항등 정리

1. 개요

항등 정리는 복소해석학의 기본 정리로, 연결 열린 집합에서 정의된 두 정칙 함수가 어떤 집합에서 일치하고, 이 집합이 정의역 내에서 극한점을 가지면, 두 함수는 정의역 전체에서 일치한다는 것을 의미한다. 이 정리는 함수의 유일성을 보장하며, 해석적 함수의 성질을 연구하는 데 중요한 도구로 사용된다. 항등 정리는 정의역의 연결성, 영점 집합의 극한점 존재, 그리고 정칙 함수의 특성을 통해 증명되며, 정의역 조건, 극한점 조건, 실수 함수 등 다양한 예시를 통해 그 적용 범위와 한계를 보여준다.

2. 정의

항등 정리는 복소해석학에서 매우 중요한 정리로, 복소 평면 상의 연결 열린집합에서 정의된 두 정칙 함수가 특정 조건을 만족하면 서로 일치한다는 내용을 담고 있다.

이를 증명하기 위해, 두 함수가 해석적이므로, 모든 $n\backslash geq\; 0$에 대해 $f^\{(n)\}(c)=\; g^\{(n)\}(c)$임을 보이는 것으로 충분하다. 만약 이것이 성립하지 않는다면, $f^\{(m)\}(c)\backslash ne\; g^\{(m)\}(c)$를 만족하는 가장 작은 음이 아닌 정수를 $m$이라고 하자. 정칙성에 의해, $c$의 어떤 열린 근방 U에서 다음의 테일러 급수 표현을 얻는다.

:$$
\begin{align}
(f - g)(z) &{}=(z - c)^m \cdot \left[\frac{(f - g)^{(m)}(c)}{m!} + \frac{(z - c) \cdot (f - g)^{(m+1)}(c)}{(m+1)!} + \cdots \right] \\[6pt]
&{}=(z - c)^m \cdot h(z).
\end{align}


연속성에 의해, $h$는 $c$ 주변의 작은 열린 원판 $B$에서 0이 아니다. 그러나, 구멍 뚫린 집합 $B-\backslash \{c\backslash \}$에서 $f-g\backslash neq\; 0$이 된다. 이는 $c$가 $\backslash \{f\; =\; g\backslash \}$의 축적점이라는 가정에 모순된다.

$f$와 $g$가 동일한 테일러 전개를 갖는 집합은 다음과 같이 정의한다.
$$S\; =\; \backslash left\backslash \{\; z\; \backslash in\; D\; \backslash mathrel\{\backslash Big\backslash vert\}\; f^\{(k)\}(z)\; =\; g^\{(k)\}(z)\; \backslash text\{\; for\; all\; \}\; k\; \backslash geq\; 0\backslash right\backslash \}\; =\; \backslash bigcap\_\{k=0\}^\backslash infty\; \backslash left\backslash \{\; z\; \backslash in\; D\; \backslash mathrel\{\backslash Big\backslash vert\}\; \backslash bigl(f^\{(k)\}-\; g^\{(k)\}\backslash bigr)(z)\; =\; 0\backslash right\backslash \}.$$

$S$가 공집합이 아니고, 열린 집합이자 닫힌 집합임을 보이면, $D$의 연결성에 의해 $S$는 $D$ 전체가 되고, $S=D$에서 $f=g$임을 의미한다.

$f\; =\; g$는 $D$ 내의 $c$를 중심으로 하는 원판 내에서 성립하며, 이들은 $c$에서 동일한 테일러 급수를 가지므로, $c\backslash in\; S$이고, $S$는 공집합이 아니다.

$f$와 $g$가 $D$에서 정칙적이므로, 모든 $w\backslash in\; S$에 대해 $w$에서의 $f$와 $g$의 테일러 급수는 0이 아닌 수렴 반지름을 갖는다. 따라서, 열린 원판 $B\_r(w)$도 어떤 $r$에 대해 $S$에 속한다. 그러므로 $S$는 열린 집합이다.

$f$와 $g$의 정칙성에 의해, 이들은 정칙 미분값을 가지므로, 모든 $f^\{(n)\},\; g^\{(n)\}$은 연속이다. 이는 $\backslash bigl\backslash \{z\; \backslash in\; D\; \backslash mathrel\{\backslash big\backslash vert\}\; \backslash bigl(f^\{(k)\}\; -\; g^\{(k)\}\backslash bigr)(z)\; =\; 0\backslash bigr\backslash \}$가 모든 $k$에 대해 닫힌 집합임을 의미한다. $S$는 닫힌 집합들의 교집합이므로 닫힌 집합이다.

특히, 연결 열린집합 $D\backslash subseteq\backslash mathbb\; C$에 정의된 정칙 함수 $f\backslash colon\; D\backslash to\backslash mathbb\; C$의 영점 집합은 $D$ 전체이거나, $D$에서 극한점을 갖지 않는다. 후자의 경우, $f$의 모든 영점은 영점 집합의 고립점이며, 특히 영점 집합은 가산 집합이다.

2.1. 기본 정의

연결 열린집합 $D\backslash subseteq\backslash mathbb\; C$에 정의된 두 정칙 함수 $f,g\backslash colon\; D\backslash to\backslash mathbb\; C$가 주어졌고, 집합
:$\backslash \{z\backslash in\; D\backslash colon\; f(z)=g(z)\backslash \}$
가 $D$에서 극한점을 갖는다고 하자. 항등 정리에 따르면, 임의의 $z\backslash in\; D$에 대하여 $f(z)=g(z)$이다.

두 정칙 함수 $f$와 $g$가 영역 D에서, D 내에 축적점 $c$를 가지는 집합 S에서 일치하면, $f\; =\; g$는 $c$를 중심으로 하는 $D$ 내의 원판에서 성립한다.

항등 정리는 다음 두 가지 형식으로 표현될 수 있다.

(1) 연결 열린 영역 $D\; \backslash subset\; \backslash mathbb\{C\}$에서 정칙인 복소 함수 $f(z)$의 영점 집합이 $D$에서 점 집적을 가지면 $f(z)$는 $D$에서 항등적으로 0이다.

(2) 연결 열린 영역 $D\; \backslash subset\; \backslash mathbb\{C\}$에서 정칙인 복소 함수 $f(z),\; g(z)$가 $D$에서 점 집적을 갖는 $D$의 부분 집합 U 위에서 일치하면 영역 $D$ 전체에서 일치한다. 여기서 U로서 예를 들어 열린 집합을 취할 수 있다.

2.2. 동치 조건

정칙 함수가 영함수가 되는 조건과 관련된 동치 조건들은 다음과 같다.

:$G\backslash subseteq\backslash mathbb\{C\}$는 복소 평면의 비어 있지 않고, 연결된 열린 부분 집합이고, $h\backslash colon\; G\backslash to\backslash mathbb\{C\}$에 대해 다음은 동등하다.

# $G$에서 $h\backslash equiv\; 0$이다.
# 집합 $G\_\{0\}=\backslash \{z\backslash in\; G\backslash mid\; h(z)=0\backslash \}$은 축적점 $z\_\{0\}$를 포함한다.
# 집합 $G\_\{\backslash ast\}=\backslash bigcap\_\{n\backslash in\backslash N\_0\}\; G\_\{n\}$은 비어 있지 않다. 여기서 $G\_\{n\}\; :=\; \backslash \{z\backslash in\; G\backslash mid\; h^\{(n)\}(z)=0\backslash \}$이다.

**(1 $\backslash Rightarrow$ 2)와 (1 $\backslash Rightarrow$ 3)는 자명하게 성립한다.

(3 $\backslash Rightarrow$ 1)의 경우, $G$의 연결성에 의해, 비어 있지 않은 부분 집합 $G\_\{\backslash ast\}\backslash subseteq\; G$가 클로즈드-오픈 집합임을 증명하면 충분하다. 정칙 함수는 무한히 미분 가능하므로, $G\_\{\backslash ast\}$가 닫힌 집합임은 명백하다. 열린 집합임을 보이기 위해, $u\; \backslash in\; G\_\{\backslash ast\}$를 고려하고, $u$를 포함하고, $h$가 $u$를 중심으로 수렴하는 멱급수 전개를 갖는 열린 공 $U\backslash subseteq\; G$를 고려한다. $u\backslash in\; G\_\{\backslash ast\}$이므로, 이 급수의 모든 계수는 $0$이며, 따라서 $U$에서 $h\backslash equiv\; 0$이다. 따라서 $h$의 모든 $n$차 도함수는 $U$에서 $0$이고, 따라서 $U\backslash subseteq\; G\_\{\backslash ast\}$이다. 따라서 각 $u\backslash in\; G\_\{\backslash ast\}$는 $G\_\{\backslash ast\}$의 내부 안에 놓인다.

(2 $\backslash Rightarrow$ 3)을 증명하기 위해, 축적점 $z\_\{0\}\backslash in\; G\_\{0\}$를 고정한다. 각 $n\; \backslash in\; \backslash N\_0$에 대해 $z\_\{0\}\backslash in\; G\_\{n\}$임을 귀납법으로 증명한다. $r\backslash in(0,\backslash infty)$를 $z\_\{0\}$ 주변의 $h$의 멱급수 전개 $\backslash sum\_\{k\backslash in\backslash mathbb\{N\}\_\{0\}\}\backslash frac\{h^\{(k)\}(z\_\{0\})\}\{k!\}(z-z\_\{0\})^\{k\}$의 수렴 반경보다 엄격하게 작은 값으로 둔다. 이제 $n\backslash geq\; 0$을 고정하고, 모든 에 대해 $z\_\{0\}\backslash in\; G\_\{k\}$라고 가정하면, $z\; \backslash in\; \backslash bar\{B\}\_\{r\}(z\_\{0\})\; \backslash setminus\; \backslash \{z\_\{0\}\backslash \}$에 대해, 멱급수 전개를 조작하면 다음을 얻는다.

:$h^\{(n)\}(z\_\{0\})=\; n!\backslash frac\{h(z)\}\{(z-z\_\{0\})^\{n\}\}\; -\; (z-z\_\{0\})\backslash underbrace\{n!\backslash sum\_\{k=n+1\}^\{\backslash infty\}\backslash frac\{h^\{(k)\}(z\_\{0\})\}\{k!\}(z-z\_\{0\})^\{k-(n+1)\}\}\_\{=:R(z)\}.$

$r$이 멱급수의 반경보다 작으므로, 멱급수 $R(\backslash cdot)$이 $\backslash bar\{B\}\_\{r\}(z\_\{0\})$에서 연속이고 유계임을 쉽게 유도할 수 있다.

$z\_\{0\}$가 $G\_\{0\}$의 축적점이므로, $(z^\{(i)\})\_\{i\}\backslash subseteq\; G\_\{0\}\backslash cap\; B\_\{r\}(z\_\{0\})\backslash setminus\backslash \{z\_\{0\}\backslash \}$인 $z\_\{0\}$로 수렴하는 점의 수열이 존재한다. $G\_\{0\}$에서 $h\backslash equiv\; 0$이고 각 $z^\{(i)\}\backslash in\; G\_\{0\}\backslash cap\; B\_\{r\}(z\_\{0\})\backslash setminus\backslash \{z\_\{0\}\backslash \}$이므로, 위의 식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$h^\{(n)\}(z\_\{0\})=n!\backslash frac\{h(z^\{(i)\})\}\{(z^\{(i)\}-z\_\{0\})^\{n\}\}-(z^\{(i)\}-z\_\{0\})R(z^\{(i)\})=\; 0\; -\; \backslash underbrace\{(z^\{(i)\}-z\_\{0\})\}\_\{\backslash longrightarrow\_\{i\}0\}R(z^\{(i)\}).$

$R(\backslash cdot)$이 $\backslash bar\{B\}\_\{r\}(z\_\{0\})$에서 유계이므로, $h^\{(n)\}(z\_\{0\})=0$이고, 따라서 $z\_\{0\}\backslash in\; G\_\{n\}$이다. 귀납법에 의해 주장이 성립한다.

일치 정리는 다음 두 가지 형식으로 표현될 수 있다.

(1) 연결 열린 영역 $D\; \backslash subset\; \backslash mathbb\{C\}$에서 정칙인 복소 함수 $f(z)$의 영점 집합이 $D$에서 점 집적을 가지면 $f(z)$는 $D$에서 항등적으로 0이다.

(2)''' 연결 열린 영역 $D\; \backslash subset\; \backslash mathbb\{C\}$에서 정칙인 복소 함수 $f(z),\; g(z)$가 $D$에서 점 집적을 갖는 $D$의 부분 집합 U 위에서 일치하면 영역 $D$ 전체에서 일치한다. 여기서 U로서 예를 들어 열린 집합을 취할 수 있다.

3. 증명

항등 정리의 증명은 다음과 같은 단계로 이루어진다.

연결 열린집합 $D\; \backslash subseteq\; \backslash mathbb\{C\}$에서 정의된 정칙 함수 $f\; \backslash colon\; D\; \backslash to\; \backslash mathbb\{C\}$를 생각하자. $f$의 영점 집합이 $D$에 속하는 극한점 $z\_0\; \backslash in\; D$를 가진다고 가정한다. 이때, 다음 집합을 정의한다.

:$S\; =\; \backslash \{z\; \backslash in\; D\; \backslash colon\; 0\; =\; f(z)\; =\; f\text{'}(z)\; =\; f\text{'}\text{'}(z)\; =\; \backslash cdots\; \backslash \}$

목표는 $S\; =\; D$임을 보이는 것이다.

1. $S$가 공집합이 아님을 보이기

귀류법을 사용하여 $z\_0\; \backslash notin\; S$라고 가정하자. 그러면 다음을 만족하는 $m$이 존재한다.

:$m\; =\; \backslash min\backslash \{n\; \backslash ge\; 0\; \backslash colon\; f^\{(n)\}(z\_0)\; \backslash ne\; 0\backslash \}$

$f$는 연속 함수이므로 $f(z\_0)\; =\; 0$이고, 따라서 $m\; \backslash ge\; 1$이다. $\backslash operatorname\; B(z\_0,\; r)\; \backslash subseteq\; D$인 $r\; >\; 0$을 잡으면, 임의의 $z\; \backslash in\; \backslash operatorname\; B(z\_0,\; r)$에 대해 다음이 성립한다.

:$f(z)\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{f^\{(n)\}(z\_0)\}\{n!\}(z\; -\; z\_0)^n\; =\; \backslash sum\_\{n=m\}^\backslash infty\; \backslash frac\{f^\{(n)\}(z\_0)\}\{n!\}(z\; -\; z\_0)^n$

여기서 새로운 정칙 함수 $g\; \backslash colon\; \backslash operatorname\; B(z\_0,\; r)\; \backslash to\; \backslash mathbb\{C\}$를 다음과 같이 정의한다.

:$g(z)\; =\; \backslash sum\_\{n=m\}^\backslash infty\; \backslash frac\{f^\{(n)\}(z\_0)\}\{n!\}(z\; -\; z\_0)^\{n-m\}\; \backslash qquad\; (z\; \backslash in\; \backslash operatorname\; B(z\_0,\; r))$

그러면 $g(z\_0)\; =\; \backslash frac\{f^\{(m)\}(z\_0)\}\{m!\}\; \backslash ne\; 0$이고, 임의의 $z\; \backslash in\; \backslash operatorname\; B(z\_0,\; r)$에 대해 $f(z)\; =\; (z\; -\; z\_0)^m\; g(z)$이다. $r$을 충분히 작게 줄이면 $g$가 $\backslash operatorname\; B(z\_0,\; r)$에서 영점을 갖지 않도록 할 수 있다. 이 경우 $f$는 $\backslash operatorname\; B(z\_0,\; r)\; \backslash setminus\; \backslash \{z\_0\backslash \}$에서 영점을 갖지 않는데, 이는 $z\_0$이 극한점이라는 가정에 모순된다. 따라서 $z\_0\; \backslash in\; S$이고, $S$는 공집합이 아니다.

2. $S$가 열린집합임을 보이기

임의의 $z\_1\; \backslash in\; S$를 고정하고, $\backslash operatorname\; B(z\_1,\; r)\; \backslash subseteq\; D$인 $r\; >\; 0$을 잡자. $f$는 $z\_1$에서 정칙이므로, 임의의 $z\; \backslash in\; \backslash operatorname\; B(z\_1,\; r)$에 대해 다음이 성립한다.

:$f(z)\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{f^\{(n)\}(z\_1)\}\{n!\}(z\; -\; z\_1)^n\; =\; 0$

즉, $z\; \backslash in\; S$이므로 $z\_1$은 $S$의 내부점이다. 따라서 $S$는 열린집합이다.

3. $S$가 닫힌집합임을 보이기

$S\text{'}$를 $\backslash mathbb\{C\}$에서 $S$의 극한점들의 집합이라고 하자. 임의의 $z\_2\; \backslash in\; S\text{'}\; \backslash cap\; D$를 고정하자. $f^\{(n)\}$은 연속 함수이므로, 임의의 $n\; \backslash ge\; 0$에 대해 $f^\{(n)\}(z\_2)\; =\; 0$이다. 즉, $z\_2\; \backslash in\; S$이다. 따라서 $S$는 닫힌집합이다.

4. 결론

$S$는 $D$의 열린닫힌집합이고 공집합이 아니다. $D$는 연결 집합이므로 $S\; =\; D$이다. 따라서 임의의 $z\; \backslash in\; D$에 대해 $f(z)\; =\; 0$이다.

3.1. 보조정리

두 정칙 함수 $f$와 $g$가 연결 열린집합 $D$에서 정의되고, $D$ 안에 극한점(축적점) $c$를 갖는 집합 $S$에서 일치한다고 가정하자. 그러면 $c$를 중심으로 하는 $D$ 내의 원판에서 $f\; =\; g$가 성립한다.

이를 증명하기 위해, 두 함수가 해석적이므로 모든 $n\backslash geq\; 0$에 대해 $f^\{(n)\}(c)=\; g^\{(n)\}(c)$임을 보이는 것으로 충분하다.

만약 이것이 성립하지 않는다면, $f^\{(m)\}(c)\backslash ne\; g^\{(m)\}(c)$를 만족하는 가장 작은 음이 아닌 정수를 $m$이라고 하자. 정칙성에 의해, $c$의 어떤 열린 근방 $U$에서 다음의 테일러 급수 표현을 얻는다.

:$$
\begin{align}
(f - g)(z) &{}=(z - c)^m \cdot \left[\frac{(f - g)^{(m)}(c)}{m!} + \frac{(z - c) \cdot (f - g)^{(m+1)}(c)}{(m+1)!} + \cdots \right] \\[6pt]
&{}=(z - c)^m \cdot h(z).
\end{align}


연속성에 의해, $h$는 $c$ 주변의 작은 열린 원판 $B$에서 0이 아니다. 그러나 구멍 뚫린 집합 $B-\backslash \{c\backslash \}$에서 $f-g\backslash neq\; 0$이 된다. 이는 $c$가 $\backslash \{f\; =\; g\backslash \}$의 극한점이라는 가정에 모순된다.

이 보조정리는 복소수 $a\; \backslash in\; \backslash mathbb\{C\}$에 대해, 올 $f^\{-1\}(a)$가 $f\; \backslash equiv\; a$가 아닌 이상 이산적(따라서 가산) 집합임을 보여준다.

$z\_0$을 $f(z)$의 영점의 집적점 중 하나라고 하면, $z\_0$을 중심으로 하는 어떤 양의 반지름 $r$의 열린 원판 상에서 $f(z)$는 항등적으로 0이다.

$f(z)$는 $D$에서 정칙이므로, $z\_0$를 중심으로 다음과 같이 테일러 전개가 가능하며, 그 수렴 반경은 0이 아니다. 수렴 반경보다 작은 양수 $r$을 적당히 선택하여, $z\_0$를 중심으로 한 열린 원판 이 $D$에 포함되도록 할 수 있다. 이 열린 원판을 $U$라고 한다.

:$f(z)=\backslash sum\_\{k=0\}^\{\backslash infty\}\backslash frac\{c\_k\}\{k!\}(z-z\_0)^k$

만약 $c\_k\backslash not=0$이 존재한다면, 그중에서 가장 첨자 값이 작은 것을 $c\_n$으로 하고,

:$h(z)=\backslash frac\{c\_n\}\{n!\}+\backslash sum\_\{k=1\}^\{\backslash infty\}\backslash frac\{c\_\{n+k\}\}\{(n+k)!\}(z-z\_0)^k$

라고 놓으면,

:$f(z)=(z-z\_0)^n\; h(z)$

가 된다. 위의 $h(z)$의 $z\_0$를 중심으로 한 테일러 전개의 수렴 반경은 $f(z)$와 같으며, $h(z)$는 $U$에서 정칙이고, $h(z\_0)\; \backslash ne\; 0$이다. $z\; \backslash ne\; z\_0$이면 $(z-z\_0)^n\; \backslash ne\; 0$이므로, $z\_0$ 이외의 $f(z)$의 영점은 $h(z)$의 영점이며, $z\_0$는 $h(z)$의 영점의 집적점이다. $h(z)$는 $U$에서 연속이므로, $\backslash delta$를 충분히 작은 양수로 하면, 이면 $h(z)\; \backslash ne\; 0$이지만, $z\_0$는 $h(z)$의 영점의 집적점이므로 를 만족하는 $h(z)$의 영점 $z\_1$이 존재해야 하므로 모순이다.

따라서 모든 정수 $k$에 대해 $c\_k=0$이며, 열린 원판 $U$ 상에서 $f(z)$는 항등적으로 0이다.

3.2. 주요 증명

연결 열린집합 $D\backslash subseteq\backslash mathbb\; C$에 정의된 정칙 함수 $f\backslash colon\; D\backslash to\backslash mathbb\; C$의 영점의 집합에 $D$에 속하는 극한점 $z\_0\backslash in\; D$가 있다고 하자. 그리고
:$S=\backslash \{z\backslash in\; D\backslash colon\; 0=f(z)=f\text{'}(z)=f\text{'}\text{'}(z)=\backslash cdots\backslash \}$
라고 하자. 그러면 $S=D$임을 보일 수 있다.

우선 $S\backslash ne\backslash varnothing$임을 보이자. 귀류법을 사용하여 $z\_0\backslash not\backslash in\; S$라고 가정하면,
:$m=\backslash min\backslash \{n\backslash ge\; 0\backslash colon\; f^\{(n)\}(z\_0)\backslash ne\; 0\backslash \}$
이 정의된다. $f$는 연속 함수이므로, $f(z\_0)=0$이고, 따라서 $m\backslash ge\; 1$이다. $\backslash operatorname\; B(z\_0,r)\backslash subseteq\; D$인 $r>0$을 고정하면, 임의의 $z\backslash in\backslash operatorname\; B(z\_0,r)$에 대하여,
:$f(z)=\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash frac\{f^\{(n)\}(z\_0)\}\{n!\}(z-z\_0)^n=\backslash sum\_\{n=m\}^\backslash infty\backslash frac\{f^\{(n)\}(z\_0)\}\{n!\}(z-z\_0)^n$
이다. 즉, 정칙 함수 $g\backslash colon\backslash operatorname\; B(z\_0,r)\backslash to\backslash mathbb\; C$를
:$g(z)=\backslash sum\_\{n=m\}^\backslash infty\backslash frac\{f^\{(n)\}(z\_0)\}\{n!\}(z-z\_0)^\{n-m\}\backslash qquad(z\backslash in\backslash operatorname\; B(z\_0,r))$
와 같이 정의할 경우,
:$g(z\_0)=\backslash frac\{f^\{(m)\}(z\_0)\}\{m!\}\backslash ne\; 0$
이고, 임의의 $z\backslash in\backslash operatorname\; B(z\_0,r)$에 대하여
:$f(z)=(z-z\_0)^mg(z)$
이다. 따라서 $r$을 충분히 작게 다시 정의하면 $g$가 $\backslash operatorname\; B(z\_0,r)$에서 영점을 갖지 않게 만들 수 있으며, 이 경우 $f$는 $\backslash operatorname\; B(z\_0,r)\backslash setminus\backslash \{z\_0\backslash \}$에서 영점을 갖지 않는다. 이는 $z\_0$이 $E$의 극한점인 데 모순된다.

이제 $S$가 열린집합임을 보이자. 임의의 $z\_1\backslash in\; S$를 고정하고, $\backslash operatorname\; B(z\_1,r)\backslash subseteq\; D$인 $r>0$을 고정하자. 그러면, $f$는 $z\_1$에서 정칙 함수이므로, 임의의 $z\backslash in\backslash operatorname\; B(z\_1,r)$에 대하여
:$f(z)=\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash frac\{f^\{(n)\}(z\_1)\}\{n!\}(z-z\_1)^n=0$
이다. 즉, $z\backslash in\; S$이며, 따라서 $z\_1$은 $S$의 내부점이다.

마지막으로 $S$가 $D$의 닫힌집합이라는 사실을 보이자. 임의의 $z\_2\backslash in\; S\text{'}\backslash cap\; D$를 고정하자. (여기서 $(-)\text{'}$는 $\backslash mathbb\; C$에서의 극한점의 집합이다.) 그러면, 임의의 $n\backslash ge\; 0$에 대하여, $f^\{(n)\}$이 연속 함수이므로 $f^\{(n)\}(z\_2)=0$이다. 즉, $z\_2\backslash in\; S$이다.

즉, $S$는 $D$의 열린닫힌집합이며, $S\backslash ne\backslash varnothing$이다. $D$는 연결 집합이므로, $S=D$이다. 특히, 임의의 $z\backslash in\; D$에 대하여, $f(z)=0$이다.

3.3. 상세 증명 (일본어 위키)

연결 열린집합 $D\backslash subseteq\backslash mathbb\; C$에 정의된 정칙 함수 $f\backslash colon\; D\backslash to\backslash mathbb\; C$의 영점의 집합이 $D$에 속하는 극한점 $z\_0\backslash in\; D$를 갖는다고 하자. 또한,
:$S=\backslash \{z\backslash in\; D\backslash colon\; 0=f(z)=f\text{'}(z)=f\text{'}\text{'}(z)=\backslash cdots\backslash \}$
라고 하자. 그렇다면 $S=D$임을 보이는 것으로 충분하다.

우선 $S\backslash ne\backslash varnothing$임을 보이자. $z\_0\backslash in\; S$를 보이는 것으로 충분하다. 귀류법을 사용하여 $z\_0\backslash not\backslash in\; S$라고 하자. 그렇다면
:$m=\backslash min\backslash \{n\backslash ge\; 0\backslash colon\; f^\{(n)\}(z\_0)\backslash ne\; 0\backslash \}$
이 정의된다. $f$는 연속 함수이므로, $f(z\_0)=0$이며, 따라서 $m\backslash ge\; 1$이다. $\backslash operatorname\; B(z\_0,r)\backslash subseteq\; D$인 $r>0$을 고정하자. 그렇다면, 임의의 $z\backslash in\backslash operatorname\; B(z\_0,r)$에 대하여,
:$f(z)=\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash frac\{f^\{(n)\}(z\_0)\}\{n!\}(z-z\_0)^n=\backslash sum\_\{n=m\}^\backslash infty\backslash frac\{f^\{(n)\}(z\_0)\}\{n!\}(z-z\_0)^n$
이다. 즉, 정칙 함수 $g\backslash colon\backslash operatorname\; B(z\_0,r)\backslash to\backslash mathbb\; C$를
:$g(z)=\backslash sum\_\{n=m\}^\backslash infty\backslash frac\{f^\{(n)\}(z\_0)\}\{n!\}(z-z\_0)^\{n-m\}\backslash qquad(z\backslash in\backslash operatorname\; B(z\_0,r))$
와 같이 정의할 경우,
:$g(z\_0)=\backslash frac\{f^\{(m)\}(z\_0)\}\{m!\}\backslash ne\; 0$
이고, 임의의 $z\backslash in\backslash operatorname\; B(z\_0,r)$에 대하여
:$f(z)=(z-z\_0)^mg(z)$
이다. 따라서 $r$을 충분히 작게 다시 정의할 경우 $g$가 $\backslash operatorname\; B(z\_0,r)$에서 영점을 갖지 않게 만들 수 있으며, 이 경우 $f$는 $\backslash operatorname\; B(z\_0,r)\backslash setminus\backslash \{z\_0\backslash \}$에서 영점을 갖지 않는다. 이는 $z\_0$이 $E$의 극한점인 데 모순된다.

이제 $S$가 열린집합임을 보이자. 임의의 $z\_1\backslash in\; S$를 고정하고, $\backslash operatorname\; B(z\_1,r)\backslash subseteq\; D$인 $r>0$을 고정하자. 그렇다면, $f$는 $z\_1$에서 정칙 함수이므로, 임의의 $z\backslash in\backslash operatorname\; B(z\_1,r)$에 대하여
:$f(z)=\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash frac\{f^\{(n)\}(z\_1)\}\{n!\}(z-z\_1)^n=0$
이다. 즉, $z\backslash in\; S$이며, 따라서 $z\_1$은 $S$의 내부점이다.

마지막으로 $S$가 $D$의 닫힌집합이라는 사실을 보이자. 임의의 $z\_2\backslash in\; S\text{'}\backslash cap\; D$를 고정하자. (여기서 $(-)\text{'}$는 $\backslash mathbb\; C$에서의 극한점의 집합이다.) 그렇다면, 임의의 $n\backslash ge\; 0$에 대하여, $f^\{(n)\}$이 연속 함수이므로 $f^\{(n)\}(z\_2)=0$이다. 즉, $z\_2\backslash in\; S$이다.

즉, $S$는 $D$의 열린닫힌집합이며, $S\backslash ne\backslash varnothing$이다. $D$는 연결 집합이므로, $S=D$이다. 특히, 임의의 $z\backslash in\; D$에 대하여, $f(z)=0$이다.

4. 예시

항등 정리는 정의역이 연결 집합이 아니거나, 정의역 전체가 아닌 영점 집합이 정의역에 속하지 않는 극한점을 가질 경우, 또는 실수 매끄러운 함수에 대해서는 성립하지 않는다. 하지만, 항등 정리는 두 정칙 함수의 동일성에 관한 것이므로, 정칙 함수가 동일하게 0일 때는 간단하게 특징지을 수 있다.

4.1. 정의역 조건

항등 정리는 정의역이 연결 집합이 아닐 경우 성립하지 않는다. 예를 들어, 열린집합 $U\backslash subseteq\backslash mathbb\; C$가 두 연결 성분 $D,U\backslash setminus\; D$를 가질 때, 다음 함수는 정칙 함수이다.

:$f\backslash colon\; U\backslash to\backslash mathbb\; C$
:$f(z)=\backslash begin\{cases\}$
0&z\in D\\
1&z\in U\setminus D
\end{cases}\qquad(z\in U)

이때 영점 집합 $D$는 정의역 $U$ 전체가 아니지만, $D$는 $U$에서 $D$의 모든 원소를 극한점으로 갖는다.

4.2. 극한점 조건

항등 정리는 정의역 전체가 아닌 영점 집합이 정의역에 속하지 않는 극한점을 가질 가능성을 배제하지 않는다. 예를 들어, 정칙 함수
:$f\backslash colon\backslash mathbb\; C\backslash setminus\backslash \{0\backslash \}\backslash to\backslash mathbb\; C$
:$f(z)=\backslash sin\backslash frac\; 1z\backslash qquad(z\backslash in\backslash mathbb\; C\backslash setminus\backslash \{0\backslash \})$
의 영점 집합
:$\backslash left\backslash \{\backslash frac\; 1\backslash pi,\backslash frac\; 1\{2\backslash pi\},\backslash frac\; 1\{3\backslash pi\},\backslash dots\backslash right\backslash \}$
은 $0\backslash not\backslash in\backslash mathbb\; C\backslash setminus\backslash \{0\backslash \}$을 극한점으로 한다.

4.3. 실수 함수

항등 정리는 실수 매끄러운 함수에 대하여 성립하지 않는다. 예를 들어, 다음 함수를 보자.

:$f\backslash colon\backslash mathbb\; R\backslash to\backslash mathbb\; R$
:$f(x)=\backslash begin\{cases\}$
\exp\left(-1/x^2\right)\sin(1/x)&x\ne 0\\
0&x=0
\end{cases}\qquad(x\in\mathbb R)

위 함수는 매끄러운 함수이나, 영점 0은 영점 집합

:$\backslash left\backslash \{0,\backslash frac\; 1\backslash pi,\backslash frac\; 1\{2\backslash pi\},\backslash frac\; 1\{3\backslash pi\},\backslash dots\backslash right\backslash \}$

의 극한점이다.