플로이드의 삼각형
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1. 개요
플로이드의 삼각형은 자연수를 순서대로 배열하여 만든 삼각형 모양의 수열이다. 왼쪽 가장자리는 게으른 요리사 수열, 오른쪽 가장자리는 삼각수를 나타낸다. n번째 행의 합은 n(n² + 1)/2이며, 홀수 행의 중앙 숫자는 연속하는 제곱수의 합이다. 플로이드의 삼각형에서 각 행의 합을 모두 더하면 이중 삼각수가 나타난다. 입문 프로그래밍 교육에서 이 삼각형을 출력하는 프로그램을 작성하는 과제가 제시되기도 한다.
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| 플로이드의 삼각형 | |
|---|---|
| 플로이드의 삼각형 | |
| 유형 | 수열 |
| 발명가 | 로버트 플로이드 |
| 속성 | 연속적인 자연수를 삼각형 모양으로 배열 |
| 용도 | 컴퓨터 과학 교육 알고리즘 설명 |
| 특징 | |
| 구조 | 각 행은 이전 행의 마지막 수 다음에 오는 연속된 자연수로 시작 |
| 계산 방법 | 각 행의 수는 이전 행의 수에 1을 더하여 계산 |
| 활용 | |
| 예시 | 프로그래밍 교육 자료, 알고리즘 시각화 |
| 프로그래밍 | 반복문을 사용하여 생성 가능 다양한 프로그래밍 언어로 구현 가능 |
| 관련 개념 | |
| 관련 수열 | 자연수 수열 |
| 관련 알고리즘 | 삼각형 패턴 생성 알고리즘 |
| 참고 자료 | |
| 온라인 자료 | 매스월드 - 플로이드의 삼각형 OEIS - A006003 |
| 서적 | 아서 M. 켈러, "PASCAL을 사용한 컴퓨터 프로그래밍 첫걸음" 제임스 F. 피터스, "프로그램 디자인을 이용한 파스칼" 아쇽 아로라, 셰팔리 반살, "유닉스와 C 프로그래밍" C. 자비에르, "C 언어 및 수치 방법" |
2. 성질
플로이드의 삼각형에서 왼쪽 가장자리를 따라 있는 숫자는 게으른 요리사 수열이고 오른쪽 가장자리를 따라 있는 숫자는 삼각수이다. ''n''번째 행의 합은 ''n''(''n''2 + 1)/2이며, 이는 ''n'' × ''n'' 마방진의 상수이다.[5]
플로이드의 삼각형에서 행의 합을 모두 더하면 이중 삼각수, 즉 지수가 삼각수인 삼각수가 나타난다.[5]
1 = '''1''' = '''T'''('''T'''(1))
1 = '''6''' = '''T'''('''T'''(2))
2 + 3
1
2 + 3 = '''21''' = '''T'''('''T'''(3))
4 + 5 + 6
삼각형의 각 숫자는 아래 숫자보다 해당 행의 인덱스만큼 작다.
2. 1. 수열 및 수와의 관계
플로이드의 삼각형에서 왼쪽 가장자리를 따라 있는 숫자는 게으른 요리사 수열이고 오른쪽 가장자리를 따라 있는 숫자는 삼각수이다. ''n''번째 행의 합은 ''n''(''n''2 + 1)/2이며, 이는 ''n'' × ''n'' 마방진의 상수이다.[5]플로이드의 삼각형에서 행의 합을 모두 더하면 이중 삼각수, 즉 지수가 삼각수인 삼각수가 나타난다.[5]
1 = '''1''' = '''T'''('''T'''(1))
1 = '''6''' = '''T'''('''T'''(2))
2 + 3
1
2 + 3 = '''21''' = '''T'''('''T'''(3))
4 + 5 + 6
삼각형의 각 숫자는 아래 숫자보다 해당 행의 인덱스만큼 작다.
2. 2. 시각적 표현
3. 컴퓨터 과학 교육
입문 프로그래머들에게 이러한 형식의 표를 출력하는 프로그램을 작성하는 과정을 종종 제시한다.[9][10]
비주얼 베이직 닷넷으로 구현한 예는 다음과 같다.
Imports System.Console
Module Program
Sub Main()
Dim rows As Integer
' 유효성 검사를 입력한다.
Do Until Integer.TryParse(ReadLine("얼마나 많은 행을 표시할 것인지에 대한 값을 입력하시오: "), rows) AndAlso rows >= 1
WriteLine("허용된 범위는 1과 {0}이다", Integer.MaxValue)
Loop
' 플로이드의 삼각형의 출력
Dim current = 1
For row = 1 To rows
For column = 1 To row
Write("{0,-2} ", current)
current += 1
Next
WriteLine()
Next
End Sub
''' <요약>
''' 프롬프트 문자열이 사용하는 Console.ReadLine 및 버전을 보호한다.
'''
Function ReadLine(Optional prompt As String = Nothing) As String
If prompt IsNot Nothing Then
Write(prompt)
End If
Return Console.ReadLine()
End Function
End Module
3. 1. 구현 예제 (비주얼 베이직 닷넷)
입문 프로그래머들에게 이러한 형식의 표를 출력하는 프로그램을 작성하는 과정을 종종 제시한다.[9][10]비주얼 베이직 닷넷으로 구현한 예는 다음과 같다.
```vbnet
Imports System.Console
Module Program
Sub Main()
Dim rows As Integer
' 유효성 검사를 입력한다.
Do Until Integer.TryParse(ReadLine("얼마나 많은 행을 표시할 것인지에 대한 값을 입력하시오: "), rows) AndAlso rows >= 1
WriteLine("허용된 범위는 1과 {0}이다", Integer.MaxValue)
Loop
' 플로이드의 삼각형의 출력
Dim current = 1
For row = 1 To rows
For column = 1 To row
Write("{0,-2} ", current)
current += 1
Next
WriteLine()
Next
End Sub
''' <요약>
''' 프롬프트 문자열이 사용하는 Console.ReadLine 및 버전을 보호한다.
'''
Function ReadLine(Optional prompt As String = Nothing) As String
If prompt IsNot Nothing Then
Write(prompt)
End If
Return Console.ReadLine()
End Function
End Module
4. 같이 보기
참조
[1]
서적
A first course in computer programming using PASCAL
McGraw-Hill
[2]
서적
Pascal with program design
Holt, Rinehart and Winston
[3]
서적
Unix and C Programming
https://books.google[...]
Firewall Media
[4]
서적
C Language And Numerical Methods
https://books.google[...]
New Age International
[5]
간행물
Doubly Triangular Numbers OEIS A002817
[6]
서적
A first course in computer programming using PASCAL
McGraw-Hill
[7]
서적
Pascal with program design
Holt, Rinehart and Winston
[8]
간행물
Doubly Triangular Numbers OEIS A002817
[9]
서적
파스칼을 사용한 컴퓨터 프로그래밍의 첫 번째 과정
McGraw-Hill
[10]
서적
프로그램 설계와 파스칼
Holt, Rinehart and Winston
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