하이네-칸토어 정리

1. 개요

하이네-칸토어 정리는 콤팩트 균등 공간에서 정의된 연속 함수는 균등 연속 함수임을 나타내는 정리이다. 콤팩트 균등 공간 X와 Y 사이의 함수 f에 대해, f가 연속 함수일 경우 f는 균등 연속 함수이다. 이 정리는 유계 폐구간 위의 연속 함수가 균등 연속임을 보이며, 콤팩트 공간이 아니거나 완비 균등 공간이 아닌 경우에는 성립하지 않을 수 있다. 게오르크 칸토어의 집합론을 바탕으로 에두아르트 하이네가 1872년에 증명했다.

2. 정의

콤팩트 균등 공간에서 정의된 연속 함수는 균등 연속 함수이다.

2.1. 균등 공간에서의 정의

콤팩트 균등 공간 $(X,\backslash mathcal\; E\_X)$와 균등 공간 $(Y,\backslash mathcal\; E\_Y)$ 사이의 함수 $f\backslash colon\; X\backslash to\; Y$가 주어졌을 때, 하이네-칸토어 정리에 따르면, $f$가 연속 함수인 것과 균등 연속 함수인 것은 동치이다.

2.2. 미적분학에서의 정의

유계 폐구간 I 위의 연속 함수 f: I → R는 균등 연속이다.

3. 증명

모든 균등 연속 함수는 자명하게 연속 함수이다. 반대로, 연속 함수 $f\backslash colon\; X\backslash to\; Y$ 및 임의의 측근 $\backslash epsilon\backslash in\backslash mathcal\; E\_Y$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음이 성립하는 측근 $\backslash delta\backslash in\backslash mathcal\; E\_X$를 찾으면 충분하다.
:$\backslash forall\; x,y\backslash in\; X\backslash colon\; x\backslash approx\_\backslash delta\; y\backslash implies\; f(x)\backslash approx\_\backslash epsilon\; f(y)$

우선, 다음이 성립하는 대칭 측근 $\backslash hat\backslash epsilon\backslash in\backslash mathcal\; E\_Y$를 찾는다.
:$\backslash forall\; x,y,z\backslash in\; Y\backslash colon\; x\backslash approx\_\{\backslash hat\backslash epsilon\}y\backslash approx\_\{\backslash hat\backslash epsilon\}z\backslash implies\; x\backslash approx\_\backslash epsilon\; z$

$f$가 연속 함수이므로, 임의의 $x\backslash in\; X$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 측근 $\backslash delta\_x\backslash in\backslash mathcal\; E\_X$들이 존재한다.
:$\backslash forall\; x,y\backslash in\; X\backslash colon\; x\backslash approx\_\{\backslash delta\_x\}y\backslash implies\; f(x)\backslash approx\_\{\backslash hat\backslash epsilon\}f(y)$

이제 다음을 만족하는 측근 $\backslash hat\backslash delta\_x\backslash in\backslash mathcal\; E\_X$들을 고른다.
:$\backslash forall\; x,y,z,w\backslash in\; X\backslash colon\; y\backslash approx\_\{\backslash hat\backslash delta\_x\}z\backslash approx\_\{\backslash hat\backslash delta\_x\}w\backslash implies\; y\backslash approx\_\{\backslash delta\_x\}w$

이제, $\backslash left\backslash \{\backslash \{y\backslash in\; X\backslash colon\; x\backslash approx\_\{\backslash hat\backslash delta\_x\}y\backslash \}\backslash colon\; x\backslash in\; X\backslash right\backslash \}$는 $X$의 열린 덮개이므로, 콤팩트성에 의하여 유한 부분 덮개
:$\backslash left\backslash \{\backslash \{y\backslash in\; X\backslash colon\; x\backslash approx\_\{\backslash hat\backslash delta\_\{\backslash tilde\; x\}\}y\backslash \}\backslash colon\backslash tilde\; x\backslash in\backslash tilde\; X\backslash right\backslash \}$
:$\backslash tilde\; X\backslash subseteq\; X$
:
가 존재한다.

이제, 다음이 성립하는 측근 $\backslash delta\backslash in\backslash mathcal\; E\_X$를 고른다.
:$\backslash forall\; y,z\backslash in\; X\backslash colon\; y\backslash approx\_\backslash delta\; z\backslash implies\; \backslash forall\; \backslash tilde\; x\backslash in\backslash tilde\; X\backslash colon\; y\backslash approx\_\{\backslash delta\_\{\backslash tilde\; x\}\}z$

이제, 임의의 $x,y\backslash in\; X$에 대하여 $x\backslash approx\_\backslash delta\; y$이라고 하자. 그렇다면,
:$\backslash tilde\; x\backslash approx\_\{\backslash hat\backslash delta\_\{\backslash tilde\; x\}\}x\backslash approx\_\backslash delta\; y$
인 $\backslash tilde\; x\backslash in\backslash tilde\; X$가 존재한다. 따라서
:$\backslash tilde\; x\backslash approx\_\{\backslash hat\backslash delta\_\{\backslash tilde\; x\}\}x\backslash approx\_\{\backslash hat\backslash delta\_\{\backslash tilde\; x\}\}y$
이므로
:$\backslash tilde\; x\backslash approx\_\{\backslash delta\_\{\backslash tilde\; x\}\}x$
:$\backslash tilde\; x\backslash approx\_\{\backslash delta\_\{\backslash tilde\; x\}\}y$
이며, 따라서
:$f(x)\backslash approx\_\{\backslash hat\backslash epsilon\}f(\backslash tilde\; x)\backslash approx\_\{\backslash hat\backslash epsilon\}f(y)$
이며, 따라서
:$f(x)\backslash approx\_\backslash epsilon\; f(y)$
이다.

실수 $\backslash varepsilon\; >\; 0$을 임의로 취한다. 연속성에 의해, 각 $x\backslash in\; M$에 대해 $U\_x\; :=\; f^\{-1\}(D\_\{N\}(f(x);\; \backslash varepsilon/2))$는 $x$를 포함하는 $M$의 열린 집합이다. 여기서 $D$는 열린 공을 나타낸다. $D\_\{M\}(x;\; 2\backslash delta)\backslash subseteq\; U\_\{x\}$가 되는 $D\_\{M\}(x;\; \backslash delta)$들의 전체는 $X$의 열린 덮개를 이룬다. $X$는 콤팩트하므로 유한 부분 덮개 $\backslash \{D(x\_i;\; \backslash delta\_i)\; \backslash mid\; i=1,\backslash ldots,n\backslash \}$를 취할 수 있다. $\backslash delta\; :=\; \backslash min\_\{i\}\; \backslash delta\_\{i\}$로 둔다. 이제 $x,\; y\backslash in\; M$에 대해 라고 가정한다. 어떤 $i$에 대해 $x\backslash in\; D\_\{M\}(x\_\{i\};\; \backslash delta\_\{i\})$이다. 따라서 삼각 부등식에 의해 $y\backslash in\; D\_\{M\}(x\_i;\; \backslash delta\; +\; \backslash delta\_\{i\})\; \backslash subseteq\; D\_\{M\}(x\_\{i\};\; 2\backslash delta\_\{i\})$이다. 여기서 $x,\; y\backslash in\; U\_\{x\_i\}$임을 알 수 있다. 즉, $f(x),\; f(y)\; \backslash in\; D\_\{N\}(f(x\_i);\; \backslash varepsilon/2)$이다. 삼각 부등식으로부터 임을 알 수 있다.

4. 예시

균등 공간에서 콤팩트 공간은 완전 유계 공간이자 완비 균등 공간인 것과 동치이다(하이네-보렐 정리). 정의역이 완전 유계 공간이 아니거나 완비 균등 공간이 아니라면 하이네-칸토어 정리는 일반적으로 성립하지 않는다.

4.1. 하이네-칸토어 정리가 성립하지 않는 예시

탄젠트 함수 tan^영어: (-π/2, π/2) → ℝ는 정의역이 완전 유계 공간이며 연속 함수이지만 균등 연속 함수가 아니다. 지수 함수 exp^영어: ℝ → ℝ는 정의역이 완비 거리 공간이며 연속 함수이지만 균등 연속 함수가 아니다.

5. 역사

게오르크 칸토어의 집합론 및 실수의 구성을 바탕으로, 독일의 수학자 에두아르트 하이네가 정의역이 폐구간이고 공역이 실직선인 경우의 하이네-칸토어 정리를 1872년에 증명하였다. 하이네는 논문에서 다음과 같이 적었다.

Zu besonderem Danke bin ich dem Herrn Cantor in Halle für seine mündlichen Mittheilungen verpflichtet, welche einen bedeutenden Einfluss auf die Gestaltung meiner Arbeiten ausübten […].^독일어