피라몰픽스

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1. 개요

피라몰픽스는 2×2×2 큐브와 유사한 모양 변환 퍼즐로, 정사면체 형태의 꼭짓점 조각 4개, 삼각형 모양의 면 중앙 조각 4개, 그리고 모서리 조각 6개로 구성된다. 원래 "주니어 피라밍크스"로 불렸으나, 모양 변환 특징을 강조하고 성인에게 더 매력적인 이름을 위해 변경되었다. 퍼즐의 목표는 섞인 색깔과 모양을 원래 상태인 각 면에 한 가지 색상이 있는 정사면체로 되돌리는 것이다. 조합의 수는 136,080가지이다. 마스터 피라몰픽스는 피라몰픽스의 더 복잡한 변형으로, 4개의 꼭짓점 조각, 4개의 면 중앙 조각, 6개의 모서리 조각, 12개의 비중앙 면 조각으로 구성되며, 약 8.86 x 10^22가지 조합이 가능하다. 3x3x3 루빅스 큐브 해결 방법을 응용하여 해결할 수 있다.

피라몰픽스

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1. 개요
2. 설명
3. 조합의 수
- 3.1. 계산
4. 마스터 피라몰픽스

2. 설명

언뜻 보면 피라몰픽스는 사소한 퍼즐처럼 보인다. 피라밍크스와 비슷하며, 외형상으로는 네 개의 모서리만 회전할 수 있을 것 같다. 사실 이 퍼즐은 특별한 모양의 2×2×2 큐브이다. 큐브의 모서리 4개는 피라미드 모양으로, 나머지 4개는 삼각형 모양으로 변형되었다. 그 결과 이 퍼즐은 회전하면서 모양이 변한다.

피라몰픽스의 원래 이름은 "주니어 피라밍크스(The Junior Pyraminx)"였다. 이 이름은 이 퍼즐이 2×2×2 큐브처럼 보이지 않게 만드는 "모양 변환(Shape Changing)" 측면을 반영하기 위해 변경되었다. 또한 "주니어(Junior)"라는 이름은 성인 고객에게 덜 매력적으로 보이게 만들었다. "주니어 피라밍크스"라는 이름에 대한 유일한 언급은 우베 메퍼트(Uwe Mèffert)의 웹사이트 기반 솔루션에서 여전히 "jpmsol.html"이라는 제목으로 남아 있다.

이 퍼즐의 목적은 색상과 모양을 섞은 다음, 각 면에 하나의 색상이 있는 정사면체의 원래 상태로 되돌리는 것이다.

3. 조합의 수

피라몰픽스는 총 3,674,160가지의 조합을 가질 수 있으며, 이는 2×2×2 루빅스 큐브와 동일하다. 조각들의 방향을 구분할 수 없다면 조합의 수는 136,080가지로 줄어든다.

3.1. 계산

조각 배열 방법은 8!가지가 있고, 중앙 조각이 없으므로 24로 나누며, 네 정사면체 조각을 돌리는 방법은 3⁴가지이다.

: $\frac{8! \times 3^4}{24}=136080$

4. 마스터 피라몰픽스

마스터 피라몰픽스는 피라몰픽스의 더 복잡한 변형으로, '마스터모픽스'라고도 불린다. 우베 메페르트가 상업적으로 생산한 둥근 변형 등 여러 변형들이 존재한다.

면 조각을 뒤집은 마스터 피라몰픽스, 3x3x3 루빅스 큐브의 "슈퍼플립" 조합과 동일

이 퍼즐은 4개의 꼭짓점 조각, 4개의 면 중앙 조각, 6개의 모서리 조각, 12개의 비중앙 면 조각으로 구성되어 있다. 180° 회전만으로는 퍼즐의 정사면체 모양을 유지하면서 색만 섞을 수 있지만, 90°와 180° 회전을 섞으면 퍼즐의 "모양 변환"이 일어난다.

4.1. 특징

피라몰픽스는 모서리 회전 퍼즐로, 모서리 조각은 제자리에서 회전하고 나머지 조각들은 위치를 바꾼다. 90° 및 180° 회전을 통해 퍼즐의 모양이 변한다. 겉모습과는 달리, 이 퍼즐은 3x3x3 루빅스 큐브의 모양 변형과 동일하며, 해결 방법도 유사하다. 예를 들어, 루빅스 큐브와 달리 중앙 조각은 두 가지 색상을 가지고 있어 방향에 민감하다.

4.2. 조합의 수

마스터 피라몰픽스는 귀퉁이 조각 4개, 면 중앙 조각 4개, 비중앙 조각 12개, 모서리 조각 6개로 구성된다. 각 조각의 위치와 방향에 따라 가능한 조합의 수는 다음과 같이 계산된다.

* 귀퉁이 조각과 면 중앙 조각: 8!가지 방법으로 위치를 바꿀 수 있고, 방향은 3⁷가지이다. (마지막 조각의 방향은 나머지 일곱 조각에 의해 결정되며, 면 중앙 조각은 스티커 때문에 방향이 보인다.)
* 비중앙 조각: 2¹¹가지 방법으로 뒤집을 수 있고, 배열하는 방법은 12!/2가지이다. (같은 색의 세 조각은 스티커의 글자 때문에 구분 가능하다.)
* 모서리 조각: 4⁶/2가지 조합이 가능하다. (서로 위치가 고정되어 있고, 각각 네 가지 방향을 가질 수 있지만, 전체 회전 수는 항상 짝수이다.)

따라서 전체 조합의 수는 다음과 같다.

: $8! \times 3^7 \times 12! \times 2^9 \times 4^6 \approx 8.86 \times 10^{22}$

하지만 스티커가 매끄러울 경우, 조합의 수는 줄어든다. 귀퉁이 조각의 방향은 3⁴가지가 되지만, 면 중앙 조각은 시각적인 방향을 가지지 않는다. 같은 색의 세 비중앙 면 조각은 구별할 수 없게 되어, 2¹¹ × 12! / 6⁴가지가 된다.

따라서 스티커가 매끄러울 때 조합의 수는 다음과 같다.

: $\frac{8! \times 3^4 \times 12! \times 2^{10} \times 4^6}{6^4} \approx 5.06 \times 10^{18}$

4.3. 해결 방법

이 퍼즐은 루빅스 큐브를 해결하는 방법을 응용하여 풀 수 있다. 3x3x3 루빅스 큐브의 모양 변형이기 때문에, 루빅스 큐브 해결에 사용되는 알고리즘을 적용할 수 있다. 다만, 몇 가지 차이점이 존재한다. 마스터 피라몰픽스의 중앙 조각은 두 가지 색상을 가지고 있어 방향에 민감하며, 면 중앙 조각은 방향에 민감하지 않지만 "잘못된" 방향에서 패리티 오류가 발생할 수 있다.

필립 마셜(Philip Marshall)의 "궁극적인 해법(Ultimate Solution)"은 모양과 색상을 점진적으로 맞춰가는 방법을 제시한다. 이 방법은 먼저 비중앙 면 조각을 제자리에 배치하여 면 중앙과 귀퉁이 조각을 제외한 사면체 모양을 부분적으로 복구하고, 그 다음 면 중앙 조각과 귀퉁이 조각을 맞춰 사면체 모양을 완전히 복구하는 방식으로 진행된다.