현수선

3. 수학적 표현

데카르트 좌표계에서 현수선의 방정식은 다음과 같다.^[35]

:$y\; =\; a\; \backslash cosh\; \backslash left(\{x\; \backslash over\; a\}\; \backslash right\; )\; =\; \{a\; \backslash over\; 2\}\; \backslash left\; (e^\{x/a\}\; +\; e^\{-x/a\}\; \backslash right\; )$

여기서 $\backslash cosh$는 쌍곡선 함수의 쌍곡 코사인 함수이며, $a$는 최저점이 x축 위에 있는 거리이다.^[39] 모든 현수선은 $a$ 매개변수를 변경하는 것이 곡선의 균일 스케일링과 동일하기 때문에 서로 닮음이다.

현수선의 Whewell 방정식은 다음과 같다.^[35]

:$\backslash tan\; \backslash varphi\; =\; \backslash frac\{s\}\{a\}$

여기서 $\backslash varphi$는 접선 각도이고 $s$는 호의 길이이다.

위를 미분하고 $\backslash varphi$를 제거하면 Cesàro 방정식이 된다.^[40]

:$\backslash kappa=\backslash frac\{a\}\{s^2+a^2\}$

여기서 $\backslash kappa$는 곡률이다. 곡률 반경은 다음과 같다.

:$\backslash rho\; =\; a\; \backslash sec^2\; \backslash varphi$

이는 곡선과 x축 사이의 법선의 길이이다.^[41]

일반적으로 매개변수 $a$는 축의 위치이다. 방정식은 다음과 같이 결정할 수 있다.^[56]

$P\_1$이 $P\_2$의 왼쪽에 오도록 하고, $H$를 $P\_1$에서 $P\_2$까지의 수평 거리, $v$를 수직 거리라고 하자. 축 변환을 수행하여 현수선의 꼭짓점이 y축에 위치하도록 하고, 현수선이 다음의 표준 방정식을 만족하도록 높이 $a$를 조정한다.

:$y\; =\; a\; \backslash cosh\backslash left(\backslash frac\{x\}\{a\}\backslash right)$

$P\_1$과 $P\_2$의 좌표를 각각 $(x\_1,\; y\_1)$ 및 $(x\_2,\; y\_2)$라고 하면, 높이의 차이는 다음과 같다.

:$v\; =\; a\; \backslash cosh\backslash left(\backslash frac\{x\_2\}\{a\}\backslash right)\; -\; a\; \backslash cosh\backslash left(\backslash frac\{x\_1\}\{a\}\backslash right)$

$P\_1$에서 $P\_2$까지 곡선의 길이는 다음과 같다.

:$L\; =\; a\; \backslash sinh\backslash left(\backslash frac\{x\_2\}\{a\}\backslash right)\; -\; a\; \backslash sinh\backslash left(\backslash frac\{x\_1\}\{a\}\backslash right)$

$L^2\; -\; v^2$을 전개하면 다음과 같다.

:$L^2-v^2=2a^2\backslash left(\backslash cosh\backslash left(\backslash frac\{x\_2-x\_1\}\{a\}\backslash right)-1\backslash right)=4a^2\backslash sinh^2\backslash left(\backslash frac\{H\}\{2a\}\backslash right)$

따라서

:$\backslash frac\; 1H\; \backslash sqrt\{L^2-v^2\}=\backslash frac\{2a\}H\; \backslash sinh\backslash left(\backslash frac\{H\}\{2a\}\backslash right)$

이것은 $a$에 대한 초월 방정식이며, 수치적으로 풀어야 한다. $\backslash sinh(x)/x$는 $x\; >\; 0$에서 엄격하게 단조 증가하므로,^[57] $a\; >\; 0$인 해는 최대 하나만 존재하며, 따라서 평형 위치는 최대 하나만 존재한다.

곡선의 양 끝점($P\_1$과 $P\_2$)이 동일한 높이($y\_1\; =\; y\_2$)에 있는 경우, 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[58]

:$a\; =\; \backslash frac\; \{\backslash frac14\; L^2-h^2\}\; \{2h\}$

여기서 L은 $P\_1$과 $P\_2$ 사이의 곡선의 전체 길이이고, $h$는 쳐짐($P\_1$, $P\_2$와 곡선의 꼭짓점 사이의 수직 거리)이다.

또한 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$L\; =\; 2a\; \backslash sinh\; \backslash frac\; \{H\}\; \{2a\}$

:$H\; =\; 2a\; \backslash operatorname\; \{arcosh\}\; \backslash frac\; \{h+a\}\; \{a\}$

여기서 H는 $P\_1$과 $P\_2$ 사이의 수평 거리이며, 두 점은 동일한 높이($H\; =\; x\_2\; -\; x\_1$)에 위치해 있다.

$P\_1$과 $P\_2$에서의 수평 인장력은 $T\_0\; =\; wa$이며, 여기서 $w$는 체인 또는 케이블의 단위 길이당 무게이다.

3. 1. 현수선의 기하학적 성질

• 현수선의 접선 척도는 현수선의 높이와 일치한다.
• 트랙트릭스의 축소선에 상당하며, ''y'' 축을 대칭의 축으로 하고, 이 축과 정점 (0, ''a'') 에서 직교한다.
• 정점 (0, ''a'')의 충분히 근처에서는 $y=a\; +\; \backslash frac\{x^2\}\{2a\}$라는 포물선에 의해 근사된다.

4. 응용

현수선은 안정성과 아름다움 덕분에 다양한 분야에 응용된다.

수평 구간에서 현수선 아래 면적과 그 길이의 비율은 구간에 관계없이 일정하다. 현수선은 이러한 성질을 가진 유일한 곡선이다. 또한 현수선 구간 아래 면적의 기하학적 무게 중심은 곡선 자체의 무게 중심과 축을 연결하는 수직선의 중점이다.^[44]

균일한 전기장 내에서 움직이는 전하는 현수선 경로를 따라 이동한다. 단, 전하 속도가 광속보다 매우 작을 경우에는 포물선에 가까워진다.^[45]

고정된 반지름을 양 끝단에 가지고 최소 표면적을 갖는 회전면은 현수선을 x축을 중심으로 회전시킨 것이다.^[46]

무거운 닻줄은 현수선 형태를 취하며, 이는 닻에 더 낮은 각도로 당김을 제공한다. 이는 닻의 성능을 향상시키고 닻이 끌리기 전에 저항할 수 있는 힘의 수준을 높인다.^[37] 소형 보트도 최대 유지력을 유지하기 위해 현수선에 의존한다.^[37]

4. 1. 건축 및 교량

안토니 가우디는 카사 밀라를 포함한 그의 건축물에 현수선 구조를 적극적으로 활용했다.^[28] 그는 천과 돌을 사용한 거꾸로 매달린 모형을 설계도로 사용하여 카테나리 곡선을 건축 설계에 반영했다.^[28] 로버트 훅은 세인트 폴 대성당 재건과 관련하여 현수선을 아치 건설에 적용하는 아이디어를 제시했으며,^[14] 그의 "진정한 수학적, 기계적 형태"는 현수선을 암시했다.^[14] 1671년, 훅은 왕립 학회에 아치의 최적 형상 문제를 해결했다고 발표했고, 1675년에는 암호화된 형태로 해결책을 제시했다. 이 암호의 해답은 "유연한 케이블이 매달린 것처럼, 반전된 아치의 접촉 부분도 그렇게 서 있다"는 의미였다.^[16][17]

현수선을 뒤집은 형태는 아치 구조에서 이상적인 형태로 간주된다. 이는 아치에 작용하는 모든 힘이 압축력으로 작용하게 하여 구조적 안정성을 높이기 때문이다.^[16][17] 크테시폰의 타크-이 키스라 아치^[15]와 같이 오래된 아치 중 일부는 현수선에 가까운 형태를 띤다. 현수선 아치는 가마 건설에도 자주 사용된다.^[23][24]

단순 현수교의 주 케이블은 현수선 형태를 따른다.^[30] 이는 케이블에 작용하는 장력을 균등하게 분산시키는 역할을 한다. 스트레스 리본교 역시 현수선 형태를 가지지만, 케이블이 강성 데크에 내장되어 있어 더 정교한 구조를 가진다.^[33][34]

미국 미주리주 세인트루이스에 있는 게이트웨이 아치는 일반적인 현수선보다 더 일반화된 곡선인 평평하게 된 현수선의 형태를 띠고 있다.^[25]

4. 2. 전력선 및 케이블

전력선이나 통신 케이블은 현수선 형태로 늘어져 있으며, 이는 케이블의 무게와 장력을 고려한 결과이다. 전선 등을 부설할 때, 사용하는 전선의 길이는 전선 자체 무게에 의한 처짐을 고려하여 실제 경간보다 길어야 한다.^[30]

경간 ''S'' (m), 처짐 ''D'' (m), 전선의 수평 장력 ''T'' (N), 전선 1 m당 무게를 ''W'' (N/m)라고 했을 때, 각각의 관계는 다음과 같다. 여기서, sinh, cosh 등은 쌍곡선 함수이다.

• $D\; =\; C\; \backslash left(\backslash cosh\backslash frac\{S\}\{2C\}\; -\; 1\backslash right)$ (m) (엄밀해)
• $D\; \backslash fallingdotseq\; \backslash frac\{S^\{2\}\}\{8C\}\; =\; \backslash frac\{WS^\{2\}\}\{8T\}$ (m) (근사식)

여기서, ''C''는 '''현수선 상수'''라고 불리며, ''T'', ''W''를 사용하여 다음 식으로 정의된다.

• $C\; =\; \backslash frac\{T\}\{W\}$ (m)

전선 길이 ''L'' (m)은 다음과 같다.

• $L\; =\; 2C\; \backslash sinh\backslash frac\{S\}\{2C\}$ (m) (엄밀해)
• $L\; \backslash fallingdotseq\; S\; +\; \backslash frac\{S^\{3\}\}\{24C^\{2\}\}\; =\; S\; +\; \backslash frac\{8D^\{2\}\}\{3S\}$ (m) (근사식)

전선 길이 ''L''과 처짐의 길이 ''D''는 경간 ''S''뿐만 아니라, 지지점으로부터의 인장력 ''T''나, 전선의 무게 ''W''에 의해서도 변화한다.

4. 3. 닻줄

무거운 닻줄은 현수선 형태를 취하며, 이는 닻에 더 낮은 각도로 당김을 제공한다. 이는 닻의 성능을 향상시키고 닻이 끌리기 전에 저항할 수 있는 힘의 수준을 높인다.^[37] 소형 보트도 최대 유지력을 유지하기 위해 현수선에 의존한다.^[37] 바람이 불 때 현수선 모양을 유지하려면 무거운 체인이 필요하므로, 더 깊은 물에 있는 더 큰 선박만이 이 효과를 활용할 수 있다.

4. 4. 기타

자연계에서 거미줄의 각 실도 양쪽 끝 접점에서 지지되어 팽팽하게 당겨져 있으며, 현수선이 된다.

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