히포페데

1. 개요

히포페데는 원환면과 평면의 교선으로 정의되는 환면곡선의 일종이다. 평면은 원환면의 축에 평행하며, 원환면의 안쪽 원에 접한다. 극좌표계와 직교좌표계로 표현 가능하며, a와 b의 값에 따라 다양한 형태를 띤다. 특수한 경우 부스의 타원, 부스의 르미니스케이트, 베르누이 렘니스케이트와 관련된다.

2. 정의

2.1. 극좌표계 표현

반지름이 a인 원이 그 중심과 축의 거리를 b로 유지하며 회전하여 만들어진 원환면이 있을 때, 이 원환면으로부터 유도된 히포페데의 극좌표 방정식은 다음과 같다.

:$r^2\; =\; 4b(a\; -\; b\backslash sin^2\backslash theta)$

a>b인 경우, 원환면은 자기 자신과 교차하기 때문에 일반적인 형태를 띠지 않음을 기억해두자.

2.2. 직교좌표계 표현

히포페데의 직교 좌표계 방정식은 다음과 같다.

:$(x^2+y^2)^2+4b(b-a)(x^2+y^2)=4b^2x^2$

a > b인 경우, 원환면은 자기 자신과 교차하기 때문에 일반적인 형태를 띠지 않는다.

3. 특수한 경우

d > 0일 때 곡선은 타원 형태를 가지며 종종 부스의 타원으로 알려져 있다. d < 0일 때는 옆으로 누운 숫자 8 또는 르미니스케이트와 유사하며, 종종 이를 연구한 19세기 수학자 제임스 부스의 이름을 따서 부스의 르미니스케이트라고 한다. 1=d = −c일 때 히포페데는 베르누이 렘니스케이트에 해당한다. 히포페데는 프로클로스(때로는 프로클로스의 히포페데라고도 불림)와 에우독소스에 의해서도 연구되었다.