4항 보조정리

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 4항 보조정리
- 2.2. 5항 보조정리
  - 2.2.1. 짧은 5항 보조정리
3. 증명
- 3.1. 다이어그램 체이싱을 이용한 증명
4. 응용
5. 역사
참조

1. 개요

4항 보조정리는 아벨 범주에서 가환 그림의 조건에 따라 사상의 전사성 또는 단사성을 결론짓는 정리이다. 4항 보조정리를 통해 5항 보조정리를 증명할 수 있으며, 이는 긴 완전 순서열의 호몰로지 계산에 응용된다. 4항 보조정리는 1955년 데이비드 앨빈 북스바움에 의해 소개되었다.

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4항 보조정리

2. 정의

아벨 범주에서 다음과 같은 가환 그림이 주어졌을 때, 4항 보조정리와 5항 보조정리가 성립한다.^[3]

: $\begin{matrix}&\to&&\to&&\to\\{\scriptstyle a}\downarrow&&{\scriptstyle b}\downarrow&&{\scriptstyle c}\downarrow&&{\scriptstyle d}\downarrow\\&\to&&\to&&\to\end{matrix}$

이 가환 그림에서 두 행은 완전열이고, $a$ 는 전사 사상, $d$ 는 단사 사상이라 하자. 4항 보조정리는 $b$ 와 $c$ 의 관계를, 5항 보조정리는 $c$ 의 성질을 다룬다.

2. 1. 4항 보조정리

아벨 범주에서 다음과 같은 가환 그림이 주어졌다고 하자.

:

\begin{matrix}&\to&&\to&&\to\\{\scriptstyle a}\downarrow&&{\scriptstyle b}\downarrow&&{\scriptstyle c}\downarrow&&{\scriptstyle d}\downarrow\\&\to&&\to&&\to\end{matrix}

이 가환 그림에서 다음이 성립한다고 하자.

두 행 모두 완전열이다.
$a$ 는 전사 사상이다.
$d$ 는 단사 사상이다.

'''4항 보조정리'''에 따르면, 다음이 성립한다.^[3]

만약 $c$ 가 전사 사상이라면 $b$ 역시 전사 사상이다.
만약 $b$ 가 단사 사상이라면 $c$ 역시 단사 사상이다.

이 두 명제는 서로 쌍대이다. 즉, 둘째는 첫째를 반대 범주에서 적용한 것에 불과하다.

이는 도롱뇽 정리를 써서 간단히 증명할 수 있다.

임의의 아벨 범주(아벨 군의 범주나 주어진 체 위의 벡터 공간의 범주 등)나 군의 범주에서 다음의 가환도표를 생각한다.

위 그림에서 행이 완전하고 ''m'' 과 ''p'' 가 전사 사상이며 ''q'' 가 단사 사상이면, ''n'' 은 전사 사상이다.

위 그림에서 행이 완전하고 ''m'' 과 ''p'' 가 단사 사상이며 ''l'' 이 전사 사상이면, ''n'' 은 단사 사상이다.

2. 2. 5항 보조정리

'''5항 보조정리'''(五項補助定理, five lemma^영어)는 4항 보조정리를 양쪽에 적용하여 만들 수 있다. 아벨 범주에서 다음과 같은 가환 그림을 생각해 보자.

여기서 두 행은 완전열이고, ''m''과 ''p''는 동형 사상, ''l''은 전사 사상, ''q''는 단사 사상이라고 가정하면, ''n'' 역시 동형 사상이 된다.

이는 4항 보조정리를 왼쪽 열과 오른쪽 열을 제거한 부분 도형에 각각 적용하여 증명할 수 있다.

2. 2. 1. 짧은 5항 보조정리

4항 보조정리를 양쪽에 적용하여 응용할 수 있다. 아벨 범주 속에서 다음과 같은 가환 그림이 주어졌다고 하자.

:

\begin{matrix}&\to&&\to&&\to&&\to\\{\scriptstyle a}\downarrow&&{\scriptstyle b}\downarrow&&{\scriptstyle c}\downarrow&&{\scriptstyle d}\downarrow&&{\scriptstyle e}\downarrow\\&\to&&\to&&\to&&\to\end{matrix}

이 가환 그림에서 다음이 성립한다고 하자.

두 행 모두 완전열이다.
$a$ 는 전사 사상이다.
$e$ 는 단사 사상이다.
$b$ 와 $d$ 는 동형 사상이다.

이때,

c

역시 동형 사상이다.

5항 보조정리의 특수한 경우로, 다음과 같은 가환 그림을 생각하자.

:

\begin{matrix}0\to&&\to&&\to&&\to0\\&{\scriptstyle b}\downarrow&&{\scriptstyle c}\downarrow&&{\scriptstyle d}\downarrow\\0\to&&\to&&\to&&\to0\end{matrix}

'''짧은 5항 보조정리'''(-五項補助定理, short five lemma^영어)에 따르면, 만약 각 행이 짧은 완전열이며

b

,

d

가 동형 사상이라면

c

역시 동형 사상이다. 짧은 5항 보조정리는 (아벨 범주가 아닌) 군의 범주에서도 성립한다.

3. 증명

4항 보조정리의 증명은 다이어그램 체이싱이라는 방법을 사용한다.^[1] 이 방법은 5항 보조정리를 증명하는 데에도 사용된다. 5항 보조정리는 두 개의 4항 보조정리를 증명함으로써 증명할 수 있다.

다이어그램 체이싱을 하기 위해, 환 위의 가군의 범주를 가정한다. 이렇게 하면 다이어그램에 있는 대상들을 '원소'로 생각할 수 있고, 사상(morphism)은 이 원소들에 작용하는 함수(실제로는 준동형 사상)로 생각할 수 있다. 단사 함수는 단사 사상이고, 전사 함수는 전사 사상이다. 핵과 상 역시 함수론적 의미로 생각한다. 미첼의 매장 정리 덕분에, 이 증명 방법은 모든 (작은) 아벨 범주에도 적용된다. 군의 범주에서는 덧셈 표기를 곱셈 표기로 바꾸면 되고, 아벨군의 가환성은 사용되지 않는다.

4항 보조정리는 두 부분으로 나눌 수 있다.
(1) m과 p가 전사이고, q가 단사이면 n은 전사이다.(2) m과 p가 단사이고, l이 전사이면 n은 단사이다.이 두 가지를 증명하면 5항 보조정리가 증명된다.^[2]

3. 1. 다이어그램 체이싱을 이용한 증명

다이어그램 체이싱은 4항 보조정리를 증명하는 일반적인 방법이다.^[1] 4항 보조정리는 2개로 나누어 증명할 수 있으며, 이를 통해 5항 보조정리를 증명한다.

다이어그램 체이싱을 위해, 환 위의 가군의 범주를 가정한다. 이를 통해 다이어그램 내 대상의 '원소'를 생각하고, 사상을 원소에 작용하는 함수(실제로는 준동형 사상)로 간주할 수 있다. 사상이 단사 함수이면 단사 사상이고, 전사 함수이면 전사 사상이다. 핵과 상도 함수론적 의미로 생각할 수 있다. 미첼의 매장 정리에 의해 이 증명은 모든 (작은) 아벨 범주에도 적용된다. 군의 범주에서는 가법 표기를 승법 표기로 바꾸고, 아벨군의 가환성은 사용되지 않는다.

(1)의 증명을 위해, ''m''과 ''p''가 전사이고 ''q''가 단사라고 가정한다.

''C′''의 원소 ''c′''를 생각한다.
''p''가 전사이므로, ''p''(''d'') = ''t''(''c′'')인 ''D''의 원소 ''d''가 존재한다.
다이어그램의 가환성에 의해, ''u''(''p''(''d'')) = ''q''(''j''(''d''))이다.
완전성에 의해 im ''t'' = ker ''u''이므로, 0 = ''u''(''t''(''c′'')) = ''u''(''p''(''d'')) = ''q''(''j''(''d''))이다.
''q''가 단사이므로, ''j''(''d'') = 0이고, ''d''는 ker ''j'' = im ''h''에 있다.
따라서, ''h''(''c'') = ''d''인 ''C''의 원소 ''c''가 존재한다.
''t''(''n''(''c'')) = ''p''(''h''(''c'')) = ''t''(''c′'')이고, ''t''는 준동형 사상이므로, ''t''(''c′'' − ''n''(''c'')) = 0이다.
완전성에 의해, ''c′'' − ''n''(''c'')는 ''s''의 상에 있으므로, ''s''(''b′'') = ''c′'' − ''n''(''c'')인 ''B′''의 원소 ''b′''가 존재한다.
''m''이 전사이므로, ''b′'' = ''m''(''b'')인 ''B''의 원소 ''b''를 찾을 수 있다.
가환성에 의해, ''n''(''g''(''b'')) = ''s''(''m''(''b'')) = ''c′'' − ''n''(''c'')이다.
''n''은 준동형 사상이므로, ''n''(''g''(''b'') + ''c'') = ''n''(''g''(''b'')) + ''n''(''c'') = ''c′'' − ''n''(''c'') + ''n''(''c'') = ''c′''이다.
따라서 ''n''은 전사이다.

(2)를 증명하기 위해, ''m''과 ''p''가 단사이고 ''l''이 전사라고 가정한다.

''n''(''c'') = 0인 ''C''의 원소 ''c''를 생각한다.
그러면 ''t''(''n''(''c''))는 0이다.
가환성에 의해, ''p''(''h''(''c'')) = 0이다.
''p''가 단사이므로, ''h''(''c'') = 0이다.
완전성에 의해, ''g''(''b'') = ''c''인 ''B''의 원소 ''b''가 존재한다.
가환성에 의해, ''s''(''m''(''b'')) = ''n''(''g''(''b'')) = ''n''(''c'') = 0이다.
완전성에 의해, ''r''(''a′'') = ''m''(''b'')인 ''A′''의 원소 ''a′''가 존재한다.
''l''이 전사이므로, ''l''(''a'') = ''a′'' 인 ''A''의 원소 ''a''가 존재한다.
가환성에 의해, ''m''(''f''(''a'')) = ''r''(''l''(''a'')) = ''m''(''b'')이다.
''m''이 단사이므로, ''f''(''a'') = ''b''이다.
따라서 ''c'' = ''g''(''f''(''a''))이다.
''g''와 ''f''의 합성은 자명하므로, ''c'' = 0이다.
따라서 ''n''은 단사이다.

두 개의 4항 보조정리를 결합하면 5항 보조정리가 증명된다.^[2]

4. 응용

5항 보조 정리는 종종 긴 완전 순서열에 적용된다. 주어진 대상의 호몰로지 또는 코호몰로지를 계산할 때, 일반적으로 호몰로지/코호몰로지가 알려진 더 간단한 하위 대상을 사용하며, 원래 대상의 알려지지 않은 호몰로지 군을 포함하는 긴 완전 순서열에 도달한다. 이것만으로는 종종 알려지지 않은 호몰로지 군을 결정하기에 충분하지 않지만, 만약 원래 대상과 하위 대상을 모르피즘을 통해 잘 이해된 대상과 비교할 수 있다면, 각 긴 완전 순서열 간의 모르피즘이 유도되고, 5항 보조 정리를 사용하여 알려지지 않은 호몰로지 군을 결정할 수 있다.

5. 역사

데이비드 앨빈 북스바움은 1955년 논문에서^[4] 아벨 범주의 개념을 도입하였는데, 이 논문에서 5항 보조정리가 보조정리 5.9로 이미 등장한다.

참조

_[1] 서적 A basic course in algebraic topology https://books.google[...]
_[2] Google Books Quote
_[3] 서적 An introduction to homological algebra http://www.math.rutg[...] Cambridge University Press 1994
_[4] 저널 Exact categories and duality

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