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페예르의 정리

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목차

1. 개요

페예르의 정리는 푸리에 급수의 체사로 평균에 대한 수렴성을 다루는 정리이다. 이 정리는 임의의 실수에 대해 푸리에 급수의 체사로 평균이 원래 함수로 균등하게 수렴함을 주장한다. 페예르 정리는 푸리에 급수의 부분합이 아닌 체사로 평균을 사용함으로써 수렴성을 보장하며, 수정된 형태에서는 점별 수렴을 위해 수정될 수 있다.

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페예르의 정리
개요
연속 함수의 푸리에 급수의 부분합의 체사로 평균은 균등하게 수렴한다.
연속 함수의 푸리에 급수의 부분합의 체사로 평균은 균등하게 수렴한다.
정의
수학적 표현함수 f: ℝ → ℂ가 주기 2π를 갖는 연속 함수이고, sₙ(f)가 f의 푸리에 급수의 n번째 부분합이고, σₙ(f)가 수열 sₙ(f)의 체사로 평균, 즉 s₀(f), ..., sₙ(f)의 산술 평균의 수열이라고 하자. 그러면 수열 σₙ(f)는 n이 무한대로 갈 때 ℝ에서 f로 균등 수렴한다.
관련 항목푸리에 급수, 부분합, 체사로 평균, 균등 수렴

2. 페예르 정리의 설명

주어진 함수 ''f''(''x'')의 푸리에 급수는 다음과 같이 쓸 수 있다.

: f(x)= \sum_{n=- \infty}^{\infty} c_n \, e^{inx}

여기서 ''f''의 푸리에 급수의 n번째 부분합은 다음과 같다.

:s_n(f,x)=\sum_{k=-n}^nc_ke^{ikx},

여기서 푸리에 계수 c_k는 다음과 같다.

:c_k=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)e^{-ikt}dt.

:\sigma_n(f,x)=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}s_k(f,x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x-t)F_n(t)dt

''F''''n''은 ''n''차 페예르 핵이다.

페예르의 정리는 다음과 같이 주장한다.

\lim_{n\to \infty} \sigma_n (f, x) = f(x)

균등 수렴을 가진다. 수렴을 명시적으로 쓰면, 위의 식은 다음과 같다.

\forall \epsilon > 0 \, \exist\, n_0 \in \mathbb{N}: n \geq n_0 \implies | f(x) - \sigma_n(f,x)| < \epsilon, \, \forall x \in \mathbb{R}

2. 1. 푸리에 급수와 부분합

''f''의 푸리에 급수는 다음과 같이 쓸 수 있다.

: f(x)= \sum_{n=- \infty}^{\infty} c_n \, e^{inx}

여기서 ''f''의 푸리에 급수의 n번째 부분합은 다음과 같다.

:s_n(f,x)=\sum_{k=-n}^nc_ke^{ikx},

여기서 푸리에 계수 c_k는 다음과 같다.

:c_k=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)e^{-ikt}dt.

:\sigma_n(f,x)=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}s_k(f,x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x-t)F_n(t)dt

''F''''n''은 ''n''차 페예르 핵이다.

페예르의 정리는 다음과 같이 주장한다.

\lim_{n\to \infty} \sigma_n (f, x) = f(x)

균등 수렴을 가진다. 수렴을 명시적으로 쓰면, 위의 식은 다음과 같다.

\forall \epsilon > 0 \, \exist\, n_0 \in \mathbb{N}: n \geq n_0 \implies | f(x) - \sigma_n(f,x)| < \epsilon, \, \forall x \in \mathbb{R}

2. 2. 체사로 평균과 페예르 핵

''f''의 푸리에 급수를

f(x)= \sum_{n=- \infty}^{\infty} c_n \, e^{inx}

형태로 쓸 수 있다. 여기서 ''f''의 푸리에 급수의 n번째 부분합은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:s_n(f,x)=\sum_{k=-n}^nc_ke^{ikx},

여기서 푸리에 계수 c_k는 다음과 같다.

:c_k=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)e^{-ikt}dt.

''s''''n''(''f'',''x'')의 체사로 평균 σ''n''(''f'',''x'')는 다음과 같이 정의된다.

:\sigma_n(f,x)=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}s_k(f,x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x-t)F_n(t)dt

''F''''n''은 ''n''차 페예르 핵이다.

페예르 정리에 따르면,

\lim_{n\to \infty} \sigma_n (f, x) = f(x)

는 균등 수렴한다. 이 수렴을 명시적으로 표현하면 다음과 같다.

\forall \epsilon > 0 \, \exist\, n_0 \in \mathbb{N}: n \geq n_0 \implies | f(x) - \sigma_n(f,x)| < \epsilon, \, \forall x \in \mathbb{R}

2. 3. 페예르 정리의 공식

''f''의 푸리에 급수는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:f(x)= \sum_{n=- \infty}^{\infty} c_n \, e^{inx}

여기서 ''f''의 푸리에 급수의 n번째 부분합은 다음과 같다.

:s_n(f,x)=\sum_{k=-n}^nc_ke^{ikx},

여기서 푸리에 계수 c_k는 다음과 같다.

:c_k=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)e^{-ikt}dt.

그 다음, 다음과 같이 정의할 수 있다.

:\sigma_n(f,x)=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}s_k(f,x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x-t)F_n(t)dt

''F''''n''은 ''n''차 페예르 핵이다.

그러면 페예르의 정리는 다음과 같이 주장한다.

:\lim_{n\to \infty} \sigma_n (f, x) = f(x)

균등 수렴을 가진다. 수렴을 명시적으로 쓰면, 위의 식은 다음과 같다.

:\forall \epsilon > 0 \, \exist\, n_0 \in \mathbb{N}: n \geq n_0 \implies | f(x) - \sigma_n(f,x)| < \epsilon, \, \forall x \in \mathbb{R}

3. 페예르 정리의 증명

먼저 다음 보조정리들을 증명한다.

=== 보조정리 1 (디리클레 핵) ===

푸리에 급수 s_n(f,x) 의 n번째 부분합은 디리클레 커널을 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

: s_n(f,x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x-t) \, D_n(t) \, dt

여기서 D_n(x)는 디리클레 핵으로, 다음과 같이 정의된다.

:D_n(x) = \sum_{k=-n}^n e^{ikx}

위의 s_n(f,x) 공식에 푸리에 계수의 적분 형태를 대입하면 다음과 같다.

:s_n(f,x)=\sum_{k=-n}^n c_ke^{ikx} = \sum_{k=-n}^n [\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)e^{-ikt}dt ] e^{ikx} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(t) \sum_{k=-n}^n e^{ik(x-t)} \, dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(t) \, D_n(x-t) \, dt

변수 변환을 통해 최종적으로 다음 식을 얻는다.

:s_n(f,x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x-t) \, D_n(t) \, dt

=== 보조정리 2 (페예르 핵) ===

n번째 체사로 합 \sigma_n(f,x)은 페예르 커널을 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:\sigma_n(f,x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x-t)F_n(t)dt

페예르 커널 F_n(x)의 정의는 다음과 같다.

:F_n(x) = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1}D_k(x)

여기서 D_k(x)는 디리클레 커널이다. 보조정리 1에 의해 푸리에 급수의 n번째 부분합은 디리클레 커널을 사용하여 다음과 같이 표현된다.

: s_n(f,x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x-t) \, D_n(t) \, dt

따라서, 푸리에 계수의 적분 형태를 대입하면 다음과 같다.

:\sigma_n(f,x)=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}s_k(f,x) = \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x-t) \, D_k(t) \, dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x-t) \, [\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} D_k(t)] \, dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x-t) \, F_n(t) \, dt

=== 보조정리 3 (페예르 핵의 성질) ===

페예르 커널(페예르 커널/Fejér kernel영어)은 다음과 같은 세 가지 성질을 갖는다.


  • a) \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi F_n (x) \, dx =1
  • b) F_n(x) \geq 0
  • c) 모든 고정된 \delta > 0 에 대해, \lim_{n \to \infty} \int_{\delta \leq |x| \leq \pi} F_n (x) \, dx = 0


(증명)

a) F_n이 적분값이 1인 디리클레 커널(D_n)의 평균이므로, 적분의 선형성에 의해 F_n의 적분값도 1이다.

b) D_n(x)가 기하급수이므로, 드 무아브르의 공식을 사용하여 D_n(x)에 대한 간단한 공식을 얻은 다음 F_n(x)에 대한 공식을 얻는다.

:F_n(x) = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1}\frac{\sin((2k + 1) x / 2)}{\sin(x / 2)} = \frac{1}{n} \frac{\sin^2(n x / 2)}{\sin^2(x / 2)} \geq 0

c) 모든 고정된 \delta > 0 에 대해,

:\int_{\delta \leq |x| \leq \pi} F_n (x) \, dx = \frac{2}{n} \int_{\delta \leq x \leq \pi} \frac{\sin^2(n x / 2)}{\sin^2(x / 2)} \, dx \leq \frac{2}{n} \int_{\delta \leq x \leq \pi} \frac{1}{\sin^2(x / 2)} \, dx

:이것은 n 이 무한대로 갈 때 적분값이 0으로 수렴함을 보여준다.

=== 페예르 정리의 증명 과정 ===

페예르 정리의 증명은 다음과 같은 보조정리들을 기반으로 한다.

  • '''보조정리 1:''' 푸리에 급수 $s_n(f,x)$의 n번째 부분합은 디리클레 커널을 사용하여 다음과 같이 표현된다.

: $s_n(f,x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x-t) \, D_n(t) \, dt$

  • '''보조정리 2:''' n번째 체사로 합 $\sigma_n(f,x)$은 페예르 커널을 사용하여 다음과 같이 표현된다.

: $\sigma_n(f,x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x-t)F_n(t)dt$

  • '''보조정리 3:''' 페예르 커널은 다음 세 가지 속성을 갖는다.
  • a) $\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi F_n (x) \, dx =1$
  • b) $F_n(x) \geq 0$
  • c) 모든 고정된 $\delta > 0$에 대해, $\lim_{n \to \infty} \int_{\delta \leq |x| \leq \pi} F_n (x) \, dx = 0$


이 보조정리들을 이용하여 페예르 정리를 증명한다. 우선, 증명하고자 하는 식은 다음과 같다.

: $\forall \epsilon > 0 \, \exist\, n_0 \in \mathbb{N}: n \geq n_0 \implies | f(x) - \sigma_n(f,x)| < \epsilon, \, \forall x \in \mathbb{R}$

$|\sigma_n(f,x) - f(x) |$에 대한 식을 유도하기 위해 보조정리 2를 이용하면 다음과 같다.

: $\sigma_n(f,x)= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x-t) \, F_n(t) \, dt$

보조정리 3a를 이용하면,

: $\sigma_n(f,x) - f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi [f(x-t)-f(x)] \, F_n(t) \, dt$

를 얻는다. 삼각 부등식과 보조정리 3b를 적용하면,

: $|\sigma_n(f,x) - f(x) |= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi |f(x-t)-f(x)| \, F_n(t) \, dt$

가 된다. 이 적분을 $|t| \leq \delta$와 $\delta \leq |t| \leq \pi$ 두 부분으로 나누어 계산한다.

: $|\sigma_n(f,x) - f(x) |= \left( \frac{1}{2\pi} \int_{|t| \leq \delta} |f(x-t)-f(x)| \, F_n(t) \, dt \right) + \left( \frac{1}{2\pi} \int_{\delta \leq|t|\leq \pi} |f(x-t)-f(x)| \, F_n(t) \, dt \right)$

하이네-칸토어 정리에 의해, 연속 함수 ''f''는 균등 연속이므로, 첫 번째 적분은 다음과 같이 ε보다 작게 만들 수 있다.

: $\frac{1}{2\pi} \int_

3. 1. 보조정리 1 (디리클레 핵)

푸리에 급수 s_n(f,x) 의 n번째 부분합은 디리클레 커널을 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

: s_n(f,x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x-t) \, D_n(t) \, dt

여기서 D_n(x)는 디리클레 핵으로, 다음과 같이 정의된다.

:D_n(x) = \sum_{k=-n}^n e^{ikx}

위의 s_n(f,x) 공식에 푸리에 계수의 적분 형태를 대입하면 다음과 같다.

:s_n(f,x)=\sum_{k=-n}^n c_ke^{ikx} = \sum_{k=-n}^n [\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)e^{-ikt}dt ] e^{ikx} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(t) \sum_{k=-n}^n e^{ik(x-t)} \, dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(t) \, D_n(x-t) \, dt

변수 변환을 통해 최종적으로 다음 식을 얻는다.

:s_n(f,x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x-t) \, D_n(t) \, dt

3. 2. 보조정리 2 (페예르 핵)

n번째 체사로 합 \sigma_n(f,x)은 페예르 커널을 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:\sigma_n(f,x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x-t)F_n(t)dt

페예르 커널 F_n(x)의 정의는 다음과 같다.

:F_n(x) = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1}D_k(x)

여기서 D_k(x)는 디리클레 커널이다. 보조정리 1에 의해 푸리에 급수의 n번째 부분합은 디리클레 커널을 사용하여 다음과 같이 표현된다.

: s_n(f,x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x-t) \, D_n(t) \, dt

따라서, 푸리에 계수의 적분 형태를 대입하면 다음과 같다.

:\sigma_n(f,x)=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}s_k(f,x) = \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x-t) \, D_k(t) \, dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x-t) \, [\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} D_k(t)] \, dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x-t) \, F_n(t) \, dt

3. 3. 보조정리 3 (페예르 핵의 성질)

페예르 커널(페예르 커널/Fejér kernel영어)은 다음과 같은 세 가지 성질을 갖는다.

  • a) \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi F_n (x) \, dx =1
  • b) F_n(x) \geq 0
  • c) 모든 고정된 \delta > 0 에 대해, \lim_{n \to \infty} \int_{\delta \leq |x| \leq \pi} F_n (x) \, dx = 0


(증명)

a) F_n이 적분값이 1인 디리클레 커널(D_n)의 평균이므로, 적분의 선형성에 의해 F_n의 적분값도 1이다.

b) D_n(x)가 기하급수이므로, 드 무아브르의 공식을 사용하여 D_n(x)에 대한 간단한 공식을 얻은 다음 F_n(x)에 대한 공식을 얻는다.

:F_n(x) = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1}\frac{\sin((2k + 1) x / 2)}{\sin(x / 2)} = \frac{1}{n} \frac{\sin^2(n x / 2)}{\sin^2(x / 2)} \geq 0

c) 모든 고정된 \delta > 0 에 대해,

:\int_{\delta \leq |x| \leq \pi} F_n (x) \, dx = \frac{2}{n} \int_{\delta \leq x \leq \pi} \frac{\sin^2(n x / 2)}{\sin^2(x / 2)} \, dx \leq \frac{2}{n} \int_{\delta \leq x \leq \pi} \frac{1}{\sin^2(x / 2)} \, dx

:이것은 n 이 무한대로 갈 때 적분값이 0으로 수렴함을 보여준다.

3. 4. 페예르 정리의 증명 과정

페예르 정리의 증명은 다음과 같은 보조정리들을 기반으로 한다.

  • 보조정리 1: 푸리에 급수 $s_n(f,x)$의 n번째 부분합은 디리클레 커널을 사용하여 다음과 같이 표현된다.

: $s_n(f,x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x-t) \, D_n(t) \, dt$

  • 보조정리 2: n번째 체사로 합 $\sigma_n(f,x)$은 페예르 커널을 사용하여 다음과 같이 표현된다.

: $\sigma_n(f,x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x-t)F_n(t)dt$

  • 보조정리 3: 페예르 커널은 다음 세 가지 속성을 갖는다.
  • a) $\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi F_n (x) \, dx =1$
  • b) $F_n(x) \geq 0$
  • c) 모든 고정된 $\delta > 0$에 대해, $\lim_{n \to \infty} \int_{\delta \leq |x| \leq \pi} F_n (x) \, dx = 0$


이 보조정리들을 이용하여 페예르 정리를 증명한다. 우선, 증명하고자 하는 식은 다음과 같다.

: $\forall \epsilon > 0 \, \exist\, n_0 \in \mathbb{N}: n \geq n_0 \implies | f(x) - \sigma_n(f,x)| < \epsilon, \, \forall x \in \mathbb{R}$

$|\sigma_n(f,x) - f(x) |$에 대한 식을 유도하기 위해 보조정리 2를 이용하면 다음과 같다.

: $\sigma_n(f,x)= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x-t) \, F_n(t) \, dt$

보조정리 3a를 이용하면,

: $\sigma_n(f,x) - f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi [f(x-t)-f(x)] \, F_n(t) \, dt$

를 얻는다. 삼각 부등식과 보조정리 3b를 적용하면,

: $|\sigma_n(f,x) - f(x) |= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi |f(x-t)-f(x)| \, F_n(t) \, dt$

가 된다. 이 적분을 $|t| \leq \delta$와 $\delta \leq |t| \leq \pi$ 두 부분으로 나누어 계산한다.

: $|\sigma_n(f,x) - f(x) |= \left( \frac{1}{2\pi} \int_{|t| \leq \delta} |f(x-t)-f(x)| \, F_n(t) \, dt \right) + \left( \frac{1}{2\pi} \int_{\delta \leq|t|\leq \pi} |f(x-t)-f(x)| \, F_n(t) \, dt \right)$

하이네-칸토어 정리에 의해, 연속 함수 ''f''는 균등 연속이므로, 첫 번째 적분은 다음과 같이 ε보다 작게 만들 수 있다.

: $\frac{1}{2\pi} \int_

4. 페예르 정리의 수정 및 일반화

실제로 페예르의 정리는 점별 수렴을 위해 수정될 수 있다.[3]

:'''''수정된 페예르의 정리'''''

:: f \in L^2(- \pi, \pi) 가 x \in (-\pi,\pi) 에서 연속이면, \sigma_n(f,x) 는 n이 무한대로 갈 때 점별로 수렴한다.

하지만 수열 \sigma_n (f,x)를 s_n (f,x)로 바꾸면 이 정리는 일반적인 의미에서 작동하지 않는다. 이는 푸리에 급수가 어떤 점에서 수렴하지 않는 함수가 존재하기 때문이다.[4] 그러나 L^2(-\pi, \pi)에 있는 함수가 발산하는 점들의 집합은 측도 0이어야 한다. 이 사실은 카를레손 정리라고 불리며, 1966년 L. 카를레손에 의해 증명되었다.[4]

:'''''따름 정리'''''

:: s_n \in \mathbb{C}, \, \forall n \in \, \mathbb{Z}_+ 라고 하자. s_n 이 n이 무한대로 갈 때 s로 수렴하면, \sigma_n 도 n이 무한대로 갈 때 s로 수렴한다.

이 정리는 반드시 연속적일 필요가 없는 함수에 적용되는 더 일반적인 형태를 가진다. ''f''가 ''L''1(-π,π)에 있다고 가정하자. ''x''0에서 ''f''(''x'')의 좌극한과 우극한 ''f''(''x''0±0)가 존재하거나, 두 극한이 같은 부호로 무한대이면,

:\sigma_n(x_0) \to \frac{1}{2}\left(f(x_0+0)+f(x_0-0)\right).

체사로 평균의 존재 또는 무한대로의 발산도 함축된다. 마르셀 리에즈의 정리에 따르면, (C, 1) 평균 σ''n''이 푸리에 급수의 (C, α) 평균으로 대체되면 페예르의 정리는 정확하게 명시된 대로 성립한다.

4. 1. 수정된 페예르 정리

실제로 페예르의 정리는 점별 수렴을 위해 수정될 수 있다.[3]

:'''''수정된 페예르의 정리'''''

:: f \in L^2(- \pi, \pi) 가 x \in (-\pi,\pi) 에서 연속이면, \sigma_n(f,x) 는 n이 무한대로 갈 때 점별로 수렴한다.

하지만 수열 \sigma_n (f,x)를 s_n (f,x)로 바꾸면 이 정리는 일반적인 의미에서 작동하지 않는다. 이는 푸리에 급수가 어떤 점에서 수렴하지 않는 함수가 존재하기 때문이다.[4] 그러나 L^2(-\pi, \pi)에 있는 함수가 발산하는 점들의 집합은 측도 0이어야 한다. 이 사실은 카를레손 정리라고 불리며, 1966년 L. 카를레손에 의해 증명되었다.[4]

:'''''따름 정리'''''

:: s_n \in \mathbb{C}, \, \forall n \in \, \mathbb{Z}_+ 라고 하자. s_n 이 n이 무한대로 갈 때 s로 수렴하면, \sigma_n 도 n이 무한대로 갈 때 s로 수렴한다.

이 정리는 반드시 연속적일 필요가 없는 함수에 적용되는 더 일반적인 형태를 가진다. ''f''가 ''L''1(-π,π)에 있다고 가정하자. ''x''0에서 ''f''(''x'')의 좌극한과 우극한 ''f''(''x''0±0)가 존재하거나, 두 극한이 같은 부호로 무한대로 무한대이면,

:\sigma_n(x_0) \to \frac{1}{2}\left(f(x_0+0)+f(x_0-0)\right).

체사로 평균의 존재 또는 무한대로의 발산도 함축된다. 마르셀 리에즈의 정리에 따르면, (C, 1) 평균 σ''n''이 푸리에 급수의 (C, α) 평균으로 대체되면 페예르의 정리는 정확하게 명시된 대로 성립한다.

4. 2. 카를레손 정리와 푸리에 급수의 발산

페예르의 정리는 점별 수렴을 위해 수정될 수 있다.[3] 그러나 푸리에 급수( s_n (f,x) )는 어떤 점에서 수렴하지 않는 함수가 존재하기 때문에, \sigma_n (f,x)를 s_n (f,x)로 바꾸면 이 정리는 일반적인 의미에서 작동하지 않는다.[4]

하지만 L^2(-\pi, \pi)에 있는 함수가 발산하는 점들의 집합은 측도 0이어야 한다. 이 사실은 카를레손 정리라고 불리며, 1966년 L. 카를레손에 의해 증명되었다.[4]

4. 3. 따름 정리와 리스 정리

실제로 페예르의 정리는 점별 수렴을 위해 수정될 수 있다.[3]

: f \in L^2(- \pi, \pi) 가 x \in (-\pi,\pi) 에서 연속이면, \sigma_n(f,x) 는 n이 무한대로 갈 때 점별로 수렴한다.

하지만 수열 \sigma_n (f,x)를 s_n (f,x)로 바꾸면 이 정리는 일반적인 의미에서 작동하지 않는다. 이는 푸리에 급수가 어떤 점에서 수렴하지 않는 함수가 존재하기 때문이다.[4] 그러나 L^2(-\pi, \pi)에 있는 함수가 발산하는 점들의 집합은 측도 0이어야 한다. 이 사실은 카를레손 정리라고 불리며, 1966년 L. 카를레손에 의해 증명되었다.[4]

: s_n \in \mathbb{C}, \, \forall n \in \, \mathbb{Z}_+ 라고 하자. s_n 이 n이 무한대로 갈 때 s로 수렴하면, \sigma_n 도 n이 무한대로 갈 때 s로 수렴한다.

이 정리는 반드시 연속적일 필요가 없는 함수에 적용되는 더 일반적인 형태를 가진다. ''f''가 ''L''1(-π,π)에 있다고 가정하자. ''x''0에서 ''f''(''x'')의 좌극한과 우극한 ''f''(''x''0±0)가 존재하거나, 두 극한이 같은 부호로 무한대이면,

:\sigma_n(x_0) \to \frac{1}{2}\left(f(x_0+0)+f(x_0-0)\right).

체사로 평균의 존재 또는 무한대로의 발산도 함축된다. 마르셀 리에즈의 정리에 따르면, (C, 1) 평균 σ''n''이 푸리에 급수의 (C, α) 평균으로 대체되면 페예르의 정리는 정확하게 명시된 대로 성립한다.

5. 한국의 관점

참조

[1] 간행물 Sur les fonctions intégrables et bornées https://gallica.bnf.[...] Comptes rendus de l'Académie des Sciences 1900-12-10
[2] 간행물 Untersuchungen über Fouriersche Reihen https://babel.hathit[...] Mathematische Annalen 1904
[3] Citation Introduction http://dx.doi.org/10[...] Cambridge University Press 1988-07-21
[4] 학술지 An elementary companion to a theorem of J. Mercer 1965-12


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