  • '''강제 부과 없음''' — 시스템은 일부 후보자 쌍을 선택할 때 유권자들을 완전히 무시하지 않는다.[3][16]
  • 즉, 어떤 투표 조합을 통해 어떤 후보라도 다른 후보를 이길 수 있다.[3][16][17]
  • 이것은 더 강력한 '''파레토 효율성''' 공리로 종종 대체된다. 모든 유권자가 A를 B보다 선호한다면, A가 B를 이겨야 한다. 그러나 더 약한 비강제 조건으로도 충분하다.[3]
  • '''무관한 대안의 독립성(IIA)''' — 후보 A와 후보 B 사이의 사회적 선호는 A와 B 사이의 개인적 선호도에만 의존해야 한다.
  • 즉, 유권자들이 A와 C 사이의 선호도를 변경하더라도 사회적 선호도가 A > B에서 B > A로 바뀌어서는 안 된다.[2]


아로우는 n명(n은 유한)의 개인으로 구성된 사회 구성원 전체의 선호 관계의 열("'''선호 프로파일'''")을 독립 변수로 하고, "'''사회적 선호'''"라고 불리는 선호 관계를 종속 변수로 하는 함수를 생각하여, 그것을 "'''사회후생함수'''"('''선호 집계 규칙''')이라고 불렀다.

그리고 아로우는 사회후생함수가 아래 4가지 조건(이들도 종종 "공리"라고 불림)을 만족하는 것이 공정한 선거 제도에 있어 필수적이라고 했다.

  • '''비독재성'''. 사회적 선호 함수는 복수의 투표자의 의지를 반영해야 한다. 단순히 누군가 한 명의 의지를 모방하는 것만으로는 안 된다.

  • '''정의역의 비제한성'''(보편성). 개인의 선호를 조합한 어떠한 집합에 대해서도 사회적 선호 함수는 사회적 선택의 유일하고 완전한 순서 매김을 출력해야 한다. 따라서 사회적으로 완전한 선호의 순서 매김을 출력할 수 있어야 하며, 투표자의 선호가 동일한 경우 동일한 결과를 결정론적으로 내놓을 수 있어야 한다.
  • '''무관한 대안으로부터의 독립성'''(IIA). 선택지 x와 y에 관한 사회적 선호가 그 두 선택지에 대한 개인의 선호만으로 결정되는 것. 또 일반적으로 개인의 선호가 다른 "무관한" 선택지 z(특정 부분 집합의 바깥에 있는 것)에 대해 변화하더라도 원래 부분 집합에 관한 사회적 선호가 영향받지 않는 것. 이것은 예를 들어 후보자가 2명인 선거에 제3의 후보가 추가되더라도 그 제3의 후보가 이기는 경우를 제외하고는 선거 결과가 영향을 받지 않는다는 것이다.
  • '''파레토 효율성'''(전회일치성). 사회의 모든 사람의 선호가 "x는 y보다 바람직하다"고 일치하는 경우, 사회적 선호도 "x는 y보다 바람직하다"가 된다.

3. 애로의 불가능성 정리

'''애로의 불가능성 정리'''는 3개 이상의 선택지가 있을 때, 다음 조건을 모두 만족하는 사회 후생 함수는 존재하지 않는다는 정리이다.[21]


  • '''약한 파레토'''(weak Pareto): 모든 개인이 두 대안에 대해 만장일치로 선호하면, 사회 선호도 이를 존중한다.
  • '''무관한 대안들로부터의 독립'''(independence of irrelevant alternatives, IIA): 두 대안의 사회 선호에서의 상대적 위치는 각 개인의 선호에서 그 두 대안의 상대적 위치에만 의존한다.
  • '''비독재성'''(non-dictatorship): 사회 선호를 한 개인이 좌지우지할 수 없다. 즉, 특정 개인(독재자)의 선호가 항상 사회 선호가 되지는 않는다.


1950년 케네스 애로가 이 정리를 증명하면서, 현대 사회 선택 이론 분야가 시작되었다.[14] 이 이론은 시장, 투표 시스템, 헌법 등 사회적 선호와 신념을 집계하는 메커니즘을 연구한다.[5]

애로는 n명의 개인으로 구성된 사회에서, 개인의 선호 관계 튜플(열)인 "'''선호 프로파일'''"을 독립 변수로, "'''사회적 선호'''"를 종속 변수로 하는 함수를 "'''사회후생함수'''"('''선호 집계 규칙''')라고 불렀다. 여기서 사회적 선호는 다음 두 가지 공리를 만족한다고 가정한다.

  • 완비성: 임의의 두 선택지에 대해, 둘 중 하나는 반드시 선호된다.
  • 추이성: x가 y보다, y가 z보다 선호되면, x는 z보다 선호된다.


이러한 선호 관계는 "합리성"을 가진다고 할 수 있다.

애로는 또한 공정한 선거 제도에 필수적인 4가지 조건을 제시했다.

  • '''비독재성''': 사회적 선호 함수는 복수 투표자의 의지를 반영해야 한다.
  • '''정의역의 비제한성'''(보편성): 개인 선호의 어떠한 조합에 대해서도, 사회적 선호 함수는 유일하고 완전한 사회적 선택 순서를 출력해야 한다.
  • '''무관한 대안으로부터의 독립성'''(IIA): 두 선택지에 대한 사회적 선호는 그 두 선택지에 대한 개인의 선호만으로 결정된다.
  • '''파레토 효율성'''(전회일치성): 모든 사람이 "x는 y보다 바람직하다"고 일치하면, 사회적 선호도 "x는 y보다 바람직하다"가 된다.


'''애로의 정리'''는 2명 이상의 투표자와 3개 이상의 선택지가 있을 때, 위의 조건들을 모두 만족하는 사회후생함수는 존재하지 않는다는 것을 보였다. 즉, 사회적 결정의 합리성과 민주주의의 양립이 어렵다는 것을 시사한다.

이 정리는 "공정한 선거 제도는 존재하지 않는다", "모든 순위 선호 방식에는 결함이 있다" 등으로 단순화되어 알려지기도 했다. 그러나 애로의 정리는 결정적인 선호 투표 제도에서 위의 조건들을 모두 동시에 만족할 수 없다는 것을 의미한다.

IIA 조건은 약화시켜 역설을 피하려는 시도가 있었다. 순위 선호 방식 연구자들은 IIA가 불필요하게 강한 기준이라고 주장한다. 예를 들어, 다음과 같은 투표 상황을 가정해 보자.

  • 1명은 A > B > C로 투표
  • 1명은 B > C > A로 투표
  • 1명은 C > A > B로 투표


이 경우, 다수결은 A > B, B > C, C > A의 순환 관계를 형성한다. 따라서 IIA를 만족하면서 다수결을 존중하는 규칙은 사회적 선호가 추이적이어야 한다는 가정과 모순된다.

결론적으로 애로의 정리는 다수결 선거 제도가 비자명적인 게임이며, 게임 이론을 통해 선거 결과를 예측해야 함을 시사한다.

4. 정리가 갖는 의미

애로의 정리는 수학적 결과이지만, 종종 "공정한 투표란 없다", "순위를 매기는 모든 투표 방법은 오류가 있다", 또는 "오류가 없는 투표는 오직 독재뿐이다"와 같이 단순하게 해석되기도 한다. 그러나 이러한 표현은 원문의 내용과 거리가 있다. 정확히 말하면, 불가능성 정리는 어떠한 확정적 투표 제도(선호 순위만이 투표에 영향을 미치고, 여러 번 투표를 시행해도 동일한 결과를 도출할 수 있는)도 애로가 제시한 조건을 모두 동시에 만족시킬 수 없다는 것을 의미한다.[62]

애로는 자신의 조건들을 "공정성"이라는 단어로 표현했고, 파레토 효율이나 비강제성 요구는 많은 사람들에게 합리적인 가정으로 여겨진다.

일부 학자들은 무관한 대안으로부터의 독립성(IIA) 가정을 약화시키는 것이 정리의 역설을 우회하는 방법이라고 주장한다. 이들은 IIA가 너무 강한 조건이며, 대부분의 현실적인 투표 제도가 IIA 조건을 만족시키지 못한다고 지적한다. 또한, IIA 조건 위반은 선호가 순환성(cyclic preference)을 보이는 경우에도 가능하다는 점을 강조한다.

예를 들어, 유권자들이 다음과 같은 선호 순위를 가지고 있다고 가정해 보자.

유권자선호 순위
유권자 1A > B > C
유권자 2B > C > A
유권자 3C > A > B



이 경우, A와 B를 두고 투표하면 유권자 1과 3은 A에, 유권자 2는 B에 투표한다. 따라서 다수결을 통해 이 공동체는 B보다 A를, C보다 B를, A보다 C를 선택하는 가위 바위 보와 같은 선호 체계를 갖게 된다. 이 경우, (사회 선호가 전이성 혹은 비순환성을 갖는다고 전제했을 때) 가장 많은 득표를 얻은 후보가 승리하는 다수결 원칙을 적용한 어떤 선호 결합 규칙(사회 후생 함수)도 IIA를 만족시키지 못한다.

귀류법을 사용하여 이를 증명하기 위해, 선호 결합 규칙이 IIA를 만족한다고 가정하면, 다수결 원칙이 존중되므로 투표를 통해 이 공동체는 A보다 B를, B보다 C를, C보다 A를 선호하는 것으로 나타난다. 이는 선호의 순환성을 나타내며, 사회 선호가 전이성을 만족한다는 가정에 위배된다.

결국, 애로의 정리가 실제로 보여주는 것은 어떤 다수결 원칙의 투표도 사소하지 않은 게임이며, 투표 행위의 결과를 예측하기 위해서는 대부분 게임 이론을 도입해 분석해야 한다는 것이다. 그러나 게임 이론의 '균형' 개념을 도입한다고 해서 다양한 규범적 조건들을 만족시킬 수 있다는 것을 의미하지는 않는다. 실제로, 선호 순위 체계에서 균형점으로 매핑하는 과정은 '사회 선택 규칙'에 따르게 되고, 이러한 사회 선택 규칙의 유용성은 사회 선택 이론에서 다뤄진다.[62]

이러한 결론은 게임이 꼭 효율적 균형을 갖는다고 볼 수 없기 때문에 실망스러울 수도 있다. 누구도 최선이라고 인정하지 않는 후보에게 모두가 선거에서 차선으로 투표할 수 있기 때문이다.

애로의 불가능성 정리는 어떤 순위 투표 규칙도 항상 무관한 대안의 독립성을 만족시킬 수 없다는 것을 증명하지만, 스포일러의 빈도에 대해서는 아무것도 말하지 않는다. 애로는 "대부분의 시스템은 항상 잘못 작동하는 것은 아니다. 내가 증명한 것은 모든 시스템이 때때로 잘못 작동할 수 있다는 것이다"라고 말했다.[27][28]

애로의 불가능성 정리의 영향에 대처하려는 시도는 두 가지 접근 방식 중 하나를 취한다. 하나는 그의 규칙을 받아들이고 스포일러가 가장 적은 방법을 찾는 것이고, 다른 하나는 평점 투표 규칙에 초점을 맞추는 것과 같이 그의 가정 중 하나 이상을 버리는 것이다.[19]

5. 증명

애로의 정리는 공정한 순위 투표 시스템이 불가능하다는 것을 보여준다. 콩도르세의 예시는 이를 직관적으로 설명하기에 충분하다.[20]

세 명의 후보자 (A, B, C)와 세 명의 유권자가 다음과 같은 선호도를 가지고 있다고 가정해 보자.

유권자1순위2순위3순위
유권자 1ABC
유권자 2BCA
유권자 3CAB



만약 C가 승리하면, 두 유권자는 B를 C보다 선호하고 한 명만 C를 B보다 선호하므로 B가 승리해야 한다. 같은 논리로 A는 B보다, C는 A보다 선호되어 사회적 선호는 모순이 발생한다. A가 B보다, B가 C보다, C가 A보다 선호되는 것이다.[20]

이러한 예시에도 불구하고, 애로의 정리는 시장이나 가중 투표 등 순위 투표 이외의 의사결정 방법에도 적용되어 더 일반적이다.
결정적 연합에 의한 증명애로의 증명은 ''결정적 연합'' 개념을 사용한다.[2]


  • 연합: 유권자의 부분집합.
  • 결정적 연합: 어떤 연합이 순서쌍 (x, y)에 대해 결정적이라는 것은, 연합 내 모든 사람이 x \succ_i y로 순위를 매길 때, 사회 전체가 항상 x \succ y로 순위를 매기는 경우이다.
  • 결정적: 어떤 연합이 모든 순서쌍에 대해 결정적인 경우.


목표는 '''결정적 연합'''이 결과를 통제하는 한 명의 유권자, 즉 독재자만 포함함을 증명하는 것이다.

아마르티아 센[22]과 아리엘 루빈스타인[23]의 증명을 간략화하면 다음과 같다.

  • 약하게 결정적: 어떤 연합이 (x, y)에 대해 약하게 결정적인 것은 연합 내 모든 유권자 i가 x \succ_i y로 순위를 매기고, 연합 외부의 모든 유권자 j가 y \succ_j x로 순위를 매길 때, x \succ y인 경우이다.


사회적 선택 시스템이 무제한 영역, 파레토 효율성, IIA를 만족하고 3개 이상의 고유한 결과가 있다고 가정한다.
필드 확장 보조정리: 만약 어떤 연합 G가 어떤 x \neq y에 대해 (x, y)에 대해 약하게 결정적이라면, 그것은 결정적이다.
증명: z를 x, y와 구별되는 결과라고 하자.

  • 주장: G는 (x, z)에 대해 결정적이다.


G의 모든 사람이 x를 z보다 높게 투표하고, IIA에 의해 y에 대한 투표를 바꾸는 것은 x, z에 영향을 미치지 않는다. G에서는 x \succ_i y \succ_i z이고, G 외부에서는 y \succ_i x 및 z가 되도록 투표를 변경한다.

파레토에 의해, y \succ z이다. 연합의 (x, y)에 대한 약한 결정성에 의해, x \succ y이므로 x \succ z이다.

마찬가지로, G는 (z, y)에 대해 결정적이다. 반복을 통해 G가 X의 모든 순서쌍에 대해 결정적임을 알 수 있다.
그룹 축소 보조정리: 만약 어떤 연합이 결정적이고 크기가 \geq 2라면, 그것은 또한 결정적인 적절한 부분집합을 갖는다.
증명: G를 크기가 \geq 2인 연합이라고 하고, G_1, G_2로 분할한다.

x, y, z를 고정하고 다음과 같은 투표 패턴을 설계한다. (콘도르세 역설을 일으키는 순환 투표 패턴)

\begin{align}

\text{G_1 내 유권자들}&: x \succ_i y \succ_i z \\

\text{G_2 내 유권자들}&: z \succ_i x \succ_i y \\

\text{G 외부 유권자들}&: y \succ_i z \succ_i x

\end{align}

G가 결정적이므로, x \succ y이다. 따라서 x \succ z 또는 z \succ y이다.

x \succ z이면, G_1은 (x, z)에 대해 약하게 결정적이다. z \succ y이면, G_2는 (z, y)에 대해 약하게 결정적이다. 필드 확장 보조정리를 적용한다.

파레토에 의해, 유권자 전체 집합은 결정적이다. 그룹 축소 보조정리에 의해, 크기가 1인 결정적 연합, 즉 독재자가 존재한다.
결정적 유권자가 하나뿐임을 보이는 증명1980년 살바도르 바르베라가 처음 고안한 증명이다.[24] 경제 이론에 발표된 증명을 바탕으로 간략화했다.[25][26]

총 n명의 유권자가 있고, 각 유권자에게 ID 번호를 할당하여 투표 변경 시 신원을 추적한다. 일반성을 잃지 않고 A, B, C 세 후보가 있다고 가정한다.

만장일치와 무관한 대안의 독립성(IIA)을 준수하는 모든 사회적 선택 규칙이 독재임을 증명한다.
1. 결정적 유권자 확인:모든 사람이 '''A'''를 '''B'''보다, '''C'''를 '''B'''보다 선호하는 상황(''프로필[0, x]'')에서 시작한다. 만장일치로 사회는 '''A'''와 '''C''' 모두를 '''B'''보다 선호한다.

모든 사람이 '''B'''를 선호하면, 사회는 '''B'''를 선호한다. 각 유권자의 투표용지에서 '''B'''를 상단으로 이동시키면서, '''B'''가 사회적 순위에서 '''A''' '''위로''' 처음 이동하는 프로필 번호 ''k''가 있다. 이 유권자 ''k''를 '''B'''가 '''A'''보다 '''상위에 있는 결정적 유권자'''라고 한다.

IIA에 따라, ''프로필 0''에서 모든 유권자가 '''A'''를 '''B'''보다 상위에 두어도, '''B'''가 '''A'''보다 상위에 있는 결정적 유권자는 ''k''이다.
2. 부분적 독재자 증명:
썸네일


결정적 유권자(''k'')가 '''B'''에 대한 '''C'''의 사회적 결정을 결정함을 보인다.

1부터 ''k − 1''까지를 '세그먼트 1', ''k + 1''부터 ''N''까지를 '세그먼트 2'라고 한다.

  • 세그먼트 1: '''B''' > '''C''' > '''A'''
  • 결정적 유권자: '''A''' > '''B''' > '''C'''
  • 세그먼트 2: '''A''' > '''B''' > '''C'''


1부에 따라 사회는 '''A''' > '''B'''이고, 만장일치로 '''B''' > '''C'''이다.

결정적 유권자가 '''B''' > '''A''', '''C''' 위치는 그대로, 다른 유권자들은 '''A''' 위치 변경 없이 '''B''' < '''C'''로 변경하면, 1부의 ''프로필 k''와 같아져 사회는 '''B''' > '''A'''이다. IIA에 따라 '''A''' > '''C'''이므로, 결정적 유권자는 '''B'''에 대한 '''C'''의 독재자이다.
3. 동일인 증명:


'''B''' 대 '''C'''의 결정적 투표자는 '''B''' 대 '''C'''의 독재자보다 앞이거나 같다. '''B'''와 '''C'''를 바꾸면, '''C''' 대 '''B'''의 결정적 투표자는 '''B''' 대 '''C'''의 독재자보다 뒤거나 같다.

''k''X/Y를 '''X''' 대 '''Y'''의 결정적 투표자 위치라고 하면:

''k''B/C ≤ kB/A ≤ ''k''C/B

'''B'''와 '''C'''를 바꿔 반복하면:

''k''C/B ≤ ''k''B/C

따라서:

''k''B/C = kB/A = ''k''C/B

다른 쌍에 대한 논증도 모든 결정적 투표자가 같은 위치임을 보인다. 이 투표자가 전체 선거의 독재자이다.

6. 이론의 발전과 확장

사회적 선택 이론에서는 애로의 불가능성 정리의 부정적인 결론에서 벗어나기 위한 많은 연구가 진행되었다. 이러한 연구는 크게 두 가지 방향으로 분류할 수 있다.


  • 애로의 사회후생함수와 동일하게 개인의 선호 순서 프로파일을 독립변수로 하는 함수를 고찰하는 경우
  • 기타 유형의 규칙을 고찰하는 경우


두 접근 방식은 중복되는 경우가 많으므로, 여기서는 이들을 함께 다룬다. 애로가 제시한 조건을 완화하거나 다른 조건으로 대체하여 가능성을 탐색하는 것이 이러한 접근 방식의 특징이다.

사회적 의사결정의 목표는 모든 선택지를 순서대로 정하는 것이 아니라, 어떤 선택지를 선택할 것인가에 초점을 맞추는 경우가 많다. 이러한 접근 방식은 선호 프로파일을 선택지로 옮기는 "사회적 선택 함수" 또는 선호 프로파일을 선택지의 부분 집합으로 옮기는 "사회적 선택 규칙"을 연구 대상으로 한다. 기브어드-새터스웨이트 정리에 따르면, 3개 이상의 선택지를 치역에 포함하는 사회적 선택 함수가 전략에 영향을 받지 않는다면 그 함수는 독재적이다.

사회적 선택 규칙의 경우, 어떤 사회적 선호에 의한 최대 요소("최선"의 선택지)를 선택하는 규칙을 생각할 수 있다. 이러한 최대 요소의 집합을 "핵(코어)"이라고 한다. 핵에 선택지가 존재하기 위한 조건은 두 가지 접근 방식으로 연구되었다. 첫 번째는 선호가 적어도 비순환적임을 가정하는 것이다. 이는 선호가 임의의 유한한 부분 집합에서 최대 요소를 가지기 위한 필요충분조건이며, 추이성의 완화와 관련이 있다. 두 번째 접근 방식은 비순환적인 선호 가정을 버리고, 개인의 선호가 최대 요소를 갖는다는 가정 하에 사회적 선호가 최대 요소를 갖기 위한 조건을 검증한다. 이 두 접근 방식에 대한 자세한 내용은 나카무라 수를 참조하면 된다.

애로의 불가능성 정리를 극복하기 위한 다양한 시도들은 다음과 같다.

  • '''무한한 개인:''' 선택 공리를 가정하면, 무한히 많은 유권자에 대해 애로의 모든 조건을 만족시키는 것이 가능하다는 것이 증명되었다.(피시번)[55] 그러나 키르만과 손더만은 대부분의 사회 구성원을 투표에서 배제해야 함을 보였고, 이러한 사회를 "보이지 않는 독재"라고 불렀다.[56] 유한한 투표자 수를 가정하지 않으면 애로의 다른 조건을 만족하는 집계 규칙이 존재하지만, 초필터라는 비구성적인 수학적 존재에 의존하여 실용적인 의미는 적다. 키르만과 손더만은 이러한 집계 규칙에는 "보이지 않는 독재자"가 존재한다고 주장하며, 미하라는 이러한 규칙이 알고리즘적으로 계산 불가능함을 보였다.
  • '''선택지의 수 제한:''' 메이의 정리에 따르면, 선택지가 두 개인 경우 단순 다수결만이 바람직한 조건을 만족한다. 애로의 불가능성 정리는 세 개 이상의 선택지가 있을 때의 어려움을 보여준다. 나카무라 수는 선택지의 수가 특정 정수 미만이라면 의사결정 규칙이 잘 작동하고, 그 이상이라면 순환이 발생할 수 있음을 보여준다. 다수결의 나카무라 수는 3이므로 (투표자가 4명인 경우 제외), 다수결은 두 개까지의 선택지에서 잘 작동한다. 과반수를 초과하는 지지를 요구하는 규칙은 나카무라 수가 3보다 커질 수 있지만, 애로의 다른 조건을 만족시키지 못한다.
  • '''정의역의 제한:''' 선호 집계 규칙의 정의역, 즉 예상되는 선호를 제한하는 접근법으로, "단봉성(單峰性)"을 가정하는 것이 대표적이다. 선택지가 순서대로 나열되어 있고, 선호가 이 순서에 대해 "단봉형(單峰型)" (최고점이 존재하고, 그 점에서 멀어질수록 바람직하지 않은 선택지가 되는 형태)이라면, 다수결을 포함한 집계 규칙은 비순환적인 사회적 선호를 갖는다. 홀수 명의 다수결에서는 사회적 선호가 추이적이며, "최고의" 선택지는 각 개인 최고점의 중앙값이 된다 (Black의 "중위투표자 정리"). 다차원 선택지 집합에서도 단봉형 선호를 정의할 수 있지만, "중앙값" 선택지를 특정할 수 있는 경우는 예외적이며, 일반적으로는 McKelvey의 "카오스 정리"가 보여주는 파괴적인 결과가 나타난다.[1]
  • '''추이성의 완화:''' 사회적 선호의 추이성을 완화하면, 애로의 다른 조건을 만족하는 비독재적인 선호 집계 규칙이 존재한다. 그러나 중립성(선택지를 공평하게 다루는 조건)을 부과하면 '거부권'을 가진 개인이 존재하여, 해결의 효과가 제한적이다. 사회적 선호가 "반추이적"(강선호 \succ 가 추이적)이기만 하면, 독재자가 없는 규칙은 존재하지만 "과두제"가 발생한다. 사회적 선호가 "비순환적"이기만 하면, 선택지 수가 개인 수 이상이라는 제약 하에 "합의정체"가 발생한다. 거부권을 가진 개인이 있다면 이 공통 부분에 속하며, 중립성을 요구하면 거부권을 가진 개인이 실제로 존재한다.
  • '''무관한 대안으로부터의 독립성(IIA) 완화:''' IIA는 의사결정 이론에서 받아들여지는 공리 중 하나로, 두 대안 중 하나를 결정할 때 제3의 선택지에 대한 의견은 영향을 주지 않아야 함을 의미한다.[1] 이는 스포일러 효과와 관련이 있다.[17] IIA는 시드니 모겐베서의 일화로 설명되기도 한다.[19] 식당에서 애플 파이를 주문한 모겐베서는 체리 파이도 가능하다는 말을 듣고 블루베리 파이로 주문을 바꾼다. 애로의 정리는 순위 정보만으로는 이러한 자기 모순을 피하며 사회적 결정을 내리는 것이 불가능함을 보여준다.[19] IIA 조건을 완화하려는 시도가 있었고, 순위 선호 방식 연구자들은 IIA가 지나치게 강한 기준이며 실제 선거 제도에서 만족되지 않는다고 주장한다. IIA 기준의 결함은 순환 선호의 가능성에서 명확하게 드러난다. 예를 들어 세 명의 유권자가 A > B > C, B > C > A, C > A > B로 투표한 경우, 다수결에 따르면 순환 관계가 발생한다. 따라서 "다수표를 얻은 후보가 승리한다"는 원칙을 지키면서 사회적 선호가 추이적이도록 하려면 IIA 기준을 만족하는 것은 불가능하다. 애로의 정리는 다수결 선거 제도가 비자명적인 게임이며, 게임 이론을 통해 결과를 예측해야 함을 시사한다. IIA 속성은 현실적인 인간의 의사결정에서 만족되기 어려울 수 있다. 보르다 계수 등 IIA 이외의 조건을 만족하는 규칙이 존재하지만, 전략적 투표에 취약하다는 문제가 있다.

6. 1. 무한한 개인

피시번(Peter C. Fishburn)은 선택 공리를 가정하면, 무한히 많은 유권자(셀 수 없이 많은 집합)에 대해 애로의 모든 조건을 만족시킬 수 있음을 보였다.[55] 그러나 키르만과 손더만은 이것이 사회 구성원 중 거의 대부분(적격 유권자 집합은 0의 측도를 가짐)을 투표권에서 배제해야 함을 보여주었고, 이러한 사회를 "보이지 않는 독재"라고 부른다.[56]

투표자 수가 유한하다는 가정을 없애면, 애로의 다른 모든 조건을 만족하는 집계 규칙이 존재한다는 것을 일부 연구자들이 지적했다. 그러나 그러한 집계 규칙은 초필터라고 불리는 매우 비구성적인 수학적 존재에 의존하기 때문에 실용적인 의미는 희박하다. 특히 키르만(Kirman)과 손더만(Sondermann)은 그러한 집계 규칙의 배후에는 "보이지 않는 독재자"가 존재한다고 말한다. 미하라(Mihara)는 그러한 집계 규칙이 알고리즘적으로 계산 가능하지 않다는 것을 보였다. 이러한 결과는 애로의 정리의 견고함을 보여주는 것으로 간주할 수 있다.

6. 2. 선택지의 수 제한

메이의 정리에 따르면 선택지가 두 개인 경우에는 단순 다수결만이 몇 가지 바람직한 조건(선택지와 투표자를 평등하게 다루는 것, 선택지에 대한 지지의 증가가 부정적인 효과를 주지 않는 것 등)을 만족한다. 한편 애로의 정리는 세 개 이상의 선택지가 있을 때의 집단적 결정의 어려움에 대해 서술하고 있다. 선택지가 세 개 미만일 때와 세 개 이상일 때 왜 뚜렷한 차이가 나는지를 더 일반적으로 보여준 것이 (심플 게임의 핵심과 관련된) '''나카무라의 정리'''이다. 이는 선택지의 수가 '''나카무라 수'''라고 불리는 정수 미만이라면 의사결정 규칙은 잘 선택을 할 수 있고, 그 정수 이상이라면 사람들의 선호에 따라 순환(투표의 역설)이 일어날 수 있다는 것을 보여준다. 다수결의 나카무라 수는 (투표자가 4명인 경우를 제외하면) 3이므로, 나카무라의 정리에 의해 다수결은 두 개까지의 선택지로부터라면 잘 선택을 할 수 있다는 것을 알 수 있다. 과반수를 초과하는 지지(전체의 2/3 등 supermajority)를 요구하는 규칙에서는 나카무라 수가 3보다 커질 수 있지만, 그러한 규칙은 애로의 다른 조건을 만족시키지 않는다.

6. 3. 정의역의 제한

사회적 선택 이론에서는 애로의 불가능성 정리의 부정적 결론을 벗어나려는 많은 연구가 진행되어 왔다. 그중 하나는 선호 집계 규칙의 정의역, 즉 예상하는 선호를 제한하는 접근법으로, "단봉성(單峰性)"을 가정하는 것이 유명하다.

선택지가 순서대로 왼쪽에서 오른쪽으로 나열되어 있다고 가정한다. 선호가 이 순서에 대해 "단봉형(單峰型)이다"라는 것은, 어떤 최고(ピーク)가 되는 선택지가 존재하고, 그 최고점에서 왼쪽으로 갈수록 바람직하지 않은 선택지가 되고, 또 그 최고점에서 오른쪽으로 갈수록 바람직하지 않은 선택지가 된다는 것이다(가로축에 선택지를 순서대로 나열했을 때, 효용 함수의 그래프가 한 점만 최고점을 가진다). 주어진 선택지의 순서에 대해 모든 사람의 선호가 단봉형인 프로파일로 정의역을 제한하면, 다수결을 비롯한 ("단순(シンプル)"이라고 불리는) 집계 규칙은 비순환적인 사회적 선호를 갖는다. 특히 홀수 명의 다수결에서는 사회적 선호는 추이적이 되고, "최고의" 선택지는 각 개인의 최고점의 중앙값이 된다(Black의 "중위투표자 정리"). 다차원의 선택지 집합에서도 "단봉형(單峰型)이다"라는 선호를 정의할 수 있지만, "중앙값"에 해당하는 선택지를 특정할 수 있는 것은 예외적인 경우에 불과하고, 일반적으로는 McKelvey의 "카오스 정리"가 보여주는 파괴적인 결과(즉, 임의의 선택지 x, y에 대해, x에 x_1이 다수결로 이기고, x_1에 x_2가 다수결로 이기고, …, x_k에 y가 다수결로 이기는 선택지의 열을 찾을 수 있다)가 된다.[1]

6. 4. 추이성의 완화

사회적 선호의 추이성을 완화함으로써, 애로의 다른 조건들을 만족하는 비독재적인 선호 집계 규칙이 존재한다는 것이 알려져 있다. 그러나 이러한 함수에 중립성(선택지를 공평하게 다루는 조건)을 부과하면 '거부권'을 가진 개인이 존재하기 때문에, 이러한 접근 방식에 의한 해결의 효과도 제한적이다.

먼저 사회적 선호가 추이적이라는 요구를 약화시켜 "반추이적"("더 바람직하다"를 나타내는 강선호 \succ 가 추이적임: x \succ y 이고 y \succ z 이면 x \succ z 가 된다)인 것만을 요구하면, 확실히 독재자가 없는 선호 집계 규칙은 존재하지만, 그러한 함수에서는 "과두제"(oligarchy)가 발생한다. 즉, 어떤 연합 L이 존재하여 L 자신은 "결정력을 가지며"(decisive; L의 구성원 모두가 x를 y보다 선호하면 사회적 선호에서 x가 y보다 바람직해진다), L의 구성원 한 명 한 명이 "거부권을 가진다"(그가 x를 y보다 선호하면 사회적 선호에서 y가 x보다 바람직해지는 것을 막을 수 있다).

사회적 선호가 추이적이라는 요구를 약화시켜 "비순환적"(다음과 같은 순환을 발생시키는 선택지 x_1, \ldots, x_k 가 존재하지 않음: x_1 \succ x_2, x_2 \succ x_3, \ldots, x_{k-1} \succ x_k, x_k \succ x_1)인 것만을 요구하면, 선택지 수가 개인 수 이상이라는 제약 하에서는 "합의정체"(collegium)가 발생한다. 즉, 결정력을 가진 모든 연합의 공통 부분("collegium")에 속하는 개인이 존재한다. 만약 거부권을 가진 개인이 있다면 이 공통 부분에 속한다. 더욱이 중립성을 요구하면 거부권을 가진 개인이 실제로 존재한다. Brown의 정리에서 공백으로 남겨진 선택지 수가 개인 수 미만이고 비순환성만을 가정한 경우에는, 나카무라 수가 결정적인 역할을 한다. "선택지 수의 제한" 항목을 참조.

6. 5. 무관한 대안으로부터의 독립성 (IIA) 완화

무관한 대안의 독립성(IIA)은 합리적 선택에서 일반적으로 받아들여지는 공리 중 하나로, 두 대안 A와 B 중 하나를 결정할 때, 제3의 선택지 C에 대한 의견은 결정에 영향을 주어서는 안 된다는 것을 의미한다.[1] 즉, 유권자들이 A와 C, 혹은 B와 C 사이의 선호도를 바꾸더라도, A와 B 사이의 사회적 선호도는 바뀌지 않아야 한다.[2] 이는 스포일러 후보 문제와 관련이 있다.[17]

IIA는 종종 시드니 모겐베서의 일화로 설명된다.[19] 식당에서 디저트로 애플 파이를 주문한 모겐베서는 웨이트리스로부터 체리 파이도 가능하다는 말을 듣고, 블루베리 파이로 주문을 바꾼다.

애로의 불가능성 정리는 순위 정보만으로는 이러한 자기 모순을 피하면서 사회적 결정을 내리는 것이 불가능함을 보여준다.[19]

이러한 역설을 피하기 위해 IIA 조건을 완화하려는 여러 시도가 있었다. 순위 선호 방식 연구자들은 IIA가 지나치게 강한 기준이며, 대부분의 실제 선거 제도에서 만족되지 않는다고 주장한다.

IIA 기준의 결함은 순환 선호의 가능성에서 명확하게 드러난다. 예를 들어, 세 명의 유권자가 다음과 같이 투표한 경우를 생각해 보자.

  • 1명: A > B > C
  • 1명: B > C > A
  • 1명: C > A > B


이 경우, 다수결에 따르면 A는 B를, B는 C를, C는 A를 이기는 순환 관계가 발생한다. 따라서 "다수표를 얻은 후보가 승리한다"는 기본 원칙을 지키면서 사회적 선호가 추이적이도록 하려면, IIA 기준을 만족하는 것은 불가능하다.

결론적으로, 애로의 정리는 다수결 선거 제도가 비자명적인 게임이며, 게임 이론을 통해 그 결과를 예측해야 함을 시사한다.

IIA 속성은 현실적인 인간의 의사결정에서는 만족되기 어려울 수 있다. 왜냐하면 선호 순위는 여러 속성의 가중치에 따라 달라지며, 이 가중치는 '무관한' 선택지에 의해 만들어진 맥락에 영향을 받을 수 있기 때문이다.

보르다 규칙 등 IIA 이외의 조건을 만족하는 선호 집계 규칙이 존재하지만, 이들은 전략적 조작에 취약하다는 문제가 있다.

6. 6. 사회적 선호가 아닌 사회적 선택

사회적 선택 이론에서는 애로의 불가능성 정리의 부정적 결론을 벗어나려는 많은 연구가 진행되어 왔다. 여기서는 그중 일부를 (i) 애로의 사회후생함수와 동일한 정의역을 갖는 함수(개인의 선호 순서 프로파일을 독립변수로 하는 함수)를 고찰하는 것, (ii) 기타 유형의 규칙을 고찰하는 것으로 분류하여 제시한다.

이 항목에서는 (i) 사회후생함수를 비롯한 “선호 집계 규칙”(개인 선호의 프로파일에서 사회적 선호로의 함수)을 다루는 것과, 그 이외의 (ii) 선호 프로파일에서 선택지 등으로의 함수를 다루는 것을 포함한다. 이 두 가지 접근 방식은 중복되는 경우가 많으므로, 여기서는 이들을 동시에 다룬다. 이러한 접근 방식의 특징은 애로가 제시한 조건을 없애거나 완화하거나 다른 것으로 대체하여 가능성을 탐색하는 데 있다.

사회적 의사결정에서는 모든 선택지를 순서대로 정하는 것이 일반적인 목표가 아니며, 어떤 선택지를 선택하면 되는 경우가 많다. 이러한 접근 방식은 선호 프로파일을 선택지로 옮기는 「사회적 선택 함수」 또는 선호 프로파일을 선택지의 부분 집합으로 옮기는 「사회적 선택 규칙」을 연구 대상으로 한다. 사회적 선택 함수에 대해서는 기브어드-새터스웨이트 정리가 잘 알려져 있다. 이 정리는 3개 이상의 선택지를 치역에 포함하는 사회적 선택 함수가 전략에 영향을 받지 않는다면 그 함수는 독재적임을 보여준다.

사회적 선택 규칙에 대해서는, 그 배후에 어떤 사회적 선호가 존재한다고 가정할 필요가 없다. 즉, 어떤 사회적 선호에 의한 최대 요소(「최선의」 선택지)를 선택하는 규칙을 생각한다. 어떤 사회적 선호에 의한 최대 요소의 집합을 「핵(코어)」이라고 부른다. 핵에 선택지가 존재하기 위한 조건에 대해서는, 지금까지 두 가지 접근 방식에 의해 조사되어 왔다. 첫 번째 접근 방식은 선호가 적어도 비순환적임을 가정한다(이는 선호가 임의의 유한한 부분 집합에서 최대 요소를 가지기 위한 필요충분조건이다). 따라서 추이성의 완화와 밀접하게 관련되어 있다.

다른 한 가지 접근 방식은 비순환적인 선호의 가정을 버린다. Kumabe & Mihara (2010)는 이것을 채택하고 있다. 그 안에서는, 보다 직접적으로 개인의 선호가 최대 요소를 갖는다고 가정한 위에서, 사회적 선호가 최대 요소를 갖기 위한 조건을 검증하고 있다. 이들 두 가지 접근 방식에 대한 자세한 내용은 나카무라 수를 참조하시오.

7. 현실적 해결 방안 및 해석

애로의 불가능성 정리는 현실적으로 완벽한 투표 제도를 만드는 것이 불가능함을 보여주지만, 다양한 해결 방안 및 해석이 존재한다.
IIA 실패 최소화: 다수결 방식콩도르세의 예시는 공정한 순위투표 시스템이 불가능함을 보여준다.[20] 세 명의 후보자와 세 명의 유권자가 있을 때, 각 유권자는 일관된 선호도를 가지지만 사회 전체의 선호도는 모순되는 경우가 발생할 수 있다. (A>B, B>C, C>A)

이러한 문제 때문에 다수결 또는 콩도르세 방법론이 연구되었다. 이 방법은 콩도르세 순환으로 인해 스포일러 효과를 제한하며, 순위 규칙 중 스포일러 효과 가능성을 최소화한다.[9] 콩도르세는 투표 규칙이 무관한 대안의 독립성과 다수결 원칙을 모두 충족해야 한다고 보았다.[20] 그러나 이 규칙은 일부 선호도 프로필에서 비이행적일 수 있다.[29]

결선 투표제(RCV)나 선호도 다수결[6]과 같은 다원주의 규칙과 달리, 콩도르세 방법론은 비순환 선거에서 스포일러 효과를 피한다. 정치학자들은 이러한 순환이 드물어 실제적 관심사가 제한적일 수 있다고 본다.[11] 공간 투표 모델 또한 이러한 역설이 드물거나[30][10] 존재하지 않을 가능성이 높음을 시사한다.[12]
단봉형 선호와 좌우 스펙트럼던컨 블랙은 중간 유권자 정리를 통해 유권자와 후보가 좌우 스펙트럼상에 배열될 경우, 애로의 조건들이 모두 양립 가능하며 콩도르세의 다수결 원칙을 만족하는 규칙에 의해 충족됨을 보였다.[12][31]

블랙의 정리는 선호도가 ''단봉형''일 때, 즉 유권자의 만족도가 특정 스펙트럼을 따라 증가했다 감소할 때 사회적 선호도가 비순환적임을 보여준다. 이 상황에서 콩도르세 방법은 스포일러 방지 등 바람직한 특성을 만족한다.[12][13][9]

이 규칙은 맥켈비-스코필드 혼돈 정리와 관련된 결과로 인해 정치적 스펙트럼에서 정치적 나침반으로 일반화되지 않는다.[12][32] 그러나 유권자 분포가 회전 대칭이거나 고유하게 정의된 중간값을 가지면 잘 정의된 콩도르세 승자가 존재한다.[33][34] 유권자 의견이 정규 분포를 따르거나 1~2차원으로 요약될 수 있는 현실적인 상황에서 콩도르세 순환은 드물다.[30][8]
일반화된 안정성 정리1977년, 에후드 카라이와 에이탄 뮬러는 비독재적이고 전략적 방지를 만족하는 사회 복지 함수가 허용하는 도메인 제한에 대한 특징을 제시했는데, 이는 콘도르세 승자가 있는 선호도에 해당한다.[35]

캠벨-켈리 정리는 콘도르세 방법이 순위 투표 시스템 중 가장 스포일러에 강함을 보여준다.[9] 즉, 어떤 순위 투표 시스템이 스포일러 효과를 피할 수 있다면 콘도르세 방법도 가능하다.[9]
평점 투표애로의 불가능성 정리는 순위 투표 방식에 의존하므로 평점 투표 방식에는 적용되지 않아, 평점 투표 방식이 애로의 기준을 모두 만족할 가능성이 열려있다.[36] 평점 투표는 유권자가 후보를 수치 척도(예: 0~10)로 평가하고 평균(점수 투표) 또는 중앙값(점진적 다수 판단)이 높은 후보를 선택한다.[36]

평점 방식이 스포일러 효과에 면역이 되는지는 다른 결과를 통해 판단해야 한다.[37] 범위 투표 및 다수 판단과 같은 일부 평점 시스템은 유권자가 후보자를 절대적 척도로 평가할 때 무관한 대안의 독립성을 만족시킨다.[38] 그러나 상대적 척도를 사용하면 IIA를 만족하지 못하는 불가능성 정리도 존재한다.[38]

애로의 불가능성 정리는 등급 시스템에 적용되지 않지만, 기바드의 정리는 여전히 적용되어 어떤 투표 게임도 솔직한 전략을 가질 수 없다.[43]

7. 1. IIA 실패 최소화: 다수결 방식

콩도르세의 예시는 애로우의 정리가 가정하는 것보다 더 강력한 공정성 조건을 고려할 때, 공정한 순위투표 시스템의 불가능성을 보여주기에 충분하다.[20]

세 명의 후보자 (A, B, C)와 다음과 같은 선호도를 가진 세 명의 유권자가 있다고 가정해 보자.

유권자1순위2순위3순위
유권자 1ABC
유권자 2BCA
유권자 3CAB



C가 승자로 선택된다면, 어떤 공정한 투표 시스템이라도 두 명의 유권자(1과 2)가 C보다 B를 선호하고 한 명의 유권자(3)만이 B보다 C를 선호하기 때문에 B가 승리해야 한다고 주장할 수 있다. 그러나 같은 논리로 A가 B보다 선호되고, C가 A보다 선호된다. 각 경우 모두 2대 1의 차이로 말이다. 따라서 각 유권자는 일관된 선호도를 가지고 있음에도 불구하고, 사회의 선호도는 모순적이다. A가 B보다 선호되고, B가 C보다 선호되고, C가 A보다 선호되는 것이다.

이러한 예시 때문에 일부 저자들은 콩도르세가 애로우 정리의 핵심을 제시하는 직관적인 논거를 제시했다고 평가한다.[20]

경제학자들이 처음 연구한 방법론 집합은 다수결 또는 콩도르세 방법론이다. 이러한 규칙은 다수결이 자체적으로 모순되는 상황, 즉 콩도르세 순환으로 스포일러 효과를 제한하며, 결과적으로 순위 규칙 중 스포일러 효과의 가능성을 독특하게 최소화한다. (실제로, 많은 서로 다른 사회 후생 함수가 영역의 제한 하에서 애로우의 조건을 충족할 수 있다. 그러나 이러한 제한 하에서 애로우의 기준을 준수하는 사회 후생 함수가 존재한다면, 콩도르세 방법론도 애로우의 기준을 준수한다는 것이 증명되었다.[9]) 콩도르세는 투표 규칙이 무관한 대안의 독립성과 다수결 원칙 둘 다를 충족해야 한다고 믿었다. 즉, 대부분의 유권자가 ''앨리스''를 ''밥''보다 앞에 순위를 매기면, ''앨리스''가 선거에서 ''밥''을 이겨야 한다.[20]

불행히도 콩도르세가 증명했듯이, 이 규칙은 일부 선호도 프로필에서 비이행적일 수 있다.[29] 따라서 콩도르세는 애로우보다 훨씬 앞서, 두 후보 경쟁의 경우 투표 시스템이 단순 다수결 투표에 동의한다는 더 강력한 가정 하에 애로우의 불가능성 정리의 약한 형태를 증명했다.[20]

결선 투표제(RCV) 또는 선호도 다수결[6]과 같은 다원주의 규칙과 달리,[6] 콩도르세 방법론은 후보를 다수결로 선택할 수 있는 비순환 선거에서 스포일러 효과를 피한다. 정치학자들은 이러한 순환이 상당히 드물다는 것을 발견하여, 실제적 관심사가 제한적일 수 있음을 시사한다.[11] 공간 투표 모델 또한 이러한 역설이 드물거나[30][10] 심지어 존재하지 않을 가능성이 높음을 시사한다.[12]

7. 2. 단봉형 선호와 좌우 스펙트럼

애로가 자신의 정리를 발표한 직후, 던컨 블랙은 주목할 만한 결과인 중간 유권자 정리를 보였다. 이 정리는 유권자와 후보가 좌우 스펙트럼상에 배열되어 있다면, 애로의 조건들은 모두 완전히 양립 가능하며, 콩도르세의 다수결 원칙을 만족하는 모든 규칙에 의해 충족될 것임을 증명한다.[12][31]

좀 더 공식적으로, 블랙의 정리는 선호도가 ''단봉형''이라고 가정한다. 즉, 유권자의 후보에 대한 만족도는 후보가 어떤 스펙트럼을 따라 이동함에 따라 증가했다가 감소한다. 예를 들어, 친구들이 음악의 볼륨 설정을 선택하는 그룹에서 각 친구는 자신의 이상적인 볼륨을 가질 것이다. 볼륨이 점점 너무 크거나 너무 작아짐에 따라 그들은 점점 불만족스러워할 것이다. 영역이 선형 순서에 대해 모든 개인이 단봉형 선호도를 갖는 프로필로 제한된다면, 사회적 선호도는 비순환적이다. 이러한 상황에서 콩도르세 방법은 스포일러 방지 기능을 포함하여 다양한 매우 바람직한 특성을 만족한다.[12][13][9]

이 규칙은 정치적 스펙트럼에서 정치적 나침반으로 완전히 일반화되지 않는데, 이는 맥켈비-스코필드 혼돈 정리와 관련된 결과이다.[12][32] 그러나 유권자의 분포가 회전 대칭이거나 그렇지 않으면 고유하게 정의된 중간값을 갖는 경우, 잘 정의된 콩도르세 승자는 존재한다.[33][34] 유권자의 의견이 대략 정규 분포를 따르거나 하나 또는 두 개의 차원으로 정확하게 요약될 수 있는 대부분의 현실적인 상황에서 콩도르세 순환은 드물다(하지만 전례가 없는 것은 아니다).[30][8]

7. 3. 일반화된 안정성 정리

1977년, 에후드 카라이와 에이탄 뮬러는 비독재적이고 전략적 방지를 만족하는 사회 복지 함수가 허용하는 도메인 제한에 대한 완전한 특징을 제시했는데, 이는 콘도르세 승자가 있는 선호도에 해당한다.[35]

캠벨-켈리 정리는 콘도르세 방법이 순위 투표 시스템 중 가장 스포일러에 강한 방법임을 보여준다. 즉, 어떤 순위 투표 시스템이 스포일러 효과를 피할 수 있다면 콘도르세 방법도 그렇게 할 수 있다.[9] 다시 말해, 순위 방법을 콘도르세 변형으로 바꾸면(콘도르세 승자가 있으면 그 사람을 선출하고, 그렇지 않으면 해당 방법을 실행) 때때로 스포일러 효과를 방지할 수 있지만 새로운 스포일러 효과를 만들어낼 수는 없다.[9]

홀리데이와 파퀴트는 선거를 망칠 수 있는 후보자 수를 증명 가능하게 최소화하는 투표 시스템을 고안했지만, 때때로 투표 긍정성을 실패하는 경우도 있다(결선 투표에서 보이는 것보다 훨씬 낮은 비율이지만).[8]

7. 4. 평점 투표

애로의 불가능성 정리는 순위 투표 방식에 의존하여 증명되었기 때문에 평점 투표 방식에는 적용되지 않는다. 따라서 평점 투표 방식이 애로가 제시한 모든 기준을 만족할 가능성이 열려있다.[36] 평점 투표 방식은 유권자들이 후보자들을 수치 척도(예: 0~10)로 평가하고, 평균(점수 투표) 또는 중앙값(점진적 다수 판단)이 가장 높은 후보자를 선택한다.[36]

평점 방식이 스포일러 효과에 면역이 되는지, 그리고 어떤 상황에서 면역이 되는지는 다른 결과를 통해 판단해야 한다.[37] 범위 투표 및 다수 판단과 같은 일부 평점 시스템은 유권자가 후보자를 절대적 척도로 평가할 때 무관한 대안의 독립성을 만족시킨다.[38] 그러나 상대적 척도를 사용하는 경우에는 해당 방식이 여전히 무관한 대안의 독립성(IIA)을 만족하지 못한다는 것을 보여주는 불가능성 정리도 존재한다.[38] 애로가 언급했듯이, 상대적 평가는 순수 순위보다 더 많은 정보를 제공할 수 있지만,[39][40][46][41][42] 이 정보가 스포일러에 대한 면역성을 보장하기에는 충분하지 않다.

애로의 불가능성 정리는 등급 시스템에 적용되지 않지만, 기바드의 정리는 여전히 적용된다. 따라서 어떤 투표 게임도 솔직한(항상 최고의 전략이 하나만 있는) 전략을 가질 수 없다.[43]

8. 흔한 오해

애로의 불가능성 정리는 어떤 순위투표 규칙도 항상 무관한 대안으로부터의 독립성(IIA)을 만족시킬 수 없다는 것을 증명하지만, 이것이 모든 순위투표 방식에 결함이 있다는 의미는 아니다. 애로는 "대부분의 시스템은 항상 잘못 작동하는 것은 아니다. 내가 증명한 것은 모든 시스템이 때때로 잘못 작동할 수 있다는 것이다"라고 언급했다.[27][28]

흔히 오해하는 것과는 달리, 애로의 정리는 모든 투표 시스템이 아닌 순위 선택 투표 시스템에만 적용된다.[5][57] 또한, 이 정리는 전략적 투표와는 직접적인 관련이 없으며, 전략적 투표는 애로의 틀에 나타나지 않는다.[2][5]

단조성(애로우가 긍정적 연관성이라고 부름)은 애로의 정리의 조건이 아니다.[2] 애로우는 처음에 이 공리를 포함시켰지만, 실제로는 사용하지 않았다.[1]

애로의 정리는 "공정한 선거 제도는 존재하지 않는다"거나 "유일하게 결함 없는 투표 제도는 독재 제도이다"와 같은 표현으로 널리 알려져 있지만, 이는 단순화된 주장이며 일반적으로 옳다고 여겨지지 않는다. 애로의 정리가 실제로 의미하는 바는, 선호 순위가 투표에 유일하게 관련된 정보이고 모든 투표 조합이 각각 고유한 결과를 가져오는 결정적인 선호 투표 제도에서, 주어진 조건들을 모두 동시에 만족하는 것은 불가능하다는 것이다.

일부 연구자들은 IIA 조건이 지나치게 강하다고 주장하며, 이 기준을 완화하여 역설을 피하는 방법을 제안한다. 이들은 대부분의 실용적인 선거 제도에서 IIA가 만족되지 않는다고 지적한다. 예를 들어, 다음과 같은 투표 상황을 생각해 보자.


  • 1명은 A > B > C로 투표
  • 1명은 B > C > A로 투표
  • 1명은 C > A > B로 투표


이 경우, 다수결에 따르면 A는 B를 이기고, B는 C를 이기고, C는 A를 이기는 순환 관계가 발생한다. 따라서 "다수표를 얻은 후보가 승리한다"는 기본 원칙을 지키면서 사회적 선호가 추이적이 되도록 하려면, IIA 기준을 만족하는 것은 불가능하다.

결론적으로, 애로의 정리는 다수결 선거 제도가 비자명적인 게임이며, 게임 이론을 통해 선거 결과를 예측해야 함을 시사한다.

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