등차수열

1. 개요

등차수열은 연속하는 두 수의 차이가 일정한 수열로, 공차로 표현된다. 등차수열의 일반항은 첫째항과 공차를 이용하여 나타낼 수 있으며, 등차중항은 세 수가 등차수열을 이룰 때 가운데 항을 의미한다. 등차수열의 합, 즉 등차급수는 첫 항부터 n번째 항까지의 합을 구하는 공식으로 표현되며, 실생활에서 도형의 넓이를 구하는 데 활용될 수 있다. 또한, 등차수열의 곱, 표준 편차, 교집합 등 다양한 수학적 개념과 관련되어 연구되며, 역사적으로 고대 시대부터 다양한 수학자들에 의해 다뤄져 왔다.

2. 정의

등차수열은 연속하는 두 항의 차이가 일정한 수열이다. 이 차이를 공차(公差, common difference)라고 하며, 보통 $d$로 나타낸다.

예를 들어 1, 2, 3, 4, ... 와 같이 커지는 수열은 공차가 1인 등차수열이고, 2, 10, 18, 26, ... 과 같이 커지는 수열은 공차가 8인 등차수열이다. 0, -1, -2, -3, -4 ... 와 같이 작아지는 수열은 공차가 -1인 등차수열이다.

2.1. 공차

등차수열에서 연속하는 두 수의 차이를 공차(公差)라고 한다. 보통 $d$로 표시한다.

다음은 공차의 예시이다.
* 1, 2, 3, 4, … 로 증가하는 수열: 공차 $d$는 1이다.
* 1, 1, 1, 1, 1, … 과 같은 수열: 공차 $d$는 0이다. (이러한 수열을 상수수열이라고 한다.)
* 2, 10, 18, 26, … 으로 증가하는 수열: 공차 $d$는 8이다.
* 342, 345, 348, 351 … 으로 증가하는 수열: 공차 $d$는 3이다.
* 0, -1, -2, -3, -4 … 으로 증가하는 수열: 공차 $d$는 -1이다.

$d$는 $a\_(n+1)$ - $a\_n$ (단, $n$은 $>=$ 2)으로 구할 수 있다. 또는 $a\_x$ - $a\_y$ $/$ $x$ - $y$ 로 구할 수 있다.

3. 일반항

$x$번째 항을 $a\_x$, 공차를 $d$라 하면 등차수열의 일반항은 다음과 같다.

:$a\_n\; =\; a\_x\; +\; (n-x)d$

위 식에 $x=1$을 대입하면, 일반적으로 알려진 등차수열의 일반항 공식이 나온다.

:$a\_n\; =\; a\_1\; +\; (n-1)d$

예를 들어, 제5번째 항($a\_5$)이 9이고 공차($d$)가 2인 경우를 생각해보자. 일반항 $a\_n$은 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$a\_n\; =\; 2n-1$

3.1. 일반항 공식 유도

등차수열에서 $x$번째 항을 $a\_x$, 공차를 $d$라고 하면, 일반항은 다음과 같다.

:$a\_n\; =\; a\_x\; +\; (n-x)d$

위 식에 $x=1$을 대입하면 일반적으로 알려진 일반항을 얻을 수 있다.

:$a\_n\; =\; a\_1\; +\; (n-1)d$

예를 들어, 제5번째 항이 9이고 공차가 2라면 다음과 같이 계산할 수 있다.

:$a\_n\; =\; a\_5\; +\; (n-5)d$
:$a\_n\; =\; 9\; +\; 2(n-5)$
:$a\_n\; =\; 2n-1$

3.2. 일반항 활용 예시

등차수열의 일반항 공식을 이용하면 특정 항의 값을 쉽게 구할 수 있다. 예를 들어 다음과 같다.

제5번째 항이 9이고, 공차가 2인 등차수열을 생각해 보자. 이 수열의 n번째 항, 즉 일반항은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$a\_n\; =\; a\_5\; +\; (n-5)d$
:$a\_n\; =\; 9\; +\; 2(n-5)$
:$a\_n\; =\; 2n-1$

따라서 이 수열의 10번째 항은 19, 100번째 항은 199가 됨을 쉽게 알 수 있다.

4. 등차중항

세 수 $a$, $b$, $c$가 이 순서로 등차수열을 이룰 때, $b$를 $a$와 $c$의 등차중항이라고 한다.

$b$가 $a$와 $c$의 등차중항이면 등차수열의 정의에 의해 $b-a\; =\; c-b$ 이므로 다음이 성립한다.

:$b=\backslash frac\{a+c\}\{2\}$

등차중항은 두 수를 1:1로 내분하는 등분점이라고 생각하면 쉽다. 세 수 $a$, $b$, $c$가 이 순서로 등차수열을 이룰 때, $b$는 $a$와 $c$의 이등분점이다. 네 수 $a$, $b$, $c$, $d$가 이 순서로 등차수열을 이룰 때, $b$는 $a$와 $d$의 1:2 내분점이고 $c$는 $a$와 $d$의 2:1 내분점이다. 즉, $b$와 $c$는 삼등분점이 된다.

수열을 함수처럼 생각하면 이를 내분점, 혹은 외분점의 의미로 받아들일 수 있다. 항의 비로 표현이 가능하다.

5. 등차수열의 합

등차수열(arithmetic series^영어)의 합은 등차급수라고도 불리며, 다음과 같은 공식으로 나타낼 수 있다. 초항부터 n번째 항까지의 합 $S\_n$은

:$S\_n\; =\; \backslash frac\{n(a\_1\; +\; a\_n)\}\{2\}\; =\; \backslash frac\{n[2a\_1\; +\; (n-1)d]\}\{2\}$

로 표현된다. 이 공식은 다음과 같이 증명할 수 있다.

:$S\_n\; =\; a\_1\; +\; a\_2\; +\; \backslash dots\; +\; a\_\{n-1\}\; +\; a\_n$
:$=\; a\_1\; +\; (a\_1\; +\; d)\; +\; \backslash dots\; +\; \backslash \{a\_1\; +\; (n-2)d\backslash \}\; +\; \backslash \{a\_1\; +\; (n-1)d\backslash \}$

위 식을 역순으로 다시 쓰면 다음과 같다.

:$S\_n\; =\; a\_n\; +\; a\_\{n-1\}\; +\; \backslash dots\; +\; a\_2\; +\; a\_1$
:$=\; \backslash \{a\_1\; +\; (n-1)d\backslash \}\; +\; \backslash \{a\_1\; +\; (n-2)d\backslash \}\; +\; \backslash dots\; +\; (a\_1\; +\; d)\; +\; a\_1$

위 두 식을 변끼리 더하면 다음과 같다.

:$2S\_n\; =\; (a\_1\; +\; a\_n)\; +\; (a\_2\; +\; a\_\{n-1\})\; +\; \backslash dots\; +\; (a\_\{n-1\}\; +\; a\_2)\; +\; (a\_n\; +\; a\_1)$
:$2S\_n\; =\; n[2a\_1\; +\; (n-1)d]$

양변을 2로 나누면 등차급수의 공식이 유도된다.

:$S\_n\; =\; \backslash frac\{n[2a\_1\; +\; (n-1)d]\}\{2\}$

결론적으로 등차급수는 $\backslash \{a\_n\backslash \}$의 평균값 x $\backslash \{a\_n\backslash \}$의 항의 개수로 정리할 수 있다. (단, $\backslash \{a\_n\backslash \}$은 유한수열)

예를 들어 2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40 과 같은 등차수열의 경우, 다음과 같이 계산할 수 있다.

위 표에서와 같이 원래 수열을 거꾸로 나열한 수열을 더하면, 각 항의 합은 16 (첫 항과 마지막 항의 합)으로 일정하다. 따라서 16 x 5 = 80 은 원래 수열의 합의 두 배가 된다.

등차급수의 공식은 실생활에서 사다리꼴의 넓이를 구하는 데 사용될 수 있다.

5.1. 등차급수 공식

등차수열(arithmetic series^영어)의 합은 다음과 같은 공식으로 나타낼 수 있다. 초항부터 n번째 항까지의 합 $S\_n$은 다음과 같다.

:$S\_n\; =\; \backslash frac\{n(a\_1\; +\; a\_n)\}\{2\}\; =\; \backslash frac\{n[2a\_1\; +\; (n-1)d]\}\{2\}$

여기서 각 문자의 의미는 다음과 같다.
*$S\_n$: 처음 n개의 항의 합
*$a\_1$: 첫 번째 항
*$a\_n$: n번째 항
*$d$: 공차(각 항의 차이)
*$n$: 더하는 항의 개수

이 공식은 등차수열의 평균값에 항의 개수를 곱한 것으로 이해할 수 있다.

--

예를 들어, 2 + 5 + 8 + 11 + 14 의 합을 구하는 경우,

:$2\; +\; 5\; +\; 8\; +\; 11\; +\; 14\; =\; \backslash frac\{5(2\; +\; 14)\}\{2\}\; =\; \backslash frac\{5\; \backslash times\; 16\}\{2\}\; =\; 40.$

이 된다.

이 공식은 1202년 피보나치의 『산반서』에 등장한다.

5.2. 공식 유도 1

등차급수(arithmetic series^영어)는 다음과 같은 공식으로 나타난다. 초항부터 n번째 항까지의 합 $S\_n$은 다음과 같다.

:$S\_n\; =\; \backslash frac\{n(a\_1\; +\; a\_n)\}\{2\}\; =\; \backslash frac\{n[2a\_1\; +\; (n-1)d]\}\{2\}$

이는 다음과 같은 방법으로 증명할 수 있다.

:$S\_n\; =\; a\_1\; +\; a\_2\; +\; \backslash dots\; +\; a\_\{n-1\}\; +\; a\_n$
:$=\; a\_1\; +\; (a\_1\; +\; d)\; +\; \backslash dots\; +\; \backslash \{a\_1\; +\; (n-2)d\backslash \}\; +\; \backslash \{a\_1\; +\; (n-1)d\backslash \}$

위 식을 역순으로 다시 쓰면 다음과 같다.

:$S\_n\; =\; a\_n\; +\; a\_\{n-1\}\; +\; \backslash dots\; +\; a\_2\; +\; a\_1$
:$=\; \backslash \{a\_1\; +\; (n-1)d\backslash \}\; +\; \backslash \{a\_1\; +\; (n-2)d\backslash \}\; +\; \backslash dots\; +\; (a\_1\; +\; d)\; +\; a\_1$

위 두 식을 변끼리 더하면 다음과 같다.

:$2S\_n\; =\; (a\_1\; +\; a\_n)\; +\; (a\_2\; +\; a\_\{n-1\})\; +\; \backslash dots\; +\; (a\_\{n-1\}\; +\; a\_2)\; +\; (a\_n\; +\; a\_1)$
:$2S\_n\; =\; [2a\_1\; +\; (n-1)d]\; +\; [2a\_1\; +\; (n-1)d]\; +\; \backslash dots\; +\; [2a\_1\; +\; (n-1)d]\; +\; [2a\_1\; +\; (n-1)d]$
:$2S\_n\; =\; n[2a\_1\; +\; (n-1)d]$

양변을 2로 나누면 등차급수의 공식이 유도된다.

:$S\_n\; =\; \backslash frac\{n[2a\_1\; +\; (n-1)d]\}\{2\}$

결론적으로 등차급수는 $\backslash \{a\_n\backslash \}$의 평균값 x $\backslash \{a\_n\backslash \}$의 항의 개수로 정리할 수 있다. (단, $\backslash \{a\_n\backslash \}$은 유한수열)

--

이 공식은 다른 방식으로도 유도할 수 있다. 등차수열 $S\_n$의 각 항을 첫째 항 $a\_0$로 바꾸어 쓴 것과, 마지막 항 $a\_n$으로 바꾸어 쓴 것을 더하여 $2S\_n$을 구하는 방법이다.

:$$
\begin{align}
S_n &= a_0 + (a_0+d) + (a_0+2d) + \dotsb + (a_0+nd)
\\[5pt]
{}+ S_n &= a_n + (a_n-d) + (a_n-2d) + \dotsb + (a_n-nd) \\
\hline
2S_n &= (a_0 + a_n) + (a_0 + d + a_n - d) + (a_0 + 2d + a_n - 2d) + \dotsb + (a_0 + nd + a_n - nd)
\end{align}

우변에서는 공차 $d$를 포함하는 항이 소거되어 첫째 항과 마지막 항의 합만 남는다. 결국 $2S\_n\; =\; (n\; +\; 1)(a\_0\; +\; a\_n)$이 된다. 양변을 2로 나누면

:$S\_n\; =\; (n+1)\backslash frac\{a\_0\; +\; a\_n\}\{2\}$

을 얻는다. 등차수열의 평균값은 $\backslash frac\{S\_n\}\{n\; +\; 1\}\; =\; \backslash frac\{a\_0\; +\; a\_n\}\{2\}$이다.

499년에, 인도의 수학자이자 천문학자인 아리아바타는 {{lang(section 2.18)에서 이러한 방법을 제시하였다.

5.3. 공식 유도 2

등차수열(arithmetic series^영어)의 공식은 다음과 같은 방법으로도 유도할 수 있다. 먼저 등차수열의 합을 두 가지 방법으로 표현한다.

:$S\_n=a\_1+a\_2+a\_3+\backslash dots+a\_\{(n-1)\}\; +a\_n$
:$S\_n=a\_1+(a\_1+d)+(a\_1+2d)+\backslash dots+(a\_1+(n-2)d)+(a\_1+(n-1)d).$

항을 역순으로 다시 쓰면 다음과 같다.

:$S\_n=(a\_1+(n-1)d)+(a\_1+(n-2)d)+\backslash dots+(a\_1+2d)+(a\_1+d)+a\_1.$

두 식의 양변에서 대응되는 항을 더하고 양변을 2로 나누면 다음과 같다.

:$S\_n=\backslash frac\{n\}\{2\}[2a\_1\; +\; (n-1)d].$

이 공식은 다음과 같이 단순화할 수 있다.

:$\backslash begin\{align\}$
S_n &=\frac{n}{2}[a_1 + a_1 + (n-1)d]\\
&=\frac{n}{2}(a_1+a_n)\\
&=\frac{n}{2}(\text{초항}+\text{마지막 항}).
\end{align}

등차수열의 평균값은 $S\_n\; /\; n$을 통해 계산할 수 있으며, 그 값은 다음과 같다.

:$\backslash overline\{a\}\; =\backslash frac\{a\_1\; +\; a\_n\}\{2\}.$

이 공식은 등차수열을 동일하게 발생 가능한 결과의 집합으로 해석하여 이산 균등 분포의 평균을 구하는 공식과 본질적으로 동일하다.

5.4. 공식 활용 예시

유한 등차수열의 항들의 합을 등차급수라고 한다. 예를 들어 다음과 같은 합을 생각해 볼 수 있다.

:2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40

이 합은 더해지는 항의 수 n(여기서는 5)에 수열의 첫 번째 항과 마지막 항의 합(여기서는 2 + 14 = 16)을 곱하고 2로 나누어 빠르게 구할 수 있다.

:$\backslash frac\{n(a\_1\; +\; a\_n)\}\{2\}$

위의 경우, 이 식은 다음과 같다.

:2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 5 = 5 = 40.

이 공식은 $a\_1$로 시작하여 $a\_n$로 끝나는 실수로 구성된 모든 등차수열에 적용된다. 예를 들어

:$\backslash left(-\backslash frac\{3\}\{2\}\backslash right)\; +\; \backslash left(-\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash right)\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; =\; \backslash frac\{3\backslash left(-\backslash frac\{3\}\{2\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash right)\}\{2\}\; =\; -\backslash frac\{3\}\{2\}.$

--

계산 과정은 다음과 같이 시각적으로 표현할 수 있다.

위 표에서 볼 수 있듯이, 원래 수열을 거꾸로 나열한 수열을 원래 수열과 더하면 각 항의 합이 16(첫 번째 항과 마지막 항의 합)으로 일정하게 나타난다. 따라서 16 × 5 = 80은 원래 수열의 합의 두 배가 된다.

5.5. 등차급수의 무한합

첫 항과 공차가 동시에 0이 아닌 어떤 등차수열 $a\_n$에 대하여, 이 수열의 무한합 $\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; a\_n$은 항상 발산한다.

6. 등차수열의 곱

유한 등차수열의 곱은 닫힌 형식으로 표현될 수 있다. 첫 항이 $a\_1$, 공차가 $d$, 항의 개수가 $n$개인 등차수열의 곱은 다음과 같다.

:$a\_1a\_2a\_3\backslash cdots\; a\_n\; =\; \backslash prod\_\{k=0\}^\{n-1\}\; (a\_1+kd)\; =\; d^n\; \backslash frac\{\backslash Gamma\; \backslash left(\backslash frac\{a\_1\}\{d\}\; +\; n\backslash right)\; \}\{\backslash Gamma\; \backslash left(\; \backslash frac\{a\_1\}\{d\}\; \backslash right)\}$

여기서 $\backslash Gamma$는 감마 함수를 나타낸다. 단, $a\_1/d$가 음수 또는 0이면 이 공식은 유효하지 않다.

이 공식은 $1\; \backslash times\; 2\; \backslash times\; \backslash cdots\; \backslash times\; n\; =\; n!$ (여기서 $n!$은 계승을 의미)과, 자연수 $m$과 $n$에 대해 $m\; \backslash times\; (m+1)\; \backslash times\; \backslash cdots\; \backslash times\; n\; =\; \backslash frac\{n!\}\{(m-1)!\}$ 이라는 사실을 일반화한 것이다.

초항이 $a\_0$이고 공차가 $d$인 등차수열에서 초항부터 제 $n$항까지의 곱은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$P\_n\; =\; d^\{n+1\}\; \backslash frac\{\backslash Gamma\; \backslash left(\backslash tfrac\{a\_0\}\{d\}\; +\; n\; +\; 1\backslash right)\}\{\backslash Gamma\; \backslash left(\backslash tfrac\{a\_0\}\{d\}\backslash right)\}$

(단, $a\_0/d$가 음의 정수나 $0$이 되는 경우, 식은 의미를 갖지 않는다).

6.1. 공식 유도

유한 등차수열의 첫 번째 원소 a₁^영어, 공차 d^영어, 총 n^영어개의 원소를 갖는 등차수열의 곱은 다음과 같은 닫힌 식으로 결정된다.

:$a\_1\; a\_2\; a\_3\; \backslash cdots\; a\_n\; =\; a\_1\; (a\_1\; +\; d)(a\_1\; +\; 2d)\; \backslash cdots\; (a\_1\; +\; (n-1)d)\; =\; \backslash prod\_\{k=0\}^\{n-1\}\; (a\_1\; +\; kd)\; =\; d^n\; \backslash frac\{\backslash Gamma\; \backslash left(\; \backslash frac\{a\_1\}\{d\}\; +\; n\; \backslash right)\}\{\backslash Gamma\; \backslash left(\; \backslash frac\{a\_1\}\{d\}\; \backslash right)\}$

여기서 $\backslash Gamma$는 감마 함수를 나타낸다. 이 공식은 $a\_1/d$가 음수 또는 0일 때는 유효하지 않다.

이것은 수열 $1\; \backslash times\; 2\; \backslash times\; \backslash cdots\; \backslash times\; n$의 곱이 계승 $n!$으로 주어지고, 자연수 $m$과 $n$에 대해

:$m\; \backslash times\; (m+1)\; \backslash times\; (m+2)\; \backslash times\; \backslash cdots\; \backslash times\; (n-2)\; \backslash times\; (n-1)\; \backslash times\; n\; =\; \backslash frac\{n!\}\{(m-1)!\}$

으로 주어진다는 사실의 일반화이다.

:$\backslash begin\{align\}$
a_1 a_2 a_3 \cdots a_n &=\prod_{k=0}^{n-1} (a_1+kd) \\
&= \prod_{k=0}^{n-1} d\left(\frac{a_1}{d}+k\right) = d \left (\frac{a_1}{d}\right) d \left (\frac{a_1}{d}+1 \right )d \left ( \frac{a_1}{d}+2 \right )\cdots d \left ( \frac{a_1}{d}+(n-1) \right ) \\
&= d^n\prod_{k=0}^{n-1} \left(\frac{a_1}{d}+k\right)=d^n {\left(\frac{a_1}{d}\right)}^{\overline{n}}
\end{align}

여기서 $x^\{\backslash overline\{n\}\}$은 상승 계승을 나타낸다.

복소수 $z>0$에 대해 유효한 점화 공식 $\backslash Gamma(z+1)=z\backslash Gamma(z)$에 의해,

:$\backslash Gamma(z+2)=(z+1)\backslash Gamma(z+1)=(z+1)z\backslash Gamma(z)$,

:$\backslash Gamma(z+3)=(z+2)\backslash Gamma(z+2)=(z+2)(z+1)z\backslash Gamma(z)$,

따라서,

:$\backslash frac\{\backslash Gamma(z+m)\}\{\backslash Gamma(z)\}\; =\; \backslash prod\_\{k=0\}^\{m-1\}(z+k)$

여기서 $m$은 양의 정수이고 $z$는 양의 복소수이다.

따라서 $a\_1/d\; >\; 0$이면,

:$\backslash prod\_\{k=0\}^\{n-1\}\; \backslash left(\backslash frac\{a\_1\}\{d\}+k\backslash right)=\; \backslash frac\{\backslash Gamma\; \backslash left(\backslash frac\{a\_1\}\{d\}\; +\; n\backslash right)\; \}\{\backslash Gamma\; \backslash left(\; \backslash frac\{a\_1\}\{d\}\; \backslash right)\}$

이고, 최종적으로,

:$a\_1\; a\_2\; a\_3\; \backslash cdots\; a\_n\; =\; d^n\backslash prod\_\{k=0\}^\{n-1\}\; \backslash left(\backslash frac\{a\_1\}\{d\}+k\backslash right)\; =\; d^n\; \backslash frac\{\backslash Gamma\; \backslash left(\backslash frac\{a\_1\}\{d\}\; +\; n\backslash right)\; \}\{\backslash Gamma\; \backslash left(\; \backslash frac\{a\_1\}\{d\}\; \backslash right)\}$

이다.

초항 $a\_0$이고 공차 $d$인 등차수열에 대해, 초항부터 제 $n$항까지의 총곱

:$\backslash begin\{align\}$
P_n &:= a_0 \cdot a_1 \cdot \dotsb \cdot a_n \\
&= a_0 \cdot (a_0 + d) \cdot \dotsb \cdot(a_0 + nd) \\
&= d\frac{a_0}{d} \cdot d\left( \frac{a_0}{d}+1 \right) \cdot \dotsb \cdot d\left( \frac{a_0}{d}+n \right) \\
&= d^{n+1} {\left( \frac{a_0}{d} \right)}^{\overline{n+1}}
\end{align}

($x^\{\backslash overline\{n\}\}$은 상승 계승 거듭제곱)은 감마 함수 $\Gamma$를 사용하여

:$P\_n\; =\; d^\{n+1\}\; \backslash frac\{\backslash Gamma\; \backslash left(\backslash tfrac\{a\_0\}\{d\}\; +\; n\; +\; 1\backslash right)\}\{\backslash Gamma\; \backslash left(\backslash tfrac\{a\_0\}\{d\}\backslash right)\}$

라는 닫힌 형식으로 계산할 수 있다. (단, $a\_0/d$가 음의 정수나 $0$이 되는 경우, 식은 의미를 갖지 않는다). $\Gamma (n\; +\; 1)\; =\; n!$에 주의하면, 위의 식은 $1$부터 $n$까지의 곱 $1\; \times \; 2\; \times \; \cdots \; \times \; n\; =\; n!$ 및 양의 정수 $m$부터 $n$까지의 곱 $m\; \times \; (m\; +\; 1)\; \times \; \cdots \; \times \; (n\; -\; 1)\; \times \; n\; =\; \backslash frac\{n!\}\{(m\; -\; 1)!\}$을 일반화한 것임을 알 수 있다.

6.2. 공식 활용 예시

; 예시 1

수열 $3,\; 8,\; 13,\; 18,\; 23,\; 28,\; \backslash ldots$에서, $a\_n\; =\; 3\; +\; 5(n-1)$로 주어지는 등차수열의 50번째 항까지의 곱은 다음과 같다.

:$P\_\{50\}\; =\; 5^\{50\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{\backslash Gamma\; \backslash left(3/5\; +\; 50\backslash right)\; \}\{\backslash Gamma\; \backslash left(\; 3\; /\; 5\; \backslash right)\; \}\; \backslash approx\; 3.78438\; \backslash times\; 10^\{98\}.$

; 예시 2

처음 10개의 홀수 $(1,3,5,7,9,11,13,15,17,19)$의 곱은 다음과 같다.

:$1\backslash cdot\; 3\backslash cdot\; 5\backslash cdots\; 19\; =\backslash prod\_\{k=0\}^\{9\}\; (1+2k)\; =\; 2^\{10\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{\backslash Gamma\; \backslash left(\backslash frac\{1\}\{2\}\; +\; 10\backslash right)\; \}\{\backslash Gamma\; \backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash right)\; \}\; =\; 654729075$

7. 등차수열의 표준 편차

등차수열의 표준 편차는 다음과 같다.

:$\backslash sigma\; =\; |d|\backslash sqrt\{\backslash frac\{(n-1)(n+1)\}\{12\}\}$

여기서 $n$은 수열의 항의 개수이고, $d$는 항 사이의 공차이다. 이 공식은 이산 균등 분포의 표준 편차 공식과 본질적으로 동일하며, 등차수열을 동일한 확률의 결과 집합으로 해석한다.

8. 등차수열의 교집합

두 개의 무한 등차수열의 교집합은 공집합이거나 또 다른 등차수열이며, 이는 중국인의 나머지 정리를 사용하여 찾을 수 있다. 무한 등차수열 집합의 각 쌍이 공집합이 아닌 교집합을 가지면, 모든 수열에 공통된 숫자가 존재한다. 즉, 무한 등차수열은 헬리족을 형성한다. 그러나 무한히 많은 무한 등차수열의 교집합은 무한 수열 자체가 아니라 단일 숫자일 수 있다.

임의의 양쪽 무한 등차수열 2개가 주어졌을 때, 그 수열에 공통으로 나타나는 항을 (항의 전후 관계는 바꾸지 않고) 나열하여 얻어지는 수열 (수열의 "교집합")은, 공집합이거나 또 다른 새로운 등차수열 중 하나이다 (중국인의 나머지 정리로부터 증명할 수 있다). 양쪽 무한 등차수열로 이루어진 족에 대해, 어떤 두 수열의 교집합도 공집합이 아니라면, 그 족의 모든 수열에 공통으로 나타나는 항이 존재한다. 즉, 그러한 무한 등차수열의 족은 Helly family^영어이다. 그러나 무한 개의 무한 등차수열의 교집합을 취하면, 무한 수열이 아닌 단 하나의 수가 될 수 있다.

9. 역사

카를 프리드리히 가우스가 초등학교 시절 1부터 $n$까지의 정수를 더하는 공식 $\backslash tfrac\{n(n+1)\}\{2\}$를 $n=100$인 경우에 대해 재발견했다는 일화가 전해지지만, 이 이야기의 진위는 불확실하다. 가우스가 이 공식을 처음 발견한 것은 아니었다.

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이와 유사한 공식은 고대 시대에 아르키메데스, 힙시클레스, 디오판토스가 알고 있었고, 중국에서는 장구건, 인도에서는 아리아바타, 브라마굽타, 바스카라 2세가 알고 있었다. 중세 유럽에서는 알쿠인, 디쿠일, 피보나치, 사크로보스코, 토사피스트로 알려진 탈무드의 익명 주석가들이 알고 있었다. 일각에서는 이 공식의 기원이 기원전 5세기 피타고라스 학파까지 거슬러 올라간다고 주장한다.

499년, 인도의 수학자이자 천문학자인 아리아바타는 Aryabhatiya^영어 (section 2.18)에서 이와 비슷한 방법을 제시했다. 피보나치의 『산반서』(1202년, ch. II.12)에도 이러한 종류의 식이 등장한다.

10. {1,...,n} 집합의 길이 k인 등차수열 부분집합의 개수

$a(n,k)$를 집합 $\backslash \{1,\backslash cdots,n\backslash \}$에서 길이 $k$인 등차수열 부분집합의 개수로 나타내고, $\backslash phi(\backslash eta,\; \backslash kappa)$를 다음과 같이 정의한다.

$\backslash phi(\backslash eta,\; \backslash kappa)\; =\; \backslash begin\{cases\}$
0 & \text{if } \kappa \mid \eta \\
\left( \left[ \eta \; (\text{mod } \kappa) \right] -2 \right) \left( \kappa - \left[ \eta \; (\text{mod } \kappa) \right] \right) & \text{if } \kappa \not\mid \eta \\
\end{cases}

그러면 다음이 성립한다.



예를 들어, $(n,k)\; =\; (7,3)$인 경우, $a(7,3)\; =\; 9$개의 등차수열 부분집합이 예상되며, 직접 세어보면 다음과 같이 9개임을 알 수 있다.

* $\backslash \{1,2,3\backslash \}$
* $\backslash \{2,3,4\backslash \}$
* $\backslash \{3,4,5\backslash \}$
* $\backslash \{4,5,6\backslash \}$
* $\backslash \{5,6,7\backslash \}$
* $\backslash \{1,3,5\backslash \}$
* $\backslash \{3,5,7\backslash \}$
* $\backslash \{2,4,6\backslash \}$
* $\backslash \{1,4,7\backslash \}$