피어츠 항등식

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1. 개요
2. 디랙 스피너
- 2.1. 디랙 스피너 피어츠 항등식 표
- 2.2. 벡터×벡터 곱의 피어츠 항등식 예시
3. 바일 스피너
- 3.1. 바일 스피너 피어츠 항등식 예시
참조

1. 개요

피어츠 항등식은 디랙 스피너와 바일 스피너에 대한 곱의 항등식이다. 디랙 스피너의 피어츠 항등식은 스칼라, 벡터, 텐서, 축벡터, 유사스칼라 곱에 대해 표로 나타내며, 벡터×벡터 곱의 형태로도 주어진다. 바일 스피너의 피어츠 항등식은 반가환 바일 스피너의 곱으로 표현된다.

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피어츠 항등식
일반 정보
이름	피어츠 항등식
분야	양자장론
고안자	마르쿠스 피에르츠
중요성	4-페르미 상호 작용과 같은 특정 상호 작용을 재정렬하는 데 사용됨
상세 정보
형태	두 쌍의 페르미온 장 사이의 모든 가능한 쌍선형을 포함하는 완전성 관계 디랙, 마요라나 또는 바일 페르미온에 적용 가능
응용	쿼크의 색깔 인덱스에 적용 강입자 물리학에서 쿼크 모형의 재정렬 Nambu-Jona-Lasinio 모형 초대칭 양-밀스 이론
관련 개념	클렙슈-고르단 계수 위그너-에카르트 정리
추가 정보
마르쿠스 에두아르트 피어츠	[[파일:Fierz.jpg\|150px]] 스위스의 물리학자 (1912년 6월 20일 ~ 2006년 6월 12일) 전문 분야: 양자역학, 입자물리학 주요 업적: 피어츠-파울리 간섭, 피어츠 항등식

2. 디랙 스피너

디랙 스피너의 피어츠 항등식은 스칼라, 벡터, 텐서, 축벡터, 유사스칼라 항들의 곱으로 표현된다.

2. 1. 디랙 스피너 피어츠 항등식 표

	S	V	T	A	P
S × S =	¼	¼	−¼	−¼	¼
V × V =	1	−½	0	−½	−1
T × T =	−1½	0	−½	0	−1½
A × A =	-1	−½	0	−½	1
P × P =	¼	−¼	−¼	¼	¼

여기서 S, V, T, A, P는 각각 스칼라, 벡터, 텐서, 축벡터, 유사스칼라를 나타낸다.

2. 2. 벡터×벡터 곱의 피어츠 항등식 예시

벡터×벡터 곱의 피어츠 항등식은 다음과 같다.

:

\left(\bar\chi\gamma^\mu\psi\right)\left(\bar\psi\gamma_\mu \chi\right)=\left(\bar\chi\chi\right)\left(\bar\psi\psi\right)-\frac12\left(\bar\chi\gamma^\mu\chi\right)\left(\bar\psi\gamma_\mu\psi\right)-\frac12\left(\bar\chi\gamma^\mu\gamma_5\chi\right)\left(\bar\psi\gamma_\mu\gamma_5\psi\right)

\left(\bar\chi\gamma^5\chi\right)\left(\bar\psi\gamma_5\psi\right).

3. 바일 스피너

반가환 바일 스피너는 피어츠 항등식을 만족시킨다.

3. 1. 바일 스피너 피어츠 항등식 예시

반가환 바일 스피너는 다음의 피어츠 항등식을 만족한다.

:

\xi(\bar\eta\zeta)+\eta(\bar\zeta\xi)+\zeta(\bar\xi\eta)=0.

:

(\psi\sigma^{\mu\nu}\chi)(\psi'\sigma_{\mu\nu}\chi')=-2(\psi\chi')(\chi\psi')-(\psi\chi)(\psi'\chi')

:

(\bar\psi\bar\sigma^{\mu\nu}\bar\chi)(\bar\psi'\bar\sigma_{\mu\nu}\bar\chi')=-2(\bar\psi\bar\chi')(\bar\chi\bar\psi')-(\bar\psi\bar\chi)(\bar\psi'\bar\chi')

:

(\psi\sigma^{\mu\nu}\chi)(\bar\psi'\bar\sigma_{\mu\nu}\bar\chi')=0

.

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