항등 정리

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 기본 정의
- 2.2. 동치 조건
3. 증명
4. 예시
참조

1. 개요

항등 정리는 복소해석학의 기본 정리로, 연결 열린 집합에서 정의된 두 정칙 함수가 어떤 집합에서 일치하고, 이 집합이 정의역 내에서 극한점을 가지면, 두 함수는 정의역 전체에서 일치한다는 것을 의미한다. 이 정리는 함수의 유일성을 보장하며, 해석적 함수의 성질을 연구하는 데 중요한 도구로 사용된다. 항등 정리는 정의역의 연결성, 영점 집합의 극한점 존재, 그리고 정칙 함수의 특성을 통해 증명되며, 정의역 조건, 극한점 조건, 실수 함수 등 다양한 예시를 통해 그 적용 범위와 한계를 보여준다.

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항등 정리
개요
분야	수학
하위 분야	해석학
관련 개념	해석적 접속, 영 정리, 유일성 정리
설명
내용	두 개의 해석 함수가 공통 영역에서 일치하면 전체 영역에서 동일함
중요성	해석 함수의 동작은 국소적 정보로부터 전체적으로 결정됨

2. 정의

항등 정리는 복소해석학에서 매우 중요한 정리로, 복소 평면 상의 연결 열린집합에서 정의된 두 정칙 함수가 특정 조건을 만족하면 서로 일치한다는 내용을 담고 있다.^[4]

이를 증명하기 위해, 두 함수가 해석적이므로, 모든 $n\geq 0$ 에 대해 $f^{(n)}(c)= g^{(n)}(c)$ 임을 보이는 것으로 충분하다. 만약 이것이 성립하지 않는다면, $f^{(m)}(c)\ne g^{(m)}(c)$ 를 만족하는 가장 작은 음이 아닌 정수를 $m$ 이라고 하자. 정칙성에 의해, $c$ 의 어떤 열린 근방 U에서 다음의 테일러 급수 표현을 얻는다.

: $\begin{align}(f - g)(z) &{}=(z - c)^m \cdot \left[\frac{(f - g)^{(m)}(c)}{m!} + \frac{(z - c) \cdot (f - g)^{(m+1)}(c)}{(m+1)!} + \cdots \right] \\[6pt]&{}=(z - c)^m \cdot h(z).\end{align}$

연속성에 의해, $h$ 는 $c$ 주변의 작은 열린 원판 $B$ 에서 0이 아니다. 그러나, 구멍 뚫린 집합 $B-\{c\}$ 에서 $f-g\neq 0$ 이 된다. 이는 $c$ 가 $\{f = g\}$ 의 축적점이라는 가정에 모순된다.

$f$ 와 $g$ 가 동일한 테일러 전개를 갖는 집합은 다음과 같이 정의한다.

$S = \left\{ z \in D \mathrel{\Big\vert} f^{(k)}(z) = g^{(k)}(z) \text{ for all } k \geq 0\right\} = \bigcap_{k=0}^\infty \left\{ z \in D \mathrel{\Big\vert} \bigl(f^{(k)}- g^{(k)}\bigr)(z) = 0\right\}.$

$S$ 가 공집합이 아니고, 열린 집합이자 닫힌 집합임을 보이면, $D$ 의 연결성에 의해 $S$ 는 $D$ 전체가 되고, $S=D$ 에서 $f=g$ 임을 의미한다.

$f = g$ 는 $D$ 내의 $c$ 를 중심으로 하는 원판 내에서 성립하며, 이들은 $c$ 에서 동일한 테일러 급수를 가지므로, $c\in S$ 이고, $S$ 는 공집합이 아니다.

$f$ 와 $g$ 가 $D$ 에서 정칙적이므로, 모든 $w\in S$ 에 대해 $w$ 에서의 $f$ 와 $g$ 의 테일러 급수는 0이 아닌 수렴 반지름을 갖는다. 따라서, 열린 원판 $B_r(w)$ 도 어떤 $r$ 에 대해 $S$ 에 속한다. 그러므로 $S$ 는 열린 집합이다.

$f$ 와 $g$ 의 정칙성에 의해, 이들은 정칙 미분값을 가지므로, 모든 $f^{(n)}, g^{(n)}$ 은 연속이다. 이는 $\bigl\{z \in D \mathrel{\big\vert} \bigl(f^{(k)} - g^{(k)}\bigr)(z) = 0\bigr\}$ 가 모든 $k$ 에 대해 닫힌 집합임을 의미한다. $S$ 는 닫힌 집합들의 교집합이므로 닫힌 집합이다.

특히, 연결 열린집합 $D\subseteq\mathbb C$ 에 정의된 정칙 함수 $f\colon D\to\mathbb C$ 의 영점 집합은 $D$ 전체이거나, $D$ 에서 극한점을 갖지 않는다.^[4] 후자의 경우, $f$ 의 모든 영점은 영점 집합의 고립점이며, 특히 영점 집합은 가산 집합이다.

2. 1. 기본 정의

연결 열린집합

D\subseteq\mathbb C

에 정의된 두 정칙 함수

f,g\colon D\to\mathbb C

가 주어졌고, 집합

:

\{z\in D\colon f(z)=g(z)\}

가

D

에서 극한점을 갖는다고 하자. '''항등 정리'''에 따르면, 임의의

z\in D

에 대하여

f(z)=g(z)

이다.^[4]

두 정칙 함수

f

와

g

가 영역 ''D''에서, ''D'' 내에 축적점

c

를 가지는 집합 S에서 일치하면,

f = g

는

c

를 중심으로 하는

D

내의 원판에서 성립한다.

항등 정리는 다음 두 가지 형식으로 표현될 수 있다.

'''(1)''' 연결 열린 영역

D \subset \mathbb{C}

에서 정칙인 복소 함수

f(z)

의 영점 집합이

D

에서 점 집적을 가지면

f(z)

는

D

에서 항등적으로 0이다.

'''(2)''' 연결 열린 영역

D \subset \mathbb{C}

에서 정칙인 복소 함수

f(z), g(z)

가

D

에서 점 집적을 갖는

D

의 부분 집합 U 위에서 일치하면 영역

D

전체에서 일치한다. 여기서 U로서 예를 들어 열린 집합을 취할 수 있다.

2. 2. 동치 조건

정칙 함수가 영함수가 되는 조건과 관련된 동치 조건들은 다음과 같다.^[2]

:

G\subseteq\mathbb{C}

는 복소 평면의 비어 있지 않고, 연결된 열린 부분 집합이고,

h\colon G\to\mathbb{C}

에 대해 다음은 동등하다.

#

G

에서

h\equiv 0

이다.

# 집합

G_{0}=\{z\in G\mid h(z)=0\}

은 축적점

z_{0}

를 포함한다.

# 집합

G_{\ast}=\bigcap_{n\in\N_0} G_{n}

은 비어 있지 않다. 여기서

G_{n} := \{z\in G\mid h^{(n)}(z)=0\}

이다.

*(1 $\Rightarrow$ 2)'''와 '''(1 $\Rightarrow$ 3)'''는 자명하게 성립한다.

'''(3

\Rightarrow

1)'''의 경우,

G

의 연결성에 의해, 비어 있지 않은 부분 집합

G_{\ast}\subseteq G

가 클로즈드-오픈 집합임을 증명하면 충분하다. 정칙 함수는 무한히 미분 가능하므로,

G_{\ast}

가 닫힌 집합임은 명백하다. 열린 집합임을 보이기 위해,

u \in G_{\ast}

를 고려하고,

u

를 포함하고,

h

가

u

를 중심으로 수렴하는 멱급수 전개를 갖는 열린 공

U\subseteq G

를 고려한다.

u\in G_{\ast}

이므로, 이 급수의 모든 계수는

0

이며, 따라서

U

에서

h\equiv 0

이다. 따라서

h

의 모든

n

차 도함수는

U

에서

0

이고, 따라서

U\subseteq G_{\ast}

이다. 따라서 각

u\in G_{\ast}

는

G_{\ast}

의 내부 안에 놓인다.

'''(2

\Rightarrow

3)'''을 증명하기 위해, 축적점

z_{0}\in G_{0}

를 고정한다. 각

n \in \N_0

에 대해

z_{0}\in G_{n}

임을 귀납법으로 증명한다.

r\in(0,\infty)

를

z_{0}

주변의

h

의 멱급수 전개

\sum_{k\in\mathbb{N}_{0}}\frac{h^{(k)}(z_{0})}{k!}(z-z_{0})^{k}

의 수렴 반경보다 엄격하게 작은 값으로 둔다. 이제

n\geq 0

을 고정하고, 모든

k < n

에 대해

z_{0}\in G_{k}

라고 가정하면,

z \in \bar{B}_{r}(z_{0}) \setminus \{z_{0}\}

에 대해, 멱급수 전개를 조작하면 다음을 얻는다.

:

h^{(n)}(z_{0})= n!\frac{h(z)}{(z-z_{0})^{n}} - (z-z_{0})\underbrace{n!\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{h^{(k)}(z_{0})}{k!}(z-z_{0})^{k-(n+1)}}_{=:R(z)}.

r

이 멱급수의 반경보다 작으므로, 멱급수

R(\cdot)

이

\bar{B}_{r}(z_{0})

에서 연속이고 유계임을 쉽게 유도할 수 있다.

z_{0}

가

G_{0}

의 축적점이므로,

(z^{(i)})_{i}\subseteq G_{0}\cap B_{r}(z_{0})\setminus\{z_{0}\}

인

z_{0}

로 수렴하는 점의 수열이 존재한다.

G_{0}

에서

h\equiv 0

이고 각

z^{(i)}\in G_{0}\cap B_{r}(z_{0})\setminus\{z_{0}\}

이므로, 위의 식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

h^{(n)}(z_{0})=n!\frac{h(z^{(i)})}{(z^{(i)}-z_{0})^{n}}-(z^{(i)}-z_{0})R(z^{(i)})= 0 - \underbrace{(z^{(i)}-z_{0})}_{\longrightarrow_{i}0}R(z^{(i)}).

R(\cdot)

이

\bar{B}_{r}(z_{0})

에서 유계이므로,

h^{(n)}(z_{0})=0

이고, 따라서

z_{0}\in G_{n}

이다. 귀납법에 의해 주장이 성립한다.

일치 정리는 다음 두 가지 형식으로 표현될 수 있다.

'''(1)''' 연결 열린 영역

D \subset \mathbb{C}

에서 정칙인 복소 함수

f(z)

의 영점 집합이

D

에서 점 집적을 가지면

f(z)

는

D

에서 항등적으로 0이다.

'''(2)''' 연결 열린 영역

D \subset \mathbb{C}

에서 정칙인 복소 함수

f(z), g(z)

가

D

에서 점 집적을 갖는

D

의 부분 집합 U 위에서 일치하면 영역

D

전체에서 일치한다. 여기서 U로서 예를 들어 열린 집합을 취할 수 있다.

3. 증명

항등 정리의 증명은 다음과 같은 단계로 이루어진다.

연결 열린집합 $D \subseteq \mathbb{C}$ 에서 정의된 정칙 함수 $f \colon D \to \mathbb{C}$ 를 생각하자. $f$ 의 영점 집합이 $D$ 에 속하는 극한점 $z_0 \in D$ 를 가진다고 가정한다. 이때, 다음 집합을 정의한다.

: $S = \{z \in D \colon 0 = f(z) = f'(z) = f''(z) = \cdots \}$

목표는 $S = D$ 임을 보이는 것이다.
1. $S$ 가 공집합이 아님을 보이기귀류법을 사용하여 $z_0 \notin S$ 라고 가정하자. 그러면 다음을 만족하는 $m$ 이 존재한다.

: $m = \min\{n \ge 0 \colon f^{(n)}(z_0) \ne 0\}$

$f$ 는 연속 함수이므로 $f(z_0) = 0$ 이고, 따라서 $m \ge 1$ 이다. $\operatorname B(z_0, r) \subseteq D$ 인 $r > 0$ 을 잡으면, 임의의 $z \in \operatorname B(z_0, r)$ 에 대해 다음이 성립한다.

: $f(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z - z_0)^n = \sum_{n=m}^\infty \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z - z_0)^n$

여기서 새로운 정칙 함수 $g \colon \operatorname B(z_0, r) \to \mathbb{C}$ 를 다음과 같이 정의한다.

: $g(z) = \sum_{n=m}^\infty \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z - z_0)^{n-m} \qquad (z \in \operatorname B(z_0, r))$

그러면 $g(z_0) = \frac{f^{(m)}(z_0)}{m!} \ne 0$ 이고, 임의의 $z \in \operatorname B(z_0, r)$ 에 대해 $f(z) = (z - z_0)^m g(z)$ 이다. $r$ 을 충분히 작게 줄이면 $g$ 가 $\operatorname B(z_0, r)$ 에서 영점을 갖지 않도록 할 수 있다. 이 경우 $f$ 는 $\operatorname B(z_0, r) \setminus \{z_0\}$ 에서 영점을 갖지 않는데, 이는 $z_0$ 이 극한점이라는 가정에 모순된다. 따라서 $z_0 \in S$ 이고, $S$ 는 공집합이 아니다.
2. $S$ 가 열린집합임을 보이기임의의 $z_1 \in S$ 를 고정하고, $\operatorname B(z_1, r) \subseteq D$ 인 $r > 0$ 을 잡자. $f$ 는 $z_1$ 에서 정칙이므로, 임의의 $z \in \operatorname B(z_1, r)$ 에 대해 다음이 성립한다.

: $f(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(z_1)}{n!}(z - z_1)^n = 0$

즉, $z \in S$ 이므로 $z_1$ 은 $S$ 의 내부점이다. 따라서 $S$ 는 열린집합이다.
3. $S$ 가 닫힌집합임을 보이기 $S'$ 를 $\mathbb{C}$ 에서 $S$ 의 극한점들의 집합이라고 하자. 임의의 $z_2 \in S' \cap D$ 를 고정하자. $f^{(n)}$ 은 연속 함수이므로, 임의의 $n \ge 0$ 에 대해 $f^{(n)}(z_2) = 0$ 이다. 즉, $z_2 \in S$ 이다. 따라서 $S$ 는 닫힌집합이다.
4. 결론 $S$ 는 $D$ 의 열린닫힌집합이고 공집합이 아니다. $D$ 는 연결 집합이므로 $S = D$ 이다. 따라서 임의의 $z \in D$ 에 대해 $f(z) = 0$ 이다.

3. 1. 보조정리

두 정칙 함수

f

와

g

가 연결 열린집합

D

에서 정의되고,

D

안에 극한점(축적점)

c

를 갖는 집합

S

에서 일치한다고 가정하자. 그러면

c

를 중심으로 하는

D

내의 원판에서

f = g

가 성립한다.

이를 증명하기 위해, 두 함수가 해석적이므로 모든

n\geq 0

에 대해

f^{(n)}(c)= g^{(n)}(c)

임을 보이는 것으로 충분하다.

만약 이것이 성립하지 않는다면,

f^{(m)}(c)\ne g^{(m)}(c)

를 만족하는 가장 작은 음이 아닌 정수를

m

이라고 하자. 정칙성에 의해,

c

의 어떤 열린 근방

U

에서 다음의 테일러 급수 표현을 얻는다.

:

\begin{align}(f - g)(z) &{}=(z - c)^m  \cdot \left[\frac{(f - g)^{(m)}(c)}{m!} + \frac{(z - c) \cdot (f - g)^{(m+1)}(c)}{(m+1)!} + \cdots  \right]  \\[6pt]&{}=(z - c)^m  \cdot h(z).\end{align}

연속성에 의해,

h

는

c

주변의 작은 열린 원판

B

에서 0이 아니다. 그러나 구멍 뚫린 집합

B-\{c\}

에서

f-g\neq 0

이 된다. 이는

c

가

\{f = g\}

의 극한점이라는 가정에 모순된다.

이 보조정리는 복소수

a \in \mathbb{C}

에 대해, 올

f^{-1}(a)

가

f \equiv a

가 아닌 이상 이산적(따라서 가산) 집합임을 보여준다.^[1]

z_0

을

f(z)

의 영점의 집적점 중 하나라고 하면,

z_0

을 중심으로 하는 어떤 양의 반지름

r

의 열린 원판 상에서

f(z)

는 항등적으로 0이다.^[1]

f(z)

는

D

에서 정칙이므로,

z_0

를 중심으로 다음과 같이 테일러 전개가 가능하며, 그 수렴 반경은 0이 아니다. 수렴 반경보다 작은 양수

r

을 적당히 선택하여,

z_0

를 중심으로 한 열린 원판

|z-z_0| < r

이

D

에 포함되도록 할 수 있다. 이 열린 원판을

U

라고 한다.^[1]

:

f(z)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{c_k}{k!}(z-z_0)^k

만약

c_k\not=0

이 존재한다면, 그중에서 가장 첨자 값이 작은 것을

c_n

으로 하고,

:

h(z)=\frac{c_n}{n!}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{c_{n+k}}{(n+k)!}(z-z_0)^k

라고 놓으면,

:

f(z)=(z-z_0)^n h(z)

가 된다. 위의

h(z)

의

z_0

를 중심으로 한 테일러 전개의 수렴 반경은

f(z)

와 같으며,

h(z)

는

U

에서 정칙이고,

h(z_0) \ne 0

이다.

z \ne z_0

이면

(z-z_0)^n \ne 0

이므로,

z_0

이외의

f(z)

의 영점은

h(z)

의 영점이며,

z_0

는

h(z)

의 영점의 집적점이다.

h(z)

는

U

에서 연속이므로,

\delta

를 충분히 작은 양수로 하면,

|z-z_0| < \delta

이면

h(z) \ne 0

이지만,

z_0

는

h(z)

의 영점의 집적점이므로

|z_1-z_0| < \delta

를 만족하는

h(z)

의 영점

z_1

이 존재해야 하므로 모순이다.^[1]

따라서 모든 정수

k

에 대해

c_k=0

이며, 열린 원판

U

상에서

f(z)

는 항등적으로 0이다.^[1]

3. 2. 주요 증명

연결 열린집합

D\subseteq\mathbb C

에 정의된 정칙 함수

f\colon D\to\mathbb C

의 영점의 집합에

D

에 속하는 극한점

z_0\in D

가 있다고 하자. 그리고

:

S=\{z\in D\colon 0=f(z)=f'(z)=f''(z)=\cdots\}

라고 하자. 그러면

S=D

임을 보일 수 있다.

우선

S\ne\varnothing

임을 보이자. 귀류법을 사용하여

z_0\not\in S

라고 가정하면,

:

m=\min\{n\ge 0\colon f^{(n)}(z_0)\ne 0\}

이 정의된다.

f

는 연속 함수이므로,

f(z_0)=0

이고, 따라서

m\ge 1

이다.

\operatorname B(z_0,r)\subseteq D

인

r>0

을 고정하면, 임의의

z\in\operatorname B(z_0,r)

에 대하여,

:

f(z)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n=\sum_{n=m}^\infty\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n

이다. 즉, 정칙 함수

g\colon\operatorname B(z_0,r)\to\mathbb C

를

:

g(z)=\sum_{n=m}^\infty\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^{n-m}\qquad(z\in\operatorname B(z_0,r))

와 같이 정의할 경우,

:

g(z_0)=\frac{f^{(m)}(z_0)}{m!}\ne 0

이고, 임의의

z\in\operatorname B(z_0,r)

에 대하여

:

f(z)=(z-z_0)^mg(z)

이다. 따라서

r

을 충분히 작게 다시 정의하면

g

가

\operatorname B(z_0,r)

에서 영점을 갖지 않게 만들 수 있으며, 이 경우

f

는

\operatorname B(z_0,r)\setminus\{z_0\}

에서 영점을 갖지 않는다. 이는

z_0

이

E

의 극한점인 데 모순된다.

이제

S

가 열린집합임을 보이자. 임의의

z_1\in S

를 고정하고,

\operatorname B(z_1,r)\subseteq D

인

r>0

을 고정하자. 그러면,

f

는

z_1

에서 정칙 함수이므로, 임의의

z\in\operatorname B(z_1,r)

에 대하여

:

f(z)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(z_1)}{n!}(z-z_1)^n=0

이다. 즉,

z\in S

이며, 따라서

z_1

은

S

의 내부점이다.

마지막으로

S

가

D

의 닫힌집합이라는 사실을 보이자. 임의의

z_2\in S'\cap D

를 고정하자. (여기서

(-)'

는

\mathbb C

에서의 극한점의 집합이다.) 그러면, 임의의

n\ge 0

에 대하여,

f^{(n)}

이 연속 함수이므로

f^{(n)}(z_2)=0

이다. 즉,

z_2\in S

이다.

즉,

S

는

D

의 열린닫힌집합이며,

S\ne\varnothing

이다.

D

는 연결 집합이므로,

S=D

이다. 특히, 임의의

z\in D

에 대하여,

f(z)=0

이다.

3. 3. 상세 증명 (일본어 위키)

연결 열린집합

D\subseteq\mathbb C

에 정의된 정칙 함수

f\colon D\to\mathbb C

의 영점의 집합이

D

에 속하는 극한점

z_0\in D

를 갖는다고 하자. 또한,

:

S=\{z\in D\colon 0=f(z)=f'(z)=f''(z)=\cdots\}

라고 하자. 그렇다면

S=D

임을 보이는 것으로 충분하다.

우선

S\ne\varnothing

임을 보이자.

z_0\in S

를 보이는 것으로 충분하다. 귀류법을 사용하여

z_0\not\in S

라고 하자. 그렇다면

:

m=\min\{n\ge 0\colon f^{(n)}(z_0)\ne 0\}

이 정의된다.

f

는 연속 함수이므로,

f(z_0)=0

이며, 따라서

m\ge 1

이다.

\operatorname B(z_0,r)\subseteq D

인

r>0

을 고정하자. 그렇다면, 임의의

z\in\operatorname B(z_0,r)

에 대하여,

:

f(z)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n=\sum_{n=m}^\infty\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n

이다. 즉, 정칙 함수

g\colon\operatorname B(z_0,r)\to\mathbb C

를

:

g(z)=\sum_{n=m}^\infty\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^{n-m}\qquad(z\in\operatorname B(z_0,r))

와 같이 정의할 경우,

:

g(z_0)=\frac{f^{(m)}(z_0)}{m!}\ne 0

이고, 임의의

z\in\operatorname B(z_0,r)

에 대하여

:

f(z)=(z-z_0)^mg(z)

이다. 따라서

r

을 충분히 작게 다시 정의할 경우

g

가

\operatorname B(z_0,r)

에서 영점을 갖지 않게 만들 수 있으며, 이 경우

f

는

\operatorname B(z_0,r)\setminus\{z_0\}

에서 영점을 갖지 않는다. 이는

z_0

이

E

의 극한점인 데 모순된다.

이제

S

가 열린집합임을 보이자. 임의의

z_1\in S

를 고정하고,

\operatorname B(z_1,r)\subseteq D

인

r>0

을 고정하자. 그렇다면,

f

는

z_1

에서 정칙 함수이므로, 임의의

z\in\operatorname B(z_1,r)

에 대하여

:

f(z)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(z_1)}{n!}(z-z_1)^n=0

이다. 즉,

z\in S

이며, 따라서

z_1

은

S

의 내부점이다.

마지막으로

S

가

D

의 닫힌집합이라는 사실을 보이자. 임의의

z_2\in S'\cap D

를 고정하자. (여기서

(-)'

는

\mathbb C

에서의 극한점의 집합이다.) 그렇다면, 임의의

n\ge 0

에 대하여,

f^{(n)}

이 연속 함수이므로

f^{(n)}(z_2)=0

이다. 즉,

z_2\in S

이다.

즉,

S

는

D

의 열린닫힌집합이며,

S\ne\varnothing

이다.

D

는 연결 집합이므로,

S=D

이다. 특히, 임의의

z\in D

에 대하여,

f(z)=0

이다.

4. 예시

항등 정리는 정의역이 연결 집합이 아니거나, 정의역 전체가 아닌 영점 집합이 정의역에 속하지 않는 극한점을 가질 경우, 또는 실수 매끄러운 함수에 대해서는 성립하지 않는다. 하지만, 항등 정리는 두 정칙 함수의 동일성에 관한 것이므로, 정칙 함수가 동일하게 0일 때는 간단하게 특징지을 수 있다.^[2]

4. 1. 정의역 조건

항등 정리는 정의역이 연결 집합이 아닐 경우 성립하지 않는다. 예를 들어, 열린집합

U\subseteq\mathbb C

가 두 연결 성분

D,U\setminus D

를 가질 때, 다음 함수는 정칙 함수이다.

:

f\colon U\to\mathbb C

:

f(z)=\begin{cases}0&z\in D\\1&z\in U\setminus D\end{cases}\qquad(z\in U)

이때 영점 집합

D

는 정의역

U

전체가 아니지만,

D

는

U

에서

D

의 모든 원소를 극한점으로 갖는다.^[4]

4. 2. 극한점 조건

항등 정리는 정의역 전체가 아닌 영점 집합이 정의역에 속하지 않는 극한점을 가질 가능성을 배제하지 않는다. 예를 들어, 정칙 함수

:

f\colon\mathbb C\setminus\{0\}\to\mathbb C

:

f(z)=\sin\frac 1z\qquad(z\in\mathbb C\setminus\{0\})

의 영점 집합

:

\left\{\frac 1\pi,\frac 1{2\pi},\frac 1{3\pi},\dots\right\}

은

0\not\in\mathbb C\setminus\{0\}

을 극한점으로 한다.^[5]

4. 3. 실수 함수

항등 정리는 실수 매끄러운 함수에 대하여 성립하지 않는다. 예를 들어, 다음 함수를 보자.

:

f\colon\mathbb R\to\mathbb R

:

f(x)=\begin{cases}\exp\left(-1/x^2\right)\sin(1/x)&x\ne 0\\0&x=0\end{cases}\qquad(x\in\mathbb R)

위 함수는 매끄러운 함수이나, 영점 0은 영점 집합

:

\left\{0,\frac 1\pi,\frac 1{2\pi},\frac 1{3\pi},\dots\right\}

의 극한점이다.^[5]

참조

_[1] 서적 A Primer of Real Analytic Functions Birkhäuser
_[2] 서적 Lexikon der Mathematik Springer Spektrum Verlag
_[3] 서적 数学100の定理日本評論社
_[4] 서적 Real and Complex Analysis http://www.mcgraw-hi[...] McGraw-Hill 1987
_[5] 서적 复变函数简明教程北京大学出版社 2006-02

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