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헤센베르크 행렬

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목차

1. 개요

헤센베르크 행렬은 주대각선 아래의 첫 번째 부대각선을 제외한 모든 요소가 0인 정사각 행렬을 의미한다. 상부 헤센베르크 행렬과 하부 헤센베르크 행렬로 나뉘며, 상부 헤센베르크 행렬이 일반적으로 헤센베르크 행렬로 불린다. 헤센베르크 행렬은 삼각 행렬과의 곱셈에서 성질을 가지며, 컴퓨터 프로그래밍에서 선형대수 알고리즘의 계산 효율을 높이는 데 사용된다. 임의의 행렬은 하우스홀더 변환이나 야코비 회전을 통해 헤센베르크 행렬로 변환될 수 있다. 또한, 헤센베르크 연산자는 무한 차원 헤센베르크 행렬로, 베르그만 공간에서 제곱 적분 가능한 정칙 함수 공간에 대한 야코비 연산자를 일반화한 것이다.

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헤센베르크 행렬

2. 정의

헤센베르크 행렬은 정사각 행렬의 한 종류로, 주대각선 바로 아래나 위에 있는 대각선(부대각선)을 제외한 나머지 항이 모두 0인 행렬이다. 헤센베르크 행렬은 상부 헤센베르크 행렬과 하부 헤센베르크 행렬로 나뉜다.

보통 헤센베르크 행렬이라고 하면 상부 헤센베르크 행렬을 가리킨다.[9]

2. 1. 상부 헤센베르크 행렬

상부 헤센베르크 행렬은 주대각선 바로 아래에 있는 대각선(부대각선)을 제외한 모든 항이 0인 정사각 행렬이다. i > j+1 일 때 a_{ij}=0 이다.[9]

:H = \begin{pmatrix}

h_{11} & h_{12} & h_{13} & \cdots & h_{1n}\\

h_{21} & h_{22} & h_{23} &\cdots & h_{2n}\\

0 & h_{32} & h_{33} & \cdots & h_{3n}\\

\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots\\

0 & \cdots & 0 & h_{nn-1} & h_{nn}

\end{pmatrix}

예를 들어, 다음과 같은 행렬이 상부 헤센베르크 행렬이다.

:\begin{bmatrix}

1 & 4 & 2 & 3 \\

3 & 4 & 1 & 7 \\

0 & 2 & 3 & 4 \\

0 & 0 & 1 & 3 \\

\end{bmatrix}

모든 부대각선 요소가 0이 아니면, 즉 모든 i \in \{ 1,\ldots,n-1 \}에 대해 a_{i+1,i} \neq 0이면 '''축소되지 않음'''이라고 한다.[3]

2. 2. 하부 헤센베르크 행렬

주대각선 바로 위의 부대각선을 제외한 모든 항이 0인 정사각 행렬이다. 상헤센베르크 행렬의 전치 행렬이다. j > i+1 일 때 a_{ij}=0 이다.

:\begin{bmatrix}

1 & 2 & 0 & 0 \\

5 & 2 & 3 & 0 \\

3 & 4 & 3 & 7 \\

5 & 6 & 1 & 1 \\

\end{bmatrix}

모든 상대각선 성분이 0이 아니면, 즉 모든 i \in \{ 1,\ldots,n-1 \}에 대해 a_{i,i+1} \neq 0이면 '''비축소'''라고 한다.[9]

3. 예시

다음은 상부 헤센베르크 행렬의 예시이다.[9]

:\begin{bmatrix}

1 & 4 & 2 & 3 \\

3 & 4 & 1 & 7 \\

0 & 2 & 3 & 4 \\

0 & 0 & 1 & 3 \\

\end{bmatrix}

다음은 하부 헤센베르크 행렬의 예시이다.[9]

:\begin{bmatrix}

1 & 2 & 0 & 0 \\

5 & 2 & 3 & 0 \\

3 & 4 & 3 & 7 \\

5 & 6 & 1 & 1 \\

\end{bmatrix}

다음 행렬은 하부 헤센베르크 행렬이지만 비축소 행렬은 아니다.[9]

:\begin{bmatrix}

1 & 2 & 0 & 0 \\

5 & 2 & 0 & 0 \\

3 & 4 & 3 & 7 \\

5 & 6 & 1 & 1 \\

\end{bmatrix}

4. 성질

헤센베르크 행렬과 삼각행렬의 곱은 다시 헤센베르크 행렬이 된다. 더 정확히 말하면, A가 상부 헤센베르크 행렬이고 T가 상부 삼각 행렬이면, AT와 TA는 상부 헤센베르크 행렬이다.

하부 헤센베르크 행렬이면서 동시에 상부 헤센베르크 행렬인 행렬은 삼중대각행렬이다.[6] 그 예시로 야코비 행렬이 있다. 에르미트 행렬은 삼중 대각 실수 대칭 행렬로 축소될 수 있다.[7]

5. 컴퓨터 프로그래밍

대부분의 선형대수학 알고리즘은 삼각 행렬에 적용할 때 계산량이 훨씬 적게 들며, 이러한 개선은 종종 헤센베르크 행렬에도 적용된다. 선형대수학 문제의 제약으로 인해 일반 행렬을 삼각행렬로 편리하게 축소할 수 없는 경우, 헤센베르크 형식으로 축소하는 것이 종종 가장 좋은 방법일 수 있다. 행렬을 헤센베르크 형식으로 환원하는 것은 제한된 수의 단계 (예: 하우스홀더 변환)를 통해 수행할 수 있다. 헤센베르크 행렬을 삼각행렬로 계속 감소시키는 것은 QR 분해를 이행하는 것과 같은 반복적인 절차를 통해 이루어질 수 있다. 고유값 알고리즘에서 헤센베르크 행렬은 축소 단계와 결합된 QR분해 이행을 통해 삼각행렬로 더욱 축소 될 수 있다. 일반 행렬을 삼각행렬로 직접 축소하는 대신, 일반 행렬을 헤센베르크 행렬로 축소한 다음 삼각행렬을 이용하여 더욱 줄이면 종종 고유값 문제에 대한 QR 알고리즘에 포함된 산술연산을 절약 할 수 있다.

6. 헤센베르크 행렬로의 축소

어떤 n \times n 행렬은 하우스홀더 변환이나 야코비 회전(기븐스 회전이라고도 함)을 사용하여 유사 변환을 통해 헤센베르크 행렬로 변환할 수 있다.[4][5]

6. 1. 하우스홀더 변환

어떤 n \times n 행렬이든 하우스홀더 변환을 사용하여 유사 변환을 통해 헤센베르크 행렬로 변환할 수 있다. 이러한 변환에 대한 다음 절차는 ''Garcia & Roger''의 '''선형대수학 두 번째 과정'''에서 가져온 것이다.[4]

A를 임의의 실수 또는 복소수 n \times n 행렬이라고 하고, A'를 A에서 첫 번째 행을 제거하여 구성한 (n - 1) \times n 부분 행렬이라고 하자. 그리고 \mathbf{a}^\prime_1을 A'의 첫 번째 열이라고 하자. (n-1) \times (n-1) 하우스홀더 행렬 V_1 = I_{(n-1)} - 2\frac{ww^*}{\|w\|^2}을 구성한다. 여기서,



w = \begin{cases}

\|\mathbf{a}^\prime_1\|_2\mathbf{e}_1 - \mathbf{a}^\prime_1 \;\;\;\;\;\;\;\; , \;\;\; a^\prime_{11} = 0 \\

\|\mathbf{a}^\prime_1\|_2\mathbf{e}_1 + \frac{\overline{a^\prime_{11}}}

\mathbf{a}^\prime_1 \;\;\; , \;\;\; a^\prime_{11} \neq 0 \\

\end{cases}



이 하우스홀더 행렬은 \mathbf{a}^\prime_1을 \|\mathbf{a}^\prime_1\| \mathbf{e}_1에 매핑하고, 블록 행렬 U_1 = \begin{bmatrix}1 & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & V_1 \end{bmatrix}은 행렬 A를 행렬 U_1A에 매핑하며, 이 행렬은 첫 번째 열의 두 번째 항목 아래에 0만 있다. 이제 A^{\prime\prime}의 첫 번째 열을 \|\mathbf{a}^{\prime\prime}_1\| \mathbf{e}_1에 매핑하는 (n-2) \times (n-2) 하우스홀더 행렬 V_2를 V_1과 유사하게 구성한다. 여기서, A^{\prime\prime}는 A^{\prime}의 첫 번째 행과 첫 번째 열을 제거하여 구성한 A^{\prime}의 부분 행렬이다. 그런 다음 U_2 = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & V_2\end{bmatrix}를 사용하여 U_1A를 행렬 U_2U_1A에 매핑하며, 이 행렬은 부대각선 아래의 첫 번째 및 두 번째 항목 아래에 0만 있다. 이제 A^{\prime\prime}의 첫 번째 행과 첫 번째 열을 제거하여 구성된 행렬 A^{\prime\prime\prime}에 대해 V_3과 U_3을 유사하게 구성하고 이전 단계와 같이 진행한다. 총 n-2 단계 동안 이와 같이 계속한다.

U_k의 구성에 의해, 임의의 n \times n 행렬의 처음 k 열은 오른쪽에서 U_k^*를 곱해도 불변이다. 따라서, 임의의 행렬은 U_{(n-2)}( \dots (U_2(U_1 A U_1^*)U_2^*) \dots )U_{(n-2)}^* = U_{(n-2)} \dots U_2U_1A(U_{(n-2)} \dots U_2U_1)^* = UAU^* 형태의 유사 변환에 의해 상부 헤센베르크 행렬로 변환될 수 있다.

6. 2. 야코비 회전 (기븐스 회전)

야코비 회전(기븐스 회전이라고도 함)은 다음과 같은 형태의 직교 행렬 변환이다.

:

A\to A'=J(p,q,\theta)^TAJ(p,q,\theta) \;,



여기서 J(p,q,\theta), p< q는 야코비 회전 행렬이며, 모든 행렬 요소는 0이고 다음을 제외한다.

::\left\{\begin{align}

J(p,q,\theta)_{ii} &{}= 1 \; \forall i \ne p,q\\

J(p,q,\theta)_{pp} &{}= \cos(\theta) \\

J(p,q,\theta)_{qq} &{}= \cos(\theta) \\

J(p,q,\theta)_{pq} &{}= \sin(\theta) \\

J(p,q,\theta)_{qp} &{}= -\sin(\theta) \;.

\end{align}\right.

회전 각도 \theta를 선택하여 방정식

:

A_{p-1,p}\sin\theta+A_{p-1,q}\cos\theta=0 \;,



을 만족시키면 행렬 요소 A'_{p-1,q}를 0으로 만들 수 있다.

이제 다음과 같은 (p,q)를 가진 야코비 회전 시퀀스는

:

(p,q)=(2,3),(2,4),\dots,(2,n),(3,4),\dots,(3,n),\dots,(n-1,n)



행렬 A를 하삼각 헤센베르크 형태로 축소한다.[5]

7. 헤센베르크 연산자

헤센베르크 연산자는 무한 차원 헤센베르크 행렬이다. 이는 어떤 영역, 즉 베르그만 공간에서 제곱 적분 가능 정칙 함수 공간에 대한 야코비 연산자를 직교 다항식 시스템으로 일반화한 것으로 흔히 나타난다. 이 경우 헤센베르크 연산자는 다음과 같은 우이동 연산자 ''S''이다.

: ''Sf''(''z'') = ''z'' ''f''(''z'')

헤센베르크 연산자의 각 주 대각선 부분 행렬의 고유값은 해당 부분 행렬에 대한 특성 다항식으로 주어진다. 이러한 다항식은 베르그만 다항식이라고 하며, 베르그만 공간에 대한 직교 다항식 기저를 제공한다.

참조

[1] 문서 1985
[2] 서적 Numerical Linear Algebra and Applications Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM) 2010
[3] 문서 1985
[4] 서적 A Second Course In Linear Algebra Cambridge University Press 2017
[5] 간행물 Quasiseparable Hessenberg reduction of real diagonal plus low rank matrices and applications 2016
[6] 웹사이트 Lecture Notes. Notes for 2016-10-21 https://www.cs.corne[...] Cornell University
[7] 웹사이트 Computational Routines (eigenvalues) in LAPACK http://sites.science[...] 2020-05-24
[8] 서적 Numerical Linear Algebra and Applications Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM) 2010
[9] 서적 Hessenberg-Form Spektrum Akademischer Verlag 2000


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