히그먼-심스 그래프

3. 대수적 성질

히그먼-심스 그래프는 주목할 만한 대수적 성질을 가진다. 이 그래프의 자기동형군은 위수 88,704,000이며, 히그먼-심스 군과 밀접한 관련이 있다.^[11][5] 또한, 모든 변이 대칭적으로 동일한 위치에 있어 변-추이 그래프의 특성을 보인다.^[12][6]

그래프의 특성 다항식은 $(x-22)(x-2)^\{77\}(x+8)^\{22\}$으로 주어지며, 이로부터 히그먼-심스 그래프가 정수 그래프임을 알 수 있다. 즉, 그래프의 스펙트럼이 모두 정수로 이루어져 있다. 더 나아가, 이 그래프는 고유한 특성 다항식을 가지므로 스펙트럼에 의해 유일하게 결정되는 그래프이다.

3. 1. 자기동형군

3. 2. 특성 다항식

4. 리치 격자 내부

히그먼-심스 그래프는 리치 격자 내부에서 자연스럽게 발생한다. 리치 격자 안의 세 점 ''X'', ''Y'', ''Z'' 사이의 거리가 각각 ''XY'' = 2, ''XZ'' = √6, ''YZ'' = √6을 만족한다고 가정하자. 이때, 세 점 ''X'', ''Y'', ''Z''로부터 모두 거리가 2인 리치 격자 점 ''T''는 정확히 100개가 존재한다. 이 100개의 점 ''T'' 중에서 서로 거리가 √6인 두 점 ''T''와 ''T''′를 연결하면, 결과로 얻어지는 그래프는 히그먼-심스 그래프와 동형이다.

더 나아가, 세 점 ''X'', ''Y'', ''Z''를 각각 고정시키는 리치 격자의 모든 자기 동형 사상(즉, 이 점들을 고정하는 유클리드 합동)의 집합은 히그먼-심스 군을 이룬다. 만약 ''X''와 ''Y''의 교환을 허용한다면, 그래프 자기 동형 사상 전체의 차수 2 확장군을 얻게 된다. 이러한 구성 방식은 히그먼-심스 군이 콘웨이 군 Co₂ (그리고 그 차수 2 확장군) 및 Co₃의 부분군이며, 결과적으로 Co₁의 부분군이기도 하다는 사실을 보여준다.^[13]

참조

_[1] 논문 On the Graphs of Hoffman–Singleton and Higman–Sims http://www.combinato[...]
_[2] MathWorld Higman–Sims Graph
_[3] 학위논문 An investigation of certain combinatorial properties of partially balanced incomplete block experimental designs and association schemes, with a detailed study of designs of Latin square and related types Department of Statistics, Michigan State University
_[4] 논문 A simple group of order 44,352,000 https://deepblue.lib[...]
_[5] 웹사이트 Higman–Sims graph http://www.win.tue.n[...]
_[6] 간행물 The Gewirtz Graph: An Exercise in the Theory of Graph Spectra.
_[7] 서적 Atlas of Finite Groups: Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups Oxford University Press
_[8] 서적 Sphere Packings, Lattices and Groups Springer-Verlag 2010-12
_[9] 매스월드 Higman–Sims Graph
_[10] 저널 인용 A simple group of order 44,352,000 https://deepblue.lib[...]
_[11] 웹인용 http://www.win.tue.n[...]
_[12] 간행물 "The Gewirtz Graph: An Exercise in the Theory of Graph Spectra."
_[13] 서적 인용 Sphere Packings, Lattices and Groups