등차수열

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1. 개요

등차수열은 연속하는 두 수의 차이가 일정한 수열로, 공차로 표현된다. 등차수열의 일반항은 첫째항과 공차를 이용하여 나타낼 수 있으며, 등차중항은 세 수가 등차수열을 이룰 때 가운데 항을 의미한다. 등차수열의 합, 즉 등차급수는 첫 항부터 n번째 항까지의 합을 구하는 공식으로 표현되며, 실생활에서 도형의 넓이를 구하는 데 활용될 수 있다. 또한, 등차수열의 곱, 표준 편차, 교집합 등 다양한 수학적 개념과 관련되어 연구되며, 역사적으로 고대 시대부터 다양한 수학자들에 의해 다뤄져 왔다.

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등차수열

2. 정의

등차수열은 연속하는 두 항의 차이가 일정한 수열이다. 이 차이를 공차(公差, common difference)라고 하며, 보통 $d$ 로 나타낸다.

예를 들어 1, 2, 3, 4, ... 와 같이 커지는 수열은 공차가 1인 등차수열이고, 2, 10, 18, 26, ... 과 같이 커지는 수열은 공차가 8인 등차수열이다. 0, -1, -2, -3, -4 ... 와 같이 작아지는 수열은 공차가 -1인 등차수열이다.

2. 1. 공차

등차수열에서 연속하는 두 수의 차이를 공차(公差)라고 한다. 보통

d

로 표시한다.

다음은 공차의 예시이다.

1, 2, 3, 4, … 로 증가하는 수열: 공차 $d$ 는 1이다.
1, 1, 1, 1, 1, … 과 같은 수열: 공차 $d$ 는 0이다. (이러한 수열을 상수수열이라고 한다.)
2, 10, 18, 26, … 으로 증가하는 수열: 공차 $d$ 는 8이다.
342, 345, 348, 351 … 으로 증가하는 수열: 공차 $d$ 는 3이다.
0, -1, -2, -3, -4 … 으로 증가하는 수열: 공차 $d$ 는 -1이다.

d

는

a_(n+1)

-

a_n

(단,

n

은

>=

2)으로 구할 수 있다. 또는

a_x

-

a_y

/

x

-

y

로 구할 수 있다.

3. 일반항

$x$ 번째 항을 $a_x$ , 공차를 $d$ 라 하면 등차수열의 일반항은 다음과 같다.

: $a_n = a_x + (n-x)d$

위 식에 $x=1$ 을 대입하면, 일반적으로 알려진 등차수열의 일반항 공식이 나온다.

: $a_n = a_1 + (n-1)d$

예를 들어, 제5번째 항( $a_5$ )이 9이고 공차( $d$ )가 2인 경우를 생각해보자. 일반항 $a_n$ 은 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $a_n = 2n-1$

3. 1. 일반항 공식 유도

등차수열에서

x

번째 항을

a_x

, 공차를

d

라고 하면, 일반항은 다음과 같다.

:

a_n = a_x + (n-x)d

위 식에

x=1

을 대입하면 일반적으로 알려진 일반항을 얻을 수 있다.

:

a_n = a_1 + (n-1)d

예를 들어, 제5번째 항이 9이고 공차가 2라면 다음과 같이 계산할 수 있다.

:

a_n = a_5 + (n-5)d

:

a_n = 9 + 2(n-5)

:

a_n = 2n-1

3. 2. 일반항 활용 예시

등차수열의 일반항 공식을 이용하면 특정 항의 값을 쉽게 구할 수 있다. 예를 들어 다음과 같다.

제5번째 항이 9이고, 공차가 2인 등차수열을 생각해 보자. 이 수열의 n번째 항, 즉 일반항은 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[1]

:

a_n = a_5 + (n-5)d

:

a_n = 9 + 2(n-5)

:

a_n = 2n-1

따라서 이 수열의 10번째 항은 19, 100번째 항은 199가 됨을 쉽게 알 수 있다.^[1]

4. 등차중항

세 수 $a$ , $b$ , $c$ 가 이 순서로 등차수열을 이룰 때, $b$ 를 $a$ 와 $c$ 의 등차중항이라고 한다.

$b$ 가 $a$ 와 $c$ 의 등차중항이면 등차수열의 정의에 의해 $b-a = c-b$ 이므로 다음이 성립한다.

: $b=\frac{a+c}{2}$

등차중항은 두 수를 1:1로 내분하는 등분점이라고 생각하면 쉽다. 세 수 $a$ , $b$ , $c$ 가 이 순서로 등차수열을 이룰 때, $b$ 는 $a$ 와 $c$ 의 이등분점이다. 네 수 $a$ , $b$ , $c$ , $d$ 가 이 순서로 등차수열을 이룰 때, $b$ 는 $a$ 와 $d$ 의 1:2 내분점이고 $c$ 는 $a$ 와 $d$ 의 2:1 내분점이다. 즉, $b$ 와 $c$ 는 삼등분점이 된다.

수열을 함수처럼 생각하면 이를 내분점, 혹은 외분점의 의미로 받아들일 수 있다. 항의 비로 표현이 가능하다.^[12]

5. 등차수열의 합

등차수열(arithmetic series^영어)의 합은 등차급수라고도 불리며, 다음과 같은 공식으로 나타낼 수 있다. 초항부터 n번째 항까지의 합 $S_n$ 은

: $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n[2a_1 + (n-1)d]}{2}$

로 표현된다. 이 공식은 다음과 같이 증명할 수 있다.

: $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1} + a_n$

: $= a_1 + (a_1 + d) + \dots + \{a_1 + (n-2)d\} + \{a_1 + (n-1)d\}$

위 식을 역순으로 다시 쓰면 다음과 같다.

: $S_n = a_n + a_{n-1} + \dots + a_2 + a_1$

: $= \{a_1 + (n-1)d\} + \{a_1 + (n-2)d\} + \dots + (a_1 + d) + a_1$

위 두 식을 변끼리 더하면 다음과 같다.

: $2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + \dots + (a_{n-1} + a_2) + (a_n + a_1)$

: $2S_n = n[2a_1 + (n-1)d]$

양변을 2로 나누면 등차급수의 공식이 유도된다.

: $S_n = \frac{n[2a_1 + (n-1)d]}{2}$

결론적으로 등차급수는 ''' $\{a_n\}$ 의 평균값 x $\{a_n\}$ 의 항의 개수'''로 정리할 수 있다. (단, $\{a_n\}$ 은 유한수열)

예를 들어 2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40 과 같은 등차수열의 경우, 다음과 같이 계산할 수 있다.

2	+	5	+	8	+	11	+	14	=	40
14	+	11	+	8	+	5	+	2	=	40

16	+	16	+	16	+	16	+	16	=	80

위 표에서와 같이 원래 수열을 거꾸로 나열한 수열을 더하면, 각 항의 합은 16 (첫 항과 마지막 항의 합)으로 일정하다. 따라서 16 x 5 = 80 은 원래 수열의 합의 두 배가 된다.

등차급수의 공식은 실생활에서 사다리꼴의 넓이를 구하는 데 사용될 수 있다.

5. 1. 등차급수 공식

등차수열(arithmetic series^영어)의 합은 다음과 같은 공식으로 나타낼 수 있다. 초항부터 n번째 항까지의 합

S_n

은 다음과 같다.

:

S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n[2a_1 + (n-1)d]}{2}

여기서 각 문자의 의미는 다음과 같다.

$S_n$ : 처음 ''n''개의 항의 합
$a_1$ : 첫 번째 항
$a_n$ : ''n''번째 항
$d$ : 공차(각 항의 차이)
$n$ : 더하는 항의 개수

이 공식은 등차수열의 평균값에 항의 개수를 곱한 것으로 이해할 수 있다.

예를 들어, 2 + 5 + 8 + 11 + 14 의 합을 구하는 경우,

:

2 + 5 + 8 + 11 + 14 = \frac{5(2 + 14)}{2} = \frac{5 \times 16}{2} = 40.

이 된다.

이 공식은 1202년 피보나치의 『산반서』에 등장한다.

5. 2. 공식 유도 1

등차급수(arithmetic series^영어)는 다음과 같은 공식으로 나타난다. 초항부터 n번째 항까지의 합

S_n

은 다음과 같다.

:

S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n[2a_1 + (n-1)d]}{2}

이는 다음과 같은 방법으로 증명할 수 있다.

:

S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1} + a_n

:

= a_1 + (a_1 + d) + \dots + \{a_1 + (n-2)d\} + \{a_1 + (n-1)d\}

위 식을 역순으로 다시 쓰면 다음과 같다.

:

S_n = a_n + a_{n-1} + \dots + a_2 + a_1

:

= \{a_1 + (n-1)d\} + \{a_1 + (n-2)d\} + \dots + (a_1 + d) + a_1

위 두 식을 변끼리 더하면 다음과 같다.

:

2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + \dots + (a_{n-1} + a_2) + (a_n + a_1)

:

2S_n = [2a_1 + (n-1)d] + [2a_1 + (n-1)d] + \dots + [2a_1 + (n-1)d] + [2a_1 + (n-1)d]

:

2S_n = n[2a_1 + (n-1)d]

양변을 2로 나누면 등차급수의 공식이 유도된다.

:

S_n = \frac{n[2a_1 + (n-1)d]}{2}

결론적으로 등차급수는 '''

\{a_n\}

의 평균값 x

\{a_n\}

의 항의 개수'''로 정리할 수 있다. (단,

\{a_n\}

은 유한수열)

이 공식은 다른 방식으로도 유도할 수 있다. 등차수열

S_n

의 각 항을 첫째 항

a_0

로 바꾸어 쓴 것과, 마지막 항

a_n

으로 바꾸어 쓴 것을 더하여

2S_n

을 구하는 방법이다.

:

\begin{align}S_n &= a_0 + (a_0+d) + (a_0+2d) + \dotsb + (a_0+nd)\\[5pt]{}+ S_n &= a_n + (a_n-d) + (a_n-2d) + \dotsb + (a_n-nd) \\\hline2S_n &= (a_0 + a_n) + (a_0 + d + a_n - d) + (a_0 + 2d + a_n - 2d) + \dotsb + (a_0 + nd + a_n - nd)\end{align}

우변에서는 공차

d

를 포함하는 항이 소거되어 첫째 항과 마지막 항의 합만 남는다. 결국

2S_n = (n + 1)(a_0 + a_n)

이 된다. 양변을 2로 나누면

:

S_n = (n+1)\frac{a_0 + a_n}{2}

을 얻는다. 등차수열의 평균값은

\frac{S_n}{n + 1} = \frac{a_0 + a_n}{2}

이다.

499년에, 인도의 수학자이자 천문학자인 아리아바타는 आर्यभटीय^sa(section 2.18)에서 이러한 방법을 제시하였다.

5. 3. 공식 유도 2

등차수열(arithmetic series^영어)의 공식은 다음과 같은 방법으로도 유도할 수 있다. 먼저 등차수열의 합을 두 가지 방법으로 표현한다.

:

S_n=a_1+a_2+a_3+\dots+a_{(n-1)} +a_n

:

S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\dots+(a_1+(n-2)d)+(a_1+(n-1)d).

항을 역순으로 다시 쓰면 다음과 같다.

:

S_n=(a_1+(n-1)d)+(a_1+(n-2)d)+\dots+(a_1+2d)+(a_1+d)+a_1.

두 식의 양변에서 대응되는 항을 더하고 양변을 2로 나누면 다음과 같다.

:

S_n=\frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d].

이 공식은 다음과 같이 단순화할 수 있다.

:

\begin{align}S_n &=\frac{n}{2}[a_1 + a_1 + (n-1)d]\\&=\frac{n}{2}(a_1+a_n)\\&=\frac{n}{2}(\text{초항}+\text{마지막 항}).\end{align}

등차수열의 평균값은

S_n / n

을 통해 계산할 수 있으며, 그 값은 다음과 같다.

:

\overline{a} =\frac{a_1 + a_n}{2}.

이 공식은 등차수열을 동일하게 발생 가능한 결과의 집합으로 해석하여 이산 균등 분포의 평균을 구하는 공식과 본질적으로 동일하다.

자연수의 합 $1 + 2 + \dots + n$ 을 구하는 공식 유도 애니메이션

5. 4. 공식 활용 예시

유한 등차수열의 항들의 합을 등차급수라고 한다. 예를 들어 다음과 같은 합을 생각해 볼 수 있다.

:2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40

이 합은 더해지는 항의 수 ''n''(여기서는 5)에 수열의 첫 번째 항과 마지막 항의 합(여기서는 2 + 14 = 16)을 곱하고 2로 나누어 빠르게 구할 수 있다.

:

\frac{n(a_1 + a_n)}{2}

위의 경우, 이 식은 다음과 같다.

:2 + 5 + 8 + 11 + 14 = = = 40.

이 공식은

a_1

로 시작하여

a_n

로 끝나는 실수로 구성된 모든 등차수열에 적용된다. 예를 들어

:

\left(-\frac{3}{2}\right) + \left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2} = \frac{3\left(-\frac{3}{2} + \frac{1}{2}\right)}{2} = -\frac{3}{2}.

계산 과정은 다음과 같이 시각적으로 표현할 수 있다.

2	+	5	+	8	+	11	+	14	=	40
14	+	11	+	8	+	5	+	2	=	40

16	+	16	+	16	+	16	+	16	=	80

위 표에서 볼 수 있듯이, 원래 수열을 거꾸로 나열한 수열을 원래 수열과 더하면 각 항의 합이 16(첫 번째 항과 마지막 항의 합)으로 일정하게 나타난다. 따라서 16 × 5 = 80은 원래 수열의 합의 두 배가 된다.

5. 5. 등차급수의 무한합

첫 항과 공차가 동시에 0이 아닌 어떤 등차수열

a_n

에 대하여, 이 수열의 무한합

\sum_{n=1}^\infty a_n

은 항상 발산한다.

6. 등차수열의 곱

유한 등차수열의 곱은 닫힌 형식으로 표현될 수 있다. 첫 항이 $a_1$ , 공차가 $d$ , 항의 개수가 $n$ 개인 등차수열의 곱은 다음과 같다.

: $a_1a_2a_3\cdots a_n = \prod_{k=0}^{n-1} (a_1+kd) = d^n \frac{\Gamma \left(\frac{a_1}{d} + n\right) }{\Gamma \left( \frac{a_1}{d} \right)}$

여기서 $\Gamma$ 는 감마 함수를 나타낸다. 단, $a_1/d$ 가 음수 또는 0이면 이 공식은 유효하지 않다.

이 공식은 $1 \times 2 \times \cdots \times n = n!$ (여기서 $n!$ 은 계승을 의미)과, 자연수 $m$ 과 $n$ 에 대해 $m \times (m+1) \times \cdots \times n = \frac{n!}{(m-1)!}$ 이라는 사실을 일반화한 것이다.

초항이 $a_0$ 이고 공차가 $d$ 인 등차수열에서 초항부터 제 $n$ 항까지의 곱은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $P_n = d^{n+1} \frac{\Gamma \left(\tfrac{a_0}{d} + n + 1\right)}{\Gamma \left(\tfrac{a_0}{d}\right)}$

(단, $a_0/d$ 가 음의 정수나 $0$ 이 되는 경우, 식은 의미를 갖지 않는다).

6. 1. 공식 유도

유한 등차수열의 첫 번째 원소 ''a''₁^영어, 공차 ''d''^영어, 총 ''n''^영어개의 원소를 갖는 등차수열의 곱은 다음과 같은 닫힌 식으로 결정된다.

:

a_1 a_2 a_3 \cdots a_n = a_1 (a_1 + d)(a_1 + 2d) \cdots (a_1 + (n-1)d) = \prod_{k=0}^{n-1} (a_1 + kd) = d^n \frac{\Gamma \left( \frac{a_1}{d} + n \right)}{\Gamma \left( \frac{a_1}{d} \right)}

여기서

\Gamma

는 감마 함수를 나타낸다. 이 공식은

a_1/d

가 음수 또는 0일 때는 유효하지 않다.

이것은 수열

1 \times 2 \times \cdots \times n

의 곱이 계승

n!

으로 주어지고, 자연수

m

과

n

에 대해

:

m \times (m+1) \times (m+2) \times \cdots \times (n-2) \times (n-1) \times n = \frac{n!}{(m-1)!}

으로 주어진다는 사실의 일반화이다.

:

\begin{align}a_1 a_2 a_3 \cdots a_n &=\prod_{k=0}^{n-1} (a_1+kd) \\&= \prod_{k=0}^{n-1} d\left(\frac{a_1}{d}+k\right) = d \left (\frac{a_1}{d}\right) d \left (\frac{a_1}{d}+1 \right )d \left ( \frac{a_1}{d}+2 \right )\cdots d \left ( \frac{a_1}{d}+(n-1) \right ) \\&= d^n\prod_{k=0}^{n-1} \left(\frac{a_1}{d}+k\right)=d^n {\left(\frac{a_1}{d}\right)}^{\overline{n}}\end{align}

여기서

x^{\overline{n}}

은 상승 계승을 나타낸다.

복소수

z>0

에 대해 유효한 점화 공식

\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)

에 의해,

:

\Gamma(z+2)=(z+1)\Gamma(z+1)=(z+1)z\Gamma(z)

,

:

\Gamma(z+3)=(z+2)\Gamma(z+2)=(z+2)(z+1)z\Gamma(z)

,

따라서,

:

\frac{\Gamma(z+m)}{\Gamma(z)} = \prod_{k=0}^{m-1}(z+k)

여기서

m

은 양의 정수이고

z

는 양의 복소수이다.

따라서

a_1/d > 0

이면,

:

\prod_{k=0}^{n-1} \left(\frac{a_1}{d}+k\right)= \frac{\Gamma \left(\frac{a_1}{d} + n\right) }{\Gamma \left( \frac{a_1}{d} \right)}

이고, 최종적으로,

:

a_1 a_2 a_3 \cdots a_n = d^n\prod_{k=0}^{n-1} \left(\frac{a_1}{d}+k\right) = d^n \frac{\Gamma \left(\frac{a_1}{d} + n\right) }{\Gamma \left( \frac{a_1}{d} \right)}

이다.

초항

a_0

이고 공차

d

인 등차수열에 대해, 초항부터 제

n

항까지의 총곱

:

\begin{align}P_n &:= a_0 \cdot a_1 \cdot \dotsb \cdot a_n \\&= a_0 \cdot (a_0 + d) \cdot \dotsb \cdot(a_0 + nd) \\&= d\frac{a_0}{d} \cdot d\left( \frac{a_0}{d}+1 \right) \cdot \dotsb \cdot d\left( \frac{a_0}{d}+n \right) \\&= d^{n+1} {\left( \frac{a_0}{d} \right)}^{\overline{n+1}}\end{align}

(

x^{\overline{n}}

은 상승 계승 거듭제곱)은 감마 함수

Γ

를 사용하여

:

P_n = d^{n+1} \frac{\Gamma \left(\tfrac{a_0}{d} + n + 1\right)}{\Gamma \left(\tfrac{a_0}{d}\right)}

라는 닫힌 형식으로 계산할 수 있다. (단,

a_0/d

가 음의 정수나

0

이 되는 경우, 식은 의미를 갖지 않는다).

Γ(n + 1) = n!

에 주의하면, 위의 식은

1

부터

n

까지의 곱

1 × 2 × ⋯ × n = n!

및 양의 정수

m

부터

n

까지의 곱

m × (m + 1) × ⋯ × (n - 1) × n = \frac{n!}{(m - 1)!}

을 일반화한 것임을 알 수 있다.

6. 2. 공식 활용 예시

; 예시 1

수열

3, 8, 13, 18, 23, 28, \ldots

에서,

a_n = 3 + 5(n-1)

로 주어지는 등차수열의 50번째 항까지의 곱은 다음과 같다.

:

P_{50} = 5^{50} \cdot \frac{\Gamma \left(3/5 + 50\right) }{\Gamma \left( 3 / 5 \right) } \approx 3.78438 \times 10^{98}.

; 예시 2

처음 10개의 홀수

(1,3,5,7,9,11,13,15,17,19)

의 곱은 다음과 같다.

:

1\cdot 3\cdot 5\cdots 19 =\prod_{k=0}^{9} (1+2k) = 2^{10} \cdot \frac{\Gamma \left(\frac{1}{2} + 10\right) }{\Gamma \left( \frac{1}{2} \right) } = 654729075

7. 등차수열의 표준 편차

등차수열의 표준 편차는 다음과 같다.

: $\sigma = |d|\sqrt{\frac{(n-1)(n+1)}{12}}$

여기서 $n$ 은 수열의 항의 개수이고, $d$ 는 항 사이의 공차이다. 이 공식은 이산 균등 분포의 표준 편차 공식과 본질적으로 동일하며, 등차수열을 동일한 확률의 결과 집합으로 해석한다.

8. 등차수열의 교집합

두 개의 무한 등차수열의 교집합은 공집합이거나 또 다른 등차수열이며, 이는 중국인의 나머지 정리를 사용하여 찾을 수 있다. 무한 등차수열 집합의 각 쌍이 공집합이 아닌 교집합을 가지면, 모든 수열에 공통된 숫자가 존재한다. 즉, 무한 등차수열은 헬리족을 형성한다.^[10] 그러나 무한히 많은 무한 등차수열의 교집합은 무한 수열 자체가 아니라 단일 숫자일 수 있다.

임의의 양쪽 무한 등차수열 2개가 주어졌을 때, 그 수열에 공통으로 나타나는 항을 (항의 전후 관계는 바꾸지 않고) 나열하여 얻어지는 수열 (수열의 "교집합")은, 공집합이거나 또 다른 새로운 등차수열 중 하나이다 (중국인의 나머지 정리로부터 증명할 수 있다). 양쪽 무한 등차수열로 이루어진 족에 대해, 어떤 두 수열의 교집합도 공집합이 아니라면, 그 족의 모든 수열에 공통으로 나타나는 항이 존재한다. 즉, 그러한 무한 등차수열의 족은 Helly family|헬리 족^영어이다.^[11] 그러나 무한 개의 무한 등차수열의 교집합을 취하면, 무한 수열이 아닌 단 하나의 수가 될 수 있다.

9. 역사

카를 프리드리히 가우스가 초등학교 시절 1부터 $n$ 까지의 정수를 더하는 공식 $\tfrac{n(n+1)}{2}$ 를 $n=100$ 인 경우에 대해 재발견했다는 일화가 전해지지만, 이 이야기의 진위는 불확실하다.^[1] 가우스가 이 공식을 처음 발견한 것은 아니었다.

이와 유사한 공식은 고대 시대에 아르키메데스, 힙시클레스, 디오판토스가 알고 있었고,^[2] 중국에서는 장구건, 인도에서는 아리아바타, 브라마굽타, 바스카라 2세가 알고 있었다.^[3] 중세 유럽에서는 알쿠인,^[4] 디쿠일,^[5] 피보나치,^[6] 사크로보스코,^[7] 토사피스트로 알려진 탈무드의 익명 주석가들이 알고 있었다.^[8] 일각에서는 이 공식의 기원이 기원전 5세기 피타고라스 학파까지 거슬러 올라간다고 주장한다.^[9]

499년, 인도의 수학자이자 천문학자인 아리아바타는 Aryabhatiya^영어 (section 2.18)에서 이와 비슷한 방법을 제시했다. 피보나치의 『산반서』(1202년, ch. II.12)에도 이러한 종류의 식이 등장한다.

10. {1,...,n} 집합의 길이 k인 등차수열 부분집합의 개수

$a(n,k)$ 를 집합 $\{1,\cdots,n\}$ 에서 길이 $k$ 인 등차수열 부분집합의 개수로 나타내고, $\phi(\eta, \kappa)$ 를 다음과 같이 정의한다.

$\phi(\eta, \kappa) = \begin{cases}0 & \text{if } \kappa \mid \eta \\\left( \left[ \eta \; (\text{mod } \kappa) \right] -2 \right) \left( \kappa - \left[ \eta \; (\text{mod } \kappa) \right] \right) & \text{if } \kappa \not\mid \eta \\\end{cases}$

그러면 다음이 성립한다.

$\begin{align} a(n,k) &= \frac{1}{2(k-1)} \left(n^2 -(k-1)n + (k-2) + \phi(n+1,k-1) \right) \\&= \frac{1}{2(k-1)} \left((n-1)(n-(k-2)) + \phi(n+1,k-1) \right) \end{align}$

예를 들어, $(n,k) = (7,3)$ 인 경우, $a(7,3) = 9$ 개의 등차수열 부분집합이 예상되며, 직접 세어보면 다음과 같이 9개임을 알 수 있다.

$\{1,2,3\}$
$\{2,3,4\}$
$\{3,4,5\}$
$\{4,5,6\}$
$\{5,6,7\}$
$\{1,3,5\}$
$\{3,5,7\}$
$\{2,4,6\}$
$\{1,4,7\}$

참조

_[1] 논문 Gauss's Day of Reckoning https://www.american[...] 2006
_[2] 서적 Analysis, analytische Geometrie https://books.google[...] Walter de Gruyter
_[3] 서적 Arithmetik und Algebra https://books.google[...] Walter de Gruyter
_[4] 간행물 Problems to Sharpen the Young https://www.jstor.or[...] 1992-03
_[5] 간행물 Dicuil (9th century) on triangular and square numbers https://doi.org/10.1[...] 2019
_[6] 서적 Fibonacci's Liber Abaci https://archive.org/[...] Springer-Verlag
_[7] 서적 Sourcebook in the Mathematics of Medieval Europe and North Africa https://books.google[...] Princeton University Press
_[8] 간행물 74.23 A Mediaeval Derivation of the Sum of an Arithmetic Progression 1990
_[9] 간행물 The "Unknown Heritage": trace of a forgotten locus of mathematical sophistication https://doi.org/10.1[...] 2008
_[10] 서적 Handbook of combinatorics, Vol. 1, 2 Elsevier
_[11] 서적 Handbook of combinatorics, Vol. 1, 2 Elsevier
_[12] 문서 자유자재수학

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