하이네-칸토어 정리
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1. 개요
하이네-칸토어 정리는 콤팩트 균등 공간에서 정의된 연속 함수는 균등 연속 함수임을 나타내는 정리이다. 콤팩트 균등 공간 X와 Y 사이의 함수 f에 대해, f가 연속 함수일 경우 f는 균등 연속 함수이다. 이 정리는 유계 폐구간 위의 연속 함수가 균등 연속임을 보이며, 콤팩트 공간이 아니거나 완비 균등 공간이 아닌 경우에는 성립하지 않을 수 있다. 게오르크 칸토어의 집합론을 바탕으로 에두아르트 하이네가 1872년에 증명했다.
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하이네-칸토어 정리 | |
---|---|
일반 정보 | |
종류 | 수학 정리 |
분야 | 실해석학 |
이름 | 에두아르트 하이네, 게오르크 칸토어 |
설명 | 거리 공간에서 정의된 연속 함수가 콤팩트 집합에서 정의될 때, 해당 함수는 균등 연속이다. |
2. 정의
콤팩트 균등 공간에서 정의된 연속 함수는 균등 연속 함수이다.[1]
2. 1. 균등 공간에서의 정의
콤팩트 균등 공간 와 균등 공간 사이의 함수 가 주어졌을 때, '''하이네-칸토어 정리'''에 따르면, 가 연속 함수인 것과 균등 연속 함수인 것은 동치이다.[1]2. 2. 미적분학에서의 정의
유계 폐구간 ''I'' 위의 연속 함수 ''f'': ''I'' → '''R'''는 균등 연속이다.3. 증명
모든 균등 연속 함수는 자명하게 연속 함수이다. 반대로, 연속 함수 및 임의의 측근 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음이 성립하는 측근 를 찾으면 충분하다.
:
우선, 다음이 성립하는 대칭 측근 를 찾는다.
:
가 연속 함수이므로, 임의의 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 측근 들이 존재한다.
:
이제 다음을 만족하는 측근 들을 고른다.
:
이제, 는 의 열린 덮개이므로, 콤팩트성에 의하여 유한 부분 덮개
:
:
:
가 존재한다.
이제, 다음이 성립하는 측근 를 고른다.
:
이제, 임의의 에 대하여 이라고 하자. 그렇다면,
:
인 가 존재한다. 따라서
:
이므로
:
:
이며, 따라서
:
이며, 따라서
:
이다.
실수 을 임의로 취한다. 연속성에 의해, 각 에 대해 는 를 포함하는 의 열린 집합이다. 여기서 는 열린 공을 나타낸다. 가 되는 들의 전체는 의 열린 덮개를 이룬다. 는 콤팩트하므로 유한 부분 덮개 를 취할 수 있다. 로 둔다. 이제 에 대해 라고 가정한다. 어떤 에 대해 이다. 따라서 삼각 부등식에 의해 이다. 여기서 임을 알 수 있다. 즉, 이다. 삼각 부등식으로부터 임을 알 수 있다.
4. 예시
균등 공간에서 콤팩트 공간은 완전 유계 공간이자 완비 균등 공간인 것과 동치이다(하이네-보렐 정리). 정의역이 완전 유계 공간이 아니거나 완비 균등 공간이 아니라면 하이네-칸토어 정리는 일반적으로 성립하지 않는다.
4. 1. 하이네-칸토어 정리가 성립하지 않는 예시
탄젠트 함수 tan|탄영어: (-π/2, π/2) → ℝ는 정의역이 완전 유계 공간이며 연속 함수이지만 균등 연속 함수가 아니다. 지수 함수 exp|익스프영어: ℝ → ℝ는 정의역이 완비 거리 공간이며 연속 함수이지만 균등 연속 함수가 아니다.5. 역사
게오르크 칸토어의 집합론 및 실수의 구성을 바탕으로, 독일의 수학자 에두아르트 하이네가 정의역이 폐구간이고 공역이 실직선인 경우의 하이네-칸토어 정리를 1872년에 증명하였다.[2] 하이네는 논문에서 다음과 같이 적었다.
Zu besonderem Danke bin ich dem Herrn ''Cantor'' in Halle für seine mündlichen Mittheilungen verpflichtet, welche einen bedeutenden Einfluss auf die Gestaltung meiner Arbeiten ausübten […].|할레의 칸토어 씨에게 특별한 감사를 드리고자 한다. 그의 업적은 나의 이 논문의 얼개에 큰 영향을 미쳤다. […]de[2]
참조
[1]
서적
General topology
https://www.springer[...]
Springer
1975
[2]
저널
Die Elemente der Functionenlehre
http://resolver.sub.[...]
1872
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