삼각행렬

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 상삼각행렬
- 2.2. 하삼각행렬
3. 성질
4. 특수한 형태
5. 전진 대입과 후진 대입
6. 삼각화 가능성
7. 응용
참조

1. 개요

삼각행렬은 주대각선을 기준으로 한쪽의 모든 항이 0인 정사각행렬을 의미한다. 주대각선 아래가 0인 상삼각행렬과, 주대각선 위가 0인 하삼각행렬로 나뉜다. 삼각행렬은 대각행렬, 삼각화 가능성, 다양한 행렬 연산에서의 성질을 가지며, 특히 상삼각행렬은 덧셈, 곱셈, 역행렬에 대해 닫혀 있다. 삼각행렬의 행렬식은 대각항의 곱과 같으며, 고유값은 대각 성분이다. 삼각행렬은 전진 대입과 후진 대입을 통해 선형 방정식을 풀 때 활용되며, 금융 부트스트래핑 등 다양한 분야에 응용된다.

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삼각행렬

2. 정의

삼각행렬은 주대각선을 기준으로 한쪽의 모든 항이 0인 정사각행렬이다. 주대각선 아래의 모든 항이 0인 경우를 상삼각행렬, 주대각선 위의 모든 항이 0인 경우를 하삼각행렬이라고 한다.^[9] 상삼각행렬은 일반적으로 ''U'' 또는 ''R''로, 하삼각행렬은 일반적으로 ''L''로 표기한다.

상삼각행렬이면서 하삼각행렬인 행렬은 대각행렬이다.^[9] 대각행렬과 사다리꼴행렬은 삼각행렬의 특수한 형태이다.

상삼각 또는 하삼각이라는 성질은 다양한 행렬 연산에 대해 보존된다.

두 상삼각(또는 하삼각) 행렬의 합과 곱은 상삼각(또는 하삼각) 행렬이다.
정칙 상삼각(또는 하삼각) 행렬의 역행렬은 상삼각(또는 하삼각) 행렬이다.
상삼각(또는 하삼각) 행렬의 스칼라배는 상삼각(또는 하삼각) 행렬이다.

이러한 사실들로부터, 주어진 크기의 상삼각(또는 하삼각) 행렬 전체는 같은 크기의 정사각행렬로 구성된 결합 대수 (행렬환)의 부분 대수를 이룬다는 것을 알 수 있다.

2. 1. 상삼각행렬

주대각선 아래의 모든 항이 0인 정사각행렬을 상삼각행렬이라고 하며, 일반적으로 U 또는 R로 표기한다.^[9]

:

U = \begin{bmatrix}u_{1,1} & u_{1,2} & u_{1,3} & \ldots &   u_{1,n} \\& u_{2,2} & u_{2,3} & \ldots &   u_{2,n} \\&         &  \ddots & \ddots &    \vdots \\&         &         & \ddots & u_{n-1,n} \\0 &         &         &        &   u_{n,n}\end{bmatrix}

다음은 상삼각 행렬의 예시이다.

:

\begin{bmatrix}1 & 4 & 1 \\0 & 6 & 9 \\0 & 0 & 1\end{bmatrix}

상삼각 행렬이면서 하삼각 행렬인 행렬은 대각 행렬이다. 삼각 행렬과 닮음인 행렬을 '''삼각화 가능'''이라고 한다.

상삼각 행렬은 다음과 같은 성질을 갖는다.

두 상삼각 행렬의 합은 상삼각 행렬이다.
두 상삼각 행렬의 곱은 상삼각 행렬이다.
정칙 상삼각 행렬의 역행렬은 상삼각 행렬이다.
상삼각 행렬의 스칼라배는 상삼각 행렬이다.

2. 2. 하삼각행렬

주대각선 위의 모든 항이 0인 정사각행렬을 하삼각행렬이라고 하며, 일반적으로 ''L''로 표기한다.^[9]

:

L = \begin{bmatrix}\ell_{1,1} &            &        &              &          0 \\\ell_{2,1} & \ell_{2,2} &        &              &            \\\ell_{3,1} & \ell_{3,2} & \ddots &              &            \\\vdots &     \vdots & \ddots &       \ddots &            \\\ell_{n,1} & \ell_{n,2} & \ldots & \ell_{n,n-1} & \ell_{n,n}\end{bmatrix}

다음은 하삼각행렬의 예시이다.

:

\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\2 & 96 & 0 \\4 & 9 & 69\end{bmatrix}

단위 하삼각행렬은 다음과 같다.

:

\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\\blacksquare & 1 & 0 & 0 \\\blacksquare& \blacksquare & 1 & 0 \\\blacksquare &\blacksquare &\blacksquare & 1 \\\end{bmatrix}

하삼각행렬은 (순)하삼각행렬(식)으로 표현할 수 있다.

:

aaa\begin{vmatrix}{\color{red}{ d }} &  0  &  0  &  0   \\2c &  {\color{red}{ d}}  &  0  &  0   \\3b &  2c & {\color{red}{ d }}  &  0   \\4a &  3b & 2c  &  {\color{red}{ d}}   \\  \end{vmatrix} =aaa \left({\color{red}{ d}}\begin{vmatrix}{\color{red}{ d}}  &  0  &  0   \\2c & {\color{red}{ d}}   &  0   \\3b & 2c  & {\color{red}{  d}}   \\  \end{vmatrix}

\cancel{ 0\begin{vmatrix}

2c & 0 & 0 \\3b & d & 0 \\4a & 2c & d \\ \end{vmatrix}+0\begin{vmatrix}2c & d & 0 \\3b & 2c & 0 \\4a & 3b & d \\ \end{vmatrix}

0\begin{vmatrix}

2c & d & 0 \\3b & 2c & d \\4a & 3b & 2c \\ \end{vmatrix}}\right)

:

aaa{\color{red}{ d}}\begin{vmatrix}{\color{red}{ d}}  &  0  &  0   \\2c & {\color{red}{ d }}  &  0   \\3b & 2c  &  {\color{red}{ d}}   \\  \end{vmatrix}=aaa{\color{red}{ d}} \left({\color{red}{ d}} \begin{vmatrix}{\color{red}{ d}}   &  0   \\2c  &  {\color{red}{ d}}   \\  \end{vmatrix}\cancel{ -0\begin{vmatrix}2c &   0   \\3b &   d   \\  \end{vmatrix}+0\begin{vmatrix}2c & d      \\3b & 2c     \\  \end{vmatrix}}\right)

:

aaa{\color{red}{ dd}}\begin{vmatrix}{\color{red}{ d}}   &  0   \\2c  &  {\color{red}{ d}}   \\  \end{vmatrix}=aaa{\color{red}{ dd}}({\color{red}{ dd}}-\cancel{02c})=a^3{\color{red}{ d^4}}

3. 성질

상삼각행렬이면서 하삼각행렬인 행렬은 대각행렬이다.
삼각행렬이면서 정규행렬인 행렬은 대각행렬이다.
상삼각행렬은 덧셈, 곱셈, 역행렬(가역행렬일 경우)에 대해 닫혀 있다. 하삼각행렬도 마찬가지이다.
삼각행렬의 행렬식은 대각항들의 곱과 같다.
삼각행렬의 고윳값은 대각항과 같다.
상삼각 행렬의 전치 행렬은 하삼각 행렬이고, 그 반대도 성립한다.

4. 특수한 형태

대각행렬은 상삼각행렬이면서 하삼각행렬인 행렬이다. 또한, 정규행렬이면서 삼각행렬인 경우도 대각행렬이다. 사다리꼴행렬은 삼각행렬의 특수한 형태이다.

4. 1. 단위삼각행렬

주대각선의 모든 항이 1인 삼각행렬을 '''단위삼각행렬'''이라고 부른다. "단위" 삼각행렬은 단위 행렬과 같지 않으며, "노름화된" 삼각행렬은 행렬 노름의 개념과 관련이 없다.

모든 유한 단위삼각행렬은 멱영행렬이다. 단위 행렬은 상반 단위삼각행렬이자 하반 단위삼각행렬인 유일한 행렬이다. 임의의 단위 삼각 행렬은 멱단 행렬이다. 상(resp. 하) 단위 삼각 행렬 전체가 이루는 집합은 리 군을 이룬다.

4. 2. 순삼각행렬

주대각선의 모든 항이 0인 (상부 또는 하부) 삼각행렬은 '''순삼각행렬'''(또는 '''엄밀(한) 삼각행렬''')이라고 부른다. 모든 유한 순삼각행렬은 멱영행렬이다.

주대각 성분이 모두 0인 삼각 행렬은 '''협의''' 삼각 행렬이라고 한다.^[1] 임의의 협의 삼각 행렬은 멱영 행렬이며, 위 (resp. 아래) 삼각 행렬 전체로 이루어진 집합은 멱영 리 대수

\mathfrak{n}

을 이룬다.^[1] 이 리 대수는 모든 위 (resp. 아래) 삼각 행렬 전체로 이루어진 리 대수

\mathfrak{b}

의 도출 리 대수:

\mathfrak{n} = [\mathfrak{b},\mathfrak{b}]

이며, 또한 이 리 대수

\mathfrak{n}

은 위 (resp. 아래) 단 삼각 행렬 전체로 이루어진 리 군의 리 대수이다.^[1]

엥겔의 정리에 의해, 임의의 유한 차원 멱영 리 대수는 협의 위 삼각 행렬로 이루어진 부분 리 대수에 공액, 즉 임의의 유한 차원 멱영 리 대수는 협의 위 삼각 행렬로 동시 삼각화가 가능하다.^[1]

4. 3. 프로베니우스 행렬 (가우스 행렬)

'''원자''' (상 또는 하) '''삼각행렬'''은 단위삼각행렬의 특수한 형태로서, 모든 비대각 성분은 0이고, 단일 열의 항목만 존재한다. 이러한 행렬은 '''프로베니우스 행렬''', '''가우스 행렬''', 또는 '''가우스 변환 행렬'''이라고도 한다. Frobenius matrix|프로베니우스 행렬^영어이라고도 한다.

단위 삼각 행렬이 '''원자적'''(atomic; 아토믹)이라는 것은, 단 하나의 열을 제외하고 비대각 성분이 모두 0일 때를 말한다. 이러한 행렬을 '''프로베니우스 행렬''' 또는 '''가우스 행렬'''(가우스 변환 행렬)이라고도 부른다. 즉, 하반 프로베니우스 행렬은 다음과 같은 형태를 가진다.

:

\mathbf{L}_{i} =\begin{bmatrix}1 & & & \cdots & \cdots & & & 0 \\0 & \ddots & & & & & & \\& \ddots & 1 & & & & & \\ \vdots& & 0 & 1 & & & & \vdots \\\vdots & & &\ell_{i+1,i}& 1 & & & \vdots \\& & \vdots & \vdots & 0 & \ddots & & \\& & & \vdots & \vdots & \ddots & 1 & \\0 & \dotsb & 0 &\ell_{n,i} & 0 & \dotsb & 0 & 1\end{bmatrix}

프로베니우스 행렬의 역행렬은 다시 프로베니우스 행렬이며, 원래 프로베니우스 행렬의 비대각 성분을 모두 부호 반전시킨 것에 의해 주어진다.

4. 4. 블록 삼각 행렬

블록 삼각 행렬은 삼각 행렬인 블록 행렬(분할 행렬)이다.

행렬

A

는 다음과 같은 형태를 가질 때 '''상부 블록 삼각''' 행렬이라고 한다.

:

A = \begin{bmatrix}A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1k} \\0 & A_{22} & \cdots & A_{2k} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & \cdots & A_{kk}\end{bmatrix}

여기서 모든

i, j = 1, \ldots, k

에 대해

A_{ij} \in \mathbb{F}^{n_i \times n_j}

이다.

행렬

A

는 다음과 같이 표현될 때 '''아랫 블록 삼각 행렬'''이라고 한다.

:

A = \begin{bmatrix}A_{11} & 0 & \cdots & 0 \\A_{21} & A_{22} & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\A_{k1} & A_{k2} & \cdots & A_{kk}\end{bmatrix}

여기서 모든

i, j = 1, \ldots, k

에 대해

A_{ij} \in \mathbb{F}^{n_i \times n_j}

이다.^[2]

5. 전진 대입과 후진 대입

행렬 방정식 $\mathbf{L}\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 또는 $\mathbf{U}\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 형태는 각각 하삼각행렬에 대한 전진대입 및 상삼각행렬에 대한 후진대입이라고 하는 반복적 프로세스로 해결하기가 용이하다.^[1] 전진대입은 하삼각행렬의 경우, 첫 번째 방정식에서 $x_1$ 을 계산하고, 이를 다음 방정식에 대입하여 $x_2$ 를 계산하는 방식으로 $x_n$ 까지 반복한다.^[1] 후진대입은 상삼각행렬의 경우, 역으로 작동하는데, 먼저 $x_n$ 을 계산하고, 이를 이전 방정식에 대입하여 $x_{n-1}$ 을 계산하는 방식으로 $x_1$ 까지 반복한다.^[1]

이러한 방법들은 행렬을 역행렬로 만들 필요가 없다는 장점이 있다.^[1]

전진대입

행렬 방정식 L x = b는 선형 방정식의 시스템으로 쓸 수 있다.

:

\begin{matrix}\ell_{1,1} x_1 &   &             &            &             & = &    b_1 \\\ell_{2,1} x_1 & + & \ell_{2,2} x_2 &            &             & = &    b_2 \\\vdots &   &      \vdots &     \ddots &             &   & \vdots \\\ell_{(m-1),1} x_1 & + & \ell_{(m-1),2} x_2 & + \dotsb + & \ell_{(m-1),(m-1)} x_{(m-1)} & = &   b_{(m-1)}  \\\ell_{m,1} x_1 & + & \ell_{m,2} x_2 & + \dotsb + & \ell_{m,m} x_m & = &   b_m  \\\end{matrix}

x_1

는 첫 번째 방정식 (

\ell_{1,1} x_1 = b_1

) 에만 관련된다. 두 번째 방정식은

x_1

과

x_2

에 관련되므로, 이미 해결 된

x_1

값을 대입하여 풀 수 있다. 이와 같은 방식으로, m번째 방정식은

x_m

에 대한 식을 얻을 수 있다.

결과 공식은 다음과 같다.

:

x_1 = \frac{b_1}{\ell_{1,1}}

:

x_2 = \frac{b_2 - \ell_{2,1} x_1}{\ell_{2,2}}

:

x_3 = \frac{b_3 - \ell_{3,1} x_1 - \ell_{3,2}x_2}{\ell_{3,3}}

일반화하면,

:

x_m = \frac{b_m - \sum_{i=1}^{m-1} \ell_{m,i}x_i}{\ell_{m,m}}

후진대입

상삼각행렬 U를 갖는 행렬 방정식은 역방향에서 같은 방식으로 적용하여 접근할 수 있다. 즉,

x_n

을 먼저 구하고, 이 값을 이전 방정식에 대입하여

x_{n-1}

을 구하는 과정을 반복한다.

6. 삼각화 가능성

어떤 행렬이 삼각행렬과 닮음이면, 그 행렬은 삼각화 가능하다. 모든 복소수 정사각행렬은 삼각화 가능하다.^[1] 실제로, 행렬 ''A''의 모든 고유값을 포함하는 체(예를 들어, 대수적으로 닫힌 체) 위의 행렬 ''A''는 삼각 행렬과 닮음이다. 이는 ''A''가 고유 벡터를 갖는다는 사실에 대한 귀납법을 사용하여 증명할 수 있다.

더 정확한 설명은 조르당 분해 정리에 의해 제공되며, 이 경우 ''A''는 매우 특정한 형태의 위 삼각 행렬과 닮음이라고 명시한다.^[1]^[3]

복소수 행렬의 경우, 모든 정사각 행렬 ''A''가 슈어 분해를 갖는다는 것을 말할 수 있다. 즉, ''A''는 유니터리 행렬을 기저 변환으로 사용하여 닮음인 위 삼각 행렬이다.

행렬 집합 $A_1, \ldots, A_k$ 가 모두 상삼각 행렬이 되는 기저가 존재할 때, 이 행렬 집합을 '''동시 삼각화 가능'''하다고 한다.

(대수적으로 닫힌 체 위에서) 가환 행렬 $A,B$ 또는 더 일반적으로 $A_1,\ldots,A_k$ 는 동시에 삼각화 가능하다. 이는 1878년부터 프로베니우스에 의해 증명되었다.

가환 행렬이 공통 고유 벡터를 갖는다는 사실은 힐베르트 영점 정리의 결과로 해석될 수 있다.

이는 리 정리에 의해 일반화되는데, 이는 가해 리 대수의 모든 표현이 동시에 상삼각화 가능하다는 것을 보여준다.

더 일반적으로, 행렬 집합 $A_1,\ldots,A_k$ 는 행렬 $p(A_1,\ldots,A_k)[A_i,A_j]$ 가 ''k''개의 비가환 변수에 대한 모든 다항식 ''p''에 대해 멱영일 경우에만 동시 삼각화 가능하며, 여기서 $[A_i,A_j]$ 는 교환자이다. 이는 1951년에 드라진, 덩지, 그룬버그에 의해 증명되었고,^[4] 프라솔로프는 1994년에 간단한 증명을 제시했다.^[5]

7. 응용

전진 대입은 금융에서 수익률 곡선을 구성하는 데 사용된다.^[1]

참조

_[1] 서적 Linear Algebra Done Right https://www.worldcat[...] Springer 1997
_[2] 서적 Matrix mathematics: theory, facts, and formulas Princeton University Press
_[3] 서적 Topics in Algebra https://www.worldcat[...] Wiley 1975
_[4] 간행물 Some Theorems on Commutative Matrices http://jlms.oxfordjo[...] 1951
_[5] 서적 Problems and Theorems in Linear Algebra https://www.worldcat[...] American Mathematical Society 1994
_[6] 문서 Borel subgroup nlab
_[7] 문서 parabolic subgroup nlab
_[8] 문서 Heisenberg group nlab
_[9] 문서 소행렬식의 라플라스전개에의한 실베스터 행렬의 4차방정식 판별식 유도 중에서 소행렬식#소행렬식의 라플라스 전개에의[...]

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