하르톡스의 정리 (복소해석학)

1. 개요

하르톡스의 정리는 복소 다변수 함수에 대한 정리로, 함수가 각 변수에 대해 해석적이면 연속 함수임을 보장한다. 즉, 복소수 공간 Cⁿ에서 복소수 C로 가는 함수 f가 모든 변수에 대해 해석 함수이면, f는 연속 함수이다. 실변수 함수의 경우, n≥2일 때 이 성질이 일반적으로 성립하지 않으며, 편미분 가능성이 함수의 연속성을 보장하지 않는다. 하지만, 실 다변수 함수가 미분 가능하거나, 모든 1계 편도함수가 존재하고 연속일 경우 연속성을 갖는다.

2. 공식화

하르톡스의 정리는 다음과 같이 공식화할 수 있다.

* $C^n$ (n≥1) 위에서 C로 가는 복소함수 f가 n개의 모든 변수에 대해 해석 함수이면, f는 연속 함수이다.

2.1. 복소 함수의 성질

f를 Complex space^영어 Cⁿ (n≥1) 위에서 C로 가는 복소함수라 하자. 만약 f가 n개의 모든 변수에 대해 해석 함수이면, f는 연속 함수이다.

3. 실변수 함수와의 비교

실변수 함수에서는 n≥2일 경우 하르톡스의 정리와 유사한 성질이 일반적으로 성립하지 않는다. 그러나 실 다변수함수의 경우 미분가능하면, 즉 그 함수의 전미분인 선형 함수가 존재하면 연속이 된다. 실수 다변수함수가 미분가능할 유용한 충분조건으로 그 함수의 모든 1계 편도함수가 존재하고 각각 연속이라는 것이 있다.

3.1. 반례

R^2^영어에서 R로 가는 함수 f를 $f(x,\; y)\; :=\; \backslash frac\{xy\}\{x^2+y^2\}$와 같이 정의하면, (0, 0)에서 x, y 모두 편도함수가 존재하나, 이 함수는 (0, 0)에서 x = y 및 x = -y의 두 경로에 대해 서로 다른 극한을 가져 극한이 존재하지 않으므로 여기서 불연속이다.

3.2. 실 다변수 함수의 연속성 조건

실변수에서는 이러한 성질이 n≥2일 경우 일반적으로 성립하지 않는다. ℝ²에서 R로 가는 함수 f를 $f(x,\; y)\; :=\; \backslash frac\{xy\}\{x^2+y^2\}$ 와 같이 정의하면, (0, 0)에서 x, y 모두 편도함수가 존재하나, 이 함수는 (0, 0)에서 x = y 및 x = -y의 두 경로에 대해 서로 다른 극한을 가져 극한이 존재하지 않으므로 여기서 불연속이기 때문이다.

그러나 실 다변수함수의 경우에도 미분가능하면, 즉 그 함수의 전미분인 선형 함수가 존재하면 연속이 된다. 또한 실수 다변수함수가 미분가능할 유용한 충분조건으로 그 함수의 모든 1계 편도함수가 존재하고 각각 연속이라는 것이 있다. 따라서, 모든 1계 편도함수가 존재하고 연속인 실수 다변수함수는 연속함수이다.