균등 수렴

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1. 개요

균등 수렴은 함수열이 함수로 수렴하는 방식을 나타내는 개념으로, 함수열의 각 항과 극한 함수 사이의 차이가 정의역 전체에서 균등하게 작아지는 것을 의미한다. 균등 수렴은 점별 수렴보다 강한 조건이며, 연속성의 보존, 미분 및 적분과의 관계 등 중요한 성질들을 갖는다. 균등 수렴은 바이어슈트라스 M-판정법, 디리클레 판정법, 아벨 판정법 등을 통해 판정할 수 있으며, 거의 균등 수렴과 같은 관련 개념이 존재한다.

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균등 수렴
정의
설명	함수열의 수렴 방식 중 하나로, 각 점에서 수렴하는 것보다 더 강한 형태의 수렴이다.
참고	점별 수렴 균등 연속 디니 정리
조건
함수열	(fₙ)
함수	f
정의역	X
수렴	임의의 x ∈ X에 대해 fₙ(x)가 f(x)로 수렴한다.
균등 수렴 조건	임의의 ε > 0에 대해, 모든 x ∈ X에 대해 \|fₙ(x) - f(x)\| < ε을 만족하는 자연수 N이 존재한다.
성질
연속성 보존	각 fₙ이 연속 함수이고 fₙ이 f로 균등 수렴하면, f도 연속 함수이다.
적분 가능성 보존	각 fₙ이 적분 가능 함수이고 fₙ이 f로 균등 수렴하면, f도 적분 가능 함수이며, 극한과 적분의 순서를 바꿀 수 있다.
활용
함수항 급수의 수렴 판정	함수항 급수의 각 항이 균등 수렴하면, 급수 전체도 균등 수렴한다.
미분 방정식의 해 존재성 증명	피카르-린델뢰프 정리를 사용하여 미분 방정식의 해 존재성을 증명할 때 활용된다.

2. 정의

균등 공간 $(Y, \mathcal{E}_Y)$ 와 집합 $X$ 가 주어졌을 때, 함수 그물 $(f_n \colon X \to Y)_{n \in (N, \lesssim)}$ 이 함수 $f \colon X \to Y$ 로 '''균등 수렴'''한다는 것은, 임의의 측근 $\epsilon \in \mathcal{E}_Y$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 $N_\epsilon \in N$ 이 존재한다는 것을 의미한다.

임의의 $n \gtrsim N_\epsilon$ 및 $x \in X$ 에 대하여, $f_n(x) \approx_\epsilon f(x)$

이는 보통

f_n \rightrightarrows f

와 같이 표기한다.

Y = \mathbb{R}

이 실수선이고, 함수의 그물

(f_n \colon X \to \mathbb{R})_{n \in \mathbb{N}}

이 실수 값 함수의 열이라면, 균등 수렴 조건은 다음과 같다.

임의의 양의 실수 $\epsilon > 0$ 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 자연수 $N_\epsilon \in \mathbb{N}$ 이 존재한다.
임의의 $n \ge N_\epsilon$ 및 $x \in X$ 에 대하여, $|f_n(x) - f(x)| \le \epsilon$

균등 수렴은 함수 집합

Y^X

의 균등 수렴 위상에서의 수렴이다.

Y = \mathbb{R}

인 경우, 균등 수렴은

\mathbb{R}^X

위에 균등 거리 함수

:

d(f, g) = \sup_{x \in X} |f(x) - g(x)|

로부터 유도되는 위상에 대한 수렴이다.

실수값 함수에 대한 균등 수렴을 정의하지만, 이 개념은 거리 공간이나 균등 공간으로의 함수 매핑으로 쉽게 일반화된다.

f_n

이

f

로 균등 수렴한다는 표기는 표준화되어 있지 않으며, 다음은 사용되는 다양한 기호들이다.

:

f_n\rightrightarrows f, \quad \underset{n\to\infty}{\mathrm{unif\ lim}}f_n = f, \quad f_n \overset{\mathrm{unif.}}{\longrightarrow} f, \quad f=\mathrm{u}\!\!-\!\!\!\lim_{n\to\infty} f_n .

특별한 기호를 사용하지 않고, 단순히 다음과 같이 표현하기도 한다.

:

f_n\to f \quad \mathrm{uniformly}

(부사 없이

f_n \to f

는 점별 수렴을 의미한다.)

코시 기준을 사용하면, 함수열

(f_n)_{n\in\N}

의 균등 수렴에 대한 동등한 정의를 내릴 수 있다. 즉, 모든

\epsilon > 0

에 대해 다음을 만족하는 자연수

N

이 존재하면

(f_n)_{n\in\N}

은

E

에서 균등하게 수렴한다.

:

x\in E, m,n\geq N \implies |f_m(x)-f_n(x)|<\epsilon

.

균등 노름(또는 상한 거리)을 사용하면,

f_n

이

f

로 균등 수렴하는 것은

n\to\infty

일 때

d_n\to 0

인 경우와 동치이다. 여기서

d_n

은 다음과 같이 정의된다.

:

d_n = \sup_{x\in E} |f_n(x) - f(x) |,

기호로는 다음과 같이 나타낸다.

:

f_n\rightrightarrows f\iff d(f_n,f) \to 0

.

위상 공간 ''X''가 주어지면, ''X'' 위에 정의된 유계 실수 또는 복소수 값을 갖는 함수의 공간에 균등 노름 위상을 부여할 수 있으며, 균등 메트릭은 다음과 같이 정의된다.

:

d(f,g)=\|f-g\|_{\infty}=\sup_{x\in X} |f(x)-g(x)|.

그러면 균등 수렴은 단순히 균등 노름 위상에서의 수렴을 의미한다.

:

\lim_{n\to\infty}\|f_n-f\|_{\infty}=0

.

2. 1. 실수 값 함수열의 균등 수렴

실수값 함수열의 균등 수렴은 다음과 같이 정의된다.

E

가 집합이고,

(f_n)_{n \in \N}

이

E

에 대한 실수값 함수의 수열이라고 가정하자. 이때, 모든

\epsilon > 0,

에 대해 모든

n \geq N

과 모든

x \in E

에 대해 다음을 만족하는 자연수

N

이 존재한다면, 수열

(f_n)_{n \in \N}

은

E

에서 극한

f: E \to \R

으로 '''균등 수렴'''한다고 정의한다.

:

|f_n(x)-f(x)|<\epsilon.

이는 함수 공간

\R^E

에서 ''균등 거리''에 대한

(f_n)_{n \in \N}

의 수렴으로 특징지을 수 있다. 균등 거리는 다음과 같이 정의된다.

:

d(f,g)=\sup_{x\in E} |f(x)-g(x)|.

기호로는 다음과 같이 표현한다.

:

f_n\rightrightarrows f\iff d(f_n,f) \to 0

.

거리 공간에서 정의된 함수열의 경우, 모든 점에 대해 특정 조건을 만족하는 근방이 존재하면 '''국소 균등 수렴'''한다고 한다. 균등 수렴은 국소 균등 수렴을 의미하며, 국소 균등 수렴은 점별 수렴을 의미한다.

2. 2. 거리 공간으로의 함수열의 균등 수렴

거리 공간

(M, d)

와 집합

E

가 주어졌을 때, 함수열

(f_n: E \to M)_{n \in \mathbb{N}}

이 함수

f: E \to M

으로 '''균등 수렴'''한다는 것은, 임의의

\epsilon > 0

에 대해 다음 조건을 만족하는 자연수

N

이 존재하는 것을 의미한다.

모든 $n \geq N$ 과 모든 $x \in E$ 에 대하여, $d(f_n(x), f(x)) < \epsilon$

이는 실수값 함수에 대한 균등 수렴 정의에서

|f_n(x) - f(x)|

를

d(f_n(x), f(x))

로 대체하여 확장한 것이다.

균등 노름

\| f \|_\infty = \sup_{x \in S} |f(x)|

을 사용하면,

f_n

이

f

에 균등 수렴하는 것은

\lim_{n \to \infty} \| f_n - f \|_\infty = 0

과 동치이다.

함수열

(f_n)

이

f

로 '''국소 균등 수렴'''한다는 것은, 거리 공간

E

의 모든 점

x

에 대해, 어떤

r > 0

이 존재하여

(f_n)

이

B(x,r) \cap E

에서 균등 수렴하는 것을 의미한다.

2. 3. 균등 공간으로의 함수 그물의 균등 수렴

균등 공간

(Y,\mathcal E_Y)

와 집합

X

에 대해, 함수 그물

(f_n\colon X\to Y)_{n\in(N,\lesssim)}

이 함수

f\colon X\to Y

로 '''균등 수렴'''한다는 것은, 임의의 측근

\epsilon\in\mathcal E_Y

에 대하여, 다음 조건을 만족시키는

N_\epsilon\in N

이 존재한다는 것을 의미한다.

임의의 $n\gtrsim N_\epsilon$ 및 $x\in X$ 에 대하여, $f_n(x)\approx_\epsilon f(x)$

이는 흔히

f_n\rightrightarrows f

라고 쓴다.

예를 들어,

Y=\mathbb R

가 실수선이고, 함수의 그물

(f_n\colon X\to\mathbb R)_{n\in\mathbb N}

이 실수 값 함수의 열이라면, 이 조건은 다음과 같다.

임의의 양의 실수 $\epsilon>0$ 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 자연수 $N_\epsilon\in\mathbb N$ 이 존재한다.
* 임의의 $n\ge N_\epsilon$ 및 $x\in X$ 에 대하여, $|f_n(x)-f(x)|\le\epsilon$

이 개념은 거리 공간으로의 함수, 더 일반적으로는 균등 공간으로의 함수로 쉽게 일반화된다. 가장 일반적인 설정은 함수 넷 ''E'' → ''X''의 균등 수렴이며, 여기서 ''X''는 균등 공간이다. 넷

(f_\alpha)

가 극한 ''f'' : ''E'' → ''X''로 "균등하게 수렴"한다는 것은 ''X''의 모든 근방 ''V''에 대해, 모든 ''E''의 ''x''와 모든

\alpha\geq \alpha_0

에 대해

(f_\alpha(x),f(x))

가 ''V''에 속하도록 하는

\alpha_0

가 존재할 때이다.

2. 4. 초실수 환경에서의 정의

초실수 환경에서 함수열

f_n

이

f

로 균등 수렴한다는 것은,

f^*

의 정의역 내 모든 초실수

x

와 모든 무한대 초자연수

n

에 대해

f_n^*(x)

가

f^*(x)

에 무한히 가깝다는 것을 의미한다.(균등 연속성에 대한 유사한 정의는 미소연속성 참조).

3. 성질

집합 $X$ 를 정의역으로 하고 균등 공간 $(Y,\mathcal E_Y)$ 를 공역으로 하는 함수의 그물 $(f_n\colon X\to Y)_{n\in(N,\lesssim)}$ 이 함수 $f\colon X\to Y$ 로 균등 수렴한다면, $(f_n)_{n\in N}$ 은 $f$ 로 점별 수렴한다.

집합 $X$ 를 정의역으로 하고 아벨 위상군 $(Y,+)$ 를 공역으로 하는 함수열 $(f_n\colon X\to Y)_{n\in\mathbb N}$ 의 급수 $\textstyle\sum_{n=0}^\infty f_n$ 이 균등 수렴한다면, $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ 는 상수 함수 $0\colon X\to Y$ 로 균등 수렴한다.

집합 $X$ 를 정의역으로 하고 완비 균등 공간 $(Y,\mathcal E_Y)$ 를 공역으로 하는 함수의 그물 $(f_n\colon X\to Y)_{n\in(N,\lesssim)}$ 에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

$f_n$ 은 균등 수렴한다.
$f_n$ 은 ( $Y^X$ 의 균등 수렴 균등 구조에 대하여) 코시 그물이다. 즉, 임의의 측근 $\epsilon\in\mathcal E_Y$ 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 $N_\epsilon\in N$ 이 존재한다.
* 임의의 $m,n\gtrsim N_\epsilon$ 및 $x\in X$ 에 대하여, $f_m(x)\approx_\epsilon f_n(x)$

(표준적인 균등 구조를 갖춘) 실수선

Y=\mathbb R

은 완비 균등 공간이다. 또한, 함수의 열

(f_n\colon X\to Y)_{n\in\mathbb N}

은 그물의 특수한 경우다. 이 경우, 코시 그물 조건은 다음과 같다.

임의의 양의 실수 $\epsilon>0$ 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 자연수 $N_\epsilon\in\mathbb N$ 이 존재한다.
* 임의의 $m,n\ge N_\epsilon$ 및 $x\in X$ 에 대하여, $|f_m(x)-f_n(x)|\le\epsilon$

만약

Y

의 완비성을 가정하지 않는다면, 균등 수렴하는 함수 그물은 코시 그물이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어,

X

가 한원소 집합인 경우를 생각할 수 있다.

균등 수렴을 위한 다양한 수렴 판정법이 존재한다.

바이어슈트라스 M-판정법
균등 수렴에 대한 디리클레 판정법
균등 수렴에 대한 아벨 판정법

3. 1. 연속성의 보존

위상 공간

X

를 정의역으로 하고 균등 공간

(Y,\mathcal E_Y)

를 공역으로 하는 연속 함수의 그물

(f_n\colon X\to Y)_{n\in(N,\lesssim)}

이 함수

f\colon X\to Y

로 균등 수렴한다면,

f

역시 연속 함수다.

임의의

x_0\in X

및 측근

\epsilon\in\mathcal E_Y

에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 열린 근방

U\ni x_0

을 찾아야 한다.

임의의 $x\in U$ 에 대하여, $f(x)\approx_\epsilon f(x_0)$

다음을 만족시키는 측근

\epsilon/3\in\mathcal E_Y

을 고른다.

:

(\epsilon/3)\circ(\epsilon/3)\circ(\epsilon/3)\subset\epsilon

:

(\epsilon/3)^{-1}=\epsilon/3

가정에 따라, 다음을 만족시키는

N_\epsilon\in N

이 존재한다.

임의의 $n\gtrsim N_\epsilon$ 및 $x\in X$ 에 대하여, $f_n(x)\approx_{\epsilon/3}f(x)$

f_{N_\epsilon}

은 연속 함수이므로, 다음을 만족시키는 열린 근방

U\ni x_0

이 존재한다.

임의의 $x\in U$ 에 대하여, $f_{N_\epsilon}(x)\approx_{\epsilon/3}f_{N_\epsilon}(x_0)$

이에 따라, 임의의

x\in U

에 대하여,

:

f(x)\approx_{\epsilon/3}f_{N_\epsilon}(x)\approx_{\epsilon/3}f_{N_\epsilon}(x_0)\approx_{\epsilon/3}f(x_0)

이므로

:

f(x)\approx_\epsilon f(x_0)

이다.

반대로, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.

콤팩트 공간 $X$
연속 함수의 단조 그물 $(f_n\colon X\to\mathbb R)_{n\in(N,\lesssim)}$ . 즉, 다음 두 조건이 성립한다.
* (연속 함수의 그물) 모든 $f_n$ 은 연속 함수다.
* (단조 그물) 임의의 $x\in X$ 및 $n\lesssim n'$ 에 대하여, $f_n(x)\le f_{n'}(x)$
연속 함수 $f\colon X\to\mathbb R$

'''디니 정리'''에 따르면, 만약

f_n

이

f

로 점별 수렴한다면,

f_n

은

f

로 균등 수렴한다.^[1] 이는

X

가 콤팩트 공간이라고 가정하지 않으면 참이 아니다. 예를 들어, 연속 함수의 단조열

(x\mapsto x^n)\colon(0,1)\to\mathbb R

(

n\in\mathbb N

)은 연속 함수 0으로 점별 수렴하지만, 이는 균등 수렴이 아니다. 단조 그물의 가정 역시 필수적이다. 예를 들어, 연속 함수의 열

(x\mapsto nx\exp(-nx^2))\colon[0,1]\to\mathbb R

은 연속 함수 0으로 점별 수렴하지만, 이는 균등 수렴이 아니다.

임의의 양의 실수

\epsilon\in\mathbb R^+

가 주어졌다고 하자. 임의의

n\in N

에 대하여,

:

K_{\epsilon,n}=\{x\in X\colon|f(x)-f_n(x)|\ge\epsilon\}\subseteq X

라고 정의하자.

K_{\epsilon,n}

은 콤팩트 공간

X

의 닫힌집합이며, 따라서 콤팩트 집합이다. 임의의

n\lesssim n'

에 대하여,

:

|f(x)-f_n(x)|=f(x)-f_n(x)\gtrsim f(x)-f_{n'}(x)=|f(x)-f_{n'}(x)|

이므로,

K_n\supset K_{n'}

이다. 따라서

(K_{\epsilon,n})_{n\in N}

은 하향 집합을 이룬다. 임의의

x\in X

에 대하여,

(f_n(x))_{n\in N}

이

f(x)

로 수렴하므로,

x\not\in K_{\epsilon,n}

인

n\in N

이 존재한다. 즉,

\textstyle\bigcap_{n\in N}K_{\epsilon,n}=\varnothing

이다. 칸토어 교점 정리에 따라,

K_{\epsilon,N_\epsilon}=\varnothing

인

N_\epsilon\in N

이 존재한다. 하향성에 따라, 임의의

n\gtrsim N_\epsilon

에 대하여

K_{\epsilon,n}=\varnothing

이다. 즉,

(f_n)_{n\in N}

은

f

로 균등 수렴한다.

만약

E

와

M

이 위상 공간이라면, 함수

f_n,f:E\to M

의 연속성에 대해 이야기하는 것이 의미가 있다. 만약 우리가

M

이 거리 공간이라고 추가로 가정한다면,

f_n

이

f

로의 (균등) 수렴 또한 잘 정의된다. 다음 결과는 연속성이 균등 수렴에 의해 보존된다는 것을 나타낸다.

만약

E

가 위상 공간이고,

M

이 거리 공간이며,

(f_n)

이 연속 함수

f_n:E\to M

의 수열이라고 하자. 만약

f_n \rightrightarrows f

가

E

에서 성립한다면,

f

또한 연속이다.

이 정리는 "

\epsilon/3

요령"으로 증명되며, 이 요령의 전형적인 예시이다. 즉, 주어진 부등식(

\epsilon

)을 증명하기 위해 연속성과 균등 수렴의 정의를 사용하여 3개의 부등식(

\epsilon/3

)을 생성한 다음, 삼각 부등식을 통해 결합하여 원하는 부등식을 생성한다.

임의의 점

x_0\in E

를 잡자. 우리는

f

가

x_0

에서 연속임을 증명할 것이다.

\varepsilon >0

라고 하자. 균등 수렴에 의해, 다음을 만족하는 자연수

N

이 존재한다.

\forall x \in E\quad d(f_N(x),f(x))\leq \tfrac{\varepsilon}{3}

(균등 수렴은 위의 명제가 모든

n\geq N

에 대해 참임을 보여주지만, 우리는 수열의 단 하나의 함수, 즉

f_N

에 대해서만 사용할 것이다.)

f_N

이

x_0\in E

에서 연속이므로, 다음을 만족하는

x_0

를 포함하는 열린 집합

U

가 존재한다.

\forall x\in U\quad d(f_N(x),f_N(x_0))\leq\tfrac{\varepsilon}{3}

.

따라서, 삼각 부등식을 사용하여

\forall x\in U\quad d(f(x), f(x_0))\leq d(f(x),f_N(x))+d(f_N(x),f_N(x_0))+d(f_N(x_0),f(x_0))\leq\varepsilon

,

이는

f

가

x_0

에서 연속임을 보여준다.

이 정리는 18세기 많은 수학자들이 연속 함수 수열이 항상 연속 함수로 수렴한다는 직관적인 이해를 가지고 있었기 때문에, 실수 및 푸리에 해석의 역사에서 중요한 정리이다. 위의 그림은 반례를 보여주며, 많은 불연속 함수는 실제로 연속 함수의 푸리에 급수로 작성될 수 있다. 연속 함수 수열의 점별 극한이 연속이라는 잘못된 주장(원래는 연속 함수의 수렴 급수로 표현됨)은 "코시의 잘못된 정리"로 악명이 높다. 균등 극한 정리는 극한 함수에서 연속성의 보존을 보장하기 위해 균등 수렴과 같은 더 강력한 형태의 수렴이 필요함을 보여준다.

더 정확하게는, 이 정리는 ''균등 연속'' 함수의 균등 극한이 균등 연속임을 나타낸다. 국소 콤팩트 공간의 경우, 연속성은 국소 균등 연속과 동등하며, 따라서 연속 함수의 균등 극한은 연속이다.

3. 2. 미분과의 관계

미분 가능 함수의 열

(f_n\colon[a,b]\to\mathbb R)_{n\in\mathbb N}

와 함수

g\colon[a,b]\to\mathbb R

가 다음 두 조건을 만족한다고 가정하자.

$\lim_{n\to\infty}f_n(x_0)\in\mathbb R$ 이 존재하는 $x_0\in[a,b]$ 가 존재한다.
$f_n'$ 은 $g$ 로 균등 수렴한다.

그렇다면, 다음이 성립한다.

$f_n$ 은 어떤 미분 가능 함수 $f\colon[a,b]\to\mathbb R$ 로 균등 수렴한다.
$f'=g$

즉, 균등 수렴하는 함수열의 도함수열이 균등 수렴하면, 원래 함수열의 극한 함수가 미분 가능하고 그 도함수가 도함수열의 극한과 같다.^[4]

하지만, 수렴이 균등 수렴이더라도 극한 함수는 미분 가능하지 않을 수 있다. (심지어 수열이 모든 곳에서 해석 함수로 구성되어 있더라도, 바이어슈트라스 함수 참조) 또한, 미분 가능하다 하더라도 극한 함수의 도함수가 도함수의 극한과 같을 필요는 없다.

예를 들어,

f_n(x) = n^{-1/2}{\sin(nx)}

를 생각해보자. 이 함수열은

f\equiv 0

으로 균등 수렴한다. 분명히

f'

또한 항등적으로 0이다. 그러나 이 함수열의 도함수는

f'_n(x)=n^{1/2}\cos nx,

로 주어지고, 수열

f'_n

은

f'

로 수렴하지 않으며, 심지어 어떤 함수로도 수렴하지 않는다.^[5]

따라서 미분 가능한 함수 수열의 극한과 도함수 수열의 극한 사이의 연결을 보장하기 위해서는 도함수 수열의 균등 수렴과 함수 수열의 적어도 한 점에서의 수렴이 필요하다.

3. 3. 적분과의 관계

리만 적분 가능 함수의 열

(f_n\colon[a,b]\to\mathbb R)_{n\in\mathbb N}

이 함수

f\colon[a,b]\to\mathbb R

로 균등 수렴한다면,

f

역시 리만 적분 가능 함수이며, 다음이 성립한다.

:

\int_a^bf\,dx=\lim_{n\to\infty}\int_a^bf_n\,dx

균등 수렴과 마찬가지로, 적분과 극한 과정을 교환하고 싶을 때가 많다. 리만 적분의 경우, 균등 수렴이 가정되면 이를 수행할 수 있다.

실제로, 구간에서 균등하게 수렴하는 유계 함수의 집합에 대해, 상·하 리만 적분은 극한 함수의 상·하 리만 적분으로 수렴한다. 이는 ''n''이 충분히 클 때,

f_n

의 그래프가 ''f''의 그래프에서 ε 이내에 있으므로,

f_n

의 상합과 하합은 각각

f

의 상합과 하합의 값에서

\varepsilon |I|

이내에 있기 때문이다.

이와 관련하여 훨씬 더 강력한 정리는 리만 적분을 포기하고 대신 르베그 적분을 사용하면 점별 수렴 이상을 필요로 하지 않으면서 얻을 수 있다.

미분의 경우와 마찬가지로, 적분과 극한의 교환을 하고 싶은 경우가 있다. 리만 적분에 대해서는, 균등 수렴을 가정하면 된다.

따름 정리로서, 특히 콤팩트 구간 상에서 정의된 리만 적분 가능 함수열에 대해, 부분 합이 급수

\textstyle f = \sum\limits_{n=1}^\infty f_n

에 균등 수렴하고 있다면

\textstyle \int_I f(x) \, dx = \sum\limits_{n=1}^\infty \int_I f_n(x) \, dx

와 같이 항별 적분할 수 있다.

3. 4. 해석성

복소평면의 열린집합

U\subseteq\mathbb C

를 정의역으로 하는 복소수 값 정칙 함수의 열

(f_n\colon U\to\mathbb C)_{n\in\mathbb N}

이 함수

f\colon U\to\mathbb C

로 균등 수렴한다면,

f

는 정칙 함수이다. 이는 모레라 정리의 따름정리다.

모레라의 정리를 사용하면, 일련의 해석 함수가 복소 평면의 영역 S에서 균등하게 수렴하면 극한도 S에서 해석적임을 보일 수 있다. 이 예는 복소 함수가 실수 함수보다 더 잘 동작한다는 것을 보여주는데, 실수 구간에서 해석 함수의 균등 극한은 미분 가능할 필요조차 없기 때문이다(바이어슈트라스 함수 참조).

복소 평면의 영역에서 정의된 해석 함수열의 균등 수렴 극한도 역시 영역에서 해석적이다. 이는 복소 함수가 실수 함수보다 더 좋은 거동을 보임을 나타내는데, 실수 구간 위에서 정의된 해석 함수열의 균등 수렴 극한은 미분 가능하지 않을 수도 있기 때문이다.

4. 판정법

균등 수렴을 판정하는 데에는 여러 방법이 있다.

4. 1. 바이어슈트라스 M-판정법

'''정리 (바이어슈트라스 M-판정법).''' ''

(f_n)

을 함수 수열

f_n:E\to \C

라고 하고,

M_n

을 모든

x\in E

와

n=1,2, 3, \ldots

에 대해

|f_n(x)|\le M_n

을 만족하는 양의 실수 수열이라고 하자. 만약

\sum_n M_n

가 수렴하면,

\sum_n f_n

는

E

에서 절대적으로 그리고 균등하게 수렴한다.''

예를 들어 지수 함수의 급수 전개가 임의의 유계 부분 집합에서 균등 수렴함을 보이는 데 사용될 수 있다. 복소 지수 함수는 다음과 같은 급수로 표현할 수 있다.

:

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}.

바이어슈트라스 M-판정법을 적용하기 위해, 급수의 각 항에 대한 상한

M_n

을 찾는다. 이때

M_n

은 위치와 무관해야 한다.

:

\left| \frac{z^n}{n!} \right|\le \frac

4. 2. 디리클레 판정법

(내용 없음)

4. 3. 아벨 판정법

(아벨 판정법 섹션은 주어진 소스에 내용이 없으므로, 작성할 내용이 없습니다.)

5. 예시

Uniform convergence|균등 수렴^영어과 점별 수렴의 차이를 보여주는 예시는 다음과 같다.

함수열 $f_n(x) = x/n$ ( $n$ 은 양의 정수, $x$ 는 [0, 1] 구간의 실수)는 0으로 균등 수렴한다.
함수열 $f_n(x) = x^n$ ( $n$ 은 양의 정수, $x$ 는 [0, 1] 구간의 실수)는 다음 함수 $f(x)$ 로 점별 수렴하지만, 균등 수렴하지 않는다.

:

f(x) = \begin{cases} 0, & x \in [0, 1) \\ 1, & x = 1 \end{cases}

지수 함수의 급수 전개는 바이어슈트라스 M-검정법을 사용하여 임의의 유계 부분 집합

S \subset \mathbb{C}

에서 균등 수렴함을 보일 수 있다.

'''정리 (바이어슈트라스 M-검정법).'''

(f_n)

을 함수 수열

f_n : E \to \mathbb{C}

라고 하고,

M_n

을 모든

x \in E

와

n = 1, 2, 3, \ldots

에 대해

|f_n(x)| \le M_n

을 만족하는 양의 실수 수열이라고 하자. 만약

\sum_n M_n

이 수렴하면,

\sum_n f_n

는

E

에서 절대적이고 균등하게 수렴한다.

복소 지수 함수는 다음과 같은 급수로 표현할 수 있다.

:

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}

모든 유계 부분 집합은 복소 평면의 원점을 중심으로 하는 반지름

R

인 어떤 원판

D_R

의 부분 집합이다. 바이어슈트라스 M-검정법을 적용하려면 급수의 각 항에 대한 상한

M_n

을 찾아야 하는데, 이

M_n

은 원판 내 위치와 무관해야 한다. 즉,

:

\left|\frac{z^n}{n!}\right| \le M_n, \quad \forall z \in D_R

을 만족해야 한다. 이를 위해

:

\left|\frac{z^n}{n!}\right| \le \frac

6. 역사

오귀스탱 루이 코시는 1821년에 수렴하는 연속 함수들의 합이 항상 연속이라고 증명했지만, 닐스 헨리크 아벨은 1826년 푸리에 급수를 통해 이에 대한 반례를 발견하고 코시의 증명이 틀렸다고 주장했다.^[1] 당시에는 수렴에 대한 표준적인 개념이 없었고, 코시는 무한소 방법을 사용하여 수렴을 다루었다. 현대적 표현으로, 코시가 증명한 것은 균등 수렴하는 연속 함수열이 연속적인 극한을 가진다는 것이다. 점별 수렴하는 연속 함수의 극한이 연속 함수로 수렴하지 않는 경우는 함수열을 다룰 때 서로 다른 유형의 수렴을 구별하는 것이 중요함을 보여준다.^[1]크리스토프 구더만은 1838년 타원 함수에 관한 논문에서 급수의 "수렴 방식"이 변수에 독립적일 때 "균일한 방식으로 수렴"이라는 표현을 사용했다. 그는 이러한 수렴 방식을 "놀라운 사실"이라고 언급했지만, 공식적인 정의를 제시하거나 증명에 활용하지는 않았다.^[2]이후 구더만의 제자 카를 바이어슈트라스는 1841년 논문 "Zur Theorie der Potenzreihen"에서 ''gleichmäßig konvergent'' (균등 수렴^de)라는 용어를 확립하였다. G. H. 하디는 그의 논문 "조지 스토크스 경과 균등 수렴의 개념"에서 바이어슈트라스의 발견이 가장 먼저였고, 그가 분석에서 이 개념의 중요성을 완전히 인식했다고 평가했다. 필리프 루드비히 폰 자이델^[3]과 조지 가브리엘 스토크스는 이와는 별개로 균등 수렴과 유사한 개념을 독립적으로 표현하였다.바이어슈트라스와 베른하르트 리만의 영향으로, 균등 수렴 개념과 관련된 문제는 19세기 말에 헤르만 헹켈, 파울 뒤 부아-레몽, 울리세 디니, 체사레 아르젤라 등에 의해 집중적으로 연구되었다.

6. 1. 코시의 초기 연구와 오류

오귀스탱 루이 코시는 1821년에 수렴하는 연속 함수들의 합이 항상 연속이라고 증명했지만, 닐스 헨리크 아벨은 1826년 푸리에 급수를 통해 이에 대한 반례를 발견하고 코시의 증명이 틀렸다고 주장했다.^[1] 당시에는 수렴에 대한 표준적인 개념이 없었고, 코시는 무한소 방법을 사용하여 수렴을 다루었다. 현대적 표현으로, 코시가 증명한 것은 균등 수렴하는 연속 함수열이 연속적인 극한을 가진다는 것이다. 점별 수렴하는 연속 함수의 극한이 연속 함수로 수렴하지 않는 경우는 함수열을 다룰 때 서로 다른 유형의 수렴을 구별하는 것이 중요함을 보여준다.^[1]

6. 2. 균등 수렴 용어의 등장

크리스토프 구더만은 1838년 타원 함수에 관한 논문에서 급수

\sum_{n=1}^\infty f_n(x,\phi,\psi)

의 "수렴 방식"이 변수

\phi

와

\psi.

에 독립적일 때 "균일한 방식으로 수렴"이라는 표현을 사용했다. 그는 이러한 수렴 방식을 "놀라운 사실"이라고 언급했지만, 공식적인 정의를 제시하거나 증명에 활용하지는 않았다.^[2]

이후 구더만의 제자 카를 바이어슈트라스는 1839–1840년에 타원 함수에 대한 강의를 들었고, 1894년에 출판된 1841년 논문 "Zur Theorie der Potenzreihen"에서 ''gleichmäßig konvergent'' (균등 수렴^de)라는 용어를 확립하였다. G. H. 하디는 그의 논문 "조지 스토크스 경과 균등 수렴의 개념"에서 바이어슈트라스의 발견이 가장 먼저였고, 그가 분석에서 이 개념의 중요성을 완전히 인식했다고 평가했다.

6. 3. 19세기 후반의 연구

필리프 루드비히 폰 자이델^[3]과 조지 가브리엘 스토크스는 이와는 별개로 균등 수렴과 유사한 개념을 독립적으로 표현하였다. G. H. 하디는 그의 논문 "조지 스토크스 경과 균등 수렴의 개념"에서 세 정의를 비교하며 "카를 바이어슈트라스의 발견이 가장 먼저였고, 그는 분석의 기본적인 아이디어 중 하나로서 그 광범위한 중요성을 완전히 인식했다."라고 언급했다.

바이어슈트라스와 베른하르트 리만의 영향으로, 균등 수렴 개념과 관련된 문제는 19세기 말에 헤르만 헹켈, 파울 뒤 부아-레몽, 울리세 디니, 체사레 아르젤라 등에 의해 집중적으로 연구되었다.

7. 관련 개념

모든 균등 수렴 열은 콤팩트 수렴이다.
모든 국소 균등 수렴 열은 콤팩트 수렴이다.
국소 콤팩트 공간에 대해 국소 균등 수렴과 콤팩트 수렴은 동치이다.
거리 공간 위의 연속 함수 열은 종역의 거리 공간이 완비라면, 균등 수렴인 것과 균등 코시 열인 것은 동치이다.^[1]

7. 1. 거의 균등 수렴

함수의 정의역이 측도 공간 ''E''이면, '''거의 균등 수렴'''을 정의할 수 있다. 함수열

(f_n)

이 ''E''에서 거의 균등하게 수렴한다는 것은, 모든

\delta > 0

에 대해 측도가

\delta

보다 작은 가측 집합

E_\delta

가 존재하여 함수열

(f_n)

이

E \setminus E_\delta

에서 균등 수렴하는 것을 의미한다. 즉, 거의 균등 수렴은 함수열이 여집합에서 균등 수렴하는 임의로 작은 측도의 집합이 존재한다는 것을 의미한다.

함수열의 거의 균등 수렴이, 이름에서 유추할 수 있듯이, 그 함수열이 거의 어디에서나 균등 수렴한다는 것을 의미하는 것은 아니다. 그러나 예고로프 정리는 유한 측도 공간에서 거의 모든 곳에서 수렴하는 함수열이 같은 집합에서 거의 균등하게 수렴한다는 것을 보장한다.

거의 균등 수렴은 거의 모든 곳에서 수렴과 측도 수렴을 함의한다.

참조

_[1] 논문 Exceptions and counterexamples: Understanding Abel's comment on Cauchy's Theorem
_[2] 서적 A history of analysis AMS Bookstore
_[3] 서적 Proofs and Refutations Cambridge University Press
_[4] 서적 Principles of Mathematical Analysis McGraw-Hill
_[5] 서적 Principles of Mathematical Analysis McGraw-Hill International editions

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