현수면

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1. 개요

현수면은 3차원 유클리드 공간에서 평면 외에 최초로 발견된 비자명 곡면으로, 현수선을 준선에 대해 회전시켜 얻을 수 있다. 1744년 레온하르트 오일러가 발견하고 극소 곡면임을 증명했으며, 회전 극소 곡면 중 평면과 함께 단 두 개뿐이다. 현수면은 특정 매개 변수 방정식과 원통 좌표계로 정의되며, 두 개의 원형 고리를 비눗물에 담가 물리적 모형을 만들 수 있다. 또한, 나선면과 연속적이고 등거리 변형이 가능하며, 변형족의 모든 구성원은 극소 곡면이다.

현수면

개요

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현수면

종류	최소 곡면
설명	회전축을 중심으로 현수선을 회전시켜 얻어지는 곡면임. 두 개의 원형 고리 사이를 연결하는 비누막의 형태로 나타날 수 있음.

매개변수 방정식

변수	u ∈ [−π, π] v ∈ ℝ
x	x(u, v) = c cos(u) cosh(v/c)
y	y(u, v) = c sin(u) cosh(v/c)
z	z(u, v) = v
설명	여기서 c는 상수임.

속성

가우스 곡률	K = -c² / (c² + z²)²
평균 곡률	H = 0
최소 곡면 여부	최소 곡면임.
주 곡률	k₁ = 1 / √(c² + z²) = -k₂
면적	2πc(b + c sinh(b/c) − a − c sinh(a/c))
설명	높이가 a에서 b까지인 경우임. 나선면과 국소적으로 등거리 변환이 가능함.

관련 있는 최소 곡면	현수선, 나선면
관련있는 변환	등거리 변환

2. 기하학적 성질

현수면은 3차원 유클리드 공간에서 평면 외에 최초로 발견된 비자명 곡면이다. 현수면은 현수선을 준선에 대해 회전시켜 얻는 회전면이다. 이 곡면은 1744년 레온하르트 오일러에 의해 발견되었고 극소 곡면임이 증명되었다.

이 주제에 대한 초기 연구는 장 밥티스트 뫼니에에 의해서도 발표되었다. 회전면이면서 극소 곡면인 회전 극소 곡면은 평면과 현수면 단 두 개뿐이다.

현수면은 다음과 같은 매개변수 방정식으로 정의할 수 있다.
$\begin{align}x &= c \cosh \frac{v}{c} \cos u \\y &= c \cosh \frac{v}{c} \sin u \\z &= v\end{align}$
여기서 $u \in [-\pi, \pi)$ , $v \in \mathbb{R}$ 이고 $c$ 는 0이 아닌 실수 상수이다.

원통 좌표계에서 현수면은 다음과 같이 표현된다.
$\rho =c \cosh \frac{z}{c},$
여기서 $c$ 는 실수 상수이다.

현수면의 물리적 모형은 두 개의 원형 고리를 비눗물에 담근 후 서서히 원을 떼어냄으로써 만들 수 있다.

현수면은 또한 스트레치드 그리드 방법으로 3D 모형으로 근사하여 정의할 수 있다.

오른손 나선면이 현수면을 거쳐 왼손 나선면으로 변형되었다가 다시 돌아오는 연속 애니메이션

현수면과 나선면은 같은 연관족에 속하기 때문에, 현수면을 늘이거나 줄이지 않고 나선면의 일부분으로 구부릴 수 있다. 즉, 현수면을 나선면의 일부분으로 (거의) 연속적이고 등거리적으로 변형할 수 있으며, 이 변형 과정에 있는 모든 곡면은 극소 곡면이다 (즉, 평균 곡률이 0이다). 이러한 변형의 매개변수 방정식은 다음 시스템으로 주어진다.

\begin{align}x(u,v) &= \sin \theta \,\cosh v \,\cos u + \cos \theta \,\sinh v \,\sin u \\y(u,v) &= \sin \theta \,\cosh v \,\sin u - \cos \theta \,\sinh v \,\cos u \\z(u,v) &=  v \sin \theta + u \cos \theta\end{align}

여기서

(u,v) \in (-\pi, \pi] \times (-\infty, \infty)

이고, 변형 매개변수

-\pi < \theta \le \pi

에 따라 곡면이 결정된다.

*

\theta = \pi

는 오른손 나선면에 해당한다.
*

\theta = \pm \pi / 2

는 현수면에 해당한다.
*

\theta = 0

는 왼손 나선면에 해당한다.

3. 물리적 모형

현수면의 물리적 모형은 두 개의 원형 고리를 비눗물에 담근 후 서서히 원을 떼어냄으로써 만들 수 있다.

현수면은 또한 스트레치드 그리드 방법으로 3D 모형으로 근사하여 정의할 수도 있다.

4. 나선면 변환

Continuous animation showing a right-handed helicoid deforming into a catenoid, a left-handed helicoid, and back again — 오른손 나선면이 연쇄면을 거쳐 왼손 나선면으로 변형되었다가 다시 돌아오는 연속 애니메이션

현수면(연쇄면)과 나선면은 같은 연관족에 속한다. 이 때문에, 현수면을 늘이거나 줄이지 않고 나선면의 일부분으로 구부릴 수 있다. 즉, 현수면을 나선면의 일부분으로 거의 연속적이고 등거리적으로 변형할 수 있으며, 이 변형 과정에 있는 모든 곡면은 극소 곡면의 성질(즉, 평균 곡률이 0)을 유지한다.

이러한 변형은 다음 매개변수 방정식으로 나타낼 수 있다.

\begin{align}x(u,v) &= \sin \theta \,\cosh v \,\cos u + \cos \theta \,\sinh v \,\sin u \\y(u,v) &= \sin \theta \,\cosh v \,\sin u - \cos \theta \,\sinh v \,\cos u \\z(u,v) &=  v \sin \theta + u \cos \theta\end{align}

여기서

(u,v) \in (-\pi, \pi] \times (-\infty, \infty)

이고,

\theta

는 변형 매개변수로

-\pi < \theta \le \pi

의 값을 가진다.

*

\theta = \pi

일 때는 오른손 나선면에 해당한다.
*

\theta = \pm \pi / 2

일 때는 연쇄면(현수면)에 해당한다.
*

\theta = 0

일 때는 왼손 나선면에 해당한다.