완전열

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1. 개요

완전열은 핵과 여핵을 가진 범주에서 정의되는 일련의 대상과 사상들의 수열로, 인접한 사상의 핵과 상이 일치하는 특징을 갖는다. 특히, 짧은 완전열, 긴 완전열, 그리고 특수한 경우들이 존재하며, 군론, 환론 등 다양한 수학 분야에서 활용된다. 완전열은 확대 문제, 사슬 복합체, 완전 함자 등과 관련 있으며, 분할 보조정리, 뱀 보조정리, 다섯 개 보조정리와 같은 관련 정리를 통해 분석된다.

완전열

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1. 개요
2. 정의
3. 완전열의 종류와 성질
4. 예시
5. 응용
6. 관련 정리

2. 정의

핵과 여핵을 가지는 범주에서 완전열은 다음과 같은 꼴의 대상들과 사상들로 구성된다.

: $\cdots\to A_{i-1}\xrightarrow{f_{i-1}}A_i\xrightarrow{f_i}A_{i+1}\xrightarrow{f_{i+1}}A_{i+2}\to\cdots$

이 열이 완전열을 이루려면, 인접한 사상들 각각에 대해 뒷쪽 사상의 핵과 앞쪽 사상의 상이 일치하여야 한다.

: $\operatorname{im}f_{i-1} = \ker f_i$

: $\operatorname{coker}f_{i-1} = A_i/\ker f_i$

모든 아벨 범주(아벨 군의 범주 등)에서는 핵과 여핵이 존재하므로, 완전열을 정의할 수 있다. 군의 범주 $\operatorname{Grp}$ 는 아벨 범주가 아니지만 핵과 여핵이 존재하므로, 이 범주에서도 역시 완전열을 정의할 수 있다.

군론의 맥락에서,

: $G_0\;\xrightarrow{\ f_1\ }\; G_1 \;\xrightarrow{\ f_2\ }\; G_2 \;\xrightarrow{\ f_3\ }\; \cdots \;\xrightarrow{\ f_n\ }\; G_n$

의 군 준동형사상들의 수열은 $G_i$ 에서 $\operatorname{im}(f_i)=\ker(f_{i+1})$ 일 때 완전하다고 한다. 수열은 각 $1\leq i 에 대한 각 G_i 에서 완전할 경우, 즉 각 준동형사상의 상이 다음 준동형사상의 핵과 같을 경우$ 완전하다고 한다.

군과 준동형사상의 수열은 유한하거나 무한할 수 있다.

유사한 정의는 다른 대수적 구조에 대해서도 만들 수 있다. 예를 들어, 벡터 공간과 선형 사상 또는 가군과 가군 준동형사상의 완전열을 가질 수 있다. 더 일반적으로, 완전열의 개념은 핵 (범주론)과 여핵을 갖는 모든 범주에서, 특히 널리 사용되는 아벨 범주에서 의미가 있다.

R 가군 X_i와 사상 f_i: X_i → X_i+1 (i ∈ Z)로 이루어진 (유한 또는 무한) 수열

: $\cdots \to X_{n-1} \stackrel{f_{n-1}}X_n\stackrel{f_n}X_{n+1} \to \cdots$

에서, ${\rm Im\,} f_{n-1} = {\rm Ker}\, f_n$ 이 될 때, 수열은 X_n에서 완전(exact)하다고 한다. 특히, 다음 사실이 성립한다：

* 수열 $0\xrightarrow{}M'\xrightarrow{f}M$ 이 완전한 것은, f가 단사 사상인 것과 동치이다.
* 수열 $M\xrightarrow{g}M$ \xrightarrow{}0이 완전한 것은, g가 전사 사상인 것과 동치이다.
* 수열 $0\xrightarrow{}M'\xrightarrow{f}M\xrightarrow{g}M$ \xrightarrow{}0이 완전한 것은, f가 단사 사상이고 g가 전사 사상이며, 또한 g가 동형 사상 $M/f(M')\xrightarrow{\simeq}M$ 을 유도하는 것과 동치이다.

수열이 모든 R 가군 Xi에서 완전할 때, 그 수열을 완전 수열(exact sequence)이라고 부르며,

: $\cdots \to X_{n-1} \stackrel{f_{n-1}}X_n\stackrel{f_n}X_{n+1} \to \cdots\quad\text{(exact)}$

등으로 표기한다. 또한, 수열이 Xn''에서 완전하다면, 그 정의로부터 명백하게

: $f_{n}\circ f_{n-1}(x) = 0_{n+1} \;\; \forall \, x \in X_{n-1}$ (단, $0_{n+1}$ 은 $X_{n+1}$ 의 영원)

이 성립한다(역은 일반적으로 성립하지 않는다).

3. 완전열의 종류와 성질

완전열은 그 길이에 따라 짧은 완전열, 긴 완전열 등으로 분류될 수 있다.

영 대상 및 핵과 여핵이 존재하는 범주에서, 완전열의 개념은 핵 (범주론)과 여핵을 갖는 모든 범주에서, 특히 널리 사용되는 아벨 범주에서 의미가 있다.

군론의 맥락에서, 군 준동형사상들의 수열
: $G_0\;\xrightarrow{\ f_1\ }\; G_1 \;\xrightarrow{\ f_2\ }\; G_2 \;\xrightarrow{\ f_3\ }\; \cdots \;\xrightarrow{\ f_n\ }\; G_n$
은 $G_i$ 에서 $\operatorname{im}(f_i)=\ker(f_{i+1})$ 일 때 완전하다고 한다. 즉, 각 준동형사상의 상이 다음 준동형사상의 핵과 같을 경우 완전하다고 한다. 이 수열은 유한하거나 무한할 수 있다.

유사한 정의는 다른 대수적 구조에 대해서도 만들 수 있다. 예를 들어, 벡터 공간과 선형 사상 또는 가군과 가군 준동형사상의 완전열을 가질 수 있다.

R 가군 X_i와 사상 f_i: X_i → X_i+1 (i ∈ Z)로 이루어진 (유한 또는 무한) 수열
: $\cdots \to X_{n-1} \stackrel{f_{n-1}}X_n\stackrel{f_n}X_{n+1} \to \cdots$
에서, ${\rm Im\,} f_{n-1} = {\rm Ker}\, f_n$ 이 될 때, 수열은 X_n에서 완전(exact)하다고 한다. 수열이 모든 R 가군 X_i에서 완전할 때, 그 수열을 완전 수열(exact sequence)이라고 한다.

분할 보조정리는 짧은 완전열에 대한 조건들을 설명하고 있으며, 뱀 보조정리는 두 개의 완전열을 가진 가환 다이어그램에서 더 긴 완전열을 생성하는 방법을 제시한다. 나인 렘마는 뱀 보조정리의 특별한 경우이다. 다섯 개 보조정리는 길이가 5인 완전열을 가진 가환 다이어그램에서 가운데 사상이 동형사상이 되는 조건을 제공하며, 짧은 다섯 개 보조정리는 짧은 완전열에 적용되는 특수한 경우이다.

3.1. 짧은 완전열 (Short Exact Sequence)

영 대상 및 핵과 여핵이 존재하는 범주에서, 짧은 완전열(short exact sequence^영어)은 다음과 같은 모양의 완전열이다.

: $0 \to A \xrightarrow f B \xrightarrow g C \to 0$

여기서 $f$ 는 단사 사상이며 $g$ 는 전사 사상이다. 이 경우, $A$ 를 $B$ 의 부분 대상으로, $C$ 를 몫 대상 $B/A$ 로 생각할 수 있으며, 다음과 같은 동형이 성립한다.

: $C\cong B/A$

$0 \to A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \to 0\,$ 와 같은 짧은 완전열에서, $g \circ h$ 가 $C$ 에 대한 항등 사상이 되도록 하는 준동형 사상 $h : C \to B$ 가 존재할 경우, 이 짧은 완전열을 분할이라고 한다. 만약 이들이 아벨 군이라면, $B$ 는 $A$ 와 $C$ 의 직합과 동형이다.

: $B \cong A \oplus C.$

3.2. 긴 완전열 (Long Exact Sequence)

일반적인 완전열은 짧은 완전열과 구별하기 위해 긴 완전열이라고도 불린다.

긴 완전열은 일련의 짧은 완전열과 동등하다. 즉, 긴 완전열
: $A_0\;\xrightarrow{\ f_1\ }\; A_1 \;\xrightarrow{\ f_2\ }\; A_2 \;\xrightarrow{\ f_3\ }\; \cdots \;\xrightarrow{\ f_n\ }\; A_n$
가 주어졌을 때 (n ≥ 2), 이를 다음과 같은 짧은 완전열들로 분해할 수 있다.
: $\begin{align}0 \rightarrow K_1 \rightarrow {} & A_1 \rightarrow K_2 \rightarrow 0 ,\\0 \rightarrow K_2 \rightarrow {} & A_2 \rightarrow K_3 \rightarrow 0 ,\\& \ \,\vdots \\0 \rightarrow K_{n-1} \rightarrow {} & A_{n-1} \rightarrow K_n \rightarrow 0 ,\\\end{align}$
여기서 $K_i = \operatorname{im}(f_i)$ (모든 $i$ 에 대해)로 정의된다.

반대로, 짧은 완전열들을 조합하여 긴 완전열을 만들 수도 있다. (자세한 내용은 엮음 보조정리 참고)

예를 들어, 다음과 같은 완전열을 생각해 보자.
: $A_1\to A_2\to A_3\to A_4\to A_5\to A_6$
이는 다음을 만족하는 객체 C_k가 존재함을 의미한다.
: $C_k \cong \ker (A_k\to A_{k+1}) \cong \operatorname{im} (A_{k-1}\to A_k)$ .
--
이와 같이, 겹쳐진 짧은 완전열의 중간 항들은 긴 완전열을 형성한다.

체인 복합체의 짧은 완전열에 뱀 보조정리 또는 지그재그 보조정리를 적용하면, 호몰로지 사이의 긴 완전열을 얻을 수 있다.

3.3. 특수한 경우

영 대상 및 핵과 여핵이 존재하는 범주에서, 다음 명제들이 성립한다.

* 열 $0\to A\to B$ 가 완전열이라는 것은 사상 $A\to B$ 가 단사 사상이라는 것과 동치이다.
* 열 $B\to C\to 0$ 가 완전열이라는 것은 사상 $B\to C$ 가 전사 사상이라는 것과 동치이다.
* 열 $0\to A\to B\to0$ 가 완전열이라는 것은 사상 $A\to B$ 가 동형 사상이라는 것과 동치이다.

정의를 이해하기 위해서는, 그룹 준동형 사상의 수열이 유한하고 자명군으로 시작하거나 끝나는 비교적 간단한 경우를 고려하는 것이 도움이 된다. 일반적으로 이는 단일 항등원과 함께 0 (가법 표기, 그룹이 아벨 군일 때 주로 사용) 또는 1 (곱셈 표기)로 표시된다.

* 수열 0 → A → B를 고려해 보자. 가장 왼쪽 사상의 이미지는 0이다. 따라서 수열이 완전할 필요충분조건은 가장 오른쪽 사상(A에서 B로의 사상)의 커널이 {0}인 것이다. 즉, 해당 사상이 단사 사상 (주입, 또는 일대일)일 필요충분조건이다.
* 쌍대 수열 B → C → 0을 고려해 보자. 가장 오른쪽 사상의 커널은 C이다. 따라서 수열이 완전할 필요충분조건은 가장 왼쪽 사상(B에서 C로의 사상)의 이미지가 C 전체인 것이다. 즉, 해당 사상이 전사 사상 (전사, 또는 위로)일 필요충분조건이다.
* 따라서, 수열 0 → X → Y → 0은 X에서 Y로의 사상이 단사 사상이자 전사 사상(즉, 양사상)일 필요충분조건이며, 따라서 일반적으로 X에서 Y로의 동형 사상이다 (이것은 Set과 같은 완전 범주에서 항상 성립한다).

R 가군 X_i와 사상 f_i: X_i → X_i+1 (i ∈ Z)로 이루어진 (유한 또는 무한) 수열

: $\cdots \to X_{n-1} \stackrel{f_{n-1}}X_n\stackrel{f_n}X_{n+1} \to \cdots$

에서, ${\rm Im\,} f_{n-1} = {\rm Ker}\, f_n$ 이 될 때, 수열은 X_n에서 완전(exact)하다고 한다. 특히, 다음 사실이 성립한다：

* 수열 $0\xrightarrow{}M'\xrightarrow{f}M$ 이 완전한 것은, f^영어가 단사 사상인 것과 동치이다.
* 수열 $M\xrightarrow{g}M$ \xrightarrow{}0이 완전한 것은, g^영어가 전사 사상인 것과 동치이다.
* 수열 $0\xrightarrow{}M'\xrightarrow{f}M\xrightarrow{g}M$ \xrightarrow{}0이 완전한 것은, f^영어가 단사 사상이고 g^영어가 전사 사상이며, 또한 g^영어가 동형 사상 $M/f(M')\xrightarrow{\simeq}M$ 을 유도하는 것과 동치이다.

수열이 모든 R 가군 Xi에서 완전할 때, 그 수열을 완전 수열(exact sequence)이라고 부르며,

: $\cdots \to X_{n-1} \stackrel{f_{n-1}}X_n\stackrel{f_n}X_{n+1} \to \cdots\quad\text{(exact)}$

등으로 표기한다. 또한, 수열이 Xn''에서 완전하다면, 그 정의로부터 명백하게

: $f_{n}\circ f_{n-1}(x) = 0_{n+1} \;\; \forall \, x \in X_{n-1}$ (단, $0_{n+1}$ 은 $X_{n+1}$ 의 영원)

이 성립한다(역은 일반적으로 성립하지 않는다).

4. 예시

아벨 군의 범주에서 짧은 완전열의 예시를 살펴보자.

: $0\to\mathbb Z\xrightarrow{2\cdot}\mathbb Z\xrightarrow{\mod2}\mathbb Z/2\mathbb Z\to 0$

여기서 0은 자명군이고, $\mathbb Z$ 에서 $\mathbb Z$ 로 가는 사상은 2를 곱하는 것이고, $\mathbb Z$ 에서 $\mathbb Z/2\mathbb Z\simeq \{0,1\}$ 은 정수를 2로 나눈 나머지로 정의한다. 인접한 사상을 살펴보면 이것이 완전열임을 알 수 있다.

* 사상 $0\to \mathbb Z$ 의 상은 자명군이고, $\cdot2\colon\mathbb Z\to\mathbb Z$ 에 대한 핵(두 배를 해서 0이 되는 수들의 부분집합) 또한 자명군이다. 따라서 첫 번째 $\mathbb Z$ 에서 열은 완전열이다.
* $\cdot2\colon\mathbb Z\to\mathbb Z$ 의 상은 짝수의 부분군 $2\mathbb Z$ 이며, $\bmod2\colon\mathbb Z\to\mathbb Z$ 의 핵 또한 짝수의 부분군 $2\mathbb Z$ 이다. 따라서 두 번째 $\mathbb Z$ 에 대해서도 완전열이다.
* $\bmod2\colon\mathbb Z\to\mathbb Z$ 에 대한 상은 $\mathbb Z/2\mathbb Z$ 이고, 0으로 가는 상의 핵도 $\mathbb Z/2\mathbb Z$ 이기 때문에, 열은 $\mathbb Z/2\mathbb Z$ 에서도 완전열이다.

이 예시는 아벨 군의 완전열을 보여주는 전형적인 예시이며, 군론을 공부하는 학생들에게 유용한 참고자료가 될 수 있다.

Z의 무한한 특성 때문에, 유한군이 자체의 진부분군으로 포함(즉, 단사 사상에 의해)될 수는 없다. 대신 제1 동형 정리에서 나오는 열은 다음과 같다.

: $1 \to N \to G \to G/N \to 1$

(여기서 자명군은 $1,$ 로 표시되며, 이 그룹은 아벨 군이 아닌 것으로 간주된다).

유한군에 대한 완전열의 더 구체적인 예는 다음과 같다.

: $1 \to C_n \to D_{2n} \to C_2 \to 1$

여기서 $C_n$ 은 차수가 n인 순환군이고 $D_{2n}$ 은 차수가 2n인 이변수군이며, 이는 비아벨 군이다.

일반적으로, 생각하고 있는 아벨 범주에서의 영 대상을 0으로 나타낼 때,

: $0 \to A\stackrel{f}B,\quad A\stackrel{g}B\to 0$

가 완전하다는 것은 각각 f가 단사, g가 전사인 것과 동치이다.

f: A → B가 아벨 범주의 사상 (예를 들어 군의 범주에서의 군 준동형, 가군 범주에서의 준동형 등)일 때

: $0\to \ker f \to A \stackrel{f} B\to\mathrm{coker\,}f \to 0$

는 완전열이다.

환 $R$ 의 두 아이디얼 $I$ 와 $J$ 가 있을 때, 다음을 얻을 수 있다.

: $0 \to I\cap J \to I\oplus J \to I + J \to 0$

이는 $R$ -가군의 완전열이며, 여기서 가군 준동형사상 $I\cap J \to I\oplus J$ 는 $I\cap J$ 의 각 원소 $x$ 를 직합 $I\oplus J$ 의 원소 $(x,x)$ 로 매핑하고, 준동형사상 $I\oplus J \to I+J$ 는 $I\oplus J$ 의 각 원소 $(x,y)$ 를 $x-y$ 로 매핑한다.

4.1. 아벨 군의 완전열

아벨 군의 범주에서 다음과 같은 짧은 완전열을 생각할 수 있다.
: $0\to\mathbb Z\xrightarrow{2\cdot}\mathbb Z\xrightarrow{\mod2}\mathbb Z/2\mathbb Z\to 0$
여기서 0은 자명군이고, $\mathbb Z$ 에서 $\mathbb Z$ 로 가는 사상은 2를 곱하는 것이고, $\mathbb Z$ 에서 $\mathbb Z/2\mathbb Z\simeq \{0,1\}$ 은 정수를 2로 나눈 나머지로 정의한다. 인접한 사상을 살펴보면 이것이 완전열임을 알 수 있다.

* 사상 $0\to \mathbb Z$ 의 상은 자명군이고, $\cdot2\colon\mathbb Z\to\mathbb Z$ 에 대한 핵(두 배를 해서 0이 되는 수들의 부분집합) 또한 자명군이다. 따라서 첫 번째 $\mathbb Z$ 에서 열은 완전열이다.
* $\cdot2\colon\mathbb Z\to\mathbb Z$ 의 상은 짝수의 부분군 $2\mathbb Z$ 이며, $\bmod2\colon\mathbb Z\to\mathbb Z$ 의 핵 또한 짝수의 부분군 $2\mathbb Z$ 이다. 따라서 두 번째 $\mathbb Z$ 에 대해서도 완전열이다.
* $\bmod2\colon\mathbb Z\to\mathbb Z$ 에 대한 상은 $\mathbb Z/2\mathbb Z$ 이고, 0으로 가는 상의 핵도 $\mathbb Z/2\mathbb Z$ 이기 때문에, 열은 $\mathbb Z/2\mathbb Z$ 에서도 완전열이다.

다음과 같이 아벨 군의 열을 고려해 보자.
: $\mathbf{Z} \mathrel{\overset{2\times}{\,\hookrightarrow}} \mathbf{Z} \twoheadrightarrow \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$

첫 번째 준동형 사상은 정수 집합 Z의 각 원소 i를 Z의 원소 2i에 매핑한다. 두 번째 준동형 사상은 Z의 각 원소 i를 몫군에 있는 원소 j에 매핑한다. 즉, j = i mod 2^영어이다. 여기서 갈고리 화살표 $\hookrightarrow$ 는 Z에서 Z로의 2× 맵이 단사 사상임을 나타내고, 두 개의 머리 화살표 $\twoheadrightarrow$ 는 전사 사상(mod 2 맵)을 나타낸다. 이것은 단사 사상의 이미지 2Z가 전사 사상의 핵이기 때문에 완전열이다. 본질적으로 "동일한" 열은 다음과 같이 쓸 수도 있다.

: $2\mathbf{Z} \mathrel{\,\hookrightarrow} \mathbf{Z} \twoheadrightarrow \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$

이 경우 단사 사상은 2n ↦ 2n이며 항등 함수처럼 보이지만 이는 전사 사상이 아니다. 왜냐하면 홀수는 2Z에 속하지 않기 때문이다. 그러나 이 단사 사상을 통한 2Z의 이미지는 이전 열에서 사용된 n ↦ 2n을 통한 Z의 이미지와 정확히 동일한 Z의 하위 집합이다. 후자의 열은 두 그룹이 동형이지만 2Z가 Z와 동일한 집합이 아니기 때문에 첫 번째 객체의 구체적인 본질에서 이전 열과 다르다.

첫 번째 열은 단사 사상과 전사 사상에 대한 특수 기호를 사용하지 않고도 쓸 수 있다.
: $0 \to \mathbf{Z} \mathrel{\overset{2\times}{\longrightarrow}} \mathbf{Z} \longrightarrow \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} \to 0$

여기서 0은 자명군을 나타내고, Z에서 Z로의 맵은 2를 곱한 것이며, Z에서 몫군 Z/2Z로의 맵은 정수를 2로 모듈로 감소시켜 제공된다. 이것은 실제로 완전열이다.
* 0 → Z 맵의 이미지는 {0}이고, 2를 곱한 것의 핵도 {0}이므로, 열은 첫 번째 Z에서 정확하다.
* 2를 곱한 것의 이미지는 2Z이고, 모듈로 2를 줄인 것의 핵도 2Z이므로, 열은 두 번째 Z에서 정확하다.
* 모듈로 2를 줄인 것의 이미지는 Z/2Z이고, 영 맵의 핵도 Z/2Z이므로, 열은 Z/2Z 위치에서 정확하다.

아벨 군의 열
: $0 \hookrightarrow \mathbb{Z} \stackrel{f} \mathbb{Z} \stackrel{p} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\twoheadrightarrow 0$
에서, f: Z → Z 가 2배 사상 (x → 2x), p를 표준 사영이라고 하면, 이것은 완전하다. 실제로, 2x = 0이 되는 x는 0이며, 0으로 제한된다 (f는 단사이다) 따라서 0 → Z는 완전하다. 또한, f, p는 아벨 군의 준동형이고, im(f) = 2Z = ker(p)임은 명백하다. 마지막으로 Z/2Z → 0는 Z/2Z의 모든 원소를 0으로 하는 준동형이며, 그 핵은 Z/2Z 전체가 되지만, p는 전사이므로 이것도 완전하다.

4.2. 군의 완전열

1을 단위군으로 하고, 군 G에 대해, Aut(G)를 그 자기 동형군, Z(G)를 중심, Inn(G)를 내부 자기 동형군, Out(G) = Aut(G)/Inn(G)를 외부 자기 동형군이라고 하면 다음과 같은 완전열을 얻는다.

: $1\to Z(G)\hookrightarrow G\stackrel{\text{Ad}}\mathrm{Aut\,}G\twoheadrightarrow\mathrm{Out\,}G\to 1$

4.3. 환의 아이디얼

환 $R$ 의 두 아이디얼 $I$ 와 $J$ 가 있을 때, 다음을 얻을 수 있다.

: $0 \to I\cap J \to I\oplus J \to I + J \to 0$

이는 $R$ -가군의 완전열이며, 여기서 가군 준동형사상 $I\cap J \to I\oplus J$ 는 $I\cap J$ 의 각 원소 $x$ 를 직합 $I\oplus J$ 의 원소 $(x,x)$ 로 매핑하고, 준동형사상 $I\oplus J \to I+J$ 는 $I\oplus J$ 의 각 원소 $(x,y)$ 를 $x-y$ 로 매핑한다.

5. 응용

확대 문제는 짧은 완전열에서 양 끝 항인 A와 C가 주어졌을 때, 중간 항 B가 될 수 있는 모든 경우를 찾는 문제이다. 군의 범주에서는, 이는 군 B가 A를 정규 부분군으로, C를 해당 몫군으로 가질 때 B가 무엇인지를 묻는 것과 같다. 이 문제는 유한 단순군 분류에서 중요하게 다루어진다. 외부 자기 동형 군 또한 참고할 수 있다.

완전열은 사슬 복합체의 호몰로지를 계산하는 데 사용된다. 모든 완전열은 사슬 복합체이며, 그 호몰로지는 완전열이 비순환 복합체임을 나타낸다. 주어진 사슬 복합체의 호몰로지는 완전성에서 벗어나는 정도를 측정하는 것으로 이해할 수 있다.

지그재그 보조정리를 통해, 사슬 복합체로 연결된 짧은 완전열들로부터 긴 완전열을 유도할 수 있다. 이는 대수적 위상수학에서 상대 호몰로지를 연구하거나 마이어-비토리스 열을 구성하는 데 사용된다. 또한, 짧은 완전열에서 유도된 긴 완전열은 유도 함자의 특징을 나타낸다.

완전 함자는 완전열을 보존하는 함자이다. 즉, 완전열을 다른 완전열로 변환한다.

6. 관련 정리

분할 보조정리는 다음과 같은 짧은 완전열에 대해
: $0 \to A \;\xrightarrow{\ f\ }\; B \;\xrightarrow{\ g\ }\; C \to 0,$
다음 조건들이 동치임을 말한다.

* 가 존재하여 가 에 대한 항등사상이다.
* 가 에 대한 항등사상이 되도록 하는 사상 가 존재한다.
* 가 와 의 직합이 되도록 하는 사상 가 존재한다.

비가환군에 대해, 분할 보조정리는 적용되지 않으며, 마지막 두 조건 사이의 동치 관계만 존재하며, "직합"은 "반직접곱"으로 대체된다.

이러한 짧은 완전열을 분할이라고 한다.

뱀 보조정리는 두 개의 완전열을 가진 가환 다이어그램이 어떻게 더 긴 완전열을 생성하는지 보여준다. 나인 렘마는 특별한 경우이다.

다섯 개 보조정리는 길이가 5인 완전열을 가진 가환 다이어그램에서 가운데 사상이 동형사상이 되는 조건을 제공한다; 짧은 다섯 개 보조정리는 짧은 완전열에 적용되는 특수한 경우이다.