반가환수

1. 개요

반가환수는 그라스만 변수 또는 초전하라고도 불리며, 외대수의 생성자로 사용되는 수학적 개념이다. 그라스만 변수는 반가환성을 가지며, 제곱하면 0이 된다는 특징을 갖는다. 이러한 성질 때문에 반가환수는 페르미온의 파동 함수를 표현하는 데 사용되며, 초수학, 양자장론, 스피너 공간 등 다양한 분야에서 응용된다. 반가환수는 행렬로 표현될 수 있으며, 일반화된 반가환 규칙을 갖는 수 체계를 구성하는 데에도 활용된다. 베레진 적분과 가우스 적분은 반가환수를 이용한 적분의 예시이며, 페르미온의 경로 적분에서 중요한 역할을 한다.

2. 정의 및 성질

그라스만 수(Grassmann number)는 반가환적인 요소에 의해 생성되는 대상으로, 미분 기하학에서 미분 형식과 같이 여러 수학 분야에서 나타난다. 이들은 체 위에서 대수를 형성하며, 특히 외대수(그라스만 대수)를 이룬다.

그라스만 수는 이 대수의 요소로서, 일반적인 "수"처럼 덧셈, 곱셈, 나눗셈이 가능하며 체와 유사하게 작동한다. 그라스만 수의 다항식을 통해 정칙 함수 개념을 유도할 수 있으며, 이러한 함수의 미분과 적분도 가능하다.

초수학은 그라스만 수를 기반으로 한 분야로, 초공간, 초다양체, 리 초대수 등의 개념을 다룬다. 초수학은 물리학에서 특히 중요한데, 반가환성은 페르미온의 양자역학적 동작 및 파울리 배타 원리와 관련되기 때문이다.

양자장론에서 사다리 연산자는 페르미온에 대한 반대칭적 파동 함수를 생성하며, 이는 파울리 배타 원리에 의해 요구된다. 그라스만 수는 이러한 파동 함수에 직접적으로 대응된다. 스핀군은 클리퍼드 대수에서 단위 길이 벡터의 부분 집합으로 정의될 수 있으며, 자연스럽게 반가환적인 바일 스피너로 인수분해된다.

그라스만 수는 $n$개의 그라스만 변수 $\backslash \{\backslash theta\_i\backslash \}$에 의해 생성되며, 여기서 $n$은 무한일 수도 있다. 이들은 벡터 공간의 기저 벡터를 이루며, 일반적으로 복소수 위에서 정의되지만 실수와 같은 다른 체 위에서도 정의될 수 있다.

일반적인 그라스만 수는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$z=c\_0\; +\; \backslash sum\_\{k=1\}^n\; \backslash sum\_\{i\_1,i\_2,\backslash cdots\; ,i\_k\}\; c\_\{i\_1i\_2\backslash cdots\; i\_k\}\; \backslash theta\_\{i\_1\}\backslash theta\_\{i\_2\}\backslash cdots\backslash theta\_\{i\_k\}\; ,$

여기서 $(i\_1,\; i\_2,\; \backslash ldots,\; i\_k)$는 $1\; \backslash le\; i\_j\; \backslash le\; n,\; 1\; \backslash le\; j\; \backslash le\; k$를 만족하는 엄격하게 증가하는 -튜플이고, $c\_\{i\_1i\_2\backslash cdots\; i\_k\}$는 복소수이며, 랭크 의 완전한 반대칭 텐서이다.

$n$개의 선형 독립적인 그라스만 변수로 생성된 그라스만 대수의 차원은 $2^n$이며, 이는 이항 정리와 변수의 $(n+1)$겹 곱이 0이 된다는 사실에서 유도된다. $\backslash Lambda^k\; V$의 차원은 이항 계수 choose 로 주어진다. 경우는 쌍대수라고 불린다.

만약 가 유한 차원이라면,

:$\backslash theta\_iz\; =\; 0,\; \backslash quad\; 1\; \backslash le\; i\; \backslash le\; n\; \backslash Rightarrow\; z\; =\; c\backslash theta\_1\backslash theta\_2\backslash cdots\backslash theta\_n,\; \backslash quad\; c\; \backslash in\; \backslash mathbb\; C,$

그리고 만약 가 무한 차원이라면,

:$\backslash theta\_az\; =\; 0\; \backslash quad\; \backslash forall\; a\; \backslash Rightarrow\; z\; =\; 0.$

복소수는 켤레 또는 대합과 관련된 문제를 피하기 위해 그라스만 수의 정의를 위한 체로 주로 선택된다.

2.1. 반가환성

그라스만 변수(Grassmann variable) θᵢ^영어, θⱼ^영어는 서로 반가환(anticommute)한다. 즉, θᵢθⱼ = -θⱼθᵢ^영어를 만족한다. 이는 페르미온의 파동함수가 반대칭성을 가지는 것과 연관된다.

2.2. 멱영성

그라스만 변수의 제곱은 0이다. 즉, θᵢ² = 0을 만족한다. 이는 파울리 배타 원리에 따라 한 양자 상태에 두 개 이상의 페르미온이 존재할 수 없음을 의미한다.

유한 차원인 경우 영혼은 멱영이다. 즉, 다음이 성립한다.

:$z\_S^\{n+1\}\; =\; 0,$

하지만 무한 차원인 경우에는 반드시 그렇지 않다.

2.3. 생성자와 차원

Grassmann^영어 수(그라스만 수)는 Grassmann^영어 변수(그라스만 변수), Grassmann^영어 방향(그라스만 방향) 또는 초전하 $\backslash \{\backslash theta\_i\backslash \}$의 집합에 의해 외대수 생성된 개별 요소 또는 점이며, $n$은 무한대일 수도 있다. 그라스만 변수는 ($n$차원인) 벡터 공간의 기저 벡터이다. 이들은 체 위의 대수를 형성하며, 체는 일반적으로 복소수로 간주되지만 실수와 같은 다른 체를 고려할 수도 있다. 대수는 단위 대수이며, 생성자는 반가환한다.

:$\backslash theta\_i\; \backslash theta\_j\; =\; -\backslash theta\_j\; \backslash theta\_i$

$\backslash theta\_i$는 복소수 위의 벡터 공간의 요소이므로 정의상 복소수와 교환한다. 즉, 복소수 $x$에 대해 다음이 성립한다.

:$\backslash theta\_i\; x\; =\; x\; \backslash theta\_i.$

생성자의 제곱은 0이 된다.

: $(\backslash theta\_i)^2\; =\; 0,$ $\backslash theta\_i\; \backslash theta\_i\; =\; -\backslash theta\_i\; \backslash theta\_i.$ 이므로.

다시 말해, 그라스만 변수는 0의 비 제곱근이다. 문헌에서 일반적으로 나타나는 두 가지 종류의 초수가 있다. 일반적으로 $n$ = 1, 2, 3 또는 4와 같이 유한한 수의 생성자를 갖는 초수와 가산 무한 개수의 생성자를 갖는 초수이다.

3. 수학적 표현

그라스만 수는 n개의 그라스만 변수, 그라스만 방향 또는 초전하 $\backslash theta\_i$의 집합으로 외대수에서 생성된 원소이다. 여기서 n은 무한대일 수도 있다. "그라스만 변수"라는 용어는 역사적인 것으로, 이들은 변수가 아니라 단위 대수의 기본 요소로 이해하는 것이 더 좋다. 이 용어는 적분을 정의할 때 적분 변수가 그라스만 값을 가지므로, 언어의 남용으로 그라스만 변수라고 불리기 때문에 유래되었다. "방향"이라는 개념은 유클리드 공간이 그라스만 값을 가진 "방향"으로 확장되는 초공간 개념에서, "전하"라는 명칭은 물리학의 전하 개념에서 유래되었으며, 이는 물리적 대칭의 생성자에 해당한다.

그라스만 변수는 차원이 n인 벡터 공간의 기저 벡터이다. 이들은 체 위의 대수를 형성하며, 이 체는 일반적으로 복소수이지만 실수와 같은 다른 체를 고려할 수도 있다. 이 대수는 단위 대수이며, 생성자는 반가환한다.

:$\backslash theta\_i\; \backslash theta\_j\; =\; -\backslash theta\_j\; \backslash theta\_i$

$\backslash theta\_i$는 복소수 위의 벡터 공간의 요소이므로 정의상 복소수와 교환한다. 즉, 복소수 x에 대해 다음이 성립한다.

:$\backslash theta\_i\; x\; =\; x\; \backslash theta\_i.$

생성자의 제곱은 0이 된다.

:$(\backslash theta\_i)^2\; =\; 0,$ $\backslash theta\_i\; \backslash theta\_i\; =\; -\backslash theta\_i\; \backslash theta\_i.$ 이므로.

요약하면, 그라스만 변수는 0의 비 제곱근이다.

1873년에 William Kingdon Clifford^영어가 소개한 쌍대수는 $1=n=1$인 특수한 경우이다.

3.1. 외대수

벡터 공간 V의 외대수 Λ(V)는 쐐기곱(∧)으로 생성되는 대수이다.

형식적으로, 기저 $\backslash theta\_i$ ($i=1,\backslash ldots,n$)를 갖는 $n$차원 복소 벡터 공간 $V$에 대해, 그라스만 변수 $\backslash theta\_i$ ($i=1,\backslash ldots,n$)를 갖는 그라스만 대수는 $V$의 외대수로 정의되며, 다음과 같다.

:$\backslash Lambda(V)\; =\; \backslash mathbb\{C\}\; \backslash oplus\; V\; \backslash oplus\; \backslash left(\; V\; \backslash wedge\; V\; \backslash right)\; \backslash oplus\; \backslash left(\; V\backslash wedge\; V\; \backslash wedge\; V\; \backslash right)\; \backslash oplus\; \backslash cdots\; \backslash oplus\; \backslash underbrace\{\backslash left(\; V\backslash wedge\; V\; \backslash wedge\; \backslash cdots\; \backslash wedge\; V\; \backslash right)\}\_n\; \backslash equiv\; \backslash mathbb\{C\}\; \backslash oplus\; \backslash Lambda^1\; V\; \backslash oplus\; \backslash Lambda^2\; V\; \backslash oplus\; \backslash cdots\; \backslash oplus\; \backslash Lambda^n\; V\; =\; \backslash bigoplus\_\{k\; =\; 0\}^n\; \backslash Lambda^k\; V,$

여기서 $\backslash wedge$는 외적이고 $\backslash oplus$는 직합이다. 이 대수의 개별 원소는 "그라스만 수"라고 불린다. 그라스만 수가 정의되면 외적 기호 $\backslash wedge$를 생략하는 것이 일반적이다. 일반적인 그라스만 수는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$z=c\_0\; +\; \backslash sum\_\{k=1\}^n\; \backslash sum\_\{i\_1,i\_2,\backslash cdots\; ,i\_k\}\; c\_\{i\_1i\_2\backslash cdots\; i\_k\}\; \backslash theta\_\{i\_1\}\backslash theta\_\{i\_2\}\backslash cdots\backslash theta\_\{i\_k\}\; ,$

여기서 $(i\_1,\; i\_2,\; \backslash ldots,\; i\_k)$는 $1\; \backslash le\; i\_j\; \backslash le\; n,\; 1\; \backslash le\; j\; \backslash le\; k$를 만족하는 엄격하게 증가하는 $k$-튜플이고, $c\_\{i\_1i\_2\backslash cdots\; i\_k\}$는 복소수이며, 랭크 $k$의 완전한 반대칭 텐서이다. 다시 말해, $\backslash theta\_i$와 $\backslash theta\_i\; \backslash wedge\; \backslash theta\_j\; =\; \backslash theta\_i\; \backslash theta\_j$ ( 조건을 만족) 및 더 큰 유한 곱은 $\backslash Lambda$의 부분 공간의 기저 벡터 역할을 한다.

$n$개의 선형 독립적인 그라스만 변수에 의해 생성된 그라스만 대수는 차원이 $2^n$이며, 이는 위의 합에 적용된 이항 정리와 변수의 $(n+1)$-겹 곱이 위에서 언급한 반가환 관계에 의해 사라져야 한다는 사실에서 따른다. $\backslash Lambda^k\; V$의 차원은 $n$ choose $k$로 주어진다. 이는 이항 계수이다.

$V$가 무한 차원인 경우, 위의 급수는 종료되지 않으며 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash Lambda\_\backslash infty(V)\; =\; \backslash mathbb\{C\}\; \backslash oplus\; \backslash Lambda^1\; V\; \backslash oplus\; \backslash Lambda^2\; V\; \backslash oplus\; \backslash cdots.$

일반적인 원소는 이제 다음과 같다.

:$z=\backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; \backslash sum\_\{i\_1,i\_2,\backslash cdots\; ,i\_k\}\; \backslash frac\{1\}\{k!\}c\_\{i\_1i\_2\backslash cdots\; i\_k\}\; \backslash theta\_\{i\_1\}\backslash theta\_\{i\_2\}\backslash cdots\backslash theta\_\{i\_k\}\; \backslash equiv\; z\_B\; +\; z\_S\; =\; z\_B\; +\; \backslash sum\_\{k=1\}^\backslash infty\; \backslash sum\_\{i\_1,i\_2,\backslash cdots\; ,i\_k\}\; \backslash frac\{1\}\{k!\}c\_\{i\_1i\_2\backslash cdots\; i\_k\}\; \backslash theta\_\{i\_1\}\backslash theta\_\{i\_2\}\backslash cdots\backslash theta\_\{i\_k\},$

여기서 $z\_B$는 때때로 "몸체"라고 하며, $z\_S$는 "초수" $z$의 "영혼"이라고 불린다.

3.2. 일반적인 표현

일반적인 그라스만 수는 복소수 계수와 그라스만 변수들의 곱으로 이루어진 선형 결합으로 표현된다. 일반적인 그라스만 수는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$z=c\_0\; +\; \backslash sum\_\{k=1\}^n\; \backslash sum\_\{i\_1,i\_2,\backslash cdots\; ,i\_k\}\; c\_\{i\_1i\_2\backslash cdots\; i\_k\}\; \backslash theta\_\{i\_1\}\backslash theta\_\{i\_2\}\backslash cdots\backslash theta\_\{i\_k\}\; ,$

여기서 $(i\_1,\; i\_2,\; \backslash ldots,\; i\_k)$는 $1\; \backslash le\; i\_j\; \backslash le\; n,\; 1\; \backslash le\; j\; \backslash le\; k$를 만족하는 엄격하게 증가하는 k-튜플이고, $c\_\{i\_1i\_2\backslash cdots\; i\_k\}$는 복소수이며, 랭크 k의 완전한 반대칭 텐서이다. 다시 말해, $\backslash theta\_i$와 $\backslash theta\_i\; \backslash wedge\; \backslash theta\_j\; =\; \backslash theta\_i\; \backslash theta\_j$ ( 조건을 만족)와 더 큰 유한 곱은 $\backslash Lambda$의 부분 공간의 기저 벡터 역할을 한다.

4. 응용

미분 기하학에서 미분 형식은 반가환적이다. 체처럼 덧셈, 곱셈, 나눗셈이 가능하며, 정칙 함수의 아이디어로 이어질 수 있다. 그라스만 수의 다항식을 이용해 정칙 함수의 도함수와 역도함수를 구할 수 있다. 그라스만 수는 초수학, 양자장론등 다양한 분야에서 활용된다.

4.1. 초수학

그라스만 수는 초공간, 초다양체 등 초수학의 기본 구성 요소로 사용되며, 초칭을 가진 수학적 구조를 연구하는 데 활용된다.

4.2. 양자장론

양자장론에서 다중 입자 양자 상태를 생성하는 사다리 연산자를 사용한다. 페르미온에 대한 사다리 연산자는 파울리 배타 원리에 의해 반대칭적인 파동 함수를 가져야 하는 장 양자를 생성한다. 이때 그라스만 수는 여러 페르미온을 포함하는 파동 함수에 직접적으로 해당한다.

제2 양자화 과정에서 페르미온은 무한한 수의 생성자를 가질 수 있는데, 이는 페르미온이 가질 수 있는 모든 가능한 운동량에 대해 각각 하나씩의 생성자가 필요하기 때문이다.

4.3. 스피너 공간

스핀군에서 바일 스피너 $W$(및 반스피너 $\backslash overline\{W\}$) 공간의 외대수 $\backslash textstyle\{\backslash bigwedge\}\; W$로 정의되며, n개의 페르미온의 파동 함수는 $\backslash textstyle\{\backslash bigwedge\}^n\; W$에 속한다.

5. 적분

그라스만 수에 대한 적분은 베레진 적분(그라스만 적분이라고도 함)으로 정의되며, 일반적인 적분과는 다른 독특한 성질을 가진다. 그라스만 수의 적분과 미분은 동일한 연산으로 취급된다. 다수의 그라스만 수에 대해 적분할 때 모호함이 발생하는데, 안쪽 적분을 먼저 수행하는 관례는 다음과 같다.

:$\backslash int\; d\backslash theta\; \backslash int\; d\backslash eta\backslash ;\; \backslash eta\backslash theta\; =\; +1.$

일부 저자는 연산자의 에르미트 수반과 유사하게 복소 켤레를 정의하기도 한다.

:$(\backslash theta\backslash eta)^*\backslash equiv\; \backslash eta^*\backslash theta^*\; =\; -\backslash theta^*\backslash eta^*.$

다음과 같은 추가적인 관례를 적용하면,

:$\backslash theta=\backslash frac\{\backslash theta\_1+i\backslash theta\_2\}\{\backslash sqrt\; 2\},\backslash quad\; \backslash theta^*=\backslash frac\{\backslash theta\_1-i\backslash theta\_2\}\{\backslash sqrt\; 2\},$

$\backslash theta$와 $\backslash theta^*$를 독립적인 그라스만 수로 취급할 수 있으며, 다음이 성립한다.

:$\backslash int\; d\backslash theta^*\; d\backslash theta\backslash ,\; (\backslash theta\backslash theta^*)=1.$

따라서 가우스 적분은 다음과 같이 계산된다.

:$\backslash int\; d\backslash theta^*\; d\backslash theta\backslash ,\; e^\{-\backslash theta^*\; b\; \backslash theta\}\; =\; \backslash int\; d\backslash theta^*\; d\backslash theta\backslash ,\; (1\; -\backslash theta^*\; b\; \backslash theta)\; =\; \backslash int\; d\backslash theta^*\; d\backslash theta\backslash ,\; (1+\backslash theta\backslash theta^*\; b)\; =\; b$

그리고 $\backslash theta\backslash theta^*$의 추가적인 인자는 일반적인 가우스 적분과 마찬가지로 $(1/b)$의 인자를 효과적으로 도입한다.

:$\backslash int\; d\backslash theta^*\; d\backslash theta\backslash ,\; \backslash theta\backslash theta^*\backslash ,\; e^\{-\backslash theta^*\; b\; \backslash theta\}\; =\; 1.$

5.1. 베레진 적분

베레진 적분(그라스만 적분이라고도 함)은 그라스만 수에 대한 적분이다. 페르미장의 경로 적분을 재현하기 위해 다음과 같은 속성을 가지도록 정의된다.

* 선형성:
:$\backslash int\backslash ,[a\; f(\backslash theta)\; +\; b\; g(\backslash theta)\; ]\backslash ,\; d\backslash theta\; =\; a\; \backslash int\backslash ,f(\backslash theta)\backslash ,\; d\backslash theta\; +\; b\; \backslash int\backslash ,g(\backslash theta)\backslash ,\; d\backslash theta$

* 부분 적분 공식:
:$\backslash int\; \backslash left[\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\backslash theta\}f(\backslash theta)\backslash right]\backslash ,\; d\backslash theta\; =\; 0.$

모든 함수 $f(\backslash theta)=A+B\backslash theta$의 테일러 전개는 $\backslash theta^2=0$이므로 두 항 후에 종료된다. 양자장론은 추가적으로 적분 변수의 이동 $\backslash theta\backslash to\backslash theta+\backslash eta$에 대한 불변성을 요구한다.

:$\backslash int\; d\backslash theta\; f(\backslash theta)=\backslash int\; d\backslash theta\; (A+B\backslash theta)\; \backslash equiv\; \backslash int\; d\backslash theta((A+B\backslash eta)+B\backslash theta).$

이 조건을 만족하는 유일한 선형 함수는 상수(일반적으로 1) 곱하기 B 이므로, 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash int\; d\backslash theta\; (A+B\backslash theta)\; \backslash equiv\; B.$

이로 인해 그라스만 양의 적분에 대한 다음 규칙이 도출된다.

* $\backslash int\backslash ,\; 1\backslash ,\; d\backslash theta\; =\; 0$
* $\backslash int\backslash ,\; \backslash theta\backslash ,\; d\backslash theta\; =\; 1.$

따라서 그라스만 수의 적분과 미분 연산은 동일하다.

양자장론의 경로 적분 공식에서 다음과 같은 그라스만 양의 가우스 적분이 페르미온 반교환장에 필요하며, A는 N × N 행렬이다.

:$\backslash int\; \backslash exp\backslash left[-\backslash theta^\{\backslash rm\; T\}A\backslash eta\backslash right]\; \backslash ,d\backslash theta\backslash ,d\backslash eta\; =\; \backslash det\; A$.

5.2. 가우스 적분

양자장론의 경로 적분 공식에서 다음과 같은 그라스만 수의 가우스 적분은 페르미온 반교환장에 필요하며, A는 N × N 행렬이다.

:$\backslash int\; \backslash exp\backslash left[-\backslash theta^\{\backslash rm\; T\}A\backslash eta\backslash right]\; \backslash ,d\backslash theta\backslash ,d\backslash eta\; =\; \backslash det\; A$

유니타리 행렬임을 증명한 후, 고유값 $b\_i$를 가진 에르미트 행렬 $B$를 포함하는 일반적인 가우스 적분을 계산할 수 있다.

:$\backslash left(\backslash prod\_i\; \backslash int\; d\backslash theta\_i^*\; \backslash ,d\backslash theta\_i\; \backslash right)\; e^\{-\backslash theta\_i^*B\_\{ij\}\backslash theta\_j\}\; =\; \backslash left(\backslash prod\_i\; \backslash int\; d\backslash theta\_i^*\; \backslash ,\; d\backslash theta\_i\; \backslash right)\; e^\{-\backslash theta\_i^*b\_i\backslash theta\_i\}\; =\; \backslash prod\_i\; b\_i\; =\; \backslash det\; B.$

6. 행렬 표현

그라스만 수는 행렬로 표현될 수 있다. 예를 들어, 두 그라스만 수 $\backslash theta\_1$과 $\backslash theta\_2$에 의해 생성된 그라스만 대수를 고려해 보자. 이 그라스만 수들은 다음과 같은 4x4 행렬로 표현될 수 있다.

:$\backslash theta\_1\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}$
0 & 0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0
\end{bmatrix}\qquad \theta_2 = \begin{bmatrix}
0&0&0&0\\
0&0&0&0\\
1&0&0&0\\
0&-1&0&0
\end{bmatrix}\qquad \theta_1\theta_2 = -\theta_2\theta_1 = \begin{bmatrix}
0&0&0&0\\
0&0&0&0\\
0&0&0&0\\
1&0&0&0
\end{bmatrix}.


일반적으로, n개의 생성자에 대한 그라스만 대수는 2ⁿ x 2ⁿ 정사각행렬로 표현될 수 있다. 물리적으로, 이 행렬들은 점유수 기저에서 n개의 동일한 페르미온에 작용하는 생성 연산자로 생각할 수 있다. 각 페르미온의 점유수는 0 또는 1이므로 2ⁿ개의 가능한 기저 상태가 있다. 수학적으로, 이 행렬들은 그라스만 대수 자체에 대한 왼쪽 외적에 해당하는 선형 연산자로 해석될 수 있다.

7. 일반화

N개의 변수에 대한 반가환 규칙은 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$\backslash theta\_\{i\_1\}\; \backslash theta\_\{i\_2\}\backslash cdots\backslash theta\_\{i\_N\}\; +\; \backslash theta\_\{i\_N\}\backslash theta\_\{i\_1\}\backslash theta\_\{i\_2\}\backslash cdots\; +\backslash cdots\; =\; 0$

여기서 지수는 모든 순열에 대해 합산되므로, 결과적으로 다음이 성립한다.

:$(\backslash theta\_i)^N\; =\; 0\backslash ,$

이는 N > 2 인 경우 초행렬식을 계산하고, 2보다 큰 거듭제곱의 다항식 판별식을 계산하는 데 유용하다. 또한, N이 무한대로 가는 극한의 경우, 이러한 수에 대한 해석 함수를 정의할 수 있다. 예를 들어 N = 3인 경우 단일 반가환수는 다음 행렬로 나타낼 수 있다.

:$\backslash theta\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}$
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}\qquad


따라서 $\backslash theta^3=0$이다. 두 개의 반가환수의 경우 행렬의 크기는 10×10이 된다.

예를 들어, 두 개의 반가환 변수를 갖는 N = 3에 대한 규칙은 다음과 같다.

:$\backslash theta\_1\; (\backslash theta\_2)^2\; +\; \backslash theta\_2\; \backslash theta\_1\; \backslash theta\_2\; +\; (\backslash theta\_2)^2\; \backslash theta\_1\; =\; 0$

따라서 다음을 보일 수 있다.

:$\backslash theta\_1\; (\backslash theta\_2)^2\; =\; -\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash theta\_2\; \backslash theta\_1\; \backslash theta\_2\; =\; (\backslash theta\_2)^2\; \backslash theta\_1$

그리고

:$(\backslash theta\_1)^2(\backslash theta\_2)^2\; =\; (\backslash theta\_2)^2(\backslash theta\_1)^2\; =\; \backslash theta\_1(\backslash theta\_2)^2\; \backslash theta\_1\; =\; \backslash theta\_2(\backslash theta\_1)^2\; \backslash theta\_2\; =\; -\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash theta\_1\; \backslash theta\_2\; \backslash theta\_1\; \backslash theta\_2\; =\; -\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash theta\_2\; \backslash theta\_1\; \backslash theta\_2\; \backslash theta\_1,$

이것은 2×2×2 텐서의 초행렬식에 대한 정의를 제공한다.

: $(A^\{abc\}\backslash theta\_a\backslash eta\_b\backslash psi\_c)^4\; =\; \backslash det(A)(\backslash theta\_1)^2(\backslash theta\_2)^2(\backslash eta\_1)^2(\backslash eta\_2)^2(\backslash psi\_1)^2(\backslash psi\_2)^2.$