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하이네-칸토어 정리

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1. 개요

하이네-칸토어 정리는 콤팩트 균등 공간에서 정의된 연속 함수는 균등 연속 함수임을 나타내는 정리이다. 콤팩트 균등 공간 X와 Y 사이의 함수 f에 대해, f가 연속 함수일 경우 f는 균등 연속 함수이다. 이 정리는 유계 폐구간 위의 연속 함수가 균등 연속임을 보이며, 콤팩트 공간이 아니거나 완비 균등 공간이 아닌 경우에는 성립하지 않을 수 있다. 게오르크 칸토어의 집합론을 바탕으로 에두아르트 하이네가 1872년에 증명했다.

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하이네-칸토어 정리
일반 정보
종류수학 정리
분야실해석학
이름에두아르트 하이네, 게오르크 칸토어
설명거리 공간에서 정의된 연속 함수콤팩트 집합에서 정의될 때, 해당 함수는 균등 연속이다.

2. 정의

콤팩트 균등 공간에서 정의된 연속 함수균등 연속 함수이다.[1]

2. 1. 균등 공간에서의 정의

콤팩트 균등 공간 (X,\mathcal E_X)균등 공간 (Y,\mathcal E_Y) 사이의 함수 f\colon X\to Y가 주어졌을 때, '''하이네-칸토어 정리'''에 따르면, f연속 함수인 것과 균등 연속 함수인 것은 동치이다.[1]

2. 2. 미적분학에서의 정의

유계 폐구간 ''I'' 위의 연속 함수 ''f'': ''I'' → '''R'''는 균등 연속이다.

3. 증명

모든 균등 연속 함수는 자명하게 연속 함수이다. 반대로, 연속 함수 f\colon X\to Y 및 임의의 측근 \epsilon\in\mathcal E_Y가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음이 성립하는 측근 \delta\in\mathcal E_X를 찾으면 충분하다.

:\forall x,y\in X\colon x\approx_\delta y\implies f(x)\approx_\epsilon f(y)

우선, 다음이 성립하는 대칭 측근 \hat\epsilon\in\mathcal E_Y를 찾는다.

:\forall x,y,z\in Y\colon x\approx_{\hat\epsilon}y\approx_{\hat\epsilon}z\implies x\approx_\epsilon z

f연속 함수이므로, 임의의 x\in X에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 측근 \delta_x\in\mathcal E_X들이 존재한다.

:\forall x,y\in X\colon x\approx_{\delta_x}y\implies f(x)\approx_{\hat\epsilon}f(y)

이제 다음을 만족하는 측근 \hat\delta_x\in\mathcal E_X들을 고른다.

:\forall x,y,z,w\in X\colon y\approx_{\hat\delta_x}z\approx_{\hat\delta_x}w\implies y\approx_{\delta_x}w

이제, \left\{\{y\in X\colon x\approx_{\hat\delta_x}y\}\colon x\in X\right\}X의 열린 덮개이므로, 콤팩트성에 의하여 유한 부분 덮개

:\left\{\{y\in X\colon x\approx_{\hat\delta_{\tilde x}}y\}\colon\tilde x\in\tilde X\right\}

:\tilde X\subseteq X

:|\tilde X|<\aleph_0

가 존재한다.

이제, 다음이 성립하는 측근 \delta\in\mathcal E_X를 고른다.

:\forall y,z\in X\colon y\approx_\delta z\implies \forall \tilde x\in\tilde X\colon y\approx_{\delta_{\tilde x}}z

이제, 임의의 x,y\in X에 대하여 x\approx_\delta y이라고 하자. 그렇다면,

:\tilde x\approx_{\hat\delta_{\tilde x}}x\approx_\delta y

\tilde x\in\tilde X가 존재한다. 따라서

:\tilde x\approx_{\hat\delta_{\tilde x}}x\approx_{\hat\delta_{\tilde x}}y

이므로

:\tilde x\approx_{\delta_{\tilde x}}x

:\tilde x\approx_{\delta_{\tilde x}}y

이며, 따라서

:f(x)\approx_{\hat\epsilon}f(\tilde x)\approx_{\hat\epsilon}f(y)

이며, 따라서

:f(x)\approx_\epsilon f(y)

이다.

실수 \varepsilon > 0을 임의로 취한다. 연속성에 의해, 각 x\in M에 대해 U_x := f^{-1}(D_{N}(f(x); \varepsilon/2))x를 포함하는 M의 열린 집합이다. 여기서 D는 열린 공을 나타낸다. D_{M}(x; 2\delta)\subseteq U_{x}가 되는 D_{M}(x; \delta)들의 전체는 X의 열린 덮개를 이룬다. X는 콤팩트하므로 유한 부분 덮개 \{D(x_i; \delta_i) \mid i=1,\ldots,n\}를 취할 수 있다. \delta := \min_{i} \delta_{i}로 둔다. 이제 x, y\in M에 대해 d_{M}(x, y) < \delta 라고 가정한다. 어떤 i에 대해 x\in D_{M}(x_{i}; \delta_{i})이다. 따라서 삼각 부등식에 의해 y\in D_{M}(x_i; \delta + \delta_{i}) \subseteq D_{M}(x_{i}; 2\delta_{i})이다. 여기서 x, y\in U_{x_i}임을 알 수 있다. 즉, f(x), f(y) \in D_{N}(f(x_i); \varepsilon/2)이다. 삼각 부등식으로부터 d_{N}(f(x), f(y)) < \varepsilon임을 알 수 있다.

4. 예시

균등 공간에서 콤팩트 공간완전 유계 공간이자 완비 균등 공간인 것과 동치이다(하이네-보렐 정리). 정의역이 완전 유계 공간이 아니거나 완비 균등 공간이 아니라면 하이네-칸토어 정리는 일반적으로 성립하지 않는다.

4. 1. 하이네-칸토어 정리가 성립하지 않는 예시

탄젠트 함수 tan|탄영어: (-π/2, π/2) → ℝ는 정의역이 완전 유계 공간이며 연속 함수이지만 균등 연속 함수가 아니다. 지수 함수 exp|익스프영어: ℝ → ℝ는 정의역이 완비 거리 공간이며 연속 함수이지만 균등 연속 함수가 아니다.

5. 역사

게오르크 칸토어집합론실수의 구성을 바탕으로, 독일의 수학자 에두아르트 하이네가 정의역이 폐구간이고 공역이 실직선인 경우의 하이네-칸토어 정리를 1872년에 증명하였다.[2] 하이네는 논문에서 다음과 같이 적었다.

Zu besonderem Danke bin ich dem Herrn ''Cantor'' in Halle für seine mündlichen Mittheilungen verpflichtet, welche einen bedeutenden Einfluss auf die Gestaltung meiner Arbeiten ausübten […].|할레의 칸토어 씨에게 특별한 감사를 드리고자 한다. 그의 업적은 나의 이 논문의 얼개에 큰 영향을 미쳤다. […]de[2]

참조

[1] 서적 General topology https://www.springer[...] Springer 1975
[2] 저널 Die Elemente der Functionenlehre http://resolver.sub.[...] 1872



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