나선면

1. 개요

나선면은 1774년 오일러와 1776년 뫼니에에 의해 기술되었으며, 나선과의 유사성에서 이름이 유래된 기하학적 표면이다. 모든 점을 지나는 나선이 존재하며, 선의 궤적으로 간주되는 선분 전개면이다. 카탈랑은 1842년에 나선면과 평면이 유일한 극소 곡면임을 증명했다. 나선면은 아르키메데스 나선과 유사하며, 데카르트 좌표계에서 매개변수 방정식으로 표현할 수 있다. 주곡률, 평균 곡률, 가우스 곡률을 가지며, 평면과 위상 동형이다. 나선면은 사슬면과 국소적으로 등거리인 표면이다.

2. 설명

나선면은 1774년 오일러와 1776년 장-바티스트 뫼니에에 의해 기술되었다. 이름은 나선과의 유사성에서 파생되었다. 평면의 범위는 음의 무한과 양의 무한대로 확장된다고 생각하기 때문에, 자세히 관찰하면 한 평면의 기울기를 따라갔을 때 동일 평면이 우회(bypass)되거나 건너뛰는 것처럼 보이지만 실제로는 동일 평면이 반대 관점에서도 추적된다.

나선면은 선의 궤적임을 의미하는 괘면(및 오른쪽 원추형)이기도 하다. 즉, 표면의 모든 점에 대해 표면을 통과하는 선이 존재한다. 1842년 카탈랑은 나선면과 평면이 유일하게 지배되는 최소 표면이라는 것을 증명했다.

나선면은 미분 기하학의 의미에서 변환 표면이기도 하다. 나선면과 현수면은 나선면-현수면 최소 표면 계열의 일부이다.

2.1. 기하학적 성질

1774년 오일러와 1776년 장-바티스트 뫼니에에 의해 나선면의 기하학적 성질이 기술되었다. 이름은 나선과의 유사성에서 유래되었는데, 나선면의 모든 점에 대해 그 점을 통과하는 나선면 내에 포함된 나선이 있기 때문이다. 평면 범위가 음의 무한대와 양의 무한대까지 확장되는 것으로 간주되므로, 면밀한 관찰을 통해 두 개의 평행 또는 거울 평면이 나타나는 것을 볼 수 있다. 즉, 한 평면의 기울기를 추적하면 반대 평면이 우회되거나 건너뛰는 것처럼 보이지만, 실제로는 반대 평면도 반대 관점에서 추적된다.

나선면은 선분 전개면 (및 직선 원뿔체)으로, 이는 선의 자취를 의미한다. 또는, 표면의 모든 점에 대해 그 점을 통과하는 표면 위의 선이 있다. 카탈랑은 1842년에 나선면과 평면이 유일한 선분 극소 곡면임을 증명했다.

나선면은 미분 기하학의 의미에서 평행 이동 곡면이기도 하다. 나선면과 고리 모양 곡면은 나선면-고리 모양 곡면 극소 곡면의 한 부분이다.

나선면은 아르키메데스 나선과 같은 모양이지만 모든 방향으로 무한히 뻗어 있다. 이는 매개변수 방정식으로 데카르트 좌표계에서 설명할 수 있다.

나선면은 주곡률 $\backslash pm\; \backslash alpha\; /(1+\; \backslash alpha^2\; \backslash rho\; ^2)\; \backslash$을 가진다. 이 값들의 합은 평균 곡률 (나선면이 극소 곡면이므로 0)을, 곱은 가우스 곡률을 제공한다.

나선면은 평면 $\backslash mathbb\{R\}^2$와 위상 동형이다. 이를 확인하기 위해, α^영어의 값을 주어진 값에서 연속 함수로 영까지 감소시킨다. α^영어 = 0 에 도달할 때까지 α^영어의 각 중간 값은 서로 다른 나선면을 설명하고, 나선면은 수직 평면이 된다.

반대로, 평면에서 선, 즉 축을 선택한 다음 그 축을 중심으로 평면을 비틀어 평면을 나선면으로 바꿀 수 있다.

반지름이 R^영어인 나선면이 높이 h^영어만큼 상승하면서 축을 중심으로 θ^영어 각도만큼 회전하면 표면의 면적은 다음과 같다.

2.2. 매개변수 방정식

나선면은 데카르트 좌표계에서 다음과 같은 매개변수 방정식으로 설명할 수 있다.

:$x\; =\; \backslash rho\; \backslash cos\; (\backslash alpha\; \backslash theta),\; \backslash$
:$y\; =\; \backslash rho\; \backslash sin\; (\backslash alpha\; \backslash theta),\; \backslash$
:$z\; =\; \backslash theta,\; \backslash$

여기서 $\backslash rho$와 $\backslash theta$는 음의 무한대에서 양의 무한대까지, $\backslash alpha$는 상수이다. $\backslash alpha$가 양수이면 그림과 같이 나선면은 오른손 나선이고, 음수이면 왼손 나선이다.

2.3. 곡률

1774년 오일러와 1776년 장-바티스트 뫼니에에 의해 나선면이 기술되었다. 이름은 나선과의 유사성에서 유래되었는데, 나선면의 모든 점에 대해 그 점을 통과하는 나선면 내에 포함된 나선이 있기 때문이다.

나선면은 주곡률 $\backslash pm\; \backslash alpha\; /(1+\; \backslash alpha^2\; \backslash rho\; ^2)\; \backslash$을 가진다. 이 값들의 합은 평균 곡률 (나선면이 극소 곡면이므로 0)을, 곱은 가우스 곡률을 제공한다.

3. 면적

반지름이 R인 나선면이 높이 h만큼 상승하면서 축을 중심으로 θ 각도만큼 회전하면 표면의 면적은 다음과 같다.

:$\backslash frac\{\backslash theta\}\{2\}\; \backslash left[R\; \backslash sqrt\{R^2+c^2\}+c^2\; \backslash ln\; \backslash left(\backslash frac\{R\; +\; \backslash sqrt\{R^2+c^2\}\}\; c\backslash right)\; \backslash right],$
\ c = \frac{h}{\theta}.

4. 나선면과 현수면

1774년 레온하르트 오일러와 1776년 장 밥티스트 뫼스니에(Jean Baptiste Meusnier)에 의해 기술되었다. 그 이름은 나선과의 유사성에서 파생되었다. 평면의 범위는 음의 무한과 양의 무한대로 확장된다고 생각하기 때문에 자세히 관찰하면 한 평면의 기울기를 따라가면 동일 평면이 바이패스(bypass)되거나, 건너뛰지만 실제로는 동일 평면이 반대 관점에서도 추적된다.

나선면은 선의 궤적임을 의미하는 괘면(및 오른쪽 원추형)이기도 하다. 또는 표면의 모든 점에 대해 표면을 통과하는 선이 있다. 실제로 외젠 샤를 카탈랑은 1842년에 나선체와 평면이 유일하게 지배되는 최소 표면이라는 것을 증명했다.

나선면은 또한 미분 기하학의 의미에서 변환 표면이다. 나선면과 현수면은 나선면-현수면 최소 표면 계열의 일부이다.