티티우스-보데의 법칙

3. 법칙의 발견과 역사

요한 다니엘 티티우스가 1766년에 처음 발견했다.^[4] 그는 샤를 보네의 저서를 번역하면서 행성 배열에 대한 자신의 생각을 추가했다. 이 내용은 보네의 원본과 다른 번역본에는 없는 내용으로, 번역서 7페이지 하단과 8페이지 상단에 추가되었다.

티티우스가 추가한 글은 두 부분으로 구성되어 있다. 첫 번째 부분은 태양으로부터 행성까지 거리의 순서를 설명한다.

:행성들이 서로 얼마나 떨어져 있는지 주목하고, 거의 모든 행성이 몸체의 크기에 맞는 비율로 서로 분리되어 있음을 인식하라. 태양에서 토성까지의 거리를 100부분으로 나누면, 수성은 태양으로부터 4부분, 금성은 4+3=7부분, 지구는 4+6=10부분, 화성은 4+12=16부분으로 분리된다. 그러나 화성에서 목성으로 가는 것은 이 정확한 진행에서 벗어난다는 점에 유의하라. 화성으로부터 4+24=28부분의 공간이 있지만, 아직 그곳에서 행성이 발견되지 않았다. 그러나 주 창조주가 그 공간을 비워두었을까? 전혀 그렇지 않다. 그러므로 우리는 이 공간이 의심할 여지 없이 아직 발견되지 않은 화성의 위성에 속한다고 가정하고, 또한 목성이 아직 망원경으로 발견되지 않은 작은 위성을 가지고 있을 수도 있다고 덧붙이자. 이 아직 탐구되지 않은 공간 다음으로, 4+48=52부분에서 목성의 영향권이 나타나고, 4+96=100부분에서 토성의 영향권이 나타난다.

1772년, 요한 엘레르트 보데는 자신의 저서에 티티우스를 인용하여 이 법칙을 소개했다.^[5] 보데는 티티우스의 공헌을 명확히 언급하며 이 법칙을 널리 알렸다.^[6]

:이 마지막 요점은 특히 알려진 6개의 행성이 태양으로부터의 거리에 따라 관찰하는 놀라운 관계에서 비롯된 것으로 보인다. 태양에서 토성까지의 거리를 100으로 잡으면, 수성은 태양으로부터 4부분으로 분리된다. 금성은 4+3=7이다. 지구는 4+6=10. 화성은 4+12=16이다. 이제 이 순서 정연한 진행에 틈이 생긴다. 화성 다음에는 4+24=28부분의 공간이 있는데, 아직 행성이 보이지 않았다. 우주의 창조주가 이 공간을 비워두었다고 믿을 수 있을까? 물론 그렇지 않다. 여기에서 우리는 4+48=52부분으로 목성의 거리에 도달하고, 마지막으로 4+96=100부분으로 토성의 거리에 도달한다.^[6]

4. 법칙의 수정 및 한계

1846년에 발견된 해왕성은 티티우스-보데 법칙에서 예상되는 38.8 천문단위와 크게 벗어난 평균 거리 30.1 천문 단위의 거의 원궤도를 가지고 있어 법칙의 신빙성에 의문이 제기되었다.^[36] 그러나 명왕성은 평균 거리 39.5 천문 단위로, 법칙에서 n=7에 해당하여 해왕성을 제외하고 명왕성을 7번째 행성으로 간주하면 법칙과 어느 정도 일치한다.

존 코치 아담스는 섭동을 통해 새로운 행성의 궤도를 계산할 때, n=7에 부합하는 값을 가정하면 이심률이 0.16으로 커져 해왕성보다 명왕성의 궤도와 비슷해지는 현상을 발견했다. 이후 아담스는 티티우스-보데 법칙에 의한 제한을 재검토하여 더 작은 이심률을 예측할 수 있었다.

티티우스-보데 법칙은 아이작 뉴턴의 만유인력의 법칙으로는 유도할 수 없으며, 태양계의 형성과 진화 과정에서 비롯된 법칙으로 추정된다. 18세기에 에마누엘 스베덴보리와 이마누엘 칸트 등이 제창한 성운설 이후 20건이 넘는 태양계 진화 가설이 제안되었고, 제러드 카이퍼나 오토 시미트가 제안한 가설 등이 현재까지 고찰되고 있다.

1913년, M.A. 블래그는 이 법칙을 재검토하여 더 정교한 공식을 제안했고,^[14] 1945년 D.E. 리처드슨은 독자적으로 블래그와 유사한 결론에 도달했다.^[17]

티티우스-보데 법칙과 실제 행성 궤도 간의 비교는 아래 표와 같다.

² 티티우스-보데 법칙에 근거하여 발견된 세레스는 1801년부터 1860년대까지 행성으로 간주되었으며, 명왕성은 1930년부터 2006년까지 행성으로 간주되었다. 현재는 둘 다 왜소행성으로 분류된다.³ 명왕성에 대해서는 티티우스-보데 법칙에 따른 거리와 실제 거리의 차이가 상당히 크지만, 해왕성을 빼고 명왕성을 7번째로 볼 경우 실제 거리 39.46과 이론 거리 38.8은 단 1.62%의 오차 밖에 나지 않는다. 티티우스-보데 법칙과 태양계의 진화 이론이 관계가 있다면 이는 중요한 지적이 될 수 있다.

4. 1. 블래그 공식

4. 2. 리처드슨 공식

5. 이론적 설명 및 비판

티티우스-보데의 법칙은 확고한 이론적 설명을 가지고 있지 않다. 궤도 공명과 자유도 부족의 조합이 이 법칙과 유사한 관계를 만들 수 있다는 주장이 제기되었다.^[19] 일부 학자들은 이 법칙이 단순한 수학적 우연의 일치라고 주장한다.^[13]

아이작 뉴턴의 만유인력의 법칙으로는 이 법칙을 설명할 수 없으며, 태양계의 형성과 진화 과정에서 비롯된 법칙으로 보인다. 에마누엘 스베덴보리와 이마누엘 칸트 등이 제창한 성운설을 시작으로, 제러드 카이퍼나 오토 시미트가 제안한 가설 등 20건이 넘는 태양계 진화 가설이 제안되었다.

니에토는 티티우스-보데의 법칙에 대한 최초의 현대적이고 포괄적인 검토를 수행하면서, 이 법칙이 천문학에 미치는 심리적 영향으로 인해 사람들이 항상 이 법칙의 원래 형태를 이론의 기초로 삼는 경향을 갖게 되었다고 지적했다.^[18] 그는 "향후 이론은 2의 진행 비율을 설명하려는 편견에서 벗어나야 한다"고 강조했다.^[1]

주요 궤도 천체의 궤도 공명은 장기적으로 안정적인 궤도가 없는 태양 주위의 영역을 생성한다. 행성 형성 시뮬레이션 결과는 무작위로 선택된 안정적인 행성계가 티티우스-보데 법칙을 만족시킬 가능성이 높다는 것을 보여준다.^[20]

베렌제르 뒤브룰(Bérengère Dubrulle)과 그라너(Graner)는 멱법칙 거리 규칙이 회전 불변성과 규모 불변성이라는 두 가지 대칭성을 갖는 행성계의 붕괴 구름 모델의 결과일 수 있음을 보여주었다.^[21][22]

티티우스-보데의 법칙이 천왕성까지의 행성에 정확하게 일치한 것은 우연에 의한 바가 크다. 한편, 이 법칙은 태양계의 행성 배치의 대략적인 경향을 간결한 수식으로 잘 나타낸 것이라는 측면도 있다.

티티우스-보데의 법칙은 0.4와 0.3×2ⁿ의 두 항의 합으로 나타낸다. 상수항 0.4가 없다면, 이 법칙은 등비수열에 따른 행성의 배치를 예측하게 된다. 중력의 역학은 스케일에 의존하지 않기 때문에, 행성계의 배치에 대해 무작위 배치나 등차수열적 배치가 아닌 등비적인 배치를 가정하는 것에는 일정한 합리성이 있다.^[37]

태양계 행성의 궤도는 완전히 등비적이지 않으며, (해왕성을 제외하면) 바깥쪽 행성일수록 궤도 간격의 비가 커지는 경향이 있다. 티티우스-보데의 법칙에서는 등비수열적인 행성 배치를 나타내는 0.3×2ⁿ의 항에 상수항 0.4를 더하고 있다. 이 상수항이 존재하기 때문에, 이 법칙에 의해 예측되는 행성 궤도 반경의 비는 바깥쪽 행성일수록 작아진다.^[37]

NASA의 우주선케플러가 발견한 외계 행성계는 태양계와 반대로 안쪽 행성일수록 궤도 반경의 비가 커지는 경향을 보인다.^[37]

6. 외계 행성계에의 적용

마틴 하윗은 티티우스-보데의 법칙을 약간 새롭게 표현하면 태양 주위의 행성 궤도뿐만 아니라 모행성 주위의 위성 궤도도 포함할 수 있다고 하였다.^[24] 이 새로운 표현은 “더모트의 법칙”으로 알려져 있다.

최근 발견된 외계 행성계 중에서는 이와 유사한 규칙이 적용되는지 확인할 수 있을 만큼 충분한 행성을 가진 시스템은 거의 없다. 55 캔크리에 대한 시도에서는 다음 방정식이 제시되었다.

:$~\; a\_n\; =\; 0.0142\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{\backslash left(\backslash ,0.9975\backslash ,\; n\backslash ,\backslash right)\}\; =\; 0.0142\; \backslash cdot\; \backslash bigl(\backslash ,\; 2.7115\; \backslash ,\backslash bigr)^n\; ~,$

그리고 $~\; n\; =\; 5\; ~$에서 2 에 발견되지 않은 행성 또는 소행성대를 예측했지만, 이는 논란의 여지가 있다.^[25][26] 또한, 55 캔크리 시스템의 가장 안쪽 행성의 궤도 주기와 장반경이 크게 수정되었다(2.817일에서 0.737일로, 0.038 에서 0.016 로 각각).^[27]

최근의 천문학적 연구에 따르면 다른 별 주위의 행성계가 티티우스-보데와 유사한 법칙을 따를 수 있다고 한다.^[28][29] Bovaird와 Lineweaver(2013)^[30]는 4개 이상의 행성이 포함된 68개의 외계 행성계에 일반화된 티티우스-보데 관계를 적용했다. 그들은 이 외계 행성계의 96%가 태양계보다 유사하거나 더 큰 범위로 일반화된 티티우스-보데 관계를 따른다는 것을 보여주었다. 잠재적으로 감지되지 않은 외계 행성의 위치는 각 시스템에서 예측되었다.^[30]

후속 연구에서는 68개의 행성계에 대해 예측된 97개의 행성 중 5개의 후보 행성을 감지했다. 이 연구는 실제 행성 수가 더 많을 수 있음을 보여주었다. 화성 및 수성 크기의 행성 발생률은 알려져 있지 않으므로, 작은 크기로 인해 많은 행성이 놓쳤을 수 있다. 명백한 불일치를 설명할 수 있는 다른 가능한 이유는 별을 통과하지 않는 행성이나 예측된 공간이 원반성 먼지로 채워지는 상황이 포함된다. 이러한 유형의 허용에도 불구하고 티티우스-보데 법칙 예측으로 발견된 행성 수는 예상보다 적었다.^[31]

2018년 논문에서는 TRAPPIST-1 주위에 가설적인 여덟 번째 행성인 "TRAPPIST-1i"의 아이디어가 티티우스-보데 법칙을 사용하여 제안되었다. TRAPPIST-1i는 티티우스-보데 법칙에만 근거하여 27.53 ± 0.83일의 궤도 주기로 예측되었다.^[32]

외계 행성 궤도의 원시 통계는 모든 외계 행성계에서 티티우스-보데와 유사한 법칙(행성 지수의 함수로 장반경이 지수적으로 증가)의 일반적인 충족을 강력하게 가리킨다. 이 크기가 알려진 모든 알려진 외계 행성의 궤도 장반경의 맹목적인 히스토그램을 만들 때,^[33] 행성이 티티우스-보데와 유사한 법칙에 따라 분포될 경우 예상되는 것과 비교하면 상당한 정도의 일치(78%)가 얻어진다.^[34]

NASA의 우주선케플러는 3개 이상의 행성을 포함하는 행성계를 다수 발견했는데, 이들 행성계는 태양계와 반대로 안쪽 행성일수록 궤도 반경의 비가 커지는 경향이 알려져 있다.^[37]

참조

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_[2] 서적 The Elements of Astronomy
_[3] 웹사이트 Where should the planets be? The law of proportionalities http://dawn.jpl.nasa[...] 2018-03-16
_[4] 서적 Contemplation de la Nature
_[5] 서적 Anleitung zur Kenntniss des gestirnten Himmels
_[6] 웹사이트 Bodes' law and the discovery of Ceres http://www.astropa.u[...] Observatorio Astronomico di Palermo "Giuseppe S. Vaiana" 2007-07-05
_[7] 서적 Vernünftige Gedanken von den Wirkungen der Natur
_[8] 서적 Astronomiae physicae et geometricae elementa
_[9] 서적 Philosophia Britannica
_[10] 서적 Tratado de Astronomía
_[11] 논문 Verschiedene astronomische Bemerkungen und eine Abhandlung über mögliche Planeten und Kometen unsers Sonnensystems George Jacob Decker, Königl
_[12] 서적 Reasoning and the logic of things https://books.google[...] Harvard University Press
_[13] 간행물 Ask Astro 2006-10
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_[15] 논문 A review of Blagg's formula in the light of recently discovered planetary moons and rings https://ui.adsabs.ha[...] 1982-10
_[16] 논문 Is Bode's law a coincidence?
_[17] 간행물 Distances of planets from the Sun and of satellites from their primaries in the satellite systems of Jupiter, Saturn, and Uranus
_[18] 서적 The Titius–Bode Law of Planetary Distances – Its History and Theory https://www.elsevier[...] Pergamon Press 1972
_[19] 서적 An Introduction to Modern Astrophysics https://books.google[...] Pearson Addison-Wesley
_[20] 논문 Fitting selected random planetary systems to Titius–Bode laws https://www.cs.toron[...] 1998-10
_[21] 논문 Titius–Bode laws in the solar system. Part I: Scale invariance explains everything 1994
_[22] 논문 Titius–Bode laws in the solar system. Part II: Build your own law from disk models 1994
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_[24] 서적 Astrophysical Concepts https://books.google[...] Springer
_[25] arXiv The Titius-Bode law revisited but not revived 2008-06-21
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_[27] 논문 Radial velocity planets de-aliased. A new, short period for super-Earth 55 Cnc e
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_[33] 논문 Diving into exoplanets: Are water seas the most common?
_[34] 논문 The reliability of the Titius-Bode relation and its implications for the search for exoplanets
_[35] 웹사이트 ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説 https://kotobank.jp/[...] コトバンク 2018-02-11
_[36] 문서 海王星의 궤도 예측에 이러한 큰 ばらつき가 있는 것은, 강한 섭동이 관측된 위치(天王星에 접근한 場所)에서 離れれば 離れるほど 誤差가 크게 取れる 때문이. 탐색이 몇 년 늦었다면 발견할 수 없었다고도 하지만, 逆에 言えれば 강한 섭동의 관측된 부근에서는, 비교적 정확한 궤도가 계산되어 있었다. 당연하다면, 조금이라도 誤差의 작은 うち에 탐색한 쪽이 有利하며, 早期탐색의 실현에 이르렀다 時期적인 幸運도, 반드시 偶然의 요인ばかり는 아니었다. 일반적으로 海王星은, 중력의 계산으로 有意에 탐색 범위를 絞り込んで 발견된 처음의 惑星, と 見なされている.
_[37] 논문 The Occurrence and Architecture of Exoplanetary Systems
_[38] 간행물 Corralling a distant planet with extreme resonant Kuiper belt objects 2016-03-09