반직접곱

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1. 개요

반직접곱은 두 군 N과 H가 주어졌을 때, H가 N에 작용하도록 하는 군 준동형 φ를 통해 정의되는 새로운 군 N ⋊ H를 의미한다. 이 연산은 곱집합 N × H에 정의되며, 군의 공리를 만족한다. 반직접곱은 군 G가 정규 부분군 N과 부분군 H를 가질 때, G = NH이고 N ∩ H = {e}인 경우 G = N ⋊ H로 표기하며, 내부 및 외부 반직접곱으로 구분된다. 직접곱은 반직접곱의 특수한 경우이며, 반직접곱은 짧은 완전열을 통해 표현될 수 있다. 슈어-차센하우스 정리는 유한군 G에서 |N|과 |G/N|이 서로소일 경우 G가 N과 G/N의 반직접곱임을 보장한다. 반직접곱은 이면체군, 순환군, 홀로모프, 클라인 병의 기본군, 상삼각 행렬군, 유클리드 군 등 다양한 예시에서 나타나며, 단순군이나 특정 조건을 만족하는 군은 반직접곱으로 표현될 수 없다.

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반직접곱

2. 정의

두 군 $N$ 과 $H$ , 그리고 $H$ 에서 $N$ 의 자기동형사상군 $\operatorname{Aut}(N)$ 으로 가는 군 준동형 $\phi: H \to \operatorname{Aut}(N)$ 가 주어졌다고 하자. 이 준동형 $\phi$ 는 $H$ 가 $N$ 위에 작용하는 방식을 나타낸다.

이들을 이용하여 곱집합 $N \times H$ 위에 새로운 군 구조를 정의할 수 있는데, 이를 $N$ 과 $H$ 의 ( $\phi$ 를 통한) '''반직접곱'''(semidirect product)이라고 하며, $N \rtimes_\phi H$ 로 표기한다.^[2] 곱셈 연산은 다음과 같이 정의된다.

: $(n_1, h_1) \cdot (n_2, h_2) = (n_1 \phi_{h_1}(n_2), h_1 h_2)$

여기서 $n_1, n_2 \in N$ , $h_1, h_2 \in H$ 이고, $\phi_{h_1}$ 은 $h_1$ 에 대응하는 $N$ 의 자기동형사상이다. 이 연산에 대해 $N \times H$ 는 군을 이룬다.

반직접곱 $N \rtimes_\phi H$ 는 $N$ 과 동형인 정규 부분군 $\{(n, e_H) \mid n \in N\}$ 과 $H$ 와 동형인 부분군 $\{(e_N, h) \mid h \in H\}$ 을 가진다. 어떤 군 $G$ 가 특정 조건을 만족하는 정규 부분군 $N$ 과 부분군 $H$ 로 분해될 때(이를 내부 반직접곱이라 한다), $G$ 는 외부 반직접곱 $N \rtimes_\varphi H$ 와 동형이다.^[1] 이때의 작용 $\varphi$ 는 켤레 작용 $\varphi_h(n) = hnh^{-1}$ 으로 주어진다.

표기 $G = N \rtimes H$ 는 일반적으로 $N$ 이 정규 부분군임을 의미한다. 만약 작용 $\phi$ 가 자명하다면(즉, 모든 $h \in H$ 에 대해 $\phi_h$ 가 항등 자기동형사상이라면), 반직접곱은 직접곱 $N \times H$ 와 같아진다.

2. 1. 내부 반직접곱

항등원

e

를 갖는 군

G

와 그 부분군

H

, 정규 부분군

N \triangleleft G

이 주어졌다고 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

$G$ 는 부분군의 곱 $G = NH$ 이며, 이 부분군들의 교집합은 자명하다: $N \cap H = \{e\}$ .
$G$ 의 모든 원소 $g$ 는 $n \in N$ 과 $h \in H$ 에 대해 $g = nh$ 형태로 유일하게 표현될 수 있다.
$G$ 의 모든 원소 $g$ 는 $h \in H$ 과 $n \in N$ 에 대해 $g = hn$ 형태로 유일하게 표현될 수 있다.
자연스러운 포함 사상 $i: H \to G$ 와 자연스러운 사영 $\pi: G \to G/N$ 의 함수 합성 $\pi \circ i$ 는 $H$ 와 몫군 $G/N$ 사이의 군 동형 사상이다.
$H$ 위에서는 항등 함수이고 핵이 $N$ 인 군 준동형 사상 $\gamma: G \to H$ 가 존재한다. 이는 다음과 같은 분할 완전열이 존재함을 의미한다.

:

1 \to N \xrightarrow{\beta} G \xrightarrow{\alpha} H \to 1

(여기서

\beta

는

N

에서

G

로의 포함 사상이고,

\alpha

는 핵이

N

인 준동형 사상이며,

\alpha

의 오른쪽 역원, 즉

\alpha \circ \gamma = \mathrm{id}_H

를 만족하는 준동형 사상

\gamma: H \to G

가 존재한다. 이를

H

에 의한

N

의 분할 확장이라고도 한다.)

위의 동치 조건 중 하나라도 (따라서 모든 조건이) 성립하면,

G

는

N

과

H

의 '''내부 반직접곱'''(internal semidirect product)이라고 하며, 다음과 같이 표기한다.

:

G = N \rtimes H

또는

G = H \ltimes N

이때

G

가

N

위에서 분할(split)된다고 말하기도 한다. 모호성을 피하기 위해 어떤 부분군이 정규 부분군인지 명시하는 것이 좋다.

군

G

가 정규 부분군

N

과 부분군

H

의 내부 반직접곱일 때,

H

의 원소

h

를

N

의 자기 동형 사상

\varphi_h

에 대응시키는 군 준동형 사상

\varphi: H \to \mathrm{Aut}(N)

을 정의할 수 있다. 여기서

\mathrm{Aut}(N)

은

N

의 모든 자기 동형 사상으로 이루어진 군이며,

\varphi_h

는 다음과 같이 정의된다.

:

\varphi_h(n) = hnh^{-1}

(모든

n \in N, h \in H

에 대해)

N

이 정규 부분군이므로

hnh^{-1}

는 항상

N

의 원소이다. 이 준동형 사상

\varphi

는

H

가

N

에 어떻게 작용하는지를 나타내며, 군

G

의 구조를 결정하는 데 중요한 역할을 한다. 구체적으로

G

의 두 원소

g_1 = n_1 h_1

과

g_2 = n_2 h_2

의 곱은 다음과 같이 계산된다.

:

g_1 g_2 = (n_1 h_1)(n_2 h_2) = n_1 (h_1 n_2 h_1^{-1}) (h_1 h_2) = (n_1 \varphi_{h_1}(n_2)) (h_1 h_2)

이는 외부 반직접곱의 연산 규칙과 일치하며, 내부 반직접곱

G

가 준동형 사상

\varphi

에 의해 결정되는 외부 반직접곱

N \rtimes_\varphi H

와 동형임을 보여준다.^[1]

2. 2. 외부 반직접곱

임의의 두 군

N

과

H

, 그리고 군 준동형

\phi\colon H\to\operatorname{Aut}(N)

가 주어졌다고 하자. 여기서

\operatorname{Aut}(N)

은

N

의 자기동형사상군이다. 이 준동형

\phi

를 통해

H

는

N

위에 작용한다.

이때, 데카르트 곱

N\times H

위에 다음과 같은 이항 연산을 정의하여 새로운 군을 만들 수 있다. 이 군을

\phi

에 대한

N

과

H

의 '''외부 반직접곱'''이라 부르고,

N\rtimes_\phi H

로 표기한다.^[2]^[13]

집합: 외부 반직접곱의 원소 집합은 데카르트 곱 $N \times H$ 와 같다. 즉, 원소는 순서쌍 $(n, h)$ (단, $n \in N, h \in H$ )이다.
곱셈 연산: 두 원소 $(n_1, h_1)$ 과 $(n_2, h_2)$ 의 곱은 다음과 같이 정의된다.

:

(n_1, h_1) \cdot (n_2, h_2) = (n_1 \phi_{h_1}(n_2), h_1 h_2)

여기서

\phi_{h_1}(n_2)

는

h_1 \in H

의

\phi

에 의한 상, 즉

\operatorname{Aut}(N)

의 원소인 자기동형사상

\phi_{h_1}

를

n_2 \in N

에 작용한 결과이다.

이 연산은 군의 공리를 만족한다.

항등원: 항등원은 $(e_N, e_H)$ 이다. 여기서 $e_N$ 은 $N$ 의 항등원, $e_H$ 는 $H$ 의 항등원이다.
역원: 원소 $(n, h)$ 의 역원은 $(\phi_{h^{-1}}(n^{-1}), h^{-1})$ 이다.

외부 반직접곱

N\rtimes_\phi H

안에는 다음과 같은 중요한 부분군들이 존재한다.

집합 $\{(n, e_H) \mid n \in N\}$ 은 $N$ 과 동형인 정규 부분군을 이룬다.
집합 $\{(e_N, h) \mid h \in H\}$ 은 $H$ 와 동형인 부분군을 이룬다.

결과적으로, 외부 반직접곱

N\rtimes_\phi H

는 위에서 언급된 두 부분군의 (내부) 반직접곱과 동형이다.

만약 준동형

\phi

가 자명한 준동형, 즉

H

의 모든 원소를

N

의 항등 자기동형사상으로 보낸다면 (

\phi_h = \mathrm{id}_N

for all

h \in H

), 곱셈 연산은

(n_1, h_1) \cdot (n_2, h_2) = (n_1 n_2, h_1 h_2)

가 된다. 이 경우 외부 반직접곱

N\rtimes_\phi H

는 직접곱

N \times H

와 같다. 따라서 직접곱은 반직접곱의 특별한 경우로 볼 수 있다.

3. 성질

반직접곱 $G=N\rtimes H$ 가 주어지면, 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

: $1\to N\to G\to H\to1$

이는 $H$ 가 잉여군 $G/N$ 과 동형임을 의미한다.

만약 $N$ 과 $H$ 가 모두 유한군이라면, 반직접곱 $G$ 의 차수는 각 군의 차수의 곱과 같다.

: $\vert N \rtimes H \vert = \vert N \vert \vert H \vert$

이는 반직접곱의 기초 집합이 데카르트 곱 $N \times H$ 이기 때문이다.

원래의 군 $N$ 과 $H$ 는 반직접곱 $N \rtimes H$ 안에 매장된다. 즉, 두 개의 단사 준동형 사상 $N \to N \rtimes H$ 와 $H \to N \rtimes H$ 가 존재한다. 이때 $N$ 의 상(image)은 $N \rtimes H$ 의 정규 부분군이며, 그 잉여군은 $H$ 와 동형이다.
슈어-차센하우스 정리(Schur–Zassenhaus theorem^영어)는 반직접곱의 존재에 대한 중요한 충분 조건을 제공한다. 이 정리에 따르면, 만약 유한군 $G$ 및 정규 부분군 $N$ 이 주어졌고, $N$ 의 차수 $|N|$ 과 잉여군 $G/N$ 의 차수 $|G/N|$ 이 서로소라면 (즉, $N$ 이 홀 부분군이라면), $G$ 는 $N$ 과 $G/N$ 의 반직접곱으로 표현될 수 있다. 이 정리는 이사이 슈어와 한스 차센하우스가 증명하였다.

일반적으로 어떤 군이 반직접곱으로 표현될 수 있는지에 대한 필요충분조건은 알려져 있지 않다. 슈어-차센하우스 정리는 특정 조건 하에서 반직접곱의 존재를 보장하는 유용한 도구이다.

예를 들어, 슈어-차센하우스 정리는 차수가 6인 군( $|G|=6$ )에 적용될 수 있다. 차수 6인 군은 라그랑주 정리에 의해 차수가 3인 부분군 $N$ (쉴로브 정리에 의해 유일하며 정규 부분군)과 차수가 2인 부분군 $H$ 를 가진다. 이때 $|N|=3$ 과 $|G/N|=6/3=2$ 는 서로소이므로, 차수 6인 군은 항상 $N \cong C_3$ 와 $G/N \cong C_2$ 의 반직접곱 $C_3 \rtimes C_2$ 로 표현될 수 있다. 반대로, 차수가 4인 군이나 차수가 8인 군에 대해서는 슈어-차센하우스 정리의 조건(차수의 서로소)이 만족되지 않으므로, 이 정리를 통해 반직접곱 분해 가능성을 판단할 수는 없다.

3. 1. 직접곱과의 관계

G=N\rtimes H

라고 하자. 이 경우 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

:

1\to N\to G\to H\to1

.

즉,

H=G/N

이다.

반면, 그 역은 성립하지 않는다. 일반적으로 짧은 완전열이 존재하더라도 이를 항상 반직접곱으로 나타낼 수 있지는 않다. 예를 들어

:

1\to\mathbb Z_2\to\mathbb Z_4\to\mathbb Z_2\to1

을 생각해 보자.

\operatorname{Aut}(\mathbb Z_2)=1

이므로, 반직접곱

\mathbb Z_2\rtimes\mathbb Z_2

은 항상 직접곱

\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2

밖에 존재하지 않는다. 그러나 물론

\mathbb Z_4\ne\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2

이다.

만약

G

가 정규 부분군

N

과 부분군

H

의 반직접곱이라고 가정하자. 만약

H

또한

G

에서 정규 부분군이거나, 동치적으로,

N

에 대한 항등 함수이고 핵(커널)이

H

인

G \to N

의 준동형 사상이 존재한다면,

G

는

N

과

H

의 직접곱이다.

두 군

N

과

H

의 직접곱은 모든

h \in H

에 대해

\phi(h) = \operatorname{id}_N

(즉,

\phi

가 자명한 준동형 사상)인

N

과

H

의 반직접곱으로 생각할 수 있다. 즉, 직접곱은 반직접곱의 특수한 경우이다.

직접곱에서, 인자의 순서는 중요하지 않다. 왜냐하면

N \times H

는

H \times N

와 동형이기 때문이다. 이는 두 인자(

N

과

H

)가 서로 다른 역할을 하기 때문에 반직접곱의 경우와는 다르다.

게다가, 자명하지 않은 준동형 사상(

\phi

)에 의한 반직접곱의 결과는, 인자 군(

N

과

H

)이 가환군이라 할지라도, 절대로 아벨 군이 아니다.

직접곱 군은 반직접곱 군이기도 하다.

3. 2. 비유일성

직접곱과는 다르게, 주어진 두 군 ''N''과 ''H''의 반직접곱은 일반적으로 유일하지 않다. 어떤 두 군 ''G''와 ''G′''이 ''N''의 정규 부분군과 ''H''의 부분군으로 각각 동형인 복사본을 포함하고, 둘 다 ''N''과 ''H''의 반직접곱이라고 해서 ''G''와 ''G′''이 반드시 군 동형인 것은 아니다. 이는 반직접곱이 ''H''가 ''N''에 작용하는 방식, 즉 준동형사상 ''φ'': ''H'' → Aut(''N'')의 선택에 따라 달라지기 때문이다.

예를 들어, 순환군 C₈과 C₂의 반직접곱으로 표현될 수 있는 위수가 16인 군은 서로 동형이 아닌 것이 4개나 존재한다. 이 경우 C₈은 지수가 2이므로 반드시 정규 부분군이다. 네 개의 반직접곱 중 하나는 직접곱 C₈ × C₂이며, 나머지 세 개는 비가환군이다.

위수가 16인 정이면체군 D₁₆
위수가 16인 준이면체군
위수가 16인 이와사와 군 M₁₆

또한, 주어진 군 ''G''가 반직접곱 ''N'' ⋊ ''H''로 표현될 때, 이러한 분해 방법이 유일하다는 보장도 없다. 예를 들어, 위수가 24인 특정 군(위수가 4인 원소 6개와 위수가 6인 원소 6개를 포함하는 유일한 군)은 다음과 같이 여러 가지 방식으로 반직접곱으로 표현될 수 있다. (D₈ ⋊ C₃) ≅ (C₂ ⋊ Q₁₂) ≅ (C₂ ⋊ D₁₂) ≅ (D₆ ⋊ V).^[7]

일반적으로, 서로 다른 두 군 작용 ''φ'', ''ψ'' : ''H'' → Aut(''N'')가 반드시 동형이 아닌 반직접곱군을 정의하는 것은 아니다. 즉, ''φ'' ≠ ''ψ'' 이지만 ''N'' ⋊_''φ'' ''H'' ≅ ''N'' ⋊_''ψ'' ''H'' 일 수도 있다. 만약 ''H''가 순환군이고, 두 작용 ''φ''와 ''ψ''가 모두 단사 함수이며 ''φ''(''H'') = ''ψ''(''H'')를 만족한다면, 두 반직접곱 ''N'' ⋊_''φ'' ''H'' 와 ''N'' ⋊_''ψ'' ''H''는 동형이다.

4. 예시

반직접곱의 정의는 다소 추상적으로 느껴질 수 있지만, 구체적인 예를 통해 이해를 높일 수 있다. 대표적인 예로 ''n''차원 유클리드 공간에서의 아핀 변환군을 들 수 있다. ''n''차원 아핀 변환은 다음과 같이 정의된다.

: $(A,b)\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n;\; (A,b)x = Ax + b$

여기서 $A$ 는 ''n''차원 일반 선형 변환 ( $A \in \mathit{GL}(n, \mathbb{R})$ )이고, $b$ 는 ''n''차원의 평행 이동 ( $b \in \mathbb{R}^n$ )이다. 즉, 아핀 변환은 선형 변환과 평행 이동을 합성한 것이다. 이러한 아핀 변환 전체는 군을 이루며, 이를 $\operatorname{Aff}(\mathbb{R}^n)$ 으로 표기하고 '''아핀 변환군'''이라고 부른다.

두 아핀 변환 $(A_1, b_1)$ 과 $(A_2, b_2)$ 의 합성은 다음과 같이 계산된다.

: $(A_1, b_1)(A_2, b_2)x = (A_1, b_1) (A_2 x + b_2) = A_1 A_2 x + A_1 b_2 + b_1$

따라서 아핀 변환군 $\operatorname{Aff}(\mathbb{R}^n)$ 의 군 연산은 다음과 같다.

: $(A_1, b_1)(A_2, b_2) = (A_1 A_2, A_1 b_2 + b_1)$

이 연산을 보면, 아핀 변환군은 $\mathit{GL}(n, \mathbb{R})$ 과 $\mathbb{R}^n$ 의 단순한 직접곱이 아님을 알 수 있다. 하지만 $\mathit{GL}(n, \mathbb{R})$ 과 $\mathbb{R}^n$ 는 모두 $\operatorname{Aff}(\mathbb{R}^n)$ 의 부분군을 이루며, 특히 평행 이동의 군 $\mathbb{R}^n$ 는 정규 부분군이 된다. 이러한 구조는 반직접곱의 개념을 통해 설명될 수 있으며, 아핀 변환군은 반직접곱의 중요한 예시 중 하나이다^[14]。

4. 1. 이면체군

이면체군 D_2n은 2n개의 원소를 가지며, 순환군 C_n과 C₂의 반직접곱과 동형이다.^[3] 여기서 C₂의 항등원이 아닌 원소는 C_n의 원소들을 그 역원으로 보내는 방식으로 작용한다. C_n은 아벨 군이므로, 이러한 작용은 C_n의 자기동형사상이 된다.

이면체군 D_2n의 군 제시는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\langle a, b \mid a^2 = e, b^n = e, aba^{-1} = b^{-1}\rangle.

여기서 e는 항등원이다.

위수가 2n인 이면체군 D_2n은 위수 n인 순환군인 정규 부분군 C_n과 위수 2인 순환군 C₂의 반직접곱이다. 군 제시는 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

:

D_{2n} = \langle r, s \mid r^n = s^2 = 1, srs = r^{-1} \rangle

:

C_n := \langle r \rangle, C_2 := \langle s \rangle, D_{2n} = C_n \rtimes C_2

4. 2. 순환군

생성자 ''a''를 갖는 순환군

C_m

과 생성자 ''b''를 갖는 순환군

C_n

의 반직접곱은 추가적인 관계식

aba^{-1} = b^k

를 통해 정의될 수 있다. 이때 ''k''와 ''n''은 서로소 관계여야 하며,

k^m \equiv 1 \pmod{n}

조건을 만족해야 한다.^[3] 이를 군의 표시를 사용하여 나타내면 다음과 같다.^[3]

:

\langle a,\;b \mid a^m = e,\;b^n = e,\;aba^{-1} = b^k\rangle.

만약 ''r''과 ''m''이 서로소라면,

a^r

역시

C_m

의 생성자가 된다. 이 경우

a^rba^{-r} = b^{k^r}

관계가 성립하므로, 다음과 같은 표시는

:

\langle a,\;b \mid a^m = e,\;b^n = e,\;aba^{-1} = b^{k^{r}}\rangle

원래의 군과 동형인 군을 나타낸다.

4. 3. 홀로모프

군을 반직접곱으로 표현하는 대표적인 예시 중 하나는 홀로모프이다. 군 G의 홀로모프 Hol(G)는 G와 그것의 자기 동형 사상군 Aut(G)의 반직접곱 G ⋊ Aut(G)로 정의된다. 여기서 구조 사상 φ는 Aut(G)가 G에 작용하는 방식, 즉 자기 동형 사상이 군의 원소에 어떻게 작용하는지를 나타낸다.

홀로모프의 원소는 순서쌍 (g, α) (여기서 g는 G의 원소, α는 Aut(G)의 원소)로 표현되며, 두 원소 (g, α)와 (h, β)의 곱셈 연산은 다음과 같이 정의된다.

(g, α)(h, β) = (g(α(h)), αβ)

여기서 α(h)는 자기 동형 사상 α가 원소 h에 작용한 결과를 의미하며, αβ는 Aut(G)에서의 두 자기 동형 사상의 합성을 의미한다.

4. 4. 클라인 병의 기본군

클라인 병의 기본군은 다음과 같은 형태로 표현될 수 있다.

:

\langle a,\;b \mid aba^{-1} = b^{-1}\rangle.

따라서 이것은 정수군

\mathbb{Z}

와

\mathbb{Z}

의 반직접곱이다. 이에 해당하는 준동형 사상 ''φ'':

\mathbb{Z}

→ Aut(

\mathbb{Z}

)는 ''φ''(''h'')(''n'') = (−1)^''h''''n''으로 주어진다.

4. 5. 상삼각 행렬군

임의의 체에서 가역인 상삼각 행렬의 군

\mathbb{T}_n

(즉, 주대각선에 0이 아닌 원소를 갖는 행렬들의 군)은 다음과 같이 반직접곱으로 분해될 수 있다.

\mathbb{T}_n \cong \mathbb{U}_n \rtimes \mathbb{D}_n

^[4]

여기서

\mathbb{U}_n

은 대각선 원소가 모두 1인 행렬들로 이루어진 부분군으로, 상단위 삼각 행렬군이라고 불린다.

\mathbb{D}_n

은 대각 행렬들로 이루어진 부분군이다.

\mathbb{D}_n

이

\mathbb{U}_n

에 작용하는 군 작용은 행렬 곱셈을 통해 정의된다. 예를 들어,

A = \begin{bmatrix}x_1 & 0 & \cdots & 0 \\0 & x_2 & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & & \vdots \\0 & 0 & \cdots & x_n\end{bmatrix} \in \mathbb{D}_n

이고

B = \begin{bmatrix}1 & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\0 & 1 & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\0 & 0 & 0 & \cdots & 1\end{bmatrix} \in \mathbb{U}_n

일 때, 두 행렬의 곱은 다음과 같다.

:

AB =\begin{bmatrix}x_1 & x_1a_{12} & x_1a_{13} & \cdots & x_1a_{1n} \\0 & x_2 & x_2a_{23} & \cdots & x_2a_{2n} \\\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\0 & 0 & 0 & \cdots & x_n\end{bmatrix}.

이 행렬 곱셈은 다음과 같은 군 작용

m:\mathbb{D}_n\times \mathbb{U}_n \to \mathbb{U}_n

을 유도한다.

:

m(A,B) = \begin{bmatrix}1 & x_1a_{12} & x_1a_{13} & \cdots & x_1a_{1n} \\0 & 1 & x_2a_{23} & \cdots & x_2a_{2n} \\\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\0 & 0 & 0 & \cdots & 1\end{bmatrix}.

\mathbb{T}_n

의 모든 행렬은

\mathbb{U}_n

의 행렬과

\mathbb{D}_n

의 행렬의 곱으로 유일하게 표현될 수 있다. 따라서

\mathbb{T}_n \cong \mathbb{U}_n \rtimes \mathbb{D}_n

관계가 성립한다.

또한, 일반 선형군의 부분군 중 상삼각 행렬로 구성된 군 B를 생각할 수 있다. U를 대각 성분이 모두 1인 B의 부분군, T를 대각 행렬로 구성된 B의 부분군이라고 하면, 다음 관계가 성립한다.

:

B = U \rtimes T

4. 6. 유클리드 군

평면

\mathbb{R}^2

의 모든 강체 운동(등거리 변환, 즉, 두 점 사이의 유클리드 거리를 보존하는 사상

f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2

)으로 구성된 유클리드 군

E(2)

는 반직접곱의 중요한 예시이다. 이 군은 평행 이동을 나타내는 아벨 군

\mathbb{R}^2

과 원점을 고정시키는 회전 및 반사 변환에 해당하는 2 × 2 직교 행렬의 군

O(2)

의 반직접곱과 동형이다. 즉,

E(2) \cong \mathbb{R}^2 \rtimes O(2)

로 표현할 수 있다.

어떤 점에 대해 평행 이동을 먼저 적용하고 회전 또는 반사를 적용하는 것은, 회전 또는 반사를 먼저 적용한 뒤 변환된 평행 이동 벡터만큼 평행 이동을 적용하는 것과 동일한 결과를 가진다. 이는 평행 이동 군

\mathbb{R}^2

이 유클리드 군

E(2)

의 정규 부분군임을 의미한다. 이 반직접곱을 정의하는 준동형 사상

\phi: O(2) \to \operatorname{Aut}(\mathbb{R}^2)

는 행렬 곱셈으로 주어진다. 즉,

h \in O(2)

이고

n \in \mathbb{R}^2

일 때,

\phi(h)(n) = hn

이다.

이러한 구조는 더 높은 차원의 유클리드 공간으로 일반화될 수 있다.

n

차원 유클리드 공간의 운동군

E(n)

은 병진(평행 이동)으로 이루어진 부분군

T(n)

(이는

\mathbb{R}^n

과 동형이다)과 직교군

O(n)

의 반직접곱으로 표현된다:

E(n) = T(n) \rtimes O(n)

^[14].

4. 7. 직교군 O(n)

직교군 O(''n'')은 모든 직교 실수 ''n'' × ''n'' 행렬의 집합으로, 직관적으로는 원점을 고정하는 ''n''차원 공간의 모든 회전과 반사의 집합이다. 이 군은 행렬식이 1인 모든 직교 행렬로 구성된 군 SO(''n'') (직관적으로 ''n''차원 공간의 회전)과 C₂의 반직접곱과 동형이다.

여기서 C₂는 행렬 곱셈군 {''I'', ''R''}로 나타낼 수 있다. ''I''는 항등행렬이고, ''R''은 원점을 고정하는 ''n''차원 공간의 반사, 즉 행렬식이 −1인 직교 행렬이자 대합이다.

반직접곱을 정의하는 준동형사상 ''φ'': C₂ → Aut(SO(''n''))는 C₂의 모든 원소 ''H''와 SO(''n'')의 모든 원소 ''N''에 대해 ''φ''(''H'')(''N'') = ''HNH''⁻¹로 주어진다. 만약 ''H''가 항등원이 아닌 반사 행렬 ''R''이라면, ''φ''(''R'')은 반사에 의한 켤레 연산을 의미한다. 이는 3차원 공간에서 회전축과 회전 방향이 마치 거울에 비춘 것처럼 반대 방향으로 바뀌는 것에 해당한다.

4. 8. 반선형 변환군

벡터 공간

V

위의 체

\mathbb{K}

에 대한 반선형 변환의 군은, 종종

\Gamma L(V)

로 표기되며, 선형군

GL(V)

(

\Gamma L(V)

의 정규 부분군)과

\mathbb{K}

의 자기 동형 사상 군의 반직접곱과 동형이다.

4. 9. 결정학적 군

결정학에서, 공간군이 점군과 병진군의 반직접곱으로 분해되는 것은 그 공간군이 심모픽일 때에만 성립한다. 비심모픽 공간군은 점군이 공간군의 부분 집합으로조차 포함되지 않으며, 이는 비심모픽 공간군 분석의 복잡성을 야기하는 주요 원인이다.^[5]

5. 반직접곱으로 표현될 수 없는 예

군 $G$ 가 부분군 $N$ 과 $H$ 의 반직접곱 $G=N\rtimes H$ 으로 표현될 수 있다면, 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

: $1\to N\to G\to H\to1$

여기서 $N$ 은 $G$ 의 정규 부분군이고, 몫군 $G/N$ 은 $H$ 와 동형이다.

하지만 그 역은 항상 성립하지 않는다. 즉, 위와 같은 짧은 완전열이 존재한다고 해서 군 $G$ 를 항상 반직접곱 $N\rtimes (G/N)$ 으로 나타낼 수 있는 것은 아니다.

단순군은 정의상 자기 자신과 자명 부분군({1}) 외에는 정규 부분군을 가지지 않으므로, 비자명적인 반직접곱으로 표현될 수 없다. 그러나 비자명 정규 부분군을 가지면서도 반직접곱으로 표현될 수 없는 군들도 존재한다.

순환군 $\mathbb{Z}_4$ 는 크기가 2인 부분군 $\{0, 2\} \cong \mathbb{Z}_2$ 를 가진다. 이 부분군은 정규 부분군이며, 몫군 $\mathbb{Z}_4 / \mathbb{Z}_2 \cong \mathbb{Z}_2$ 이다. 따라서 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

: $1 \to \mathbb{Z}_2 \to \mathbb{Z}_4 \to \mathbb{Z}_2 \to 1$

만약 $\mathbb{Z}_4$ 가 반직접곱 $\mathbb{Z}_2 \rtimes \mathbb{Z}_2$ 으로 표현될 수 있다면, $\mathbb{Z}_2$ 의 자기동형사상군은 자명군( $\operatorname{Aut}(\mathbb{Z}_2)=1$ )이므로 이 반직접곱은 항상 직접곱 $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ 와 같다. 그러나 $\mathbb{Z}_4$ 는 크기가 4인 원소를 가지지만 $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ 는 모든 원소의 위수가 1 또는 2이므로, 두 군은 동형이 아니다 ( $\mathbb{Z}_4 \not\cong \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ ). 따라서 $\mathbb{Z}_4$ 는 반직접곱으로 표현될 수 없다.

사원수군 $Q_8 = \{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}$ (단, $i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$ )도 비자명 정규 부분군을 가지지만 반직접곱으로 표현될 수 없는 군의 또 다른 예이다.^[6] 예를 들어, 중심 $Z(Q_8) = \{\pm 1\} \cong \mathbb{Z}_2$ 는 정규 부분군이다. 또한 $i$ 가 생성하는 부분군 $\langle i \rangle = \{\pm 1, \pm i\} \cong \mathbb{Z}_4$ 도 정규 부분군이다.

만약 $Q_8$ 이 $\mathbb{Z}_4 \rtimes \mathbb{Z}_2$ 형태의 반직접곱으로 표현될 수 있다고 가정해 보자. (여기서 $\mathbb{Z}_4 = \langle i \rangle$ 이고 $\mathbb{Z}_2 = Q_8 / \langle i \rangle$ ). 가능한 반직접곱은 직접곱 $\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_2$ 와 이면군 $D_8$ (또는 $D_4$ )이다. 그러나 $Q_8$ 은 비가환군이므로 가환군인 $\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_2$ 와 동형이 아니다. 또한 $Q_8$ 은 위수가 2인 원소가 $-1$ 하나뿐이지만, $D_8$ 은 위수가 2인 원소가 5개이므로 $Q_8$ 은 $D_8$ 과도 동형이 아니다. 따라서 $Q_8$ 은 $\mathbb{Z}_4 \rtimes \mathbb{Z}_2$ 형태로 표현될 수 없다.

마찬가지로 $\mathbb{Z}_2 \rtimes \mathbb{Z}_4$ 형태도 불가능하다 ( $\mathbb{Z}_2 = \{\pm 1\}$ , $\mathbb{Z}_4 = Q_8 / \{\pm 1\}$ ).

결론적으로, 위수가 8인 사원수군 $Q_8$ 은 자기보다 작은 두 개의 군의 반직접곱으로 나타낼 수 없다 (Alperin & Bell, 1995, p. 26 참고).

모든 군 $G$ 가 $H$ 에 대한 $N$ 의 분할 확장(즉, 반직접곱)으로 표현될 수 있는 것은 아니지만, 이러한 군은 보편적 매장 정리에 의해 화환곱 $N \wr H$ 에 매장될 수 있다는 사실이 알려져 있다.

6. 일반화

차파-세프 곱은 반직접곱의 일반화로, 두 부분군 중 어느 쪽도 정규 부분군일 필요가 없다는 점이 특징이다.

환론에서는 환의 교차곱이라는 개념이 있으며, 이는 군의 반직접곱에 대한 군환 구성과 자연스럽게 연결된다. 이 아이디어는 더 나아가 리 대수의 반직접합으로 확장될 수 있다.

기하학에서는 위상 공간에 대한 군 작용의 교차곱이라는 개념이 있다. 이는 일반적으로 군이 아벨군이라도 비가환적이다. 이 맥락에서 반직접곱은 군 작용의 궤도 공간과 관련된다. 알랭 콘은 이러한 접근 방식을 비가환 기하학의 관점에서 중요하게 다루었다.

범주론에서 반직접곱은 그로텐디크 구성의 특별한 경우로 볼 수 있다. 구체적으로, 군 ''H''가 군 ''N''에 작용하는 것은, ''H''에 대응하는 군체 ''BH'' (하나의 대상과 ''H''의 원소를 사상으로 갖는 범주)에서 범주의 범주 Cat로 가는 함자 ''F'' : ''BH'' → Cat 로 표현될 수 있다. 여기서 ''BH''의 유일한 대상은 ''N''에 대응하는 군체 ''BN''으로 보내진다. 이 함자 ''F''의 그로텐디크 구성은 반직접곱 ''H'' ⋊ ''N''에 대응하는 군체 ''B''(''H'' ⋊ ''N'')과 같다.^[8]

반직접곱은 군체(Groupoid)로도 일반화될 수 있다. 이는 위상수학에서 유용하게 사용되는데, 군 ''G''가 위상 공간 ''X''에 작용할 때, ''G''는 ''X''의 기본 군체 ''π''₁(''X'')에도 자연스럽게 작용하기 때문이다. 이 작용을 이용한 반직접곱 ''π''₁(''X'') ⋊ ''G''는 궤도 공간 ''X''/''G''의 기본 군체를 계산하는 데 사용된다.^[9]

아벨 범주(예: 가군 범주)에서는 자명하지 않은 반직접곱이 존재하지 않는다. 분할 보조정리에 따라 이러한 범주에서는 모든 반직접곱이 직접곱과 같기 때문이다. 따라서 반직접곱의 존재는 해당 범주가 아벨 범주가 아님을 시사한다.

참조

_[1] 서적 Abstract algebra Prentice Hall 1991
_[2] 서적 An Introduction to Abstract Algebra Walter de Gruyter
_[3] 서적 Algebra American Mathematical Society
_[4] 서적 Algebraic Groups https://www.jmilne.o[...]
_[5] 웹사이트 Irreducible Brillouin Zones and Band Structures https://bandgap.io/b[...] 2017-12-13
_[6] 웹사이트 abstract algebra - Can every non-simple group $G$ be written as a semidirect product? https://math.stackex[...] 2020-10-29
_[7] 서적 A Course on Finite Groups Springer Science & Business Media
_[8] 간행물 2012
_[9] 웹사이트 Ncatlab.org http://ncatlab.org/n[...]
_[10] 서적 A Course in Algebra American Mathematical Society 2003
_[11] 서적 Representations of Finite and Compact Groups American Mathematical Society 1996
_[12] 웹사이트 unicode.org https://www.unicode.[...]
_[13] 서적 An Introduction to Abstract Algebra Walter de Gruyter
_[14] 서적 Lie群とLie環 1 岩波書店 1999

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